Pole trójkąta, cz. 1 kartkówka LiczBit

15.4 Pole trójkąta, cz. 1

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Wyznacz wysokość trójkąta równobocznego, którego pole jest równe $9\sqrt{3}\text{ cm}^2$.

Wskazówki:

Skorzystaj ze wzorów na pole oraz wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$: $$ P = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}, \qquad h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} $$
Sposób I: Porównaj podane pole ze wzorem $P = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$, aby wyznaczyć długość boku $a$, a następnie oblicz wysokość $h$.
Sposób II: Wyznacz zależność wiążącą pole bezpośrednio z wysokością $h$ (podstawiając $a = \dfrac{2h}{\sqrt{3}}$ do wzoru na pole) i oblicz $h$ w jednym etapie.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i własności trójkąta równobocznego:
W trójkącie równobocznym wszystkie boki mają jednakową długość $a$, a wysokość $h$ opuszczona na podstawę dzieli ją na dwie równe części o długości $\dfrac{a}{2}$ i tworzy z nią kąt prosty.
Sposób I – Wyznaczenie długości boku trójkąta i obliczenie wysokości:
Pole trójkąta równobocznego o boku $a$ wyraża się wzorem: $$ P = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} $$ Wstawiamy podaną wartość pola $P = 9\sqrt{3}\text{ cm}^2$: $$ \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} $$ Dzielimy obie strony równania przez $\sqrt{3}$: $$ \begin{aligned} \dfrac{a^2}{4} &= 9 \\[8pt] a^2 &= 9 \cdot 4 \\[8pt] a^2 &= 36 \end{aligned} $$ Długość boku jest wartością dodatnią ($a > 0$), zatem: $$ a = \sqrt{36} = 6\text{ cm} $$ Mając wyznaczony bok $a = 6\text{ cm}$, obliczamy wysokość trójkąta równobocznego ze wzoru: $$ \begin{aligned} h &= \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \\[8pt] &= \dfrac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\text{ cm} \end{aligned} $$
Sposób II – Wyznaczenie wysokości bezpośrednio ze wzoru na pole uzależnionego od $h$:
Przekształcamy wzór na wysokość $h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, aby wyznaczyć bok $a$ w zależności od $h$: $$ a = \dfrac{2h}{\sqrt{3}} $$ Podstawiamy tę zależność do ogólnego wzoru na pole trójkąta $P = \dfrac{1}{2}a \cdot h$: $$ \begin{aligned} P &= \dfrac{1}{2} \cdot \left(\dfrac{2h}{\sqrt{3}}\right) \cdot h \\[8pt] &= \dfrac{h^2}{\sqrt{3}} = \dfrac{h^2\sqrt{3}}{3} \end{aligned} $$ Wstawiamy $P = 9\sqrt{3}$ do otrzymanego wzoru: $$ \dfrac{h^2\sqrt{3}}{3} = 9\sqrt{3} $$ Dzielimy obie strony przez $\sqrt{3}$ i mnożymy przez $3$: $$ \begin{aligned} \dfrac{h^2}{3} &= 9 \\[8pt] h^2 &= 27 \end{aligned} $$ Wyznaczamy dodatnią wartość wysokości $h$: $$ \begin{aligned} h &= \sqrt{27} \\[8pt] &= \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}\text{ cm} \end{aligned} $$

Odpowiedź:
$h = 3\sqrt{3}\text{ cm}$

Zadanie 2 (4 pkt)

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest o $6\text{ cm}$ dłuższy od promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Oblicz:

a) wysokość trójkąta

b) pole tego trójkąta.

Wskazówki:

W trójkącie równobocznym środki okręgów opisanego i wpisanego pokrywają się ze środkiem ciężkości trójkąta (punktem przecięcia wysokości).
Wysokość $h$ trójkąta równobocznego dzieli się w stosunku $2 : 1$, co daje zależności: $$ R = \dfrac{2}{3}h, \qquad r = \dfrac{1}{3}h $$
Różnica promieni wynosi zatem: $$ R - r = \dfrac{2}{3}h - \dfrac{1}{3}h = \dfrac{1}{3}h = r $$
Mając wyznaczoną wysokość $h$, bok $a$ trójkąta obliczamy ze wzoru $h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, a pole z zależności $P = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$ (lub bezpośrednio z wysokości: $P = \dfrac{h^2\sqrt{3}}{3}$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza relacji między promieniami a wysokością trójkąta równobocznego:
W trójkącie równobocznym wysokości są jednocześnie dwusiecznymi kątów i symetralnymi boków. Punkt ich przecięcia $O$ jest wspólnym środkiem okręgu opisanego (o promieniu $R$) oraz okręgu wpisanego (o promieniu $r$).

Wysokość trójkąta jest sumą długości obu promieni: $$ h = R + r $$
Podpunkt a) Obliczenie wysokości trójkąta:
Z treści zadania promień okręgu opisanego jest o $6\text{ cm}$ dłuższy od promienia okręgu wpisanego: $$ R - r = 6\text{ cm} $$ Wyrażamy promienie za pomocą wysokości $h$: $$ R = \dfrac{2}{3}h, \qquad r = \dfrac{1}{3}h $$ Wstawiamy te zależności do równania: $$ \begin{aligned} \dfrac{2}{3}h - \dfrac{1}{3}h &= 6 \\[8pt] \dfrac{1}{3}h &= 6 \\[8pt] h &= 6 \cdot 3 = 18\text{ cm} \end{aligned} $$ (Zauważmy również, że $r = 6\text{ cm}$ oraz $R = 2r = 12\text{ cm}$, skąd $h = R + r = 12 + 6 = 18\text{ cm}$).
Podpunkt b) Obliczenie pola trójkąta równobocznego:
Sposób I – Wyznaczenie długości boku $a$ i obliczenie pola:
Znając wysokość $h = 18\text{ cm}$, wyznaczamy długość boku $a$ ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego: $$ \begin{aligned} h &= \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \\[8pt] 18 &= \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \\[8pt] a\sqrt{3} &= 36 \\[8pt] a &= \dfrac{36}{\sqrt{3}} = \dfrac{36\sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3}\text{ cm} \end{aligned} $$ Obliczamy pole trójkąta ze wzoru: $$ \begin{aligned} P &= \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \\[8pt] &= \dfrac{(12\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \\[8pt] &= \dfrac{(144 \cdot 3) \cdot \sqrt{3}}{4} \\[8pt] &= \dfrac{432\sqrt{3}}{4} = 108\sqrt{3}\text{ cm}^2 \end{aligned} $$
Sposób II – Wyznaczenie pola bezpośrednio z wysokości $h$:
Pole trójkąta równobocznego można wyrazić bezpośrednio przez jego wysokość: $$ P = \dfrac{h^2\sqrt{3}}{3} $$ Podstawiając obliczoną wysokość $h = 18\text{ cm}$: $$ \begin{aligned} P &= \dfrac{18^2 \cdot \sqrt{3}}{3} \\[8pt] &= \dfrac{324\sqrt{3}}{3} = 108\sqrt{3}\text{ cm}^2 \end{aligned} $$

Odpowiedź:
a) $h = 18\text{ cm}$

b) $P = 108\sqrt{3}\text{ cm}^2$

Zadanie 3 (3 pkt)

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość $9\text{ cm}$ i $12\text{ cm}$. Oblicz odległość wierzchołka kąta prostego od przeciwprostokątnej.

Wskazówki:

Odległość punktu od prostej to długość odcinka prostopadłego łączącego ten punkt z prostą. W przypadku trójkąta prostokątnego jest to wysokość $h$ opuszczona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną $c$.
W pierwszej kolejności wyznacz długość przeciwprostokątnej $c$, korzystając z twierdzenia Pitagorasa: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.
Sposób I (metoda pól): Pole trójkąta prostokątnego można zapisać jako $P = \dfrac{1}{2}ab$ lub $P = \dfrac{1}{2}ch$. Porównanie tych wzorów prowadzi bezpośrednio do zależności $h = \dfrac{ab}{c}$.
Sposób II (trygonometria / podobieństwo): Wysokość $h$ tworzy mniejszy trójkąt prostokątny o wspólnym kącie ostrym z trójkątem wyjściowym, co pozwala wyznaczyć $h$ z definicji sinusa tego kąta.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i obliczenie długości przeciwprostokątnej z twierdzenia Pitagorasa:
W trójkącie prostokątnym $ABC$ kąt prosty znajduje się przy wierzchołku $C$. Przyprostokątne mają długości $a = |BC| = 12\text{ cm}$ oraz $b = |AC| = 9\text{ cm}$. Poszukiwaną odległością jest wysokość $h = |CD|$ opuszczona prostopadle na przeciwprostokątną $c = |AB|$.

Długość przeciwprostokątnej $c = |AB|$ obliczamy z twierdzenia Pitagorasa: $$ \begin{aligned} c^2 &= a^2 + b^2 \\[8pt] c^2 &= 12^2 + 9^2 \\[8pt] c^2 &= 144 + 81 \\[8pt] c^2 &= 225 \end{aligned} $$ Ponieważ długość odcinka jest wartością dodatnią ($c > 0$): $$ c = \sqrt{225} = 15\text{ cm} $$
Sposób I – Wyznaczenie odległości poprzez porównanie pól trójkąta:
Pole trójkąta prostokątnego można obliczyć, biorąc za podstawę i wysokość obie przyprostokątne: $$ \begin{aligned} P &= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \\[8pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 = 54\text{ cm}^2 \end{aligned} $$ To samo pole można zapisać, przyjmując za podstawę przeciwprostokątną $c$, a za wysokość odcinek $h$: $$ P = \dfrac{1}{2} \cdot c \cdot h $$ Przyrównujemy oba wyrażenia na pole: $$ \dfrac{1}{2} \cdot c \cdot h = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \implies c \cdot h = a \cdot b $$ Wyznaczamy wysokość $h$: $$ h = \dfrac{a \cdot b}{c} $$ Podstawiamy dane liczbowe: $$ \begin{aligned} h &= \dfrac{12 \cdot 9}{15} \\[8pt] &= \dfrac{108}{15} \\[8pt] &= \dfrac{36}{5} = 7\dfrac{1}{5}\text{ cm} = 7{,}2\text{ cm} \end{aligned} $$
Sposób II – Wyznaczenie odległości z wykorzystaniem trygonometrii:
Rozważmy kąt ostry przy wierzchołku $B$, oznaczany jako $\beta = \angle ABC$. W dużym trójkącie prostokątnym $ABC$ wartość sinusa tego kąta to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta do przeciwprostokątnej: $$ \sin \beta = \dfrac{|AC|}{|AB|} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5} $$ Rozpatrujemy mały trójkąt prostokątny $CDB$, w którym kąt przy wierzchołku $D$ jest prosty, a przeciwprostokątną jest odcinek $|BC| = 12\text{ cm}$. Sinus kąta $\beta$ wynosi w nim: $$ \sin \beta = \dfrac{h}{|BC|} = \dfrac{h}{12} $$ Przyrównujemy obie wartości sinusa: $$ \begin{aligned} \dfrac{h}{12} &= \dfrac{3}{5} \\[8pt] 5h &= 3 \cdot 12 \\[8pt] 5h &= 36 \\[8pt] h &= \dfrac{36}{5} = 7{,}2\text{ cm} \end{aligned} $$

Odpowiedź:
Odległość wierzchołka kąta prostego od przeciwprostokątnej wynosi $7{,}2\text{ cm}$ (czyli $7\dfrac{1}{5}\text{ cm}$).

Zadanie 4 (3 pkt)

W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego jest równa $6\text{ cm}$ i dzieli przeciwprostokątną na dwa odcinki, których długości pozostają w stosunku $1 : 4$. Oblicz pole tego trójkąta.

Wskazówki:

Skorzystaj z twierdzenia o wysokości w trójkącie prostokątnym opuszczonej na przeciwprostokątną: kwadrat wysokości jest równy iloczynowi długości odcinków, na które dzieli ona przeciwprostokątną, czyli $h^2 = x \cdot y$.
Oznacz długości odcinków przeciwprostokątnej jako $x$ oraz $4x$ zgodnie ze stosunkiem $1 : 4$.
Po wyznaczeniu $x$ oblicz długość całej przeciwprostokątnej $c = x + 4x = 5x$.
Pole trójkąta oblicz jako połowę iloczynu przeciwprostokątnej i opuszczonej na nią wysokości: $P = \dfrac{1}{2} c \cdot h$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza podziału przeciwprostokątnej:
Niech $ABC$ będzie trójkątem prostokątnym o kącie prostym przy wierzchołku $C$. Wysokość $h = |CD| = 6\text{ cm}$ opuszczona na przeciwprostokątną $AB$ dzieli ją w punkcie $D$ na dwa odcinki: $|AD| = x$ oraz $|DB| = y$. Ze stosunku $1 : 4$ wynika, że $y = 4x$.
Sposób I – Wykorzystanie twierdzenia o wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną:
Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona z wierzchołka kąta prostego jest średnią geometryczną odcinków, na które dzieli przeciwprostokątną: $$ h^2 = |AD| \cdot |DB| $$ Podstawiamy $h = 6\text{ cm}$, $|AD| = x$ oraz $|DB| = 4x$: $$ \begin{aligned} 6^2 &= x \cdot 4x \\[8pt] 36 &= 4x^2 \\[8pt] x^2 &= \dfrac{36}{4} \\[8pt] x^2 &= 9 \end{aligned} $$ Ponieważ długość odcinka musi być dodatnia ($x > 0$): $$ x = \sqrt{9} = 3\text{ cm} $$ Obliczamy długość drugiego odcinka oraz całej przeciwprostokątnej $c = |AB|$: $$ |DB| = 4x = 4 \cdot 3 = 12\text{ cm} $$ $$ c = |AD| + |DB| = 3 + 12 = 15\text{ cm} $$ Mając długość przeciwprostokątnej oraz opuszczonej na nią wysokości, obliczamy pole trójkąta: $$ \begin{aligned} P &= \dfrac{1}{2} \cdot c \cdot h \\[8pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 6 \\[8pt] &= 15 \cdot 3 = 45\text{ cm}^2 \end{aligned} $$
Sposób II – Obliczenie pól dwóch mniejszych trójkątów prostokątnych:
Wysokość $CD$ dzieli trójkąt $ABC$ na dwa trójkąty prostokątne: $ADC$ oraz $BDC$. Po wyznaczeniu długości odcinków podstawy ($x = 3\text{ cm}$ oraz $4x = 12\text{ cm}$), pole całego trójkąta jest sumą pól obu części: $$ \begin{aligned} P_{ADC} &= \dfrac{1}{2} \cdot |AD| \cdot h = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9\text{ cm}^2 \\[8pt] P_{BDC} &= \dfrac{1}{2} \cdot |DB| \cdot h = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 36\text{ cm}^2 \end{aligned} $$ Dodajemy pola obu trójkątów: $$ \begin{aligned} P &= P_{ADC} + P_{BDC} \\[8pt] &= 9 + 36 = 45\text{ cm}^2 \end{aligned} $$

Odpowiedź:
$P = 45\text{ cm}^2$

Zadanie 5 (3 pkt)

Pole trójkąta prostokątnego wynosi $30\text{ cm}^2$, a cosinus jednego z kątów ostrych jest równy $\dfrac{5}{13}$. Oblicz długości boków tego trójkąta.

Wskazówki:

Wykorzystaj definicję cosinusa w trójkącie prostokątnym jako stosunku długości przyprostokątnej przyległej do kąta do przeciwprostokątnej: $\cos\alpha = \dfrac{a}{c}$.
Wprowadź dodatni współczynnik proporcjonalności $x > 0$, zapisując boki w postaci $a = 5x$ oraz $c = 13x$.
Zastosuj twierdzenie Pitagorasa $a^2 + b^2 = c^2$, aby uzależnić długość drugiej przyprostokątnej $b$ od parametru $x$.
Ułóż równanie, podstawiając wyznaczone boki do wzoru na pole trójkąta prostokątnego $P = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i oznaczenie boków trójkąta:
Niech $a$ oraz $b$ oznaczają długości przyprostokątnych, natomiast $c$ będzie długością przeciwprostokątnej. Przyjmijmy, że kąt ostry $\alpha$ leży przy przyprostokątnej $a$. Z definicji cosinusa w trójkącie prostokątnym otrzymujemy: $$\cos \alpha = \dfrac{a}{c} = \dfrac{5}{13}$$
Wyznaczenie długości boków w zależności od parametru $x$:
Z proporcji $\dfrac{a}{c} = \dfrac{5}{13}$ wynika, że dla pewnej liczby rzeczywistej $x > 0$ możemy zapisać: $$\begin{aligned} a &= 5x \\[8pt] c &= 13x \end{aligned}$$ Brakującą przyprostokątną $b$ wyznaczamy za pomocą twierdzenia Pitagorasa: $$\begin{aligned} a^2 + b^2 &= c^2 \\[8pt] (5x)^2 + b^2 &= (13x)^2 \\[8pt] 25x^2 + b^2 &= 169x^2 \\[8pt] b^2 &= 169x^2 - 25x^2 \\[8pt] b^2 &= 144x^2 \end{aligned}$$ Ponieważ długość boku musi być wartością dodatnią ($b > 0$), po spierwiastkowaniu obu stron otrzymujemy: $$b = \sqrt{144x^2} = 12x$$
Obliczenie wartości parametru $x$ z pola trójkąta:
Wzór na pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $a$ i $b$ ma postać: $$P = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b$$ Podstawiamy zależności $a = 5x$ i $b = 12x$ oraz wartość pola $P = 30\text{ cm}^2$: $$\begin{aligned} \dfrac{1}{2} \cdot 5x \cdot 12x &= 30 \\[8pt] 30x^2 &= 30 \\[8pt] x^2 &= 1 \end{aligned}$$ Uwzględniając założenie o dodatniości długości boków ($x > 0$), wyznaczamy: $$x = 1$$
Wyznaczenie ostatecznych długości boków trójkąta:
Wstawiamy obliczoną wartość $x = 1$ do wyrażeń opisujących długości boków: $$\begin{aligned} a &= 5 \cdot 1 = 5\text{ cm} \\[8pt] b &= 12 \cdot 1 = 12\text{ cm} \\[8pt] c &= 13 \cdot 1 = 13\text{ cm} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Długości boków tego trójkąta wynoszą $5\text{ cm}$, $12\text{ cm}$ oraz $13\text{ cm}$.