Pole trójkąta, cz. 1 kartkówka 2 LiczBit

15.4 Pole trójkąta, cz. 1

Kartkówka 2

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

W trójkącie prostokątnym cosinus jednego z kątów ostrych jest równy $\dfrac{4}{5}$, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy $5\text{ cm}$. Oblicz pole tego trójkąta.

Wskazówki:

Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży dokładnie w środku przeciwprostokątnej, zatem jej długość jest równa podwojonemu promieniowi ($c = 2R$).
Wykorzystaj definicję cosinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jako stosunku długości przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej, aby wyznaczyć pierwszy z boków.
Drugą przyprostokątną możesz wyznaczyć na dwa sposoby: za pomocą twierdzenia Pitagorasa lub korzystając z jedynki trygonometrycznej i definicji sinusa.
Pole trójkąta prostokątnego obliczamy jako połowę iloczynu długości jego przyprostokątnych: $P = \dfrac{1}{2}ab$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i wyznaczenie długości przeciwprostokątnej $c$:
W trójkącie prostokątnym kąt prosty jest oparty na średnicy okręgu opisanego (twierdzenie o kącie wpisanym opartym na średnicy). Wobec tego przeciwprostokątna $c$ trójkąta jest równa średnicy tego okręgu: $$c = 2R$$ Podstawiając daną wartość promienia $R = 5\text{ cm}$: $$c = 2 \cdot 5\text{ cm} = 10\text{ cm}$$
Wyznaczenie długości przyprostokątnej $a$ przyległej do kąta $\alpha$:
Z definicji funkcji cosinus w trójkącie prostokątnym: $$\cos\alpha = \dfrac{a}{c}$$ Podstawiamy dane $\cos\alpha = \dfrac{4}{5}$ oraz obliczone $c = 10\text{ cm}$: $$\begin{aligned} \dfrac{a}{10} &= \dfrac{4}{5} \\[8pt] a &= 10 \cdot \dfrac{4}{5} \\[8pt] a &= 8\text{ cm} \end{aligned}$$
Wyznaczenie długości drugiej przyprostokątnej $b$:
Możemy to wykonać dwoma szkolnymi sposobami:

Sposób I – z twierdzenia Pitagorasa:
Suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej: $$\begin{aligned} a^2 + b^2 &= c^2 \\[8pt] 8^2 + b^2 &= 10^2 \\[8pt] 64 + b^2 &= 100 \\[8pt] b^2 &= 100 - 64 \\[8pt] b^2 &= 36 \end{aligned}$$ Ponieważ długość boku musi być liczbą dodatnią ($b > 0$): $$b = \sqrt{36} = 6\text{ cm}$$
Sposób II – z jedynki trygonometrycznej i definicji sinusa:
Korzystamy z tożsamości trygonometrycznej: $$\begin{aligned} \sin^2\alpha + \cos^2\alpha &= 1 \\[8pt] \sin^2\alpha + \left(\dfrac{4}{5}\right)^2 &= 1 \\[8pt] \sin^2\alpha + \dfrac{16}{25} &= 1 \\[8pt] \sin^2\alpha &= 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25} \end{aligned}$$ Kąt $\alpha$ jest kątem ostrym ($\alpha \in (0^\circ, 90^\circ)$), więc $\sin\alpha > 0$: $$\sin\alpha = \sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5}$$ Z definicji sinusa: $$\begin{aligned} \sin\alpha &= \dfrac{b}{c} \\[8pt] \dfrac{b}{10} &= \dfrac{3}{5} \\[8pt] b &= 10 \cdot \dfrac{3}{5} = 6\text{ cm} \end{aligned}$$
Obliczenie pola trójkąta prostokątnego i prezentacja na rysunku wynikowym:
Pole trójkąta prostokątnego wyraża się wzorem: $$\begin{aligned} P &= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \\[8pt] P &= \dfrac{1}{2} \cdot 8\text{ cm} \cdot 6\text{ cm} \\[8pt] P &= 24\text{ cm}^2 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Pole tego trójkąta jest równe $24\text{ cm}^2$.

Zadanie 2 (3 pkt)

W trójkącie równoramiennym długość podstawy wynosi $10\text{ cm}$, a wysokość poprowadzona na tę podstawę jest równa $12\text{ cm}$. Oblicz wysokość poprowadzoną na ramię trójkąta.

Wskazówki:

Wykorzystaj własność trójkąta równoramiennego: wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na dwie równe części.
Zastosuj twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym złożonym z połowy podstawy, wysokości i ramienia, aby wyznaczyć długość ramienia trójkąta.
Wyznacz szukaną wysokość, porównując pole trójkąta obliczone na dwa sposoby (z użyciem podstawy oraz z użyciem ramienia) lub stosując funkcje trygonometryczne.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza własności trójkąta:
Niech $a = 10\text{ cm}$ oznacza długość podstawy trójkąta równoramiennego, a $h_a = 12\text{ cm}$ wysokość opuszczoną na tę podstawę. W trójkącie równoramiennym wysokość $h_a$ dzieli podstawę na dwa równe odcinki o długości: $$\dfrac{a}{2} = \dfrac{10}{2} = 5\text{ cm}$$ Szukaną wysokość opuszczoną na ramię $b$ oznaczamy jako $h_b$.
Obliczenie długości ramienia trójkąta $b$:
Wysokość $h_a$, połowa podstawy $\dfrac{a}{2}$ oraz ramię $b$ tworzą trójkąt prostokątny. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa: $$\begin{aligned} \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h_a^2 &= b^2 \\[8pt] 5^2 + 12^2 &= b^2 \\[8pt] 25 + 144 &= b^2 \\[8pt] b^2 &= 169 \end{aligned}$$ Ponieważ długość boku musi być liczbą dodatnią ($b > 0$), otrzymujemy: $$b = \sqrt{169} = 13\text{ cm}$$
Wyznaczenie wysokości $h_b$ dwoma sposobami:
Sposób I – Porównanie wzorów na pole trójkąta:
Pole trójkąta wyrażone za pomocą podstawy $a$ i wysokości $h_a$ wynosi: $$\begin{aligned} P &= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \\[8pt] P &= \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \\[8pt] P &= 60\text{ cm}^2 \end{aligned}$$ To samo pole możemy zapisać, biorąc jako podstawę ramię $b$ oraz opuszczoną na nie wysokość $h_b$: $$P = \dfrac{1}{2} \cdot b \cdot h_b$$ Przyrównujemy oba wyrażenia: $$\begin{aligned} \dfrac{1}{2} \cdot 13 \cdot h_b &= 60 \\[8pt] 13 \cdot h_b &= 120 \\[8pt] h_b &= \dfrac{120}{13}\text{ cm} = 9\dfrac{3}{13}\text{ cm} \end{aligned}$$
Sposób II – Zastosowanie funkcji trygonometrycznych:
Niech $\alpha$ będzie kątem przy podstawie trójkąta równoramiennego. W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnej $h_a$ i przeciwprostokątnej $b$ sinus kąta $\alpha$ wynosi: $$\sin\alpha = \dfrac{h_a}{b} = \dfrac{12}{13}$$ Rozpatrując trójkąt prostokątny z wysokością $h_b$ poprowadzoną z wierzchołka podstawy na przeciwległe ramię, przeciwprostokątną jest podstawa $a = 10\text{ cm}$: $$\sin\alpha = \dfrac{h_b}{a}$$ Przyrównujemy obie wartości sinusa: $$\begin{aligned} \dfrac{h_b}{10} &= \dfrac{12}{13} \\[8pt] h_b &= 10 \cdot \dfrac{12}{13} \\[8pt] h_b &= \dfrac{120}{13}\text{ cm} = 9\dfrac{3}{13}\text{ cm} \end{aligned}$$
Zestawienie obliczonych wielkości na rysunku wynikowym:
Otrzymaliśmy komplet parametrów trójkąta: ramię o długości $13\text{ cm}$ oraz wysokość opuszczoną na ramię o długości $\dfrac{120}{13}\text{ cm}$.

Odpowiedź:
Wysokość poprowadzona na ramię trójkąta wynosi $\dfrac{120}{13}\text{ cm} = 9\dfrac{3}{13}\text{ cm}$.

Zadanie 3 (3 pkt)

W trójkącie równoramiennym $ABC$ stosunek długości podstawy $AB$ do ramienia $BC$ jest równy $6 : 5$. Wiedząc, że pole trójkąta jest równe $48$, oblicz:
a) długości boków trójkąta,
b) wysokość poprowadzoną z wierzchołka $A$.

Wskazówki:

Wykorzystaj dany stosunek boków i wprowadź współczynnik proporcjonalności $x > 0$, przyjmując długość podstawy jako $6x$ oraz ramion jako $5x$.
Zauważ, że wysokość opuszczona z wierzchołka $C$ na podstawę $AB$ dzieli ją na dwie równe części o długości $3x$.
Zastosuj twierdzenie Pitagorasa, aby wyznaczyć wysokość trójkąta opuszczoną na podstawę w zależności od $x$.
Porównaj pole wyrażone przez parametr $x$ z wartością podaną w treści zadania ($P = 48$), aby obliczyć $x$, a następnie boki trójkąta.
W podpunkcie b) oblicz szukaną wysokość opuszczoną na ramię, przyrównując dwa wzory na pole trójkąta lub stosując funkcje trygonometryczne.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rysunek pomocniczy i wyznaczenie wysokości opuszczonej na podstawę:
W trójkącie równoramiennym $ABC$ ramiona mają równe długości: $|AC| = |BC|$. Ze stosunku $\dfrac{|AB|}{|BC|} = \dfrac{6}{5}$ wynika, że dla pewnej liczby $x > 0$ możemy zapisać: $$\begin{aligned} |AB| &= 6x \\[8pt] |AC| &= |BC| = 5x \end{aligned}$$ Wysokość $h_c$ poprowadzona z wierzchołka $C$ na podstawę $AB$ dzieli ją na dwa równe odcinki o długości: $$|AD| = |DB| = \dfrac{6x}{2} = 3x$$

Stosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym $ADC$: $$\begin{aligned} |AD|^2 + h_c^2 &= |AC|^2 \\[8pt] (3x)^2 + h_c^2 &= (5x)^2 \\[8pt] 9x^2 + h_c^2 &= 25x^2 \\[8pt] h_c^2 &= 16x^2 \end{aligned}$$ Ponieważ wysokość musi być wielkością dodatnią ($h_c > 0$), otrzymujemy: $$h_c = \sqrt{16x^2} = 4x$$
Podpunkt a) Obliczenie parametru $x$ oraz długości boków trójkąta:
Wzór na pole trójkąta oparty na podstawie $AB$ i opuszczonej na nią wysokości $h_c$ ma postać: $$P = \dfrac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h_c$$ Podstawiamy zależności $|AB| = 6x$, $h_c = 4x$ oraz pole $P = 48$: $$\begin{aligned} \dfrac{1}{2} \cdot 6x \cdot 4x &= 48 \\[8pt] 12x^2 &= 48 \\[8pt] x^2 &= 4 \end{aligned}$$ Z racji tego, że $x > 0$, wynika stąd: $$x = 2$$ Obliczamy długości poszczególnych boków trójkąta: $$\begin{aligned} |AB| &= 6 \cdot 2 = 12 \\[8pt] |AC| &= 5 \cdot 2 = 10 \\[8pt] |BC| &= 5 \cdot 2 = 10 \end{aligned}$$ Zauważmy także, że wysokość opuszczona na podstawę ma długość: $$h_c = 4 \cdot 2 = 8$$
Podpunkt b) Wyznaczenie wysokości poprowadzonej z wierzchołka $A$ dwoma sposobami:
Oznaczmy przez $h_a$ wysokość poprowadzoną z wierzchołka $A$ na ramię $BC$.

Sposób I – Wykorzystanie pola trójkąta:
Pole trójkąta możemy wyrazić, przyjmując jako podstawę ramię $BC$ oraz opuszczoną na nie wysokość $h_a$: $$P = \dfrac{1}{2} \cdot |BC| \cdot h_a$$ Wstawiamy znane wartości $P = 48$ oraz $|BC| = 10$: $$\begin{aligned} 48 &= \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot h_a \\[8pt] 48 &= 5 \cdot h_a \\[8pt] h_a &= \dfrac{48}{5} = 9{,}6 \end{aligned}$$
Sposób II – Wykorzystanie funkcji trygonometrycznych:
Niech $\beta$ będzie kątem przy podstawie trójkąta równoramiennego ($\beta = \angle ABC$). W trójkącie prostokątnym $DBC$ sinus kąta $\beta$ wynosi: $$\sin \beta = \dfrac{h_c}{|BC|} = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}$$ Rozważmy teraz trójkąt prostokątny utworzony przez wysokość $h_a$, odcinek ramienia oraz podstawę $AB$ będącą przeciwprostokątną: $$\sin \beta = \dfrac{h_a}{|AB|}$$ Podstawiamy wartość sinusa oraz długość podstawy $|AB| = 12$: $$\begin{aligned} \dfrac{h_a}{12} &= \dfrac{4}{5} \\[8pt] h_a &= 12 \cdot \dfrac{4}{5} \\[8pt] h_a &= \dfrac{48}{5} = 9{,}6 \end{aligned}$$
Zestawienie wyników na rysunku wynikowym:
Wszystkie wyznaczone wielkości geometryczne trójkąta $ABC$ zostały naniesione na poniższy schemat.

Odpowiedź:
a) Długości boków trójkąta wynoszą: podstawa $|AB| = 12$, ramiona $|AC| = |BC| = 10$.

b) Wysokość poprowadzona z wierzchołka $A$ wynosi $\dfrac{48}{5} = 9{,}6$.

Zadanie 4 (3 pkt)

W trójkącie $ABC$ dane są: $|AC| = 3\text{ cm}$, $|BC| = \sqrt{13}\text{ cm}$ oraz $|\angle BAC| = 60^\circ$. Oblicz pole trójkąta $ABC$.

Wskazówki:

Zastosuj twierdzenie cosinusów dla boku leżącego naprzeciwko znanego kąta $60^\circ$ (czyli boku $BC$), aby wyznaczyć długość trzeciego boku $|AB|$.
Alternatywnie opuść wysokość z wierzchołka $C$ na prostą zawierającą bok $AB$, dzieląc trójkąt na dwa trójkąty prostokątne i korzystając z funkcji trygonometrycznych oraz twierdzenia Pitagorasa.
Mając wyznaczoną długość boku $|AB|$, oblicz pole trójkąta ze wzoru z sinusem kąta: $P = \dfrac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \sin 60^\circ$ lub ze wzoru klasycznego $P = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza danych wyjściowych:
W trójkącie $ABC$ znamy długości dwóch boków: $|AC| = 3\text{ cm}$, $|BC| = \sqrt{13}\text{ cm}$ oraz miarę kąta leżącego naprzeciwko boku $BC$: $|\angle BAC| = 60^\circ$. Aby wyznaczyć pole trójkąta, potrzebujemy długości boku $|AB|$ (oznaczmy go jako $c$) lub wysokości opuszczonej na ten bok.
Wyznaczenie długości boku $|AB|$ (dwoma sposobami):
Sposób I – Zastosowanie twierdzenia cosinusów:
Zapisujemy twierdzenie cosinusów dla boku $BC$ leżącego naprzeciwko kąta $60^\circ$: $$|BC|^2 = |AC|^2 + |AB|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |AB| \cdot \cos(\angle BAC)$$ Przyjmując oznaczenie $|AB| = c$ oraz pamiętając, że $\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$, podstawiamy dane do równania: $$\begin{aligned} (\sqrt{13})^2 &= 3^2 + c^2 - 2 \cdot 3 \cdot c \cdot \cos 60^\circ \\[8pt] 13 &= 9 + c^2 - 6c \cdot \dfrac{1}{2} \\[8pt] 13 &= 9 + c^2 - 3c \\[8pt] c^2 - 3c - 4 &= 0 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe: $$\begin{aligned} \Delta &= (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \\[8pt] \sqrt{\Delta} &= 5 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} c_1 &= \dfrac{3 - 5}{2} = -1 \quad (\text{odrzucamy, ponieważ długość boku } c > 0) \\[8pt] c_2 &= \dfrac{3 + 5}{2} = 4\text{ cm} \end{aligned}$$ Otrzymujemy długość boku $|AB| = 4\text{ cm}$.

Sposób II – Podział trójkąta za pomocą wysokości:
Poprowadźmy wysokość $CD$ z wierzchołka $C$ prostopadłą do podstawy $AB$ ($D \in AB$).
W trójkącie prostokątnym $ADC$ wyznaczamy długości przyprostokątnych: $$\begin{aligned} |CD| &= |AC| \cdot \sin 60^\circ = 3 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{ cm} \\[8pt] |AD| &= |AC| \cdot \cos 60^\circ = 3 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\text{ cm} \end{aligned}$$ W trójkącie prostokątnym $BDC$ stosujemy twierdzenie Pitagorasa, aby obliczyć długość odcinka $|BD|$: $$\begin{aligned} |BD|^2 + |CD|^2 &= |BC|^2 \\[8pt] |BD|^2 + \left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 &= (\sqrt{13})^2 \\[8pt] |BD|^2 + \dfrac{27}{4} &= 13 \\[8pt] |BD|^2 &= \dfrac{52}{4} - \dfrac{27}{4} = \dfrac{25}{4} \\[8pt] |BD| &= \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac{5}{2}\text{ cm} \end{aligned}$$ Długość całego boku $|AB|$ jest sumą długości odcinków $|AD|$ oraz $|BD|$: $$|AB| = |AD| + |BD| = \dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\text{ cm}$$
Obliczenie pola trójkąta $ABC$:
Mając długość boku $|AB| = 4\text{ cm}$, możemy obliczyć pole powierzchni trójkąta:

Ze wzoru na pole z sinusem kąta: $$P = \dfrac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \sin(\angle BAC)$$ Podstawiamy wyznaczone wartości: $$\begin{aligned} P &= \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \sin 60^\circ \\[8pt] P &= 6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[8pt] P &= 3\sqrt{3}\text{ cm}^2 \end{aligned}$$
Ze wzoru klasycznego (z wykorzystaniem wysokości $|CD|$): $$\begin{aligned} P &= \dfrac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |CD| \\[8pt] P &= \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot \dfrac{3\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\text{ cm}^2 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Pole trójkąta $ABC$ wynosi $3\sqrt{3}\text{ cm}^2$.

Zadanie 5 (3 pkt)

W trójkącie równoramiennym cosinus jednego z kątów jest równy $-0{,}8$. Wiedząc, że pole trójkąta jest równe $7{,}5\text{ cm}^2$, oblicz:
a) długości boków trójkąta,
b) sinus kąta przy podstawie.

Wskazówki:

Cosinus kąta ostrego jest dodatni, a cosinus kąta rozwartego ujemny. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie muszą być ostre, co oznacza, że kąt o cosinusie równym $-0{,}8$ to kąt leżący między ramionami trójkąta.
Wykorzystaj jedynkę trygonometryczną $\sin^2\gamma + \cos^2\gamma = 1$, aby wyznaczyć sinus tego kąta, a następnie zastosuj wzór na pole trójkąta $P = \dfrac{1}{2}a^2\sin\gamma$ w celu wyznaczenia długości ramion.
Długość podstawy obliczysz z twierdzenia cosinusów, natomiast sinus kąta przy podstawie najszybciej wyznaczysz z twierdzenia sinusów lub analizując trójkąt prostokątny utworzony przez wysokość opuszczoną na podstawę.

Rozwiązanie krok po kroku:

Analiza własności trójkąta i rysunek pomocniczy:
Suma miar kątów w trójkącie wynosi $180^\circ$. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają równe miary, dlatego muszą być kątami ostrymi (gdyby miały co najmniej $90^\circ$, ich suma wynosiłaby co najmniej $180^\circ$, co wyklucza istnienie trójkąta).

Z treści zadania wynika, że cosinus jednego z kątów jest ujemny: $$\cos\gamma = -0{,}8$$ W trójkącie funkcja cosinus przyjmuje wartości ujemne wyłącznie dla kątów rozwartych, czyli z przedziału $(90^\circ, 180^\circ)$. Wynika stąd jednoznacznie, że dany kąt $\gamma$ to kąt między ramionami trójkąta.

Wprowadzamy oznaczenia:
- $a$ – długość każdego z ramion trójkąta,
- $c$ – długość podstawy trójkąta,
- $\gamma$ – kąt rozwarty między ramionami ($\cos\gamma = -0{,}8$),
- $\alpha$ – kąt przy podstawie trójkąta,
- $P = 7{,}5\text{ cm}^2$ – pole trójkąta.
Podpunkt a) Wyznaczenie długości ramion $a$ z pola trójkąta:
Aby skorzystać ze wzoru na pole trójkąta z sinusem kąta między ramionami, obliczamy wartość $\sin\gamma$ z tożsamości trygonometrycznej: $$\sin^2\gamma + \cos^2\gamma = 1$$ Podstawiamy daną wartość $\cos\gamma = -0{,}8$: $$\begin{aligned} \sin^2\gamma + (-0{,}8)^2 &= 1 \\[8pt] \sin^2\gamma + 0{,}64 &= 1 \\[8pt] \sin^2\gamma &= 1 - 0{,}64 = 0{,}36 \end{aligned}$$ Kąt w trójkącie spełnia warunek $\gamma \in (0^\circ, 180^\circ)$, dlatego sinus kąta przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie: $$\sin\gamma = \sqrt{0{,}36} = 0{,}6$$ Stosujemy wzór na pole trójkąta: $$P = \dfrac{1}{2}a^2\sin\gamma$$ Podstawiamy dane $P = 7{,}5\text{ cm}^2$ oraz $\sin\gamma = 0{,}6$: $$\begin{aligned} 7{,}5 &= \dfrac{1}{2} \cdot a^2 \cdot 0{,}6 \\[8pt] 7{,}5 &= 0{,}3a^2 \\[8pt] a^2 &= \dfrac{7{,}5}{0{,}3} = 25 \\[8pt] a &= \sqrt{25} = 5\text{ cm} \end{aligned}$$ Długość każdego z ramion trójkąta wynosi $a = 5\text{ cm}$.
Podpunkt a) Wyznaczenie długości podstawy $c$ z twierdzenia cosinusów:
Znamy długości obu ramion $a = 5\text{ cm}$ oraz cosinus kąta między nimi $\cos\gamma = -0{,}8$. Zapisujemy twierdzenie cosinusów dla podstawy $c$: $$c^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos\gamma$$ Podstawiamy wyznaczone wartości: $$\begin{aligned} c^2 &= 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot (-0{,}8) \\[8pt] c^2 &= 25 + 25 - 50 \cdot (-0{,}8) \\[8pt] c^2 &= 50 + 40 = 90 \\[8pt] c &= \sqrt{90} = \sqrt{9 \cdot 10} = 3\sqrt{10}\text{ cm} \end{aligned}$$ Długości boków trójkąta to: ramiona po $5\text{ cm}$ oraz podstawa $3\sqrt{10}\text{ cm}$.
Podpunkt b) Wyznaczenie sinusa kąta przy podstawie trójkąta:
Wartość $\sin\alpha$ możemy obliczyć na dwa sposoby:

Sposób I – Wykorzystanie twierdzenia sinusów:
Z twierdzenia sinusów dla trójkąta zachodzi proporcja: $$\dfrac{a}{\sin\alpha} = \dfrac{c}{\sin\gamma}$$ Przekształcamy równanie, aby wyznaczyć $\sin\alpha$: $$\begin{aligned} c \cdot \sin\alpha &= a \cdot \sin\gamma \\[8pt] \sin\alpha &= \dfrac{a \cdot \sin\gamma}{c} \\[8pt] \sin\alpha &= \dfrac{5 \cdot 0{,}6}{3\sqrt{10}} = \dfrac{3}{3\sqrt{10}} = \dfrac{1}{\sqrt{10}} \\[8pt] \sin\alpha &= \dfrac{1 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \dfrac{\sqrt{10}}{10} \end{aligned}$$
Sposób II – Wykorzystanie wysokości trójkąta $h$:
Wysokość $h$ opuszczona na podstawę dzieli trójkąt równoramienny na dwa przystające trójkąty prostokątne oraz połowi podstawę $c$: $$\dfrac{c}{2} = \dfrac{3\sqrt{10}}{2}\text{ cm}$$ Ze wzoru na pole trójkąta $P = \dfrac{1}{2}c \cdot h$ wyznaczamy wysokość $h$: $$\begin{aligned} 7{,}5 &= \dfrac{1}{2} \cdot 3\sqrt{10} \cdot h \\[8pt] 7{,}5 &= \dfrac{3\sqrt{10}}{2} \cdot h \\[8pt] h &= \dfrac{7{,}5 \cdot 2}{3\sqrt{10}} = \dfrac{15}{3\sqrt{10}} = \dfrac{5}{\sqrt{10}} = \dfrac{\sqrt{10}}{2}\text{ cm} \end{aligned}$$ Z definicji sinusa w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnej $h$ i przeciwprostokątnej $a$: $$\sin\alpha = \dfrac{h}{a} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{10}}{2}}{5} = \dfrac{\sqrt{10}}{10}$$ Rysunek wynikowy przedstawia trójkąt z naniesioną wysokością oraz wszystkimi obliczonymi wymiarami:

Odpowiedź:
a) Długości boków trójkąta wynoszą $5\text{ cm}$, $5\text{ cm}$ oraz $3\sqrt{10}\text{ cm}$.

b) Sinus kąta przy podstawie wynosi $\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{10}}{10}$.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

W trójkącie prostokątnym cosinus jednego z kątów ostrych jest równy $\dfrac{15}{17}$, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy $8.5 \text{ cm}$. Oblicz pole tego trójkąta.