Geometria płaska – okręgi i koła
Sprawdzian
Grupa A
Zadanie 1 (6 pkt)
W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna jest o 3 cm krótsza od przeciwprostokątnej. Druga przyprostokątna ma długość 9 cm. Oblicz:
a) obwód trójkąta,
b) promień okręgu opisanego na tym trójkącie,
c) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt,
d) odległość punktu przecięcia środkowych trójkąta od wierzchołka kąta prostego.
Zadanie 2 (3 pkt)
W trójkącie $ABC$ wysokość $CD$ dzieli bok $AB$ na odcinki $|AD| = 3$ cm, $|DB| = 11$ cm. Oblicz długości odcinków na jakie zostanie podzielony bok $BC$ przez symetralną boku $AB$, jeżeli wiemy, że $|BC| = 12$ cm.
Zadanie 3 (4 pkt)
Odległość między środkami okręgów stycznych zewnętrznie i stycznych do ramion kąta jest równa 10 cm. Odległość środka większego okręgu od wierzchołka kąta jest równa 30 cm. Oblicz długość promieni tych okręgów.
Zadanie 4 (4 pkt)
W okrąg o promieniu 8 wpisano trójkąt równoramienny o kącie między ramionami $120^\circ$. Oblicz pole trójkąta.
Zadanie 5 (3 pkt)
Uzasadnij, że średnica okręgu opisanego na trójkącie, w którym jeden z kątów ma miarę $\alpha$, a bok leżący naprzeciw kąta ma długość $c$ dana jest wzorem $d = \frac{c}{\sin \alpha}$.
Grupa B
Zadanie 1 (6 pkt)
W trójkącie prostokątnym najkrótsza wysokość jest równa 15 cm, a najkrótszy bok ma długość 17 cm. Oblicz:
a) długości pozostałych boków trójkąta,
b) promień okręgu opisanego na tym trójkącie,
c) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Zadanie 2 (3 pkt)
W trójkącie $ABC$ wysokość $CD$ dzieli bok $AB$ na odcinki $|AD| = 9$ cm, $|DB| = 3$ cm. Oblicz długości odcinków na jakie zostanie podzielony bok $AC$ przez symetralną boku $AB$, jeżeli wiemy, że $|AC| = 15$ cm.
Zadanie 3 (4 pkt)
Odległość między środkami okręgów stycznych zewnętrznie i stycznych do ramion kąta jest równa 10 cm. Odległość środka mniejszego okręgu od wierzchołka kąta jest równa 20 cm. Oblicz długości promieni tych okręgów.
Zadanie 4 (4 pkt)
W okrąg o promieniu 6 wpisano trójkąt równoramienny o kącie między ramieniem i podstawą $30^\circ$. Oblicz pole trójkąta.
Zadanie 5 (3 pkt)
Uzasadnij, że promień okręgu opisanego na trójkącie, w którym jeden z kątów ma miarę $\alpha$, a bok leżący naprzeciw kąta ma długość $c$ dany jest wzorem $R = \frac{c}{2\sin \alpha}$.