Wskazówki: a) Aby napisać równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez dwa punkty $P_1(x_1, y_1)$ i $P_2(x_2, y_2)$, najpierw oblicz współczynnik kierunkowy (nachylenie) prostej, korzystając ze wzoru $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Pamiętaj, że jeśli $x_1 = x_2$, prosta jest pionowa i ma równanie $x = x_1$. Jeśli $y_1 = y_2$, prosta jest pozioma i ma równanie $y = y_1$. Następnie, podstaw współczynnik $a$ oraz współrzędne jednego z punktów do ogólnego równania prostej $y = ax + b$, aby obliczyć wyraz wolny $b$. b) Trójkąt jest prostokątny, jeśli dwie jego strony są do siebie prostopadłe. Dwie proste o współczynnikach kierunkowych $a_1$ i $a_2$ są prostopadłe, jeśli ich iloczyn jest równy $-1$, czyli $a_1 \cdot a_2 = -1$. Sprawdź tę zależność dla wszystkich trzech par prostych tworzących boki trójkąta ($AB$ i $BC$, $BC$ i $AC$, $AC$ i $AB$). Rozwiązanie: a) Napisz równania kierunkowe prostych $AB$, $BC$, $AC$. 1. Równanie prostej AB: Mamy punkty $A(1, 1)$ i $B(5, 3)$. 1.1. Obliczamy współczynnik kierunkowy (nachylenie) prostej $a_{AB}$: Wzór na współczynnik kierunkowy to $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Podstawiamy współrzędne punktów $A(x_1 = 1, y_1 = 1)$ i $B(x_2 = 5, y_2 = 3)$:$$a_{AB} = \frac{3 - 1}{5 - 1}$$$$a_{AB} = \frac{2}{4}$$$$a_{AB} = \frac{1}{2}$$1.2. Obliczamy wyraz wolny $b_{AB}$ prostej $y = ax + b$: Podstawiamy obliczony współczynnik $a_{AB} = \frac{1}{2}$ oraz współrzędne punktu $A(1, 1)$ do równania $y = ax + b$:$$1 = \frac{1}{2} \cdot 1 + b$$$$1 = \frac{1}{2} + b$$Teraz chcemy wyznaczyć $b$. Przenosimy $\frac{1}{2}$ na lewą stronę równania, zmieniając znak na przeciwny:$$1 - \frac{1}{2} = b$$$$b = \frac{1}{2}$$1.3. Równanie prostej AB to:$$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$$2. Równanie prostej BC: Mamy punkty $B(5, 3)$ i $C(3, 7)$. 2.1. Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej $a_{BC}$: Podstawiamy współrzędne punktów $B(x_1 = 5, y_1 = 3)$ i $C(x_2 = 3, y_2 = 7)$:$$a_{BC} = \frac{7 - 3}{3 - 5}$$$$a_{BC} = \frac{4}{-2}$$$$a_{BC} = -2$$2.2. Obliczamy wyraz wolny $b_{BC}$ prostej $y = ax + b$: Podstawiamy obliczony współczynnik $a_{BC} = -2$ oraz współrzędne punktu $B(5, 3)$ do równania $y = ax + b$:$$3 = -2 \cdot 5 + b$$$$3 = -10 + b$$Teraz chcemy wyznaczyć $b$. Przenosimy $-10$ na lewą stronę równania, zmieniając znak na przeciwny:$$3 + 10 = b$$$$b = 13$$2.3. Równanie prostej BC to:$$y = -2x + 13$$3. Równanie prostej AC: Mamy punkty $A(1, 1)$ i $C(3, 7)$. 3.1. Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej $a_{AC}$: Podstawiamy współrzędne punktów $A(x_1 = 1, y_1 = 1)$ i $C(x_2 = 3, y_2 = 7)$:$$a_{AC} = \frac{7 - 1}{3 - 1}$$$$a_{AC} = \frac{6}{2}$$$$a_{AC} = 3$$3.2. Obliczamy wyraz wolny $b_{AC}$ prostej $y = ax + b$: Podstawiamy obliczony współczynnik $a_{AC} = 3$ oraz współrzędne punktu $A(1, 1)$ do równania $y = ax + b$:$$1 = 3 \cdot 1 + b$$$$1 = 3 + b$$Teraz chcemy wyznaczyć $b$. Przenosimy $3$ na lewą stronę równania, zmieniając znak na przeciwny:$$1 - 3 = b$$$$b = -2$$3.3. Równanie prostej AC to:$$y = 3x - 2$$b) Czy trójkąt $ABC$ jest prostokątny? Odpowiedź uzasadnij. Trójkąt jest prostokątny, jeśli dwie jego strony są do siebie prostopadłe. Dwie proste są prostopadłe, jeśli iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$. Sprawdźmy iloczyny współczynników kierunkowych dla każdej pary boków: 1. Sprawdzamy boki $AB$ i $BC$: Współczynnik kierunkowy prostej $AB$ to $a_{AB} = \frac{1}{2}$. Współczynnik kierunkowy prostej $BC$ to $a_{BC} = -2$. Obliczamy iloczyn:$$a_{AB} \cdot a_{BC} = \frac{1}{2} \cdot (-2) = -1$$Ponieważ iloczyn współczynników kierunkowych jest równy $-1$, proste $AB$ i $BC$ są prostopadłe. Oznacza to, że boki $AB$ i $BC$ trójkąta $ABC$ są prostopadłe. 2. Sprawdzamy boki $BC$ i $AC$: Współczynnik kierunkowy prostej $BC$ to $a_{BC} = -2$. Współczynnik kierunkowy prostej $AC$ to $a_{AC} = 3$. Obliczamy iloczyn:$$a_{BC} \cdot a_{AC} = (-2) \cdot 3 = -6$$Ponieważ $-6 \neq -1$, proste $BC$ i $AC$ nie są prostopadłe. 3. Sprawdzamy boki $AB$ i $AC$: Współczynnik kierunkowy prostej $AB$ to $a_{AB} = \frac{1}{2}$. Współczynnik kierunkowy prostej $AC$ to $a_{AC} = 3$. Obliczamy iloczyn:$$a_{AB} \cdot a_{AC} = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$$Ponieważ $\frac{3}{2} \neq -1$, proste $AB$ i $AC$ nie są prostopadłe. Wniosek: Ponieważ iloczyn współczynników kierunkowych prostych $AB$ i $BC$ jest równy $-1$, oznacza to, że proste te są prostopadłe. Zatem boki $AB$ i $BC$ trójkąta $ABC$ są prostopadłe, co oznacza, że trójkąt $ABC$ jest prostokątny (kąt prosty znajduje się przy wierzchołku $B$).