WSKAZÓWKI: 1) Funkcja liniowa o wzorze $y = ax + b$ jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy $a$ (liczba stojąca bezpośrednio przy zmiennej $x$) jest dodatni. Musisz zatem rozwiązać nierówność:$$a > 0$$2) Funkcja liniowa o wzorze $y = ax + b$ jest malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy $a$ jest ujemny. Jeśli $x$ występuje w równaniu w kilku miejscach, najpierw wyłącz $x$ przed nawias, aby wyraźnie zobaczyć, co jest współczynnikiem $a$. Rozwiąż nierówność:$$a < 0$$3) Funkcja liniowa o wzorze $y = ax + b$ jest stała wtedy i tylko wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy $a$ jest równy zero. Zwróć uwagę, czy w podanym wzorze w ogóle występuje zmienna $x$. Jeśli jej nie ma, oznacza to, że współczynnik przy $x$ już wynosi zero. Wtedy funkcja jest stała dla każdej wartości parametru $m$, o ile wzór nie zawiera innych ograniczeń. Rozwiąż równanie:$$a = 0$$ROZWIĄZANIE: a) Wyznaczanie wartości $m$, dla których funkcja $y = \left( 3m - 6 \right)x + 2m$ jest rosnąca. W podanym wzorze funkcji współczynnik kierunkowy $a$ to wyrażenie stojące przy zmiennej $x$, czyli:$$a = 3m - 6$$Aby funkcja była rosnąca, współczynnik $a$ musi być większy od zera. Zapisujemy nierówność:$$3m - 6 > 0$$Rozpoczynamy rozwiązywanie nierówności od przeniesienia liczby $-6$ na prawą stronę znaku nierówności. Przy przenoszeniu zmieniamy znak liczby na przeciwny, czyli z minusa na plus:$$3m > 6$$Teraz musimy wyznaczyć samo $m$. W tym celu dzielimy obie strony nierówności przez liczbę $3$, która stoi przy $m$:$$m > \frac{6}{3}$$Wykonujemy dzielenie liczby $6$ przez $3$:$$m > 2$$Funkcja jest rosnąca dla wszystkich wartości $m$ należących do przedziału $\left( 2, +\infty \right)$. b) Wyznaczanie wartości $m$, dla których funkcja $y = 5x - mx + 1$ jest malejąca. W tym przypadku zmienna $x$ pojawia się w dwóch składnikach: $5x$ oraz $-mx$. Aby wyznaczyć współczynnik kierunkowy $a$, musimy wyłączyć $x$ przed nawias:$$y = \left( 5 - m \right)x + 1$$Teraz wyraźnie widzimy, że współczynnik kierunkowy $a$ wynosi:$$a = 5 - m$$Funkcja liniowa jest malejąca, gdy jej współczynnik kierunkowy jest mniejszy od zera. Zapisujemy nierówność:$$5 - m < 0$$Przenosimy liczbę $5$ na prawą stronę nierówności, pamiętając o zmianie znaku na przeciwny (z plusa na minus):$$-m < -5$$Przy niewiadomej $m$ znajduje się znak minus, co odpowiada mnożnikowi $-1$. Aby otrzymać samo $m$, mnożymy lub dzielimy obie strony nierówności przez $-1$. Pamiętamy, że przy mnożeniu lub dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną należy zmienić zwrot znaku nierówności na przeciwny:$$m > 5$$Funkcja jest malejąca dla wszystkich wartości $m$ należących do przedziału $\left( 5, +\infty \right)$. c) Wyznaczanie wartości $m$, dla których funkcja $y = 2m - 4$ jest stała. Przyjrzyjmy się wzorowi funkcji $y = 2m - 4$. Zauważamy, że we wzorze tym nie występuje zmienna $x$. Możemy to zapisać w postaci:$$y = 0 \cdot x + \left( 2m - 4 \right)$$Współczynnik kierunkowy $a$, który stoi przy zmiennej $x$, wynosi w tym przypadku zawsze zero, niezależnie od tego, jaką wartość podstawimy za parametr $m$:$$a = 0$$Ponieważ warunkiem na to, aby funkcja liniowa była stała, jest $a = 0$, a w tym wzorze $a$ jest równe $0$ dla każdego $m$, funkcja ta jest stała dla dowolnej liczby rzeczywistej $m$. Wyrażenie $2m - 4$ pełni tutaj rolę wyrazu wolnego $b$, który decyduje jedynie o tym, na jakiej wysokości wykres (prosta pozioma) przecina oś $OY$. Zatem funkcja jest stała dla:$$m \in \mathbb{R}$$