Przekształcenia wykresów funkcji sprawdzian 2

Przekształcenia wykresów funkcji

Sprawdzian 2

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

W trójkącie $ABC$ mamy dane: $A(-4, 1)$, $B(2, 5)$, $\vec{BD} = [-7, 3]$. Punkt $D$ jest środkiem boku $AC$. Oblicz długość środkowej $BD$, współrzędne wierzchołka $C$.

Wskazówki:

Środkowa boku trójkąta to odcinek łączący wierzchołek $B$ ze środkiem przeciwległego boku $D$. Długość tego odcinka jest równa długości wektora $\vec{BD}$.
Współrzędne punktu $D$ wyznaczamy bezpośrednio ze współrzędnych wektora zaczepionego w punkcie $B$: $\vec{BD} = [x_D - x_B, y_D - y_B]$.
Współrzędne wierzchołka $C$ można wyznaczyć na dwa równoważne sposoby: klasycznie ze wzoru na środek odcinka $AC$ lub geometrycznie za pomocą równości wektorów $\vec{AD} = \vec{DC}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i wyznaczenie współrzędnych punktu $D$:
Wektor $\vec{BD}$ ma początek w punkcie $B(2, 5)$ i koniec w punkcie $D(x_D, y_D)$. Z definicji wektora o danych współrzędnych mamy: $$ \vec{BD} = [x_D - x_B, y_D - y_B] $$ Podstawiamy dane współrzędne punktu $B(2, 5)$ oraz wektora $\vec{BD} = [-7, 3]$: $$ [-7, 3] = [x_D - 2, y_D - 5] $$ Przyrównujemy odpowiadające sobie współrzędne: $$ \begin{aligned} x_D - 2 &= -7 \\[8pt] x_D &= -7 + 2 \\[8pt] x_D &= -5 \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} y_D - 5 &= 3 \\[8pt] y_D &= 3 + 5 \\[8pt] y_D &= 8 \end{aligned} $$ Otrzymujemy punkt $D(-5, 8)$. Punkt ten jest środkiem boku $AC$.
Obliczenie długości środkowej $BD$:
Długość środkowej $BD$ jest równa długości wektora $\vec{BD}$. Stosujemy wzór na długość wektora o współrzędnych $\vec{v} = [v_x, v_y]$: $$ |\vec{BD}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} $$ Podstawiamy współrzędne wektora $\vec{BD} = [-7, 3]$: $$ \begin{aligned} |BD| &= \sqrt{(-7)^2 + 3^2} \\[8pt] &= \sqrt{49 + 9} \\[8pt] &= \sqrt{58} \end{aligned} $$ Liczba $58 = 2 \cdot 29$ nie zawiera żadnych czynników będących kwadratami liczb pierwszych, zatem pierwiastek występuje w postaci nieskracalnej.
Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka $C$ – Sposób I (ze wzoru na środek odcinka):
Punkt $D(-5, 8)$ jest środkiem boku $AC$, gdzie $A(-4, 1)$ oraz $C(x_C, y_C)$. Korzystamy ze standardowego wzoru na współrzędne środka odcinka: $$ x_D = \dfrac{x_A + x_C}{2}, \quad y_D = \dfrac{y_A + y_C}{2} $$ Wyznaczamy współrzędną $x_C$: $$ \begin{aligned} -5 &= \dfrac{-4 + x_C}{2} \\[8pt] -10 &= -4 + x_C \\[8pt] x_C &= -10 + 4 \\[8pt] x_C &= -6 \end{aligned} $$ Wyznaczamy współrzędną $y_C$: $$ \begin{aligned} 8 &= \dfrac{1 + y_C}{2} \\[8pt] 16 &= 1 + y_C \\[8pt] y_C &= 16 - 1 \\[8pt] y_C &= 15 \end{aligned} $$ Stąd wierzchołek ma współrzędne $C(-6, 15)$.
Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka $C$ – Sposób II (z równości wektorów):
Skoro punkt $D$ jest środkiem odcinka $AC$, to wektory $\vec{AD}$ oraz $\vec{DC}$ mają ten sam kierunek, zwrot i tę samą długość, czyli zachodzi równość: $$ \vec{AD} = \vec{DC} $$ Wyznaczamy współrzędne wektora $\vec{AD}$: $$ \begin{aligned} \vec{AD} &= [x_D - x_A, y_D - y_A] \\[8pt] &= [-5 - (-4), 8 - 1] \\[8pt] &= [-1, 7] \end{aligned} $$ Wektor $\vec{DC}$ wyraża się jako: $$ \vec{DC} = [x_C - x_D, y_C - y_D] = [x_C - (-5), y_C - 8] = [x_C + 5, y_C - 8] $$ Przyrównujemy współrzędne obu wektorów: $$ \begin{cases} x_C + 5 = -1 \\[6pt] y_C - 8 = 7 \end{cases} \implies \begin{cases} x_C = -6 \\[6pt] y_C = 15 \end{cases} $$ Obie metody dają identyczny wynik: $C(-6, 15)$.
Podsumowanie i rysunek wynikowy:
Wszystkie wierzchołki trójkąta $ABC$ oraz środkowa $BD$ zostały jednoznacznie wyznaczone. Odcinki $AD$ i $DC$ mają równe długości: $$ |AD| = |DC| = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} $$

Odpowiedź:
Długość środkowej: $|BD| = \sqrt{58}$

Współrzędne wierzchołka: $C(-6, 15)$

Zadanie 2 (4 pkt)

Wykres funkcji $f(x) = \sqrt{x}$ przekształcono przez symetrię środkową względem punktu $(0, 0)$, a następnie otrzymany wykres przesunięto o wektor $[2, 5]$ i otrzymano wykres funkcji $g(x)$. Podaj dziedziny funkcji $f(x)$ i $g(x)$, napisz wzór funkcji $g(x)$.

Wskazówki:

Wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym musi być nieujemne (większe bądź równe zero), co pozwala wyznaczyć dziedzinę funkcji pierwiastkowej.
Symetria środkowa wykresu funkcji $y = f(x)$ względem początku układu współrzędnych $(0, 0)$ przekształca wzór funkcji w postać $y = -f(-x)$.
Przesunięcie równoległe wykresu funkcji o wektor $\vec{u} = [p, q]$ polega na zastąpieniu zmiennej $x$ wyrażeniem $(x - p)$ oraz dodaniu do całej wartości funkcji liczby $q$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie dziedziny funkcji wyjściowej $f(x) = \sqrt{x}$:
W zbiorze liczb rzeczywistych pierwiastek stopnia parzystego istnieje wyłącznie dla liczb nieujemnych. Wymagamy zatem: $$x \ge 0$$ Stąd dziedzina funkcji $f(x)$ wynosi: $$D_f = \langle 0, +\infty)$$
Przekształcenie wykresu przez symetrię środkową względem punktu $(0, 0)$:
Symetria środkowa względem początku układu współrzędnych $S_{(0,0)}$ przypisuje każdemu punktowi $(x, y)$ punkt $(-x, -y)$. Dla funkcji oznacza to nałożenie dwóch zmian:
• zmianę znaku argumentu: $x \to -x$,
• zmianę znaku wartości funkcji: $y \to -y$.

Otrzymujemy funkcję pomocniczą $h(x)$: $$\begin{aligned} h(x) &= -f(-x) \\[8pt] &= -\sqrt{-x} \end{aligned}$$ Dziedziną funkcji po symetrii środkowej jest zbiór argumentów spełniających warunek $-x \ge 0$, czyli $x \le 0$ ($D_h = (-\infty, 0\rangle$).
Przesunięcie otrzymanego wykresu o wektor $\vec{u} = [2, 5]$ i wyznaczenie wzoru funkcji $g(x)$:
Wektor przesunięcia ma współrzędne $\vec{u} = [p, q] = [2, 5]$, co oznacza: $$\begin{aligned} p &= 2 \quad \text{(przesunięcie w prawo o } 2 \text{ jednostki)} \\[8pt] q &= 5 \quad \text{(przesunięcie w górę o } 5 \text{ jednostek)} \end{aligned}$$ Zgodnie z regułą translacji wykresu, we wzorze funkcji $h(x)$ w miejsce zmiennej $x$ podstawiamy $(x - 2)$, a do całości dodajemy $5$: $$\begin{aligned} g(x) &= h(x - 2) + 5 \\[8pt] &= -\sqrt{-(x - 2)} + 5 \\[8pt] &= -\sqrt{-x + 2} + 5 \\[8pt] &= -\sqrt{2 - x} + 5 \end{aligned}$$
Wyznaczenie dziedziny funkcji $g(x)$:
Dziedzinę funkcji $g(x)$ możemy wyznaczyć na dwa równoważne sposoby:

• Sposób I (algebraiczny – z warunku nieujemności wyrażenia podpierwiastkowego): $$\begin{aligned} 2 - x &\ge 0 \\[8pt] -x &\ge -2 \quad \Big/ \cdot (-1) \\[8pt] x &\le 2 \end{aligned}$$ Zatem: $$D_g = (-\infty, 2\rangle$$ • Sposób II (geometryczny – z przesunięcia dziedziny o wektor):
Dziedzina funkcji po symetrii środkowej to przedział $(-\infty, 0\rangle$. Przesunięcie o wektor $\vec{u} = [2, 5]$ przesuwa każdy punkt dziedziny wzdłuż osi $OX$ o $2$ jednostki w prawo: $$\begin{aligned} D_g &= (-\infty, 0 + 2\rangle \\[8pt] &= (-\infty, 2\rangle \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Dziedzina funkcji $f(x)$: $D_f = \langle 0, +\infty)$

Dziedzina funkcji $g(x)$: $D_g = (-\infty, 2\rangle$

Wzór funkcji $g(x)$: $g(x) = -\sqrt{2 - x} + 5$ lub $g(x) = -\sqrt{-(x - 2)} + 5$

Zadanie 3 (3 pkt)

Wykres funkcji $f(x) = 2^x - 5$, $x \in \mathbb{R}$ przekształcono przez:

a) symetrię względem osi $OX$,

b) symetrię względem osi $OY$,

c) symetrię względem punktu $(0, 0)$.

Podaj wzory funkcji, które otrzymano w każdym przypadku.

Wskazówki:

Symetria osiowa względem osi $OX$ zmienia znak wartości funkcji na przeciwny: $y = -f(x)$.
Symetria osiowa względem osi $OY$ zmienia znak argumentu funkcji na przeciwny: $y = f(-x)$.
Symetria środkowa względem początku układu współrzędnych $(0, 0)$ zmienia jednocześnie znak wartości oraz argumentu na przeciwny: $y = -f(-x)$.
Pamiętaj o własności potęg o wykładniku ujemnym: $a^{-x} = \left(\dfrac{1}{a}\right)^x$, skąd $2^{-x} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Przekształcenie przez symetrię względem osi $OX$:
Wyjściowa funkcja ma wzór: $$f(x) = 2^x - 5$$ W symetrii osiowej względem osi $OX$ każdy punkt wykresu $(x, y)$ przechodzi na punkt $(x, -y)$. Oznacza to, że wzór otrzymanej funkcji przyjmuje postać $y = -f(x)$.

Wstawiamy wzór funkcji $f(x)$ i zmieniamy znak każdego wyrazu w nawiasie na przeciwny: $$\begin{aligned} y &= -f(x) \\[8pt] &= -(2^x - 5) \\[8pt] &= -2^x + 5 \end{aligned}$$ Otrzymany wzór możemy również zapisać w postaci $y = 5 - 2^x$.
Podpunkt b) Przekształcenie przez symetrię względem osi $OY$:
Wyjściowa funkcja ma wzór: $$f(x) = 2^x - 5$$ W symetrii osiowej względem osi $OY$ każdy punkt wykresu $(x, y)$ przechodzi na punkt $(-x, y)$. Wzór otrzymanej funkcji ma zatem postać $y = f(-x)$.

Zastępujemy zmienną $x$ wyrażeniem $-x$: $$\begin{aligned} y &= f(-x) \\[8pt] &= 2^{-x} - 5 \end{aligned}$$ Korzystając z własności potęg o wykładniku ujemnym: $$\begin{aligned} 2^{-x} &= \left(2^{-1}\right)^x = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x \end{aligned}$$ Wzór otrzymanej funkcji możemy więc równoważnie zapisać w postaci: $$\begin{aligned} y &= \left(\dfrac{1}{2}\right)^x - 5 \end{aligned}$$
Podpunkt c) Przekształcenie przez symetrię względem punktu $(0, 0)$:
Wyjściowa funkcja ma wzór: $$f(x) = 2^x - 5$$ Symetria środkowa względem początku układu współrzędnych $(0, 0)$ jest złożeniem symetrii względem osi $OX$ oraz symetrii względem osi $OY$. Każdy punkt $(x, y)$ przechodzi na punkt $(-x, -y)$, co daje wzór funkcji w postaci $y = -f(-x)$.

Zmieniamy znak argumentu na przeciwny oraz zmieniamy znak całej wartości funkcji: $$\begin{aligned} y &= -f(-x) \\[8pt] &= -(2^{-x} - 5) \\[8pt] &= -2^{-x} + 5 \end{aligned}$$ Przekształcając potęgę o wykładniku ujemnym $2^{-x} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$, otrzymujemy ostateczną postać: $$\begin{aligned} y &= -\left(\dfrac{1}{2}\right)^x + 5 \end{aligned}$$ Możemy go również zapisać w postaci $y = 5 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ lub $y = 5 - 2^{-x}$.

Odpowiedź:
a) $y = -2^x + 5$ (lub $y = 5 - 2^x$)

b) $y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x - 5$ (lub $y = 2^{-x} - 5$)

c) $y = -\left(\dfrac{1}{2}\right)^x + 5$ (lub $y = 5 - 2^{-x}$)

Zadanie 4 (3 pkt)

Wykres funkcji $f(x) = x^2 + 3$, $x \in \mathbb{R}$ przesunięto o wektor $\vec{v}$ i otrzymano wykres funkcji $h(x) = x^2 - 4x + 1$, $x \in \mathbb{R}$. Podaj współrzędne wektora $\vec{v}$.

Wskazówki:

Przesunięcie równoległe paraboli o wektor przesuwa każdy jej punkt, w tym wierzchołek, dokładnie o ten sam wektor.
Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli wyjściowej $W_1$ oraz wierzchołka paraboli wynikowej $W_2$, a następnie oblicz współrzędne wektora $\vec{v} = \vec{W_1 W_2}$.
Zadanie można również rozwiązać algebraicznie, korzystając ze wzoru na przesunięcie wykresu funkcji o wektor $\vec{v} = [p, q]$: $y = f(x - p) + q$ i przyrównując współczynniki obu trójmianów.

Rozwiązanie krok po kroku:

Analiza funkcji wyjściowej i sporządzenie wykresu pomocniczego:
Dana jest funkcja wyjściowa: $$f(x) = x^2 + 3$$ Jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w górę, powstała przez przesunięcie paraboli $y = x^2$ o $3$ jednostki w górę wzdłuż osi $OY$. Wierzchołek paraboli $f(x)$ znajduje się w punkcie: $$W_1 = (0, 3)$$
Sposób I – Wyznaczenie wektora z przesunięcia wierzchołków parabol:
Wykres funkcji wyjściowej $f(x) = x^2 + 3$ ma wierzchołek w punkcie $W_1 = (0, 3)$.

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka $W_2 = (p_2, q_2)$ funkcji docelowej: $$h(x) = x^2 - 4x + 1$$ Odczytujemy współczynniki trójmianu: $$a = 1, \quad b = -4, \quad c = 1$$ Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka $p_2$: $$\begin{aligned} p_2 &= -\dfrac{b}{2a} \\[8pt] &= -\dfrac{-4}{2 \cdot 1} \\[8pt] &= 2 \end{aligned}$$ Druga współrzędna $q_2$ to wartość funkcji $h(x)$ dla argumentu $x = p_2 = 2$: $$\begin{aligned} q_2 &= h(2) \\[8pt] &= 2^2 - 4 \cdot 2 + 1 \\[8pt] &= 4 - 8 + 1 \\[8pt] &= -3 \end{aligned}$$ Zatem wierzchołek paraboli docelowej ma współrzędne: $$W_2 = (2, -3)$$ Wektor $\vec{v} = [v_x, v_y]$ przesuwa punkt $W_1$ do punktu $W_2$, czyli jest wektorem $\vec{W_1 W_2}$: $$\vec{v} = [x_{W_2} - x_{W_1}, \ y_{W_2} - y_{W_1}]$$ $$\begin{aligned} v_x &= 2 - 0 = 2 \\[8pt] v_y &= -3 - 3 = -6 \end{aligned}$$ Szukany wektor ma postać: $$\vec{v} = [2, -6]$$
Sposób II – Wyznaczenie wektora z definicji przesunięcia wykresu funkcji:
Niech współrzędne szukanego wektora wynoszą: $$\vec{v} = [p, q]$$ Zgodnie z twierdzeniem o przesunięciu wykresu funkcji, po przesunięciu wykresu $y = f(x)$ o wektor $\vec{v} = [p, q]$ otrzymujemy funkcję: $$g(x) = f(x - p) + q$$ Wstawiamy wzór funkcji $f(x) = x^2 + 3$: $$\begin{aligned} g(x) &= (x - p)^2 + 3 + q \\[8pt] &= x^2 - 2px + p^2 + 3 + q \end{aligned}$$ Funkcja $g(x)$ musi być tożsama z funkcją $h(x) = x^2 - 4x + 1$: $$x^2 - 2px + (p^2 + 3 + q) = x^2 - 4x + 1$$ Porównujemy współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej $x$: $$\begin{aligned} -2p &= -4 \implies p = 2 \\[8pt] p^2 + 3 + q &= 1 \end{aligned}$$ Podstawiamy wyznaczone $p = 2$ do drugiego równania: $$\begin{aligned} 2^2 + 3 + q &= 1 \\[8pt] 4 + 3 + q &= 1 \\[8pt] 7 + q &= 1 \\[8pt] q &= 1 - 7 \\[8pt] q &= -6 \end{aligned}$$ Otrzymujemy identyczne współrzędne wektora: $$\vec{v} = [2, -6]$$
Interpretacja graficzna przesunięcia o wektor:
Wektor $\vec{v} = [2, -6]$ oznacza przesunięcie każdego punktu wykresu o $2$ jednostki w prawo wzdłuż osi $OX$ oraz o $6$ jednostek w dół wzdłuż osi $OY$.

Odpowiedź:
$\vec{v} = [2, -6]$

Zadanie 5 (3 pkt)

Wykres funkcji $g(x)$ jest obrazem wykresu funkcji liniowej $f(x) = 3x + 6$ w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych. Wykres funkcji $h(x)$ jest obrazem wykresu funkcji $f(x) = 3x + 6$ w przesunięciu o wektor $[4, 0]$. Uzasadnić, że $g(x) = h(x)$.

Wskazówki:

Symetria środkowa wykresu funkcji $y = f(x)$ względem początku układu współrzędnych $(0,0)$ przekształca dowolny punkt $(x, y)$ w punkt $(-x, -y)$, co odpowiada wzorowi $y = -f(-x)$.
Przesunięcie równoległe (translacja) wykresu funkcji $y = f(x)$ o wektor $\vec{v} = [p, q]$ daje wykres funkcji o wzorze $y = f(x - p) + q$. W zadaniu mamy wektor $[4, 0]$, czyli przesunięcie o $4$ jednostki w prawo wzdłuż osi $OX$.
Zadanie można rozwiązać na dwa sposoby: algebraicznie (porównując wyprowadzone wzory funkcji) oraz geometrycznie (analizując obrazy punktów charakterystycznych i równoległość prostych w układzie współrzędnych).

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Wyznaczenie wzoru funkcji $g(x)$ w symetrii względem początku układu współrzędnych:
Dana jest funkcja liniowa: $$ f(x) = 3x + 6 $$ W symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych $S(0,0)$ każdy punkt $(x, y)$ leżący na wykresie funkcji przechodzi w punkt $(-x, -y)$. Zatem funkcja $g(x)$ przyjmuje postać: $$ g(x) = -f(-x) $$ Wstawiamy $-x$ w miejsce zmiennej $x$ we wzorze funkcji $f(x)$: $$ \begin{aligned} f(-x) &= 3(-x) + 6 \\[8pt] &= -3x + 6 \end{aligned} $$ Następnie zmieniamy znak całego wyrażenia: $$ \begin{aligned} g(x) &= -(-3x + 6) \\[8pt] &= 3x - 6 \end{aligned} $$
Wyznaczenie wzoru funkcji $h(x)$ po przesunięciu o wektor $[4, 0]$:
Wykres funkcji $h(x)$ powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji $f(x)$ o wektor $\vec{v} = [p, q] = [4, 0]$. Zgodnie ze wzorem na translację wykresu funkcji: $$ h(x) = f(x - p) + q = f(x - 4) + 0 = f(x - 4) $$ Wstawiamy wyrażenie $x - 4$ w miejsce argumentu $x$ do wzoru funkcji $f(x)$: $$ \begin{aligned} h(x) &= 3(x - 4) + 6 \\[8pt] &= 3x - 12 + 6 \\[8pt] &= 3x - 6 \end{aligned} $$
Porównanie otrzymanych wzorów i wniosek analityczny:
Z przeprowadzonych obliczeń wynika, że: $$ g(x) = 3x - 6 \quad \text{oraz} \quad h(x) = 3x - 6 $$ Obie funkcje są określone na zbiorze liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ i dla każdego $x \in \mathbb{R}$ przyjmują dokładnie te same wartości: $$ g(x) = h(x) $$ co kończy uzasadnienie analityczne.
Sposób II – Interpretacja geometryczna w układzie współrzędnych:
Wykres funkcji $f(x) = 3x + 6$ jest prostą o współczynniku kierunkowym $a = 3$, która przecina osie układu w punktach: $$ (-2, 0) \quad \text{oraz} \quad (0, 6) $$
- Symetria środkowa względem punktu $(0,0)$: przekształca każdą prostą na prostą do niej równoległą (czyli o tym samym współczynniku kierunkowym $a = 3$). Punkt $(-2, 0)$ przechodzi na punkt $(2, 0)$, a punkt $(0, 6)$ na $(0, -6)$. Prosta $g(x)$ ma więc równanie $y = 3x - 6$.
- Przesunięcie o wektor $[4, 0]$: przesuwa prostą równolegle w prawo o $4$ jednostki (współczynnik kierunkowy pozostaje równy $a = 3$). Punkt $(-2, 0)$ przechodzi w punkt $(-2 + 4, 0) = (2, 0)$, a punkt $(0, 6)$ w punkt $(0 + 4, 6) = (4, 6)$. Prosta $h(x)$ ma współczynnik $3$ i przechodzi przez punkt $(2, 0)$, czyli jej równanie to $y - 0 = 3(x - 2) \implies y = 3x - 6$.
Oba przekształcenia prowadzą do prostych o identycznym współczynniku kierunkowym przechodzących przez ten sam punkt $(2, 0)$, zatem proste te pokrywają się:

Odpowiedź:
Wykazano tożsamość obu funkcji: $g(x) = -f(-x) = 3x - 6$ oraz $h(x) = f(x - 4) = 3x - 6$, zatem $g(x) = h(x)$.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

W trójkącie ABC mamy dane: $A(0, -1)$, $B(3, 2)$, $\vec{BD} = [-5, -2]$. Punkt D jest środkiem boku AC. Oblicz długość środkowej BD, współrzędne wierzchołka C.