Pole koła, pole wycinka koła kartkówka LiczBit

15.7 Pole koła, pole wycinka koła

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Promień koła jest równy $r$. Kąt wycinka tego koła ma miarę $\alpha$. Oblicz pole wycinka, jeśli:

a) $r = 6\text{ cm}$, $\alpha = 40^\circ$

b) $r = 10\text{ cm}$, $\alpha = 72^\circ$

c) $r = 4\text{ cm}$, $\alpha = 135^\circ$

Wskazówki:

Pole całego koła o promieniu $r$ wyraża się wzorem $P = \pi r^2$.
Kąt pełny ma miarę $360^\circ$. Wycinek koła o kącie środkowym $\alpha$ stanowi ułamek $\dfrac{\alpha}{360^\circ}$ całego koła.
Wzór na pole wycinka koła ma postać: $P_w = \dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczenie pola wycinka dla $r = 6\text{ cm}$ oraz $\alpha = 40^\circ$:
Wychodzimy ze wzoru na pole wycinka koła o promieniu $r$ i kącie środkowym $\alpha$: $$P_w = \dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2$$ Podstawiamy dane $r = 6\text{ cm}$ oraz $\alpha = 40^\circ$: $$\begin{aligned} P_w &= \dfrac{40^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot 6^2 \\[8pt] &= \dfrac{1}{9} \cdot \pi \cdot 36 \\[8pt] &= 4\pi\text{ cm}^2 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Obliczenie pola wycinka dla $r = 10\text{ cm}$ oraz $\alpha = 72^\circ$:
Wychodzimy ze wzoru na pole wycinka koła: $$P_w = \dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2$$ Podstawiamy dane $r = 10\text{ cm}$ oraz $\alpha = 72^\circ$: $$\begin{aligned} P_w &= \dfrac{72^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot 10^2 \\[8pt] &= \dfrac{1}{5} \cdot \pi \cdot 100 \\[8pt] &= 20\pi\text{ cm}^2 \end{aligned}$$
Podpunkt c) Obliczenie pola wycinka dla $r = 4\text{ cm}$ oraz $\alpha = 135^\circ$:
Wychodzimy ze wzoru na pole wycinka koła: $$P_w = \dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2$$ Podstawiamy dane $r = 4\text{ cm}$ oraz $\alpha = 135^\circ$: $$\begin{aligned} P_w &= \dfrac{135^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot 4^2 \\[8pt] &= \dfrac{3}{8} \cdot \pi \cdot 16 \\[8pt] &= 6\pi\text{ cm}^2 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $P_w = 4\pi\text{ cm}^2$

b) $P_w = 20\pi\text{ cm}^2$

c) $P_w = 6\pi\text{ cm}^2$

Zadanie 2 (3 pkt)

Pole wycinka koła wynosi $P$, a łuk tego wycinka ma długość $L$. Oblicz promień tego koła, jeśli:
a) $P = 12\pi\text{ cm}^2$, $L = 3\pi\text{ cm}$
b) $P = 40\text{ cm}^2$, $L = 8\text{ cm}$
c) $P = 150\pi\text{ cm}^2$, $L = 10\pi\text{ cm}$

Wskazówki:

Przypomnij sobie wzory na długość łuku $L = \dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$ oraz pole wycinka koła $P = \dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2$, gdzie $\alpha$ jest kątem środkowym, a $r$ promieniem koła.
Zauważ, że dzieląc pole wycinka przez długość łuku, eliminujemy nieznany kąt środkowy $\alpha$: $\dfrac{P}{L} = \dfrac{r}{2}$, skąd wynika bezpośrednia zależność $P = \dfrac{1}{2} L \cdot r$.
Przekształcając powyższy wzór, promień koła możemy obliczyć bezpośrednio: $r = \dfrac{2P}{L}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i wyprowadzenie zależności między polem wycinka a długością łuku:
Niech $r$ oznacza promień koła, a $\alpha$ miarę kąta środkowego wyznaczającego dany wycinek koła. Standardowe wzory na długość łuku $L$ oraz pole wycinka $P$ mają postać: $$ L = \dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r $$ $$ P = \dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 $$ Dzieląc pole wycinka koła przez długość jego łuku stronami, otrzymujemy: $$ \begin{aligned} \dfrac{P}{L} &= \dfrac{\dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2}{\dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r} \\[8pt] \dfrac{P}{L} &= \dfrac{\pi r^2}{2\pi r} \\[8pt] \dfrac{P}{L} &= \dfrac{r}{2} \end{aligned} $$ Mnożąc obustronnie przez $2$, wyprowadzamy bezpośredni wzór na promień koła: $$ r = \dfrac{2P}{L} $$
Podpunkt a) Obliczenie promienia dla $P = 12\pi\text{ cm}^2$ oraz $L = 3\pi\text{ cm}$:
Wychodzimy z zależności wiążącej pole i długość łuku wycinka: $$ P = \dfrac{1}{2} L \cdot r $$
Sposób I – Wykorzystanie wzoru bezpośredniego:
Podstawiamy dane $P = 12\pi$ oraz $L = 3\pi$ do wyprowadzonego wzoru na promień: $$ \begin{aligned} r &= \dfrac{2P}{L} \\[8pt] &= \dfrac{2 \cdot 12\pi}{3\pi} \\[8pt] &= \dfrac{24\pi}{3\pi} \\[8pt] &= 8\text{ cm} \end{aligned} $$
Sposób II – Wyznaczenie kąta środkowego $\alpha$ z układu równań:
Zapisujemy układ równań dla długości łuku oraz pola: $$ \begin{aligned} \dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r &= 3\pi \implies \dfrac{\alpha}{360^\circ} = \dfrac{3}{2r} \\[8pt] \dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 &= 12\pi \end{aligned} $$ Podstawiając ułamek $\dfrac{\alpha}{360^\circ}$ do równania pola: $$ \begin{aligned} \dfrac{3}{2r} \cdot \pi r^2 &= 12\pi \\[8pt] \dfrac{3}{2}\pi r &= 12\pi \\[8pt] r &= 12\pi \cdot \dfrac{2}{3\pi} \\[8pt] r &= 8\text{ cm} \end{aligned} $$
Podpunkt b) Obliczenie promienia dla $P = 40\text{ cm}^2$ oraz $L = 8\text{ cm}$:
Wychodzimy ze związku między polem a długością łuku: $$ P = \dfrac{1}{2} L \cdot r $$ Podstawiamy dane wartości $P = 40$ oraz $L = 8$: $$ \begin{aligned} 40 &= \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot r \\[8pt] 40 &= 4r \\[8pt] r &= \dfrac{40}{4} \\[8pt] r &= 10\text{ cm} \end{aligned} $$
Podpunkt c) Obliczenie promienia dla $P = 150\pi\text{ cm}^2$ oraz $L = 10\pi\text{ cm}$:
Wychodzimy ze związku między polem a długością łuku: $$ P = \dfrac{1}{2} L \cdot r $$ Podstawiamy dane wartości $P = 150\pi$ oraz $L = 10\pi$: $$ \begin{aligned} 150\pi &= \dfrac{1}{2} \cdot 10\pi \cdot r \\[8pt] 150\pi &= 5\pi r \\[8pt] r &= \dfrac{150\pi}{5\pi} \\[8pt] r &= 30\text{ cm} \end{aligned} $$

Odpowiedź:
a) $r = 8\text{ cm}$

b) $r = 10\text{ cm}$

c) $r = 30\text{ cm}$

Zadanie 3 (3 pkt)

Kąt wpisany w koło ma miarę $30^\circ$ i jest oparty na łuku długości $2\pi\text{ cm}$. Oblicz pole wycinka koła, wyznaczonego przez ten sam łuk.

Wskazówki:

Skorzystaj z twierdzenia o kątach w okręgu: miara kąta środkowego opartego na tym samym łuku co kąt wpisany jest od niego dwa razy większa ($\alpha = 2\beta$).
Zastosuj wzór na długość łuku $l = \dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$, aby obliczyć promień koła $r$.
Wyznacz pole wycinka ze wzoru $P_w = \dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2$ lub skorzystaj bezpośrednio z relacji $P_w = \dfrac{1}{2} l \cdot r$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i wyznaczenie miary kąta środkowego:
Kąt wpisany ma miarę $\beta = 30^\circ$. Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym opartych na tym samym łuku wynika, że kąt środkowy $\alpha$ ma miarę dwukrotnie większą: $$\begin{aligned} \alpha &= 2 \cdot \beta \\[8pt] &= 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ \end{aligned}$$ Kąt środkowy odpowiadający danemu wycinkowi koła wynosi zatem $\alpha = 60^\circ$, a długość łuku to $l = 2\pi\text{ cm}$.
Wyznaczenie długości promienia koła $r$:
Promień koła możemy obliczyć na dwa równorzędne sposoby:

Sposób I – Podstawienie do wzoru na długość łuku:
Wzór na długość łuku koła o kącie środkowym $\alpha$ ma postać: $$l = \dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$$ Podstawiamy dane $\alpha = 60^\circ$ oraz $l = 2\pi\text{ cm}$: $$\begin{aligned} 2\pi &= \dfrac{60^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi r \\[8pt] 2\pi &= \dfrac{1}{6} \cdot 2\pi r \\[8pt] 2\pi &= \dfrac{\pi r}{3} \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony równania przez $\pi$: $$2 = \dfrac{r}{3}$$ Mnożymy obustronnie przez $3$: $$r = 6\text{ cm}$$
Sposób II – Wykorzystanie proporcji obwodu koła:
Zauważmy, że kąt środkowy $60^\circ$ stanowi dokładnie $\dfrac{60^\circ}{360^\circ} = \dfrac{1}{6}$ kąta pełnego. Cały obwód koła $L$ jest zatem $6$-krotnie dłuższy od długości danego łuku: $$\begin{aligned} L &= 6 \cdot l \\[8pt] &= 6 \cdot 2\pi = 12\pi\text{ cm} \end{aligned}$$ Przyrównujemy wynik do wzoru na obwód koła $L = 2\pi r$: $$\begin{aligned} 2\pi r &= 12\pi \\[8pt] r &= \dfrac{12\pi}{2\pi} = 6\text{ cm} \end{aligned}$$
Obliczenie pola wycinka koła i interpretacja graficzna:
Pole wycinka koła wyznaczonego przez ten sam łuk możemy obliczyć dwoma sposobami:

Sposób I – Wykorzystanie wzoru na pole wycinka koła:
Wzór na pole wycinka o kącie środkowym $\alpha$ i promieniu $r$ przyjmuje postać: $$P_w = \dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2$$ Podstawiamy $\alpha = 60^\circ$ oraz $r = 6\text{ cm}$: $$\begin{aligned} P_w &= \dfrac{60^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot 6^2 \\[8pt] &= \dfrac{1}{6} \cdot 36\pi \\[8pt] &= 6\pi\text{ cm}^2 \end{aligned}$$
Sposób II – Wykorzystanie bezpośredniej zależności między polem wycinka a długością łuku:
Pole wycinka koła można zapisać analogicznie do pola trójkąta (gdzie długość łuku $l$ pełni rolę podstawy, a promień $r$ rolę wysokości): $$P_w = \dfrac{1}{2} l \cdot r$$ Podstawiamy $l = 2\pi\text{ cm}$ oraz $r = 6\text{ cm}$: $$\begin{aligned} P_w &= \dfrac{1}{2} \cdot 2\pi \cdot 6 \\[8pt] &= \pi \cdot 6 = 6\pi\text{ cm}^2 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
$P_w = 6\pi\text{ cm}^2$

Zadanie 4 (3 pkt)

W kole z jednego punktu okręgu poprowadzono dwie cięciwy o długości $12\text{ cm}$ każda. Wiedząc, że kąt między tymi cięciwami ma miarę $60^\circ$, oblicz pole części koła zawartej między tymi cięciwami.

Wskazówki:

Zauważ, że trójkąt utworzony przez punkt wspólny cięciw oraz ich końce jest trójkątem równoramiennym o kącie między ramionami równym $60^\circ$, co oznacza, że jest to trójkąt równoboczny o boku $a = 12\text{ cm}$.
Koło opisane jest na tym trójkącie równobocznym, co pozwala wyznaczyć promień koła $R$ ze wzoru na promień okręgu opisanego: $R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Kąt wpisany $60^\circ$ opiera się na łuku odpowiadającym kątowi środkowemu $120^\circ$.
Szukane pole można wyznaczyć na dwa sposoby: dodając pole trójkąta równobocznego do pola odcinka koła opartego na trzeciej cięciwie (Sposób I) lub odejmując od pola całego koła pola dwóch zewnętrznych odcinków koła odciętych przez dane cięciwy (Sposób II).

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza geometrii trójkąta wpisanego:
Oznaczmy punkt wspólny cięciw jako $A$, a ich końce leżące na okręgu jako $B$ i $C$. Mamy dwie cięciwy $|AB| = |AC| = 12\text{ cm}$ tworzące kąt $\angle BAC = 60^\circ$. Trójkąt $ABC$ jest równoramienny ($|AB| = |AC|$), więc kąty przy podstawie $BC$ mają równe miary: $$\angle ABC = \angle ACB = \dfrac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ$$ Wszystkie kąty trójkąta mają po $60^\circ$, co oznacza, że trójkąt $ABC$ jest równoboczny. Zatem odcinek łączący końce cięciw również jest cięciwą o długości: $$|BC| = 12\text{ cm}$$
Wyznaczenie promienia okręgu opisanego oraz pola koła i trójkąta:
Okrąg koła jest okręgiem opisanym na trójkącie równobocznym $ABC$ o boku $a = 12\text{ cm}$. Wyznaczamy promień okręgu $R$: $$\begin{aligned} R &= \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \\[8pt] &= \dfrac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}\text{ cm} \end{aligned}$$ Obliczamy pole całego koła $P_{\text{koła}}$: $$\begin{aligned} P_{\text{koła}} &= \pi R^2 \\[8pt] &= \pi \cdot (4\sqrt{3})^2 \\[8pt] &= \pi \cdot (16 \cdot 3) = 48\pi\text{ cm}^2 \end{aligned}$$ Obliczamy pole trójkąta równobocznego $ABC$: $$\begin{aligned} P_{\Delta ABC} &= \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \\[8pt] &= \dfrac{12^2\sqrt{3}}{4} \\[8pt] &= \dfrac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}\text{ cm}^2 \end{aligned}$$
Wyznaczenie pola wycinka i pojedynczego odcinka koła:
Kąt wpisany $\angle BAC = 60^\circ$ oparty jest na łuku $BC$. Kąt środkowy $\angle BOC$ oparty na tym samym łuku ma miarę dwukrotnie większą: $$\alpha = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$$ Obliczamy pole wycinka koła $BOC$ odpowiadającego kątowi środkowemu $120^\circ$: $$\begin{aligned} P_{\text{wyc}} &= \dfrac{120^\circ}{360^\circ} \cdot \pi R^2 \\[8pt] &= \dfrac{1}{3} \cdot 48\pi = 16\pi\text{ cm}^2 \end{aligned}$$ Pole trójkąta równoramiennego $BOC$ o ramionach $R = 4\sqrt{3}\text{ cm}$ i kącie między nimi $120^\circ$ wynosi: $$\begin{aligned} P_{\Delta BOC} &= \dfrac{1}{2} \cdot R^2 \cdot \sin 120^\circ \\[8pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot 48 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}\text{ cm}^2 \end{aligned}$$ Pole pojedynczego odcinka koła (odciętego przez każdą z cięciw o długości $12\text{ cm}$) wynosi: $$\begin{aligned} P_{\text{odc}} &= P_{\text{wyc}} - P_{\Delta BOC} \\[8pt] &= 16\pi - 12\sqrt{3}\text{ cm}^2 \end{aligned}$$
Obliczenie pola części koła zawartej między cięciwami:
Część koła zawarta między cięciwami $AB$ i $AC$ to obszar ograniczony tymi cięciwami oraz łukiem okręgu $BC$.

Sposób I – Jako suma pola trójkąta $ABC$ oraz odcinka koła $BC$:
Obszar ten składa się bezpośrednio z trójkąta równobocznego $ABC$ oraz przylegającego do cięciwy $BC$ odcinka koła: $$\begin{aligned} P &= P_{\Delta ABC} + P_{\text{odc}} \\[8pt] &= 36\sqrt{3} + \left(16\pi - 12\sqrt{3}\right) \\[8pt] &= 16\pi + 24\sqrt{3}\text{ cm}^2 = 8(2\pi + 3\sqrt{3})\text{ cm}^2 \end{aligned}$$
Sposób II – Poprzez odjęcie dwóch zewnętrznych odcinków od pola koła:
Cięciwy $AB$ i $AC$ odcinają od całego koła dwa jednakowe odcinki koła (oparte odpowiednio na cięciwach $AB$ i $AC$). Część koła zawarta między tymi cięciwami to reszta koła po usunięciu obu tych odcinków: $$\begin{aligned} P &= P_{\text{koła}} - 2 \cdot P_{\text{odc}} \\[8pt] &= 48\pi - 2 \cdot \left(16\pi - 12\sqrt{3}\right) \\[8pt] &= 48\pi - 32\pi + 24\sqrt{3} \\[8pt] &= 16\pi + 24\sqrt{3}\text{ cm}^2 = 8(2\pi + 3\sqrt{3})\text{ cm}^2 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
$P = 16\pi + 24\sqrt{3}\text{ cm}^2 = 8(2\pi + 3\sqrt{3})\text{ cm}^2$

Zadanie 5 (3 pkt)

W kąt o mierze $60^\circ$ wpisano dwa koła styczne do ramion kąta i styczne zewnętrznie do siebie. Wyznacz pole mniejszego koła, wiedząc, że pole większego koła wynosi $108$.

Wskazówki:

Środki obu kół leżą na dwusiecznej kąta, która dzieli kąt $60^\circ$ na dwa równe kąty o mierze $30^\circ$.
Promień poprowadzony do punktu styczności z ramieniem kąta tworzy z tym ramieniem kąt prosty ($90^\circ$). Z trójkąta prostokątnego o kątach $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ wynika, że przeciwprostokątna jest dwukrotnie dłuższa od przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $30^\circ$.
Odległość między środkami kół stycznych zewnętrznie jest równa sumie ich promieni ($r_1 + r_2$). Pozwala to powiązać $r_1$ oraz $r_2$.
Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi stosunku odpowiadających sobie długości (kwadratowi skali podobieństwa).

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza geometryczna układu:
Niech wierzchołek kąta ma oznaczenie $S$. Środki kół oznaczmy przez $O_1$ (środek mniejszego koła o promieniu $r_1$) oraz $O_2$ (środek większego koła o promieniu $r_2$).
Środki kół leżą na osi symetrii układu – dwusiecznej kąta, dzielącej kąt $60^\circ$ na dwa kąty $30^\circ$. Promienie poprowadzone do punktów styczności z ramieniem kąta ($T_1$ i $T_2$) padają pod kątem prostym: $O_1 T_1 \perp ST_1$ oraz $O_2 T_2 \perp ST_2$. Ponieważ koła dotykają się w jednym punkcie $P$, odległość między ich środkami to dokładnie: $$|O_1 O_2| = r_1 + r_2$$
Sposób I – Wykorzystanie własności trójkąta prostokątnego o kącie $30^\circ$:
W trójkącie prostokątnym $\triangle S T_1 O_1$ wyznaczamy odległość środka $O_1$ od wierzchołka $S$ za pomocą funkcji sinus: $$\begin{aligned} \sin 30^\circ &= \dfrac{|O_1 T_1|}{|S O_1|} \\[8pt] \dfrac{1}{2} &= \dfrac{r_1}{|S O_1|} \\[8pt] |S O_1| &= 2r_1 \end{aligned}$$ Analogicznie w trójkącie prostokątnym $\triangle S T_2 O_2$ wyznaczamy odległość środka $O_2$ od wierzchołka $S$: $$\begin{aligned} \sin 30^\circ &= \dfrac{|O_2 T_2|}{|S O_2|} \\[8pt] \dfrac{1}{2} &= \dfrac{r_2}{|S O_2|} \\[8pt] |S O_2| &= 2r_2 \end{aligned}$$ Punkty $S$, $O_1$, $O_2$ leżą w tej kolejności na dwusiecznej kąta. Odległość $|S O_2|$ jest sumą odcinków $|S O_1|$ oraz $|O_1 O_2|$: $$|S O_2| = |S O_1| + |O_1 O_2|$$ Podstawiamy wyznaczone zależności: $$\begin{aligned} 2r_2 &= 2r_1 + (r_1 + r_2) \\[8pt] 2r_2 &= 3r_1 + r_2 \\[8pt] 2r_2 - r_2 &= 3r_1 \\[8pt] r_2 &= 3r_1 \end{aligned}$$ Promień większego koła jest $3$ razy większy od promienia mniejszego koła, czyli stosunek ich promieni wynosi: $$\dfrac{r_1}{r_2} = \dfrac{1}{3}$$ Koła są figurami podobnymi, a stosunek ich pól jest równy kwadratowi stosunku promieni: $$\dfrac{P_1}{P_2} = \left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^2 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$$ Obliczamy pole mniejszego koła $P_1$, wiedząc, że pole większego koła wynosi $P_2 = 108$: $$\begin{aligned} P_1 &= \dfrac{1}{9} \cdot P_2 \\[8pt] P_1 &= \dfrac{1}{9} \cdot 108 \\[8pt] P_1 &= 12 \end{aligned}$$
Sposób II – Wykorzystanie jednokładności i podobieństwa figur:
Większe koło powstaje przez przekształcenie mniejszego koła w jednokładności o środku w wierzchołku kąta $S$ i skali $k > 1$. W tej jednokładności obrazem środka $O_1$ jest środek $O_2$, zatem: $$k = \dfrac{r_2}{r_1} = \dfrac{|S O_2|}{|S O_1|}$$ Z trójkąta o kącie $30^\circ$ mamy $|S O_1| = 2r_1$. Ponieważ koła są styczne zewnętrznie, odległość $|S O_2|$ wynosi: $$|S O_2| = |S O_1| + r_1 + r_2 = 2r_1 + r_1 + r_2 = 3r_1 + r_2$$ Zapisujemy równanie na skalę podobieństwa $k$: $$\begin{aligned} k &= \dfrac{3r_1 + r_2}{2r_1} \\[8pt] k &= \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{r_2}{r_1} \\[8pt] k &= \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}k \\[8pt] \dfrac{1}{2}k &= \dfrac{3}{2} \\[8pt] k &= 3 \end{aligned}$$ Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa: $$\dfrac{P_2}{P_1} = k^2 = 3^2 = 9 \implies P_1 = \dfrac{P_2}{9} = \dfrac{108}{9} = 12$$
Podsumowanie i interpretacja graficzna rozwiązania:
Pole mniejszego koła wynosi $12$, co stanowi dokładnie $\dfrac{1}{9}$ pola większego koła ($108$).

Odpowiedź:
Pole mniejszego koła wynosi $12$.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Promień koła jest równy $r$. Kąt wycinka tego koła ma miarę $\alpha$. Oblicz pole wycinka, jeśli: a) $r = 3\text{ cm}$, $\alpha = 80^{\circ}$ b) $r = 8\text{ cm}$, $\alpha = 45^{\circ}$ c) $r = 6\text{ cm}$, $\alpha = 210^{\circ}$