Pole trójkąta, cz. 2 kartkówka LiczBit

15.5 Pole trójkąta, cz. 2

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Pole trójkąta wynosi $40\text{ cm}^2$. Oblicz obwód tego trójkąta, jeśli promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość $2\text{ cm}$.

Wskazówki:

Przypomnij sobie klasyczny wzór na pole trójkąta powiązany z promieniem okręgu wpisanego: $P = p \cdot r$, gdzie $p$ oznacza połowę obwodu trójkąta (tzw. półobwód).
Zauważ, że pełny obwód trójkąta $L$ jest dwukrotnością półobwodu ($L = 2p$).
Możesz także spojrzeć na trójkąt geometrycznie: łącząc środek okręgu wpisanego ze wszystkimi wierzchołkami, dzielisz go na trzy mniejsze trójkąty, których wysokościami są promienie $r$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza stanu wyjściowego:
Niech $a, b, c$ oznaczają długości boków dowolnego trójkąta, a $L = a + b + c$ jego obwód. W trójkąt ten wpisano okrąg o środku w punkcie $O$ i promieniu $r = 2\text{ cm}$. Pole powierzchni całego trójkąta wynosi $P = 40\text{ cm}^2$.
Sposób I – Wyznaczenie obwodu ze wzoru łączącego pole trójkąta z promieniem okręgu wpisanego:
W geometrii pole dowolnego trójkąta można wyrazić jako iloczyn jego półobwodu $p$ oraz promienia okręgu wpisanego $r$: $$P = p \cdot r$$ Półobwód $p$ to połowa sumy wszystkich trzech boków, czyli połowa obwodu $L$: $$p = \dfrac{a + b + c}{2} = \dfrac{L}{2}$$ Wstawiamy wyrażenie na półobwód do wzoru na pole trójkąta: $$\begin{aligned} P &= \dfrac{L}{2} \cdot r \\[8pt] P &= \dfrac{L \cdot r}{2} \end{aligned}$$ Podstawiamy dane z treści zadania, czyli pole $P = 40\text{ cm}^2$ oraz promień $r = 2\text{ cm}$: $$\begin{aligned} 40 &= \dfrac{L \cdot 2}{2} \\[8pt] 40 &= L \cdot 1 \\[8pt] L &= 40\text{ cm} \end{aligned}$$
Sposób II – Geometryczne wyprowadzenie zależności poprzez podział na trzy trójkąty:
Łącząc środek okręgu wpisanego $O$ z wierzchołkami $A, B, C$, dzielimy trójkąt na trzy mniejsze trójkąty: $\triangle ABO$, $\triangle BCO$ oraz $\triangle ACO$. W każdym z nich podstawa jest jednym z boków wyjściowego trójkąta, a wysokość opuszczona ze środka okręgu jest równa promieniowi $r$, gdyż promień poprowadzony do punktu styczności tworzy z bokiem kąt prosty. Pole całego trójkąta jest równe sumie pól tych trzech części: $$\begin{aligned} P &= P_{\triangle ABO} + P_{\triangle BCO} + P_{\triangle ACO} \\[8pt] P &= \dfrac{1}{2} c \cdot r + \dfrac{1}{2} a \cdot r + \dfrac{1}{2} b \cdot r \\[8pt] P &= \dfrac{1}{2} (a + b + c) \cdot r \\[8pt] P &= \dfrac{1}{2} L \cdot r \end{aligned}$$ Podstawiając $P = 40\text{ cm}^2$ oraz $r = 2\text{ cm}$: $$\begin{aligned} 40 &= \dfrac{1}{2} \cdot L \cdot 2 \\[8pt] 40 &= L \cdot 1 \\[8pt] L &= 40\text{ cm} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Obwód tego trójkąta wynosi $40\text{ cm}$.

Zadanie 2 (4 pkt)

W trójkącie $ABC$ kąty przy podstawie $AB$ mają miary: $|\angle A| = 30^\circ$ oraz $|\angle B| = 45^\circ$. Wysokość $CD$ poprowadzona z wierzchołka $C$ na podstawę $AB$ ma długość $6\text{ cm}$.

a) Oblicz pole trójkąta $ABC$.

b) Wyznacz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt z dokładnością do $0,1\text{ cm}$.

Wskazówki:

Wysokość $CD$ jest prostopadła do podstawy $AB$ i dzieli trójkąt $ABC$ na dwa trójkąty prostokątne: $\triangle ADC$ oraz $\triangle BDC$.
W trójkącie $\triangle ADC$ wykorzystaj funkcje trygonometryczne kąta $30^\circ$ (lub własności trójkąta $30^\circ-60^\circ-90^\circ$), aby wyznaczyć długości odcinków $|AD|$ oraz $|AC|$.
Trójkąt $\triangle BDC$ jest prostokątny i równoramienny (kąty $45^\circ, 45^\circ, 90^\circ$), skąd natychmiast wynika długość odcinka $|BD|$ oraz przeciwprostokątnej $|BC|$.
Podstawa trójkąta to suma odcinków $|AB| = |AD| + |BD|$. Pole trójkąta oblicz ze wzoru $P = \dfrac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |CD|$.
Promień okręgu wpisanego $r$ wyznacz ze wzoru wiążącego pole z połową obwodu: $P = p \cdot r \implies r = \dfrac{P}{p}$, gdzie $p = \dfrac{|AB| + |BC| + |AC|}{2}$. Na koniec podstaw przybliżenia pierwiastków: $\sqrt{3} \approx 1,732$ oraz $\sqrt{2} \approx 1,414$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza podziału trójkąta na dwa trójkąty prostokątne:
Wysokość $CD$ opuszczona na podstawę $AB$ tworzy z nią kąt prosty ($CD \perp AB$). Ponieważ kąty przy podstawie są ostre ($30^\circ$ oraz $45^\circ$), spodek wysokości $D$ leży wewnątrz odcinka $AB$. Dzieli on trójkąt $ABC$ na dwa trójkąty prostokątne: $\triangle ADC$ i $\triangle BDC$.
Podpunkt a) Wyznaczenie długości podstawy $AB$ oraz obliczenie pola trójkąta $ABC$:
Podstawa $AB$ składa się z sumy dwóch odcinków: $|AB| = |AD| + |BD|$. Wyznaczamy długości obu fragmentów:

W trójkącie prostokątnym $\triangle ADC$ ($|\angle CDA| = 90^\circ$, $|\angle CAD| = 30^\circ$) korzystamy z funkcji tangens: $$ \tan 30^\circ = \dfrac{|CD|}{|AD|} $$ $$ \begin{aligned} \dfrac{\sqrt{3}}{3} &= \dfrac{6}{|AD|} \\[8pt] |AD| &= \dfrac{6 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \dfrac{18}{\sqrt{3}} \\[8pt] |AD| &= \dfrac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}\text{ cm} \end{aligned} $$ W trójkącie prostokątnym $\triangle BDC$ ($|\angle CDB| = 90^\circ$, $|\angle CBD| = 45^\circ$) trójkąt jest równoramienny, ponieważ miara kąta $|\angle BCD| = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$: $$ |BD| = |CD| = 6\text{ cm} $$ Całkowita długość podstawy $|AB|$ wynosi zatem: $$ |AB| = |AD| + |BD| = 6\sqrt{3} + 6 = 6(\sqrt{3} + 1)\text{ cm} $$ Obliczamy pole trójkąta $ABC$: $$ \begin{aligned} P &= \dfrac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |CD| \\[8pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot 6(\sqrt{3} + 1) \cdot 6 \\[8pt] &= 3 \cdot 6(\sqrt{3} + 1) \\[8pt] &= 18(\sqrt{3} + 1) = 18\sqrt{3} + 18\text{ cm}^2 \end{aligned} $$
Podpunkt b) Wyznaczenie długości ramion trójkąta oraz połowy obwodu:
Aby wyznaczyć promień okręgu wpisanego, musimy znać długości wszystkich boków trójkąta:

W trójkącie $\triangle ADC$ wyznaczamy długość boku $|AC|$ za pomocą funkcji sinus kąta $30^\circ$: $$ \sin 30^\circ = \dfrac{|CD|}{|AC|} \implies \dfrac{1}{2} = \dfrac{6}{|AC|} \implies |AC| = 12\text{ cm} $$ W trójkącie $\triangle BDC$ wyznaczamy długość boku $|BC|$ z twierdzenia Pitagorasa (lub ze wzoru na przekątną kwadratu o boku $6$): $$ \begin{aligned} |BC|^2 &= |CD|^2 + |BD|^2 \\[8pt] |BC|^2 &= 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72 \\[8pt] |BC| &= \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\text{ cm} \end{aligned} $$ Obliczamy pełny obwód trójkąta $ABC$: $$ \begin{aligned} Obw &= |AB| + |BC| + |AC| \\[8pt] &= (6\sqrt{3} + 6) + 6\sqrt{2} + 12 \\[8pt] &= 6\sqrt{3} + 6\sqrt{2} + 18\text{ cm} \end{aligned} $$ Wyznaczamy połowę obwodu trójkąta $p = \dfrac{Obw}{2}$: $$ \begin{aligned} p &= \dfrac{6\sqrt{3} + 6\sqrt{2} + 18}{2} \\[8pt] &= 3\sqrt{3} + 3\sqrt{2} + 9 = 3(\sqrt{3} + \sqrt{2} + 3)\text{ cm} \end{aligned} $$
Podpunkt b) Wyznaczenie promienia okręgu wpisanego $r$ i zaokrąglenie do $0,1\text{ cm}$:
Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta z wykorzystaniem promienia okręgu wpisanego: $$ P = p \cdot r \implies r = \dfrac{P}{p} $$ Podstawiamy obliczone wartości pola $P$ oraz połowy obwodu $p$: $$ \begin{aligned} r &= \dfrac{18(\sqrt{3} + 1)}{3(\sqrt{3} + \sqrt{2} + 3)} \\[8pt] &= \dfrac{6(\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{3} + \sqrt{2} + 3} \end{aligned} $$

Podstawiamy wartości przybliżone pierwiastków $\sqrt{3} \approx 1,732$ oraz $\sqrt{2} \approx 1,414$: $$ \begin{aligned} r &\approx \dfrac{6 \cdot (1,732 + 1)}{1,732 + 1,414 + 3} \\[8pt] &= \dfrac{6 \cdot 2,732}{6,146} \\[8pt] &= \dfrac{16,392}{6,146} \approx 2,667\text{ cm} \end{aligned} $$ Zaokrąglając otrzymany wynik do jednego miejsca po przecinku (do $0,1\text{ cm}$), uzyskujemy: $$ r \approx 2,7\text{ cm} $$

Odpowiedź:
a) Pole trójkąta wynosi $P = 18(\sqrt{3} + 1)\text{ cm}^2 = (18\sqrt{3} + 18)\text{ cm}^2$.

b) Promień okręgu wpisanego wynosi w przybliżeniu $r \approx 2,7\text{ cm}$.

Zadanie 3 (4 pkt)

Pole trójkąta równoramiennego wynosi $108\text{ cm}^2$, a sinus kąta przy podstawie jest równy $0{,}6$. Oblicz:
a) obwód trójkąta,
b) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Wskazówki:

Wykorzystaj trójkąt prostokątny utworzony przez wysokość opuszczoną na podstawę, połowę podstawy oraz ramię trójkąta równoramiennego.
Oblicz cosinus kąta przy podstawie za pomocą jedynki trygonometrycznej, a następnie uzależnij wymiary trójkąta od jednej zmiennej i wyznacz ją z podanego pola powierzchni.
Promień okręgu wpisanego najwygodniej wyznaczyć ze związku pola z połową obwodu ($P = p \cdot r$) lub z podobieństwa trójkątów prostokątnych.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza zależności trygonometrycznych:
Niech $a$ oznacza długość podstawy trójkąta równoramiennego $ABC$, $b$ długość jego ramion ($|AC| = |BC| = b$), a $\alpha$ kąt przy podstawie. Wysokość $h = |CD|$ opuszczona z wierzchołka $C$ na podstawę dzieli ją na dwie równe części o długości $\dfrac{a}{2}$, tworząc dwa przystające trójkąty prostokątne $ADC$ i $BDC$.

Z definicji sinusa w trójkącie prostokątnym $ADC$: $$ \sin\alpha = \dfrac{h}{b} = 0{,}6 = \dfrac{3}{5} \implies h = \dfrac{3}{5}b $$ Ponieważ $\alpha$ jest kątem ostrym ($\alpha \in (0^\circ, 90^\circ)$), z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy $\cos\alpha$: $$ \begin{aligned} \cos\alpha &= \sqrt{1 - \sin^2\alpha} \\[8pt] &= \sqrt{1 - 0{,}6^2} = \sqrt{1 - 0{,}36} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8 = \dfrac{4}{5} \end{aligned} $$ Z definicji cosinusa w trójkącie $ADC$: $$ \begin{aligned} \cos\alpha &= \dfrac{\frac{a}{2}}{b} = \dfrac{a}{2b} = \dfrac{4}{5} \\[8pt] a &= 2b \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{5}b \end{aligned} $$ Wprowadzamy pomocniczą zmienną proporcjonalności $x > 0$, gdzie $b = 5x$: $$ b = 5x, \quad h = 3x, \quad a = 8x, \quad \dfrac{a}{2} = 4x $$
Wyznaczenie wymiarów trójkąta na podstawie pola powierzchni:
Wzór na pole trójkąta to $P = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h$. Podstawiamy wielkości uzależnione od $x$: $$ \begin{aligned} P &= \dfrac{1}{2} \cdot 8x \cdot 3x \\[8pt] &= 12x^2 \end{aligned} $$ Przyrównujemy otrzymane wyrażenie do wartości pola podanej w treści zadania ($P = 108\text{ cm}^2$): $$ \begin{aligned} 12x^2 &= 108 \\[8pt] x^2 &= \dfrac{108}{12} \\[8pt] x^2 &= 9 \implies x = 3\text{ cm} \end{aligned} $$ Obliczamy rzeczywiste długości boków oraz wysokość trójkąta: $$ \begin{aligned} a &= 8 \cdot 3 = 24\text{ cm} \\[8pt] b &= 5 \cdot 3 = 15\text{ cm} \\[8pt] h &= 3 \cdot 3 = 9\text{ cm} \end{aligned} $$
Podpunkt a) Obliczenie obwodu trójkąta:
Mając długość podstawy $a = 24\text{ cm}$ oraz dwóch jednakowych ramion $b = 15\text{ cm}$, sumujemy długości wszystkich boków trójkąta: $$ \begin{aligned} L &= a + 2b \\[8pt] &= 24 + 2 \cdot 15 \\[8pt] &= 24 + 30 = 54\text{ cm} \end{aligned} $$
Podpunkt b) Obliczenie promienia okręgu wpisanego w trójkąt:
Wyznaczamy promień okręgu wpisanego $r$. Możemy to zrobić na dwa sposoby:

Sposób I – Wykorzystanie wzoru na pole z połową obwodu:
Pole trójkąta powiązane jest z promieniem okręgu wpisanego wzorem $P = p \cdot r$, gdzie $p$ oznacza połowę obwodu trójkąta: $$ p = \dfrac{L}{2} = \dfrac{54}{2} = 27\text{ cm} $$ Przekształcamy wzór i obliczamy promień $r$: $$ \begin{aligned} 108 &= 27 \cdot r \\[8pt] r &= \dfrac{108}{27} = 4\text{ cm} \end{aligned} $$ Sposób II – Wykorzystanie podobieństwa trójkątów:
Środek okręgu wpisanego $O$ leży na wysokości $CD$. Niech punkt $E$ będzie punktem styczności okręgu z ramieniem $AC$. Promień $|OE| = r$ jest prostopadły do ramienia $AC$, a odległość środka okręgu od wierzchołka $C$ wynosi $|CO| = h - r = 9 - r$.
Trójkąt prostokątny $OEC$ jest podobny do trójkąta prostokątnego $ADC$ (cecha kąt-kąt, wspólny kąt przy wierzchołku $C$): $$ \begin{aligned} \dfrac{|OE|}{|CO|} &= \dfrac{|AD|}{|AC|} \\[8pt] \dfrac{r}{9 - r} &= \dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5} \\[8pt] 5r &= 4(9 - r) \\[8pt] 5r &= 36 - 4r \\[8pt] 9r &= 36 \implies r = 4\text{ cm} \end{aligned} $$

Odpowiedź:
a) $L = 54\text{ cm}$

b) $r = 4\text{ cm}$

Zadanie 4 (4 pkt)

Pole trójkąta równoramiennego wynosi $108\text{ cm}^2$. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy $3\text{ cm}$. Wiadomo, że ramię jest dłuższe od podstawy o $3\text{ cm}$.

a) Oblicz długości boków tego trójkąta.

b) Wykaż, że kąt $\alpha$ między ramionami tego trójkąta jest większy od $45^\circ$ i jednocześnie mniejszy od $60^\circ$.

Wskazówki:

Skorzystaj ze związku między polem trójkąta, jego obwodem oraz promieniem okręgu wpisanego: $P = p \cdot r$, gdzie $p$ oznacza połowę obwodu trójkąta.
Uzależnij długość ramienia od długości podstawy, zapisując równanie $b = a + 3$, a następnie wyznacz wymiary trójkąta z obliczonego obwodu.
W podpunkcie b) wyznacz cosinus kąta między ramionami za pomocą twierdzenia cosinusów (lub sinus kąta połówkowego w trójkącie prostokątnym) i porównaj otrzymaną wartość z wartościami funkcji dla kątów $45^\circ$ oraz $60^\circ$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza zależności wyjściowych:
Niech $a$ oznacza długość podstawy trójkąta równoramiennego $ABC$, a $b$ długość jego ramion ($|AC| = |BC| = b$). Z treści zadania wynika, że ramię jest o $3\text{ cm}$ dłuższe od podstawy: $$ b = a + 3 $$ Kąt przy wierzchołku $C$ (między ramionami) oznaczamy jako $\alpha$. W trójkąt wpisany jest okrąg o środku $O$ i promieniu $r = 3\text{ cm}$.
Podpunkt a) Obliczenie połowy obwodu oraz obwodu trójkąta:
Pole trójkąta $P$ wyraża się wzorem wiążącym połowę obwodu $p$ oraz promień okręgu wpisanego $r$: $$ P = p \cdot r $$ Podstawiamy dane liczbowe $P = 108\text{ cm}^2$ oraz $r = 3\text{ cm}$: $$ \begin{aligned} 108 &= p \cdot 3 \\[8pt] p &= \dfrac{108}{3} \\[8pt] p &= 36\text{ cm} \end{aligned} $$ Mając połowę obwodu $p = 36\text{ cm}$, wyznaczamy pełny obwód trójkąta $L$: $$ L = 2p = 2 \cdot 36 = 72\text{ cm} $$
Podpunkt a) Wyznaczenie długości boków trójkąta:
Obwód trójkąta równoramiennego to suma długości jego podstawy $a$ oraz dwóch jednakowych ramion $b$: $$ a + 2b = 72 $$ Podstawiamy relację $b = a + 3$ do równania obwodu: $$ \begin{aligned} a + 2(a + 3) &= 72 \\[8pt] a + 2a + 6 &= 72 \\[8pt] 3a + 6 &= 72 \\[8pt] 3a &= 72 - 6 \\[8pt] 3a &= 66 \\[8pt] a &= 22\text{ cm} \end{aligned} $$ Obliczamy długość ramienia $b$: $$ b = a + 3 = 22 + 3 = 25\text{ cm} $$ Długości boków trójkąta wynoszą zatem: podstawa $a = 22\text{ cm}$ oraz ramiona $b = 25\text{ cm}$.
Podpunkt b) Wykazanie nierówności $45^\circ < \alpha < 60^\circ$:
Zadanie można rozwiązać dwoma równorzędnymi sposobami:

Sposób I – Zastosowanie twierdzenia cosinusów:
W trójkącie o bokach $b = 25\text{ cm}$, $b = 25\text{ cm}$ oraz podstawie $a = 22\text{ cm}$ stosujemy twierdzenie cosinusów dla kąta $\alpha$ leżącego naprzeciwko podstawy: $$ a^2 = b^2 + b^2 - 2 \cdot b \cdot b \cdot \cos\alpha $$ Podstawiamy wartości liczbowe: $$ \begin{aligned} 22^2 &= 25^2 + 25^2 - 2 \cdot 25 \cdot 25 \cdot \cos\alpha \\[8pt] 484 &= 625 + 625 - 1250 \cdot \cos\alpha \\[8pt] 484 &= 1250 - 1250 \cdot \cos\alpha \\[8pt] 1250 \cdot \cos\alpha &= 1250 - 484 \\[8pt] 1250 \cdot \cos\alpha &= 766 \\[8pt] \cos\alpha &= \dfrac{766}{1250} = \dfrac{383}{625} = 0{,}6128 \end{aligned} $$ Przypominamy dokładne wartości funkcji cosinus dla kątów brzegowych $60^\circ$ oraz $45^\circ$: $$ \begin{aligned} \cos 60^\circ &= \dfrac{1}{2} = 0{,}5 \\[8pt] \cos 45^\circ &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx \dfrac{1{,}4142}{2} = 0{,}7071 \end{aligned} $$ Ponieważ zachodzi relacja porządkowa: $$ 0{,}5 < 0{,}6128 < 0{,}7071 \iff \cos 60^\circ < \cos\alpha < \cos 45^\circ $$ oraz funkcja cosinus jest ściśle malejąca w przedziale kątów ostrych $(0^\circ, 90^\circ)$, zmiana zwrotu nierówności prowadzi bezpośrednio do tezy: $$ 45^\circ < \alpha < 60^\circ $$
Sposób II – Wykorzystanie kąta połówkowego $\dfrac{\alpha}{2}$ w trójkącie prostokątnym:
Wysokość opuszczona z wierzchołka $C$ na podstawę dzieli kąt $\alpha$ na dwa równe kąty o mierze $\dfrac{\alpha}{2}$, a podstawę na dwa odcinki o długości $\dfrac{a}{2} = \dfrac{22}{2} = 11\text{ cm}$. Z definicji sinusa w trójkącie prostokątnym otrzymujemy: $$ \sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) = \dfrac{\frac{a}{2}}{b} = \dfrac{11}{25} = 0{,}44 $$ Wyznaczamy wartości sinusa dla połówek rozważanych kątów ($22{,}5^\circ$ oraz $30^\circ$): $$ \begin{aligned} \sin 30^\circ &= \dfrac{1}{2} = 0{,}5 \\[8pt] \sin 22{,}5^\circ &= \sqrt{\dfrac{1 - \cos 45^\circ}{2}} = \sqrt{\dfrac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \approx \dfrac{0{,}7654}{2} = 0{,}3827 \end{aligned} $$ Funkcja sinus jest ściśle rosnąca w przedziale $(0^\circ, 90^\circ)$. Ponieważ: $$ 0{,}3827 < 0{,}44 < 0{,}5 \iff \sin 22{,}5^\circ < \sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) < \sin 30^\circ $$ wnioskujemy, że: $$ \begin{aligned} 22{,}5^\circ &< \dfrac{\alpha}{2} < 30^\circ \quad \Big/ \cdot 2 \\[8pt] 45^\circ &< \alpha < 60^\circ \end{aligned} $$ co stanowi drugie niezależne wykazanie prawdziwości twierdzenia.

Odpowiedź:
a) Podstawa: $a = 22\text{ cm}$, ramiona: $b = 25\text{ cm}$

b) Wykazano, że $45^\circ < \alpha < 60^\circ$

Zadanie 5 (3 pkt)

Dwa boki trójkąta ostrokątnego mają długość $10\text{ cm}$ i $17\text{ cm}$, a jego pole wynosi $36\text{ cm}^2$. Oblicz:

a) sinus kąta między tymi bokami,

b) długość trzeciego boku trójkąta,

c) promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Wskazówki:

Skorzystaj z trygonometrycznego wzoru na pole trójkąta: $P = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma$, aby wyznaczyć sinus kąta zawartego między danymi bokami.
Ponieważ trójkąt jest ostrokątny, kąt $\gamma$ jest ostry ($\cos\gamma > 0$). Wyznacz $\cos\gamma$ z jedynki trygonometrycznej, a następnie oblicz trzeci bok za pomocą twierdzenia cosinusów.
Promień okręgu opisanego na trójkącie możesz obliczyć z twierdzenia sinusów ($\dfrac{c}{\sin\gamma} = 2R$) lub ze wzoru wiążącego pole z iloczynem boków ($P = \dfrac{abc}{4R}$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rysunek pomocniczy i obliczenie sinusa kąta między bokami:
Oznaczmy dane boki trójkąta jako $a = 10\text{ cm}$ oraz $b = 17\text{ cm}$, a kąt między nimi jako $\gamma$. Trzeci bok leżący naprzeciwko kąta $\gamma$ oznaczamy jako $c$.

Pole trójkąta o danych dwóch bokach i kącie między nimi wyraża się wzorem: $$ P = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma $$ Podstawiamy dane z treści zadania ($a = 10\text{ cm}$, $b = 17\text{ cm}$, $P = 36\text{ cm}^2$): $$ \begin{aligned} 36 &= \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 17 \cdot \sin\gamma \\[8pt] 36 &= 5 \cdot 17 \cdot \sin\gamma \\[8pt] 36 &= 85 \cdot \sin\gamma \\[8pt] \sin\gamma &= \dfrac{36}{85} \end{aligned} $$
Podpunkt b) Wyznaczenie długości trzeciego boku trójkąta:
Aby obliczyć długość trzeciego boku $c$, stosujemy twierdzenie cosinusów. Z treści zadania wynika, że rozpatrywany trójkąt jest ostrokątny, zatem kąt $\gamma$ jest ostry ($\gamma \in (0^\circ, 90^\circ)$), co oznacza, że $\cos\gamma > 0$.
Wyznaczamy wartość $\cos\gamma$ z jedynki trygonometrycznej: $$ \begin{aligned} \cos\gamma &= \sqrt{1 - \sin^2\gamma} \\[8pt] &= \sqrt{1 - \left(\dfrac{36}{85}\right)^2} \\[8pt] &= \sqrt{1 - \dfrac{1296}{7225}} \\[8pt] &= \sqrt{\dfrac{7225 - 1296}{7225}} \\[8pt] &= \sqrt{\dfrac{5929}{7225}} = \dfrac{77}{85} \end{aligned} $$ Zapisujemy twierdzenie cosinusów dla boku $c$: $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma $$ Podstawiamy wyznaczone wartości: $$ \begin{aligned} c^2 &= 10^2 + 17^2 - 2 \cdot 10 \cdot 17 \cdot \dfrac{77}{85} \\[8pt] c^2 &= 100 + 289 - 340 \cdot \dfrac{77}{85} \\[8pt] c^2 &= 389 - 4 \cdot 77 \\[8pt] c^2 &= 389 - 308 \\[8pt] c^2 &= 81 \end{aligned} $$ Ponieważ długość boku musi być liczbą dodatnią: $$ c = \sqrt{81} = 9\text{ cm} $$
Podpunkt c) Obliczenie promienia okręgu opisanego na trójkącie:
Promień okręgu opisanego $R$ możemy wyznaczyć dwoma niezależnymi sposobami:

Sposób I – Wykorzystanie twierdzenia sinusów:
Zgodnie z twierdzeniem sinusów stosunek długości dowolnego boku trójkąta do sinusa kąta leżącego naprzeciwko tego boku jest równy podwojonemu promieniowi okręgu opisanego na tym trójkącie: $$ \dfrac{c}{\sin\gamma} = 2R $$ Podstawiamy $c = 9\text{ cm}$ oraz $\sin\gamma = \dfrac{36}{85}$: $$ \begin{aligned} 2R &= \dfrac{9}{\frac{36}{85}} \\[8pt] 2R &= 9 \cdot \dfrac{85}{36} \\[8pt] 2R &= \dfrac{85}{4} \\[8pt] R &= \dfrac{85}{8}\text{ cm} = 10\dfrac{5}{8}\text{ cm} = 10{,}625\text{ cm} \end{aligned} $$ Sposób II – Wykorzystanie wzoru na pole z promieniem okręgu opisanego:
Pole trójkąta powiązane jest z iloczynem długości wszystkich jego boków oraz promieniem okręgu opisanego wzorem: $$ P = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4R} $$ Przekształcamy wzór, aby wyznaczyć promień $R$: $$ R = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4P} $$ Podstawiamy $a = 10\text{ cm}$, $b = 17\text{ cm}$, $c = 9\text{ cm}$ oraz $P = 36\text{ cm}^2$: $$ \begin{aligned} R &= \dfrac{10 \cdot 17 \cdot 9}{4 \cdot 36} \\[8pt] R &= \dfrac{10 \cdot 17}{4 \cdot 4} \\[8pt] R &= \dfrac{170}{16} = \dfrac{85}{8}\text{ cm} = 10\dfrac{5}{8}\text{ cm} = 10{,}625\text{ cm} \end{aligned} $$

Odpowiedź:
a) $\sin\gamma = \dfrac{36}{85}$

b) $c = 9\text{ cm}$

c) $R = \dfrac{85}{8}\text{ cm} = 10\dfrac{5}{8}\text{ cm} = 10{,}625\text{ cm}$

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Promień okręgu wpisanego w trójkąt jest równy $5 \text{ cm}$, a pole tego trójkąta wynosi $120 \text{ cm}^{2}$. Oblicz obwód tego trójkąta.