Pole trójkąta, cz. 2 kartkówka 2 LiczBit

15.5 Pole trójkąta, cz. 2

Kartkówka 2

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Pole trójkąta wynosi $24\text{ cm}^2$, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy $2\text{ cm}$. Wiedząc, że długości boków trójkąta są kolejnymi liczbami naturalnymi, wyznacz najdłuższą wysokość tego trójkąta.

Wskazówki:

Skorzystaj ze związku między polem trójkąta a promieniem okręgu wpisanego: $P = p \cdot r$, gdzie $p$ oznacza połowę obwodu trójkąta ($p = \dfrac{a + b + c}{2}$).
Zapisz długości boków trójkąta jako trzy kolejne liczby naturalne (np. $n - 1$, $n$, $n + 1$) i wyznacz je, przyrównując ich sumę do pełnego obwodu trójkąta.
Zauważ, że pole trójkąta można zapisać jako $P = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h$. Ponieważ pole jest stałe, najdłuższa wysokość trójkąta jest opuszczona na jego najkrótszy bok.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i wyznaczenie obwodu trójkąta z promienia okręgu wpisanego:
Wzór łączący pole dowolnego trójkąta $P$ z promieniem okręgu wpisanego $r$ ma postać: $$P = p \cdot r$$ gdzie $p = \dfrac{a + b + c}{2}$ to połowa obwodu trójkąta. Podstawiamy znane wartości z treści zadania ($P = 24\text{ cm}^2$ oraz $r = 2\text{ cm}$): $$\begin{aligned} 24 &= p \cdot 2 \\[8pt] p &= \dfrac{24}{2} \\[8pt] p &= 12\text{ cm} \end{aligned}$$ Mając połowę obwodu $p$, obliczamy pełny obwód trójkąta $L$: $$\begin{aligned} L &= 2 \cdot p \\[8pt] L &= 2 \cdot 12 = 24\text{ cm} \end{aligned}$$
Wyznaczenie długości poszczególnych boków trójkąta:
Długości boków trójkąta są kolejnymi liczbami naturalnymi. Możemy je zapisać za pomocą zmiennej naturalnej $n \ge 2$: $$a = n - 1, \quad b = n, \quad c = n + 1$$ Suma długości wszystkich boków stanowi obwód trójkąta $L = 24\text{ cm}$: $$\begin{aligned} (n - 1) + n + (n + 1) &= 24 \\[8pt] 3n &= 24 \\[8pt] n &= 8 \end{aligned}$$ Podstawiamy wartość $n = 8$, aby otrzymać konkretne długości boków: $$\begin{aligned} a &= 8 - 1 = 7\text{ cm} \\[8pt] b &= 8\text{ cm} \\[8pt] c &= 8 + 1 = 9\text{ cm} \end{aligned}$$ Boki trójkąta mają zatem długości równe $7\text{ cm}$, $8\text{ cm}$ oraz $9\text{ cm}$.
Obliczenie najdłuższej wysokości trójkąta i interpretacja graficzna:
Z podstawowego wzoru na pole trójkąta: $$P = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \dfrac{1}{2} \cdot b \cdot h_b = \dfrac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$$ wynika, że wysokość opuszczona na dany bok wynosi: $$h = \dfrac{2P}{\text{długość podstawy}}$$ Dla stałego pola $P$ wysokość jest odwrotnie proporcjonalna do długości boku, na który opada. Oznacza to, że najdłuższa wysokość ($h_{\max}$) przypada na najkrótszy bok trójkąta, czyli bok o długości $a = 7\text{ cm}$: $$\begin{aligned} P &= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h_{\max} \\[8pt] 24 &= \dfrac{1}{2} \cdot 7 \cdot h_{\max} \\[8pt] 48 &= 7 \cdot h_{\max} \\[8pt] h_{\max} &= \dfrac{48}{7} = 6\dfrac{6}{7}\text{ cm} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Najdłuższa wysokość tego trójkąta wynosi $\dfrac{48}{7}\text{ cm} = 6\dfrac{6}{7}\text{ cm}$.

Zadanie 2 (2 pkt)

Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość $10\text{ cm}$. Wiedząc, że pole tego trójkąta jest równe $60\text{ cm}^2$, oblicz:
a) długość ramienia,
b) promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Wskazówki:

Wysokość opuszczona na podstawę w trójkącie równoramiennym dzieli tę podstawę na dwie równe części i tworzy dwa przystające trójkąty prostokątne.
Ze wzoru na pole trójkąta $P = \dfrac{1}{2} a \cdot h$ wyznacz najpierw wysokość $h$, a następnie zastosuj twierdzenie Pitagorasa, aby obliczyć długość ramienia $b$.
Promień okręgu opisanego $R$ możesz wyznaczyć z zależności wiążącej pole trójkąta z długościami jego boków: $P = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4R}$ lub korzystając z twierdzenia sinusów: $\dfrac{b}{\sin \alpha} = 2R$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i wyznaczenie wysokości trójkąta $h$:
Niech $a = 10\text{ cm}$ oznacza długość podstawy trójkąta, a $b$ długość jego ramienia. Wysokość $h$ poprowadzona na podstawę dzieli ją na dwa równe odcinki o długości: $$ \dfrac{a}{2} = \dfrac{10}{2} = 5\text{ cm} $$ Wykorzystujemy wzór na pole trójkąta $P = \dfrac{1}{2}a \cdot h$ przy danym polu $P = 60\text{ cm}^2$: $$ \begin{aligned} 60 &= \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot h \\[8pt] 60 &= 5h \\[8pt] h &= 12\text{ cm} \end{aligned} $$
Podpunkt a) Obliczenie długości ramienia trójkąta $b$:
Wysokość $h = 12\text{ cm}$, połowa podstawy $\dfrac{a}{2} = 5\text{ cm}$ oraz ramię $b$ tworzą trójkąt prostokątny $ADC$. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy zależność: $$ \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2 = b^2 $$ Podstawiamy wyznaczone wartości liczbowe: $$ \begin{aligned} 5^2 + 12^2 &= b^2 \\[8pt] 25 + 144 &= b^2 \\[8pt] b^2 &= 169 \\[8pt] b &= \sqrt{169} \\[8pt] b &= 13\text{ cm} \quad (\text{ponieważ } b > 0) \end{aligned} $$ Długość ramienia trójkąta wynosi $13\text{ cm}$.
Podpunkt b) Obliczenie promienia okręgu opisanego na trójkącie $R$:
Promień okręgu opisanego możemy wyznaczyć dwoma niezależnymi sposobami.

Sposób I – Wykorzystanie wzoru na pole trójkąta z promieniem okręgu opisanego:
Pole trójkąta o bokach o długościach $a$, $b$, $c$ i promieniu okręgu opisanego $R$ wyraża się zależnością: $$ P = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4R} $$ Boki naszego trójkąta mają długości $a = 10\text{ cm}$, $b = 13\text{ cm}$ oraz $c = 13\text{ cm}$. Podstawiamy dane oraz pole $P = 60\text{ cm}^2$: $$ \begin{aligned} 60 &= \dfrac{10 \cdot 13 \cdot 13}{4R} \\[8pt] 60 &= \dfrac{1690}{4R} \\[8pt] 60 &= \dfrac{845}{2R} \\[8pt] 120R &= 845 \\[8pt] R &= \dfrac{845}{120} = \dfrac{169}{24}\text{ cm} = 7\dfrac{1}{24}\text{ cm} \end{aligned} $$
Sposób II – Zastosowanie twierdzenia sinusów:
Niech $\alpha$ oznacza miarę kąta przy podstawie trójkąta (kąt $CAB$). W trójkącie prostokątnym $ADC$ sinus tego kąta jest stosunkiem przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta (wysokości $h$) do przeciwprostokątnej (ramienia $b$): $$ \sin \alpha = \dfrac{h}{b} = \dfrac{12}{13} $$ Z twierdzenia sinusów dla trójkąta $ABC$ zachodzi równość: $$ \dfrac{b}{\sin \alpha} = 2R $$ Podstawiamy wartości $b = 13\text{ cm}$ oraz $\sin \alpha = \dfrac{12}{13}$: $$ \begin{aligned} 2R &= \dfrac{13}{\frac{12}{13}} \\[8pt] 2R &= 13 \cdot \dfrac{13}{12} \\[8pt] 2R &= \dfrac{169}{12} \\[8pt] R &= \dfrac{169}{24}\text{ cm} = 7\dfrac{1}{24}\text{ cm} \end{aligned} $$

Odpowiedź:
a) Długość ramienia wynosi $13\text{ cm}$.

b) Promień okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi $\dfrac{169}{24}\text{ cm} = 7\dfrac{1}{24}\text{ cm}$.

Zadanie 3 (2 pkt)

Dwa boki trójkąta mają długość $13\text{ cm}$ i $15\text{ cm}$, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy $8\dfrac{1}{8}\text{ cm}$. Wiedząc, że pole trójkąta jest równe $84\text{ cm}^2$, wyznacz:
a) długość trzeciego boku,
b) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Wskazówki:

W podpunkcie a) skorzystaj ze związku między polem trójkąta a promieniem okręgu na nim opisanego: $P = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4R}$ lub połącz wzór trygonometryczny na pole $P = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma$ z twierdzeniem sinusów ($\dfrac{c}{\sin\gamma} = 2R$).
W podpunkcie b) wykorzystaj zależność wiążącą pole trójkąta z promieniem okręgu wpisanego oraz połową jego obwodu: $P = p \cdot r$, gdzie $p = \dfrac{a + b + c}{2}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i zestawienie danych początkowych:
W trójkącie dane są dwa boki: $a = 13\text{ cm}$ oraz $b = 15\text{ cm}$. Promień okręgu opisanego wynosi $R = 8\dfrac{1}{8}\text{ cm} = \dfrac{65}{8}\text{ cm}$, a pole powierzchni to $P = 84\text{ cm}^2$. Trzeci, poszukiwany bok oznaczamy literą $c$.
Podpunkt a) Wyznaczenie długości trzeciego boku $c$:
Wartość boku $c$ możemy wyznaczyć na dwa niezależne sposoby:

Sposób I – Wykorzystanie wzoru na pole z promieniem okręgu opisanego:
Zależność między polem trójkąta a promieniem okręgu opisanego $R$ wyraża się wzorem: $$P = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4R}$$ Mnożymy obustronnie przez mianownik $4R$: $$4R \cdot P = a \cdot b \cdot c$$ Dzielimy obie strony równania przez iloczyn $a \cdot b$, wyznaczając bok $c$: $$c = \dfrac{4 \cdot P \cdot R}{a \cdot b}$$ Zapisujemy promień $R$ w postaci ułamka niewłaściwego: $$R = 8\dfrac{1}{8} = \dfrac{8 \cdot 8 + 1}{8} = \dfrac{65}{8}\text{ cm}$$ Wstawiamy wartości liczbowe do wzoru: $$\begin{aligned} c &= \dfrac{4 \cdot 84 \cdot \dfrac{65}{8}}{13 \cdot 15} \\[8pt] &= \dfrac{84 \cdot \dfrac{65}{2}}{195} \\[8pt] &= \dfrac{42 \cdot 65}{195} \end{aligned}$$ Zauważmy, że $195 = 3 \cdot 65$. Dzielimy licznik oraz mianownik przez $65$: $$\begin{aligned} c &= \dfrac{42}{3} \\[8pt] &= 14\text{ cm} \end{aligned}$$
Sposób II – Wykorzystanie wzoru trygonometrycznego na pole oraz twierdzenia sinusów:
Oznaczmy kąt leżący pomiędzy znanymi bokami $a$ i $b$ jako $\gamma$. Wzór na pole trójkąta przyjmuje postać: $$P = \dfrac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin\gamma$$ Podstawiamy dane i wyznaczamy wartość $\sin\gamma$: $$\begin{aligned} 84 &= \dfrac{1}{2} \cdot 13 \cdot 15 \cdot \sin\gamma \\[8pt] 84 &= \dfrac{195}{2} \cdot \sin\gamma \\[8pt] \sin\gamma &= \dfrac{84 \cdot 2}{195} = \dfrac{168}{195} \end{aligned}$$ Upraszczamy ułamek przez $3$: $$\sin\gamma = \dfrac{56}{65}$$ Z twierdzenia sinusów wynika, że stosunek długości boku leżącego naprzeciwko kąta $\gamma$ (czyli boku $c$) do sinusa tego kąta jest równy podwojonemu promieniowi okręgu opisanego ($2R$): $$\dfrac{c}{\sin\gamma} = 2R \implies c = 2R \cdot \sin\gamma$$ Podstawiamy $R = \dfrac{65}{8}\text{ cm}$ oraz $\sin\gamma = \dfrac{56}{65}$: $$\begin{aligned} c &= 2 \cdot \dfrac{65}{8} \cdot \dfrac{56}{65} \\[8pt] &= \dfrac{65}{4} \cdot \dfrac{56}{65} \\[8pt] &= \dfrac{56}{4} = 14\text{ cm} \end{aligned}$$ Długość trzeciego boku trójkąta wynosi $c = 14\text{ cm}$.
Podpunkt b) Wyznaczenie promienia okręgu wpisanego $r$:
Pole trójkąta wyraża się również jako iloczyn połowy jego obwodu $p$ oraz promienia okręgu wpisanego $r$: $$P = p \cdot r$$ gdzie połowa obwodu $p$ dana jest wzorem: $$p = \dfrac{a + b + c}{2}$$ Obliczamy wartość połowy obwodu dla boków $a = 13\text{ cm}$, $b = 15\text{ cm}$, $c = 14\text{ cm}$: $$\begin{aligned} p &= \dfrac{13 + 15 + 14}{2} \\[8pt] &= \dfrac{42}{2} = 21\text{ cm} \end{aligned}$$ Dzielimy wzór na pole przez $p$, aby obliczyć promień $r$: $$\begin{aligned} r &= \dfrac{P}{p} \\[8pt] r &= \dfrac{84}{21} = 4\text{ cm} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $c = 14\text{ cm}$

b) $r = 4\text{ cm}$

Zadanie 4 (3 pkt)

Boki trójkąta mają długość $13\text{ cm}$, $14\text{ cm}$, $15\text{ cm}$. Oblicz:
a) pole trójkąta,
b) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt,
c) promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Wskazówki:

Gdy znane są długości wszystkich trzech boków trójkąta, pole powierzchni najszybciej obliczysz, stosując wzór Herona, lub opuszczając wysokość na jeden z boków i wyznaczając jej długość z twierdzenia Pitagorasa.
Promień okręgu wpisanego $r$ wiąże się z polem trójkąta $P$ oraz jego połową obwodu $p$ prostą zależnością: $P = p \cdot r$.
Promień okręgu opisanego $R$ wyznaczysz bezpośrednio ze wzoru na pole trójkąta: $P = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4R}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rysunek pomocniczy i wyznaczenie pola trójkąta:
Rozważamy trójkąt o danych długościach boków $a = 13\text{ cm}$, $b = 14\text{ cm}$ oraz $c = 15\text{ cm}$.

Sposób I – Wykorzystanie wzoru Herona:
Obliczamy połowę obwodu trójkąta $p$: $$\begin{aligned} p &= \dfrac{a + b + c}{2} \\[8pt] &= \dfrac{13 + 14 + 15}{2} \\[8pt] &= \dfrac{42}{2} = 21\text{ cm} \end{aligned}$$ Obliczamy różnice między połową obwodu a poszczególnymi bokami: $$\begin{aligned} p - a &= 21 - 13 = 8\text{ cm} \\[8pt] p - b &= 21 - 14 = 7\text{ cm} \\[8pt] p - c &= 21 - 15 = 6\text{ cm} \end{aligned}$$ Podstawiamy wyznaczone wartości do wzoru Herona: $$\begin{aligned} P &= \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \\[8pt] &= \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} \\[8pt] &= \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 4) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} \\[8pt] &= \sqrt{3^2 \cdot 7^2 \cdot 2^2 \cdot 4} \\[8pt] &= 3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 2 = 84\text{ cm}^2 \end{aligned}$$
Sposób II – Obliczenie wysokości z twierdzenia Pitagorasa:
Opuszczamy wysokość $h$ z wierzchołka $C$ na podstawę o długości $14\text{ cm}$. Dzieli ona ten bok na dwa odcinki o długościach $x$ oraz $14 - x$. Zapisujemy układ równań z twierdzenia Pitagorasa dla obu powstałych trójkątów prostokątnych: $$\begin{aligned} h^2 &= 13^2 - x^2 \\[8pt] h^2 &= 15^2 - (14 - x)^2 \end{aligned}$$ Przyrównujemy prawe strony równań: $$\begin{aligned} 169 - x^2 &= 225 - (196 - 28x + x^2) \\[8pt] 169 - x^2 &= 29 + 28x - x^2 \\[8pt] 28x &= 140 \\[8pt] x &= 5\text{ cm} \end{aligned}$$ Obliczamy wysokość $h$: $$\begin{aligned} h &= \sqrt{13^2 - 5^2} \\[8pt] &= \sqrt{169 - 25} \\[8pt] &= \sqrt{144} = 12\text{ cm} \end{aligned}$$ Obliczamy pole trójkąta za pomocą klasycznego wzoru: $$P = \dfrac{1}{2} \cdot 14 \cdot 12 = 84\text{ cm}^2$$
Podpunkt b) Obliczenie promienia okręgu wpisanego w trójkąt:
Wyznaczamy promień okręgu wpisanego $r$ w trójkąt o polu $P = 84\text{ cm}^2$ i połowie obwodu $p = 21\text{ cm}$. Wykorzystujemy zależność między polem trójkąta a promieniem okręgu wpisanego: $$P = p \cdot r$$ Przekształcamy wzór, aby wyznaczyć $r$: $$\begin{aligned} r &= \dfrac{P}{p} \\[8pt] &= \dfrac{84}{21} \\[8pt] &= 4\text{ cm} \end{aligned}$$
Podpunkt c) Obliczenie promienia okręgu opisanego na trójkącie:
Wyznaczamy promień okręgu opisanego $R$ na trójkącie o bokach $a = 13\text{ cm}$, $b = 14\text{ cm}$, $c = 15\text{ cm}$ oraz polu $P = 84\text{ cm}^2$. Stosujemy wzór na pole trójkąta powiązany z promieniem okręgu opisanego: $$P = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4R}$$ Przekształcamy równanie, wyznaczając promień $R$: $$\begin{aligned} 4R \cdot P &= a \cdot b \cdot c \\[8pt] R &= \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4P} \end{aligned}$$ Wstawiamy wartości liczbowe i skracamy ułamek: $$\begin{aligned} R &= \dfrac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} \\[8pt] &= \dfrac{13 \cdot 1 \cdot 15}{4 \cdot 6} \\[8pt] &= \dfrac{13 \cdot 5}{4 \cdot 2} \\[8pt] &= \dfrac{65}{8}\text{ cm} = 8\dfrac{1}{8}\text{ cm} = 8{,}125\text{ cm} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $P = 84\text{ cm}^2$

b) $r = 4\text{ cm}$

c) $R = \dfrac{65}{8}\text{ cm} = 8\dfrac{1}{8}\text{ cm} = 8{,}125\text{ cm}$

Zadanie 5 (2 pkt)

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość $12\text{ cm}$ i $5\text{ cm}$. Przez wierzchołek kąta prostego poprowadzono prostą, która podzieliła ten trójkąt na dwa trójkąty o równych obwodach. Oblicz:

a) pola powstałych trójkątów,

b) stosunek promieni okręgów wpisanych w te trójkąty.

Wskazówki:

Wyznacz długość przeciwprostokątnej trójkąta za pomocą twierdzenia Pitagorasa.
Oznacz długość jednego z odcinków, na które prosta podzieliła przeciwprostokątną, jako niewiadomą $x$ i porównaj wyrażenia opisujące obwody obu powstałych trójkątów.
Zauważ, że oba trójkąty mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną, więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi długości ich podstaw.
Wykorzystaj wzór na pole trójkąta powiązany z promieniem okręgu wpisanego ($P = p \cdot r$, gdzie $p$ to połowa obwodu). Pamiętaj, że obwody obu powstałych trójkątów są równe.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i wyznaczenie długości przeciwprostokątnej trójkąta:
Niech dany będzie trójkąt prostokątny $ABC$ o kącie prostym przy wierzchołku $C$. Przyprostokątne mają długości $AC = 12\text{ cm}$ oraz $BC = 5\text{ cm}$.
Długość przeciwprostokątnej $AB$ wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa: $$\begin{aligned} AB^2 &= AC^2 + BC^2 \\[8pt] AB^2 &= 12^2 + 5^2 \\[8pt] AB^2 &= 144 + 25 \\[8pt] AB^2 &= 169 \\[8pt] AB &= \sqrt{169} = 13\text{ cm} \end{aligned}$$ Prosta poprowadzona z wierzchołka kąta prostego $C$ przecina przeciwprostokątną $AB$ w punkcie $D$. Odcinek $CD$ oznaczmy literą $d$, a długość odcinka $AD$ oznaczmy przez $x$. Wówczas odcinek $DB$ ma długość $13 - x$.
Wyznaczenie podziału przeciwprostokątnej z warunku równości obwodów:
Zapisujemy obwody dwóch powstałych trójkątów $\triangle ADC$ oraz $\triangle BDC$: $$\begin{aligned} L_1 &= AC + AD + CD = 12 + x + d \\[8pt] L_2 &= BC + BD + CD = 5 + (13 - x) + d = 18 - x + d \end{aligned}$$ Z treści zadania wiemy, że obwody obu trójkątów są równe ($L_1 = L_2$): $$\begin{aligned} 12 + x + d &= 18 - x + d \\[8pt] 12 + x &= 18 - x \\[8pt] 2x &= 18 - 12 \\[8pt] 2x &= 6 \\[8pt] x &= 3\text{ cm} \end{aligned}$$ Odcinek $AD$ ma zatem długość $3\text{ cm}$, natomiast odcinek $DB$ ma długość: $$DB = 13 - 3 = 10\text{ cm}$$
Podpunkt a) Obliczenie pól powstałych trójkątów:
Pole wyjściowego trójkąta prostokątnego $ABC$ wynosi: $$P_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30\text{ cm}^2$$ Trójkąty $\triangle ADC$ oraz $\triangle BDC$ mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka $C$ na prostą zawierającą bok $AB$. Stosunek ich pól jest więc równy stosunkowi długości ich podstaw: $$\dfrac{P_{\triangle ADC}}{P_{\triangle BDC}} = \dfrac{AD}{DB} = \dfrac{3}{10}$$ Ponieważ suma ich pól wynosi $30\text{ cm}^2$, otrzymujemy: $$\begin{aligned} P_{\triangle ADC} &= \dfrac{AD}{AB} \cdot P_{ABC} = \dfrac{3}{13} \cdot 30 = \dfrac{90}{13}\text{ cm}^2 = 6\dfrac{12}{13}\text{ cm}^2 \\[8pt] P_{\triangle BDC} &= \dfrac{DB}{AB} \cdot P_{ABC} = \dfrac{10}{13} \cdot 30 = \dfrac{300}{13}\text{ cm}^2 = 23\dfrac{1}{13}\text{ cm}^2 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Wyznaczenie stosunku promieni okręgów wpisanych w te trójkąty:
Pole dowolnego trójkąta można zapisać za pomocą promienia okręgu weń wpisanego $r$ oraz połowy jego obwodu $p = \dfrac{L}{2}$: $$P = p \cdot r = \dfrac{L}{2} \cdot r \implies r = \dfrac{2P}{L}$$ Niech $r_1$ będzie promieniem okręgu wpisanego w trójkąt $\triangle ADC$, a $r_2$ promieniem okręgu wpisanego w trójkąt $\triangle BDC$: $$r_1 = \dfrac{2P_{\triangle ADC}}{L_1}, \quad r_2 = \dfrac{2P_{\triangle BDC}}{L_2}$$ Z treści zadania wiemy, że obwody obu trójkątów są równe ($L_1 = L_2$). Stosunek promieni wynosi zatem: $$\begin{aligned} \dfrac{r_1}{r_2} &= \dfrac{\dfrac{2P_{\triangle ADC}}{L_1}}{\dfrac{2P_{\triangle BDC}}{L_2}} \\[8pt] &= \dfrac{P_{\triangle ADC}}{P_{\triangle BDC}} \cdot \dfrac{L_2}{L_1} \\[8pt] &= \dfrac{P_{\triangle ADC}}{P_{\triangle BDC}} \cdot 1 = \dfrac{P_{\triangle ADC}}{P_{\triangle BDC}} \end{aligned}$$ Stosunek promieni okręgów wpisanych jest więc dokładnie równy stosunkowi pól obu trójkątów: $$\dfrac{r_1}{r_2} = \dfrac{\dfrac{90}{13}}{\dfrac{300}{13}} = \dfrac{90}{300} = \dfrac{3}{10}$$ Stosunek większego promienia do mniejszego wynosi analogicznie $\dfrac{r_2}{r_1} = \dfrac{10}{3} = 3\dfrac{1}{3}$.

Odpowiedź:
a) $P_1 = \dfrac{90}{13}\text{ cm}^2 = 6\dfrac{12}{13}\text{ cm}^2$, $P_2 = \dfrac{300}{13}\text{ cm}^2 = 23\dfrac{1}{13}\text{ cm}^2$

b) $\dfrac{3}{10}$ (lub $\dfrac{10}{3}$)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Pole trójkąta wynosi $126 \text{ cm}^2$, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy $6 \text{ cm}$. Wiedząc, że długości boków trójkąta są kolejnymi liczbami parzystymi, wyznacz wysokość opuszczoną na bok o średniej długości.