Zdanie złożone. Zaprzeczenia zdań złożonych kartkówka LiczBit

2.11 Zdanie złożone. Zaprzeczenia zdań złożonych

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Oceń wartości logiczne poniższych zdań, określając najpierw wartości logiczne zdań prostych tworzących koniunkcję:

a) Trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii i środek symetrii.

b) $\sqrt{(-15)^2} = 15 \wedge \sqrt{1} = 1$

c) $(2 + 3)^2 = 2^2 + 3^2 \wedge 4 - 3 = (3 - 4)^2$

d) $\sqrt{10} > 3 \wedge \sqrt{30^2 + 40^2} = 50$

Wskazówki:

Koniunkcja dwóch zdań $p \wedge q$ (połączonych spójnikiem „i” lub symbolem $\wedge$) jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba zdania składowe są jednocześnie prawdziwe ($1 \wedge 1 = 1$). Jeśli co najmniej jedno ze zdań składowych jest fałszywe, cała koniunkcja przyjmuje wartość $0$ (fałsz).
Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a$ zachodzi równość z wartością bezwzględną: $\sqrt{a^2} = |a|$.
Kwadrat sumy nie jest równy sumie kwadratów: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \neq a^2 + b^2$ dla $a, b \neq 0$.
Porównując pierwiastek kwadratowy z liczbą dodatnią, można porównać kwadraty obu liczb: $\sqrt{a} > b \iff a > b^2$ (dla $a, b \ge 0$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Ocena zdania: „Trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii i środek symetrii”:
Rozbijamy zdanie złożone na dwa zdania proste powiązane spójnikiem „i”:
- $p$: „Trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii”. Osiami symetrii trójkąta równobocznego są proste zawierające jego wysokości (dwusieczne kątów). Trójkąt równoboczny posiada dokładnie trzy takie osie, zatem zdanie $p$ jest prawdziwe: $$w(p) = 1$$
- $q$: „Trójkąt równoboczny ma środek symetrii”. Żaden trójkąt nie ma środka symetrii, ponieważ obrót o $180^\circ$ wokół dowolnego punktu płaszczyzny zmienia zwrot wierzchołków trójkąta, zatem zdanie $q$ jest fałszywe: $$w(q) = 0$$
Wyznaczamy wartość logiczną koniunkcji: $$w(p \wedge q) = 1 \wedge 0 = 0$$ Zdanie złożone jest fałszywe.
Podpunkt b) Ocena zdania: $\sqrt{(-15)^2} = 15 \wedge \sqrt{1} = 1$:
Rozpatrujemy wartości logiczne zdań prostych tworzących koniunkcję:
- $p$: $\sqrt{(-15)^2} = 15$. Korzystając z definicji pierwiastka arytmetycznego oraz tożsamości $\sqrt{x^2} = |x|$: $$\begin{aligned} \sqrt{(-15)^2} &= |-15| \\[8pt] &= 15 \end{aligned}$$ Równość jest prawdziwa, zatem zdanie $p$ jest prawdziwe: $$w(p) = 1$$
- $q$: $\sqrt{1} = 1$. Z definicji pierwiastka drugiego stopnia $\sqrt{1} = 1$ (ponieważ $1^2 = 1$ i $1 \ge 0$), zatem zdanie $q$ jest prawdziwe: $$w(q) = 1$$
Wyznaczamy wartość logiczną koniunkcji: $$w(p \wedge q) = 1 \wedge 1 = 1$$ Zdanie złożone jest prawdziwe.
Podpunkt c) Ocena zdania: $(2 + 3)^2 = 2^2 + 3^2 \wedge 4 - 3 = (3 - 4)^2$:
Analizujemy oba zdania składowe:
- $p$: $(2 + 3)^2 = 2^2 + 3^2$. Wyliczamy wartości lewej i prawej strony równości: $$\begin{aligned} L &= (2 + 3)^2 = 5^2 = 25 \\[8pt] P &= 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \end{aligned}$$ Ponieważ $L \neq P$ ($25 \neq 13$), zdanie $p$ jest fałszywe: $$w(p) = 0$$
- $q$: $4 - 3 = (3 - 4)^2$. Obliczamy wartości obu stron: $$\begin{aligned} L &= 4 - 3 = 1 \\[8pt] P &= (3 - 4)^2 = (-1)^2 = 1 \end{aligned}$$ Ponieważ $L = P = 1$, zdanie $q$ jest prawdziwe: $$w(q) = 1$$
Wyznaczamy wartość logiczną koniunkcji: $$w(p \wedge q) = 0 \wedge 1 = 0$$ Zdanie złożone jest fałszywe.
Podpunkt d) Ocena zdania: $\sqrt{10} > 3 \wedge \sqrt{30^2 + 40^2} = 50$:
Sprawdzamy wartości logiczne obu zdań składowych:
- $p$: $\sqrt{10} > 3$. Liczbę $3$ zapisujemy pod pierwiastkiem: $3 = \sqrt{9}$. Ponieważ funkcja $f(t) = \sqrt{t}$ jest rosnąca, a $10 > 9$: $$\sqrt{10} > \sqrt{9} = 3$$ Nierówność jest prawdziwa, czyli zdanie $p$ jest prawdziwe: $$w(p) = 1$$
- $q$: $\sqrt{30^2 + 40^2} = 50$. Obliczamy wartość wyrażenia pod pierwiastkiem: $$\begin{aligned} \sqrt{30^2 + 40^2} &= \sqrt{900 + 1600} \\[8pt] &= \sqrt{2500} \\[8pt] &= 50 \end{aligned}$$ Równość jest prawdziwa, zatem zdanie $q$ jest prawdziwe: $$w(q) = 1$$
Wyznaczamy wartość logiczną koniunkcji: $$w(p \wedge q) = 1 \wedge 1 = 1$$ Zdanie złożone jest prawdziwe.

Odpowiedź:
a) zdanie $p$: prawda ($1$), zdanie $q$: fałsz ($0$) $\implies$ koniunkcja: fałsz ($0$)

b) zdanie $p$: prawda ($1$), zdanie $q$: prawda ($1$) $\implies$ koniunkcja: prawda ($1$)

c) zdanie $p$: fałsz ($0$), zdanie $q$: prawda ($1$) $\implies$ koniunkcja: fałsz ($0$)

d) zdanie $p$: prawda ($1$), zdanie $q$: prawda ($1$) $\implies$ koniunkcja: prawda ($1$)

Zadanie 2

Napisz alternatywę zdań, używając symboli matematycznych. Oceń wartość logiczną alternatywy.
a) Iloczyn liczb $(\sqrt{5}-2{,}23)$ oraz $(\pi-3{,}14)$ jest równy $0$ lub kwadrat liczby $\pi$ jest nie większy od $10$.
b) Suma liczb $\frac{1}{4}$ i $\frac{1}{12}$ jest równa potrojonej liczbie $\frac{1}{9}$ lub różnica liczb $\frac{1}{4}$ i $\frac{1}{12}$ jest różna od $\frac{1}{6}$.
c) Suma kwadratów liczb $3$ i $4$ jest równa kwadratowi liczby $5$ lub różnica kwadratów liczb $17$ i $15$ jest równa kwadratowi liczby $8$.
d) Różnica sześcianów liczb $0{,}2$ i $(-0{,}2)$ jest większa od sześcianu różnicy tych liczb lub iloraz liczby $0{,}03$ przez $0{,}0001$ jest mniejszy od $300$.

Wskazówki:

Alternatywę dwóch zdań logicznych $p$ oraz $q$ łączymy spójnikiem logicznym „lub”, oznaczanym symbolem dysjunkcji: $p \lor q$.
Alternatywa zdań $p \lor q$ jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania składowe są fałszywe ($0 \lor 0 = 0$). Wystarczy, że przynajmniej jedno ze zdań składowych jest prawdziwe, aby cała alternatywa miała wartość logiczną 1 (prawda).
Zwrot „nie większy od” oznacza nierówność słabą „mniejszy lub równy” ($\le$).
Liczby $\sqrt{5}$ oraz $\pi$ są liczbami niewymiernymi – ich rozwinięcia dziesiętne są nieskończone i nieokresowe ($\sqrt{5} \approx 2{,}236...$, $\pi \approx 3{,}14159...$), zatem nie są dokładnie równe swoim skończonym przybliżeniom dziesiętnym.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Zapis symboliczny i ocena wartości logicznej:
Definiujemy zdania składowe:
$p$: Iloczyn liczb $(\sqrt{5}-2{,}23)$ oraz $(\pi-3{,}14)$ jest równy $0$, czyli: $$(\sqrt{5}-2{,}23) \cdot (\pi-3{,}14) = 0$$ $q$: Kwadrat liczby $\pi$ jest nie większy od $10$, czyli: $$\pi^2 \le 10$$ Zapis symboliczny alternatywy przyjmuje postać: $$[(\sqrt{5}-2{,}23) \cdot (\pi-3{,}14) = 0] \;\lor\; [\pi^2 \le 10]$$ Oceniamy wartość logiczną poszczególnych zdań:
Dla zdania $p$: iloczyn liczb rzeczywistych jest równy $0$ tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników wynosi $0$. Ponieważ $\sqrt{5} \approx 2{,}236... \neq 2{,}23$ oraz $\pi \approx 3{,}14159... \neq 3{,}14$, oba czynniki są różne od zera: $$ \begin{aligned} \sqrt{5} - 2{,}23 &\neq 0 \\[8pt] \pi - 3{,}14 &\neq 0 \end{aligned} $$ Iloczyn dwóch liczb niezerowych nie może wynosić $0$, zatem zdanie $p$ jest fałszywe ($w(p) = 0$).
Dla zdania $q$: wiemy, że $\pi < 3{,}15$, stąd: $$\pi^2 < 3{,}15^2 = 9{,}9225 < 10$$ Nierówność $\pi^2 \le 10$ jest więc prawdziwa ($w(q) = 1$).
Wyznaczamy wartość logiczną alternatywy: $$w(p \lor q) = 0 \lor 1 = 1$$ Alternatywa jest zdaniem prawdziwym.
Podpunkt b) Zapis symboliczny i ocena wartości logicznej:
Definiujemy zdania składowe:
$p$: Suma liczb $\frac{1}{4}$ i $\frac{1}{12}$ jest równa potrojonej liczbie $\frac{1}{9}$: $$\frac{1}{4} + \frac{1}{12} = 3 \cdot \frac{1}{9}$$ $q$: Różnica liczb $\frac{1}{4}$ i $\frac{1}{12}$ jest różna od $\frac{1}{6}$: $$\frac{1}{4} - \frac{1}{12} \neq \frac{1}{6}$$ Zapis symboliczny alternatywy to: $$\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{12} = 3 \cdot \frac{1}{9}\right) \lor \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{12} \neq \frac{1}{6}\right)$$ Sprawdzamy lewe i prawe strony obu równości:
Dla zdania $p$: $$ \begin{aligned} L &= \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \\[8pt] P &= 3 \cdot \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \end{aligned} $$ Ponieważ $L = P$, zdanie $p$ jest prawdziwe ($w(p) = 1$).
Dla zdania $q$: $$L = \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$$ Różnica ta wynosi dokładnie $\frac{1}{6}$, więc stwierdzenie, że jest ona różna od $\frac{1}{6}$, jest fałszem ($w(q) = 0$).
Wyznaczamy wartość logiczną alternatywy: $$w(p \lor q) = 1 \lor 0 = 1$$ Alternatywa jest zdaniem prawdziwym.
Podpunkt c) Zapis symboliczny i ocena wartości logicznej:
Definiujemy zdania składowe:
$p$: Suma kwadratów liczb $3$ i $4$ jest równa kwadratowi liczby $5$: $$3^2 + 4^2 = 5^2$$ $q$: Różnica kwadratów liczb $17$ i $15$ jest równa kwadratowi liczby $8$: $$17^2 - 15^2 = 8^2$$ Zapis symboliczny alternatywy to: $$(3^2 + 4^2 = 5^2) \lor (17^2 - 15^2 = 8^2)$$ Wykonujemy obliczenia arytmetyczne:
Dla zdania $p$: $$ \begin{aligned} L &= 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \\[8pt] P &= 5^2 = 25 \end{aligned} $$ Równość zachodzi ($L = P$), zatem $w(p) = 1$.
Dla zdania $q$: $$ \begin{aligned} L &= 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64 \\[8pt] P &= 8^2 = 64 \end{aligned} $$ Równość również zachodzi ($L = P$), zatem $w(q) = 1$.
Wyznaczamy wartość logiczną alternatywy: $$w(p \lor q) = 1 \lor 1 = 1$$ Alternatywa jest zdaniem prawdziwym.
Podpunkt d) Zapis symboliczny i ocena wartości logicznej:
Definiujemy zdania składowe:
$p$: Różnica sześcianów liczb $0{,}2$ i $(-0{,}2)$ jest większa od sześcianu różnicy tych liczb: $$0{,}2^3 - (-0{,}2)^3 > (0{,}2 - (-0{,}2))^3$$ $q$: Iloraz liczby $0{,}03$ przez $0{,}0001$ jest mniejszy od $300$: $$\frac{0{,}03}{0{,}0001} < 300$$ Zapis symboliczny alternatywy to: $$\left[0{,}2^3 - (-0{,}2)^3 > (0{,}2 - (-0{,}2))^3\right] \lor \left(\frac{0{,}03}{0{,}0001} < 300\right)$$ Obliczamy wartości wyrażeń:
Dla zdania $p$: $$ \begin{aligned} L &= 0{,}2^3 - (-0{,}2)^3 = 0{,}008 - (-0{,}008) = 0{,}008 + 0{,}008 = 0{,}016 \\[8pt] P &= (0{,}2 - (-0{,}2))^3 = (0{,}2 + 0{,}2)^3 = 0{,}4^3 = 0{,}064 \end{aligned} $$ Ponieważ $0{,}016 < 0{,}064$, nierówność $0{,}016 > 0{,}064$ nie zachodzi. Zdanie $p$ jest fałszywe ($w(p) = 0$).
Dla zdania $q$: $$ \begin{aligned} L &= \frac{0{,}03}{0{,}0001} = \frac{0{,}03 \cdot 10000}{0{,}0001 \cdot 10000} = \frac{300}{1} = 300 \end{aligned} $$ Otrzymana wartość to dokładnie $300$, stąd nierówność ostra $300 < 300$ jest fałszywa. Zdanie $q$ jest fałszywe ($w(q) = 0$).
Wyznaczamy wartość logiczną alternatywy: $$w(p \lor q) = 0 \lor 0 = 0$$ Alternatywa jest zdaniem fałszywym.

Odpowiedź:
a) $[(\sqrt{5}-2{,}23) \cdot (\pi-3{,}14) = 0] \;\lor\; [\pi^2 \le 10]$ – zdanie prawdziwe (1)

b) $\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{12} = 3 \cdot \frac{1}{9}\right) \lor \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{12} \neq \frac{1}{6}\right)$ – zdanie prawdziwe (1)

c) $(3^2 + 4^2 = 5^2) \lor (17^2 - 15^2 = 8^2)$ – zdanie prawdziwe (1)

d) $\left[0{,}2^3 - (-0{,}2)^3 > (0{,}2 - (-0{,}2))^3\right] \lor \left(\frac{0{,}03}{0{,}0001} < 300\right)$ – zdanie fałszywe (0)

Zadanie 3

Podaj wartości logiczne poniższych implikacji, oceniając najpierw wartości logiczne zdań prostych.

a) Jeżeli każdy kwadrat jest rombem, to każdy trapez jest równoległobokiem.

b) Jeżeli każdy trójkąt równoboczny jest prostokątny, to każdy kwadrat jest prostokątem.

c) $\sqrt{5} < \sqrt{7} \Rightarrow \sqrt{5} - 2 < \sqrt{7} - 2$

d) $\dfrac{3+3}{33} = 1 \Rightarrow \dfrac{4+4}{44} = 1$

e) $\dfrac{-5}{0{,}1} < \dfrac{-6}{0{,}1} \Rightarrow \dfrac{5}{0{,}1} > \dfrac{6}{0{,}1}$

f) $(-3)^4 = -81 \Rightarrow \sqrt{10} > 3$

Wskazówki:

Implikacja $p \Rightarrow q$ jest fałszywa wyłącznie w jednym przypadku: gdy z prawdy wynika fałsz ($1 \Rightarrow 0$).
We wszystkich pozostałych przypadkach ($1 \Rightarrow 1$, $0 \Rightarrow 1$, $0 \Rightarrow 0$) implikacja jest zawsze prawdziwa.
Oceń osobno wartość logiczną poprzednika $p$ oraz następnika $q$, a następnie zastosuj tabelę wartości logicznych implikacji.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zasada oceny wartości logicznej implikacji $p \Rightarrow q$:
W logice matematycznej oznaczamy zdanie prawdziwe liczbą $1$, a zdanie fałszywe liczbą $0$. Implikacja $p \Rightarrow q$ (czytana: „jeżeli $p$, to $q$”) przyjmuje wartość logiczną: $$1 \Rightarrow 1 \ \equiv \ 1$$ $$1 \Rightarrow 0 \ \equiv \ 0$$ $$0 \Rightarrow 1 \ \equiv \ 1$$ $$0 \Rightarrow 0 \ \equiv \ 1$$
Podpunkt a) Ocena implikacji „Jeżeli każdy kwadrat jest rombem, to każdy trapez jest równoległobokiem”:
Wyodrębniamy zdania proste:
- Poprzednik $p$: „Każdy kwadrat jest rombem”. Romb to czworokąt o wszystkich bokach równej długości, co kwadrat z definicji spełnia, zatem $p = 1$ (prawda).
- Następnik $q$: „Każdy trapez jest równoległobokiem”. Trapez musi mieć co najmniej jedną parę boków równoległych, lecz nie musi mieć dwóch par boków równoległych (np. trapez prostokątny o nierównych ramionach), zatem $q = 0$ (fałsz).
Ocena implikacji: $$1 \Rightarrow 0 \ \equiv \ 0 \quad (\text{fałsz})$$
Podpunkt b) Ocena implikacji „Jeżeli każdy trójkąt równoboczny jest prostokątny, to każdy kwadrat jest prostokątem”:
Wyodrębniamy zdania proste:
- Poprzednik $p$: „Każdy trójkąt równoboczny jest prostokątny”. W trójkącie równobocznym każdy kąt ma miarę $60^\circ$, żaden nie jest kątem prostym ($90^\circ$), zatem $p = 0$ (fałsz).
- Następnik $q$: „Każdy kwadrat jest prostokątem”. Kwadrat posiada cztery kąty proste, więc spełnia definicję prostokąta, zatem $q = 1$ (prawda).
Ocena implikacji: $$0 \Rightarrow 1 \ \equiv \ 1 \quad (\text{prawda})$$
Podpunkt c) Ocena implikacji $\sqrt{5} < \sqrt{7} \Rightarrow \sqrt{5} - 2 < \sqrt{7} - 2$:
Wyodrębniamy zdania proste:
- Poprzednik $p$: $\sqrt{5} < \sqrt{7}$. Ponieważ $5 < 7$, nierówność między pierwiastkami jest prawdziwa, zatem $p = 1$ (prawda).
- Następnik $q$: $\sqrt{5} - 2 < \sqrt{7} - 2$. Obustronne odjęcie tej samej liczby ($2$) nie zmienia kierunku nierówności, zatem zdanie jest prawdziwe, $q = 1$ (prawda).
Ocena implikacji: $$1 \Rightarrow 1 \ \equiv \ 1 \quad (\text{prawda})$$
Podpunkt d) Ocena implikacji $\dfrac{3+3}{33} = 1 \Rightarrow \dfrac{4+4}{44} = 1$:
Obliczamy wartości ułamków w obu zdaniach:
- Poprzednik $p$: $$\dfrac{3+3}{33} = \dfrac{6}{33} = \dfrac{2}{11} \neq 1$$ Zdanie jest fałszywe, zatem $p = 0$ (fałsz).
- Następnik $q$: $$\dfrac{4+4}{44} = \dfrac{8}{44} = \dfrac{2}{11} \neq 1$$ Zdanie jest fałszywe, zatem $q = 0$ (fałsz).
Ocena implikacji: $$0 \Rightarrow 0 \ \equiv \ 1 \quad (\text{prawda})$$
Podpunkt e) Ocena implikacji $\dfrac{-5}{0{,}1} < \dfrac{-6}{0{,}1} \Rightarrow \dfrac{5}{0{,}1} > \dfrac{6}{0{,}1}$:
Wykonujemy dzielenie przez $0{,}1$ (co odpowiada pomnożeniu przez $10$):
- Poprzednik $p$: $$\dfrac{-5}{0{,}1} = -50, \quad \dfrac{-6}{0{,}1} = -60$$ Sprawdzamy nierówność $-50 < -60$. Ponieważ $-50 > -60$, nierówność jest fałszywa, zatem $p = 0$ (fałsz).
- Następnik $q$: $$\dfrac{5}{0{,}1} = 50, \quad \dfrac{6}{0{,}1} = 60$$ Sprawdzamy nierówność $50 > 60$. Nierówność jest fałszywa, zatem $q = 0$ (fałsz).
Ocena implikacji: $$0 \Rightarrow 0 \ \equiv \ 1 \quad (\text{prawda})$$
Podpunkt f) Ocena implikacji $(-3)^4 = -81 \Rightarrow \sqrt{10} > 3$:
Sprawdzamy wartości liczbowe:
- Poprzednik $p$: $$(-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 81 \neq -81$$ Zdanie jest fałszywe, zatem $p = 0$ (fałsz).
- Następnik $q$: $$\sqrt{10} > 3 \iff \sqrt{10} > \sqrt{9}$$ Ponieważ $10 > 9$, nierówność jest prawdziwa, zatem $q = 1$ (prawda).
Ocena implikacji: $$0 \Rightarrow 1 \ \equiv \ 1 \quad (\text{prawda})$$

Odpowiedź:
a) Poprzednik: $1$ (prawda), następnik: $0$ (fałsz). Wartość logiczna implikacji: $0$ (fałsz)

b) Poprzednik: $0$ (fałsz), następnik: $1$ (prawda). Wartość logiczna implikacji: $1$ (prawda)

c) Poprzednik: $1$ (prawda), następnik: $1$ (prawda). Wartość logiczna implikacji: $1$ (prawda)

d) Poprzednik: $0$ (fałsz), następnik: $0$ (fałsz). Wartość logiczna implikacji: $1$ (prawda)

e) Poprzednik: $0$ (fałsz), następnik: $0$ (fałsz). Wartość logiczna implikacji: $1$ (prawda)

f) Poprzednik: $0$ (fałsz), następnik: $1$ (prawda). Wartość logiczna implikacji: $1$ (prawda)

Zadanie 4

Napisz zaprzeczenia podanych zdań. Które zaprzeczenia są prawdziwe? Odpowiedź uzasadnij.

a) Jeżeli $2 \cdot 4 > 5 \cdot 4$, to $2 \cdot (-4) \ge 5 \cdot (-4)$.
b) Jeżeli $5 + 5 \ne 5 \cdot 5$, to $2 \cdot 2 \ne 2 + 2$.
c) Jeżeli liczba $4$ jest nie większa od $\sqrt{17}$, to liczba $-\sqrt{17}$ jest mniejsza od $-4$.
d) $[5^2 = 25 \land (-5)^2 = 25] \implies 5 = -5$

Wskazówki:

Zaprzeczeniem implikacji $p \implies q$ jest koniunkcja poprzednika i negacji następnika: $$\sim(p \implies q) \iff p \land \sim q$$
Koniunkcja $p \land \sim q$ jest prawdziwa (ma wartość logiczną $1$) tylko wtedy, gdy oba zdania składowe są jednocześnie prawdziwe. Jeśli chociaż jedno ze zdań jest fałszywe, cała koniunkcja jest fałszywa (ma wartość logiczną $0$).
Zaprzeczeniem nierówności $a \ge b$ jest $a < b$, zaprzeczeniem nierówności ostrej $a < b$ jest $a \ge b$ (czyli „$a$ jest nie mniejsze od $b$”), a zaprzeczeniem nierówności $a \ne b$ jest równość $a = b$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie i ocena zaprzeczenia zdania: „Jeżeli $2 \cdot 4 > 5 \cdot 4$, to $2 \cdot (-4) \ge 5 \cdot (-4)$”:
Wyjściowe zdanie ma strukturę implikacji $p \implies q$, gdzie: $$\begin{aligned} p &: 2 \cdot 4 > 5 \cdot 4 \\[8pt] q &: 2 \cdot (-4) \ge 5 \cdot (-4) \end{aligned}$$ Negacją następnika $q$ jest zdanie: $$\sim q : 2 \cdot (-4) < 5 \cdot (-4)$$ Zaprzeczenie implikacji ma postać $p \land \sim q$: $$2 \cdot 4 > 5 \cdot 4 \quad \land \quad 2 \cdot (-4) < 5 \cdot (-4)$$ Oceniamy wartość logiczną poszczególnych zdań składowych: $$\begin{aligned} 2 \cdot 4 > 5 \cdot 4 &\iff 8 > 20 \quad (\text{zdanie fałszywe, wartość } 0) \\[8pt] 2 \cdot (-4) < 5 \cdot (-4) &\iff -8 < -20 \quad (\text{zdanie fałszywe, wartość } 0) \end{aligned}$$ Wartość logiczna zaprzeczenia wynosi: $$0 \land 0 = 0$$ Zaprzeczenie zdania a) jest fałszywe.
Podpunkt b) Wyznaczenie i ocena zaprzeczenia zdania: „Jeżeli $5 + 5 \ne 5 \cdot 5$, to $2 \cdot 2 \ne 2 + 2$”:
Wyjściowe zdanie to implikacja $p \implies q$, w której: $$\begin{aligned} p &: 5 + 5 \ne 5 \cdot 5 \\[8pt] q &: 2 \cdot 2 \ne 2 + 2 \end{aligned}$$ Negacją zdania $q$ jest zaprzeczenie nierówności, czyli równość: $$\sim q : 2 \cdot 2 = 2 + 2$$ Zaprzeczenie implikacji przyjmuje postać $p \land \sim q$: $$5 + 5 \ne 5 \cdot 5 \quad \land \quad 2 \cdot 2 = 2 + 2$$ Oceniamy wartości logiczne zdań składowych: $$\begin{aligned} 5 + 5 \ne 5 \cdot 5 &\iff 10 \ne 25 \quad (\text{zdanie prawdziwe, wartość } 1) \\[8pt] 2 \cdot 2 = 2 + 2 &\iff 4 = 4 \quad (\text{zdanie prawdziwe, wartość } 1) \end{aligned}$$ Wartość logiczna zaprzeczenia wynosi: $$1 \land 1 = 1$$ Zaprzeczenie zdania b) jest prawdziwe.
Podpunkt c) Wyznaczenie i ocena zaprzeczenia zdania: „Jeżeli liczba $4$ jest nie większa od $\sqrt{17}$, to liczba $-\sqrt{17}$ jest mniejsza od $-4$”:
Sformułowanie „nie większa” oznacza relację mniejszości lub równości ($\le$). Zapisujemy zdania składowe: $$\begin{aligned} p &: 4 \le \sqrt{17} \\[8pt] q &: -\sqrt{17} < -4 \end{aligned}$$ Negacją zdania $q$ („liczba $-\sqrt{17}$ jest mniejsza od $-4$”) jest zdanie: $$\sim q : -\sqrt{17} \ge -4 \quad (\text{liczba } -\sqrt{17} \text{ jest nie mniejsza od } -4)$$ Zaprzeczenie implikacji brzmi: $$\text{Liczba } 4 \text{ jest nie większa od } \sqrt{17} \text{ i liczba } -\sqrt{17} \text{ jest nie mniejsza od } -4$$ Oceniamy wartości logiczne zdań składowych: $$\begin{aligned} 4 = \sqrt{16} < \sqrt{17} &\implies p \text{ jest zdaniem prawdziwym (wartość } 1) \\[8pt] -\sqrt{17} \ge -4 \iff \sqrt{17} \le 4 &\implies \sim q \text{ jest zdaniem fałszywym (wartość } 0) \end{aligned}$$ Wartość logiczna zaprzeczenia wynosi: $$1 \land 0 = 0$$ Zaprzeczenie zdania c) jest fałszywe.
Podpunkt d) Wyznaczenie i ocena zaprzeczenia zdania: $[5^2 = 25 \land (-5)^2 = 25] \implies 5 = -5$:
Wyjściowe zdanie to implikacja symboliczna $p \implies q$, gdzie: $$\begin{aligned} p &: 5^2 = 25 \land (-5)^2 = 25 \\[8pt] q &: 5 = -5 \end{aligned}$$ Negacją następnika $q$ jest zaprzeczenie równości: $$\sim q : 5 \ne -5$$ Zaprzeczenie implikacji ma postać $p \land \sim q$: $$[5^2 = 25 \land (-5)^2 = 25] \quad \land \quad 5 \ne -5$$ Oceniamy wartości logiczne zdań składowych: $$\begin{aligned} 5^2 = 25 \land (-5)^2 = 25 &\iff 25 = 25 \land 25 = 25 \quad (\text{zdanie prawdziwe, wartość } 1) \\[8pt] 5 \ne -5 &\iff (\text{zdanie prawdziwe, wartość } 1) \end{aligned}$$ Wartość logiczna zaprzeczenia wynosi: $$1 \land 1 = 1$$ Zaprzeczenie zdania d) jest prawdziwe.

Odpowiedź:
a) Zaprzeczenie: $2 \cdot 4 > 5 \cdot 4$ i $2 \cdot (-4) < 5 \cdot (-4)$. Zdanie fałszywe.

b) Zaprzeczenie: $5 + 5 \ne 5 \cdot 5$ i $2 \cdot 2 = 2 + 2$. Zdanie prawdziwe.

c) Zaprzeczenie: Liczba $4$ jest nie większa od $\sqrt{17}$ i liczba $-\sqrt{17}$ jest nie mniejsza od $-4$. Zdanie fałszywe.

d) Zaprzeczenie: $[5^2 = 25 \land (-5)^2 = 25] \land 5 \ne -5$. Zdanie prawdziwe.

Prawdziwe są zaprzeczenia zdań b) oraz d).

Zadanie 5

Oceń wartość logiczną podanych zdań i znajdź ich zaprzeczenia:

a) $\bigwedge_{x \in \mathbb{R}} x^2 + 5 > 0$

b) $\bigvee_{x \in \mathbb{N}} x < 3$

c) $\bigwedge_{x \in \mathbb{N}} (\sqrt{x} \ge 0 \lor x < -1)$

d) $\bigwedge_{x \in \mathbb{N}} (\sqrt{x} = 3 \lor x^2 = 9)$

Wskazówki:

Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów: Negacja zdania z kwantyfikatorem ogólnym zamienia go na kwantyfikator szczegółowy z zaprzeczeniem formy zdaniowej: $\sim \left(\bigwedge_{x \in X} \varphi(x)\right) \iff \bigvee_{x \in X} \sim \varphi(x)$. Analogicznie dla kwantyfikatora szczegółowego: $\sim \left(\bigvee_{x \in X} \varphi(x)\right) \iff \bigwedge_{x \in X} \sim \varphi(x)$.
Zaprzeczenie alternatywy: Prawo de Morgana dla zdań mówi, że negacją alternatywy jest koniunkcja zaprzeczeń: $\sim (p \lor q) \iff (\sim p \land \sim q)$.
Ocena wartości logicznej: Zdanie z kwantyfikatorem $\bigwedge$ jest prawdziwe, gdy warunek spełniają wszystkie elementy zbioru (aby dowieść fałszu, wystarczy wskazać jeden kontrprzykład). Zdanie z kwantyfikatorem $\bigvee$ jest prawdziwe, gdy istnieje co najmniej jeden element spełniający warunek.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozpatrujemy zdanie $\bigwedge_{x \in \mathbb{R}} x^2 + 5 > 0$:
Dla dowolnej liczby rzeczywistej $x \in \mathbb{R}$ kwadrat liczby jest zawsze nieujemny, czyli: $$x^2 \ge 0$$ Dodając do obu stron nierówności liczbę 5, otrzymujemy: $$x^2 + 5 \ge 5 > 0$$ Nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej, zatem zdanie jest prawdziwe (wartość logiczna: 1).

Zaprzeczenie tworzymy za pomocą prawa de Morgana dla kwantyfikatora ogólnego (zaprzeczeniem relacji $>$ jest relacja $\le$): $$\sim \left(\bigwedge_{x \in \mathbb{R}} x^2 + 5 > 0\right) \iff \bigvee_{x \in \mathbb{R}} x^2 + 5 \le 0$$
Podpunkt b) Rozpatrujemy zdanie $\bigvee_{x \in \mathbb{N}} x < 3$:
Kwantyfikator istnienia orzeka, że w zbiorze liczb naturalnych $\mathbb{N}$ istnieje co najmniej jeden element mniejszy od 3. Wystarczy podać jeden przykład, np. dla liczby naturalnej $x = 1$ (lub $x = 2$): $$1 < 3$$ Nierówność jest prawdziwa, co oznacza, że zdanie wyjściowe jest prawdziwe (wartość logiczna: 1).

Zaprzeczenie wyznaczamy, zamieniając kwantyfikator istnienia na ogólny i negując warunek (zaprzeczeniem $<$ jest $\ge$): $$\sim \left(\bigvee_{x \in \mathbb{N}} x < 3\right) \iff \bigwedge_{x \in \mathbb{N}} x \ge 3$$
Podpunkt c) Rozpatrujemy zdanie $\bigwedge_{x \in \mathbb{N}} (\sqrt{x} \ge 0 \lor x < -1)$:
Forma zdaniowa pod kwantyfikatorem jest alternatywą dwóch warunków. Alternatywa jest prawdziwa, gdy co najmniej jeden z jej członów jest prawdziwy.
Dla dowolnej liczby naturalnej $x \in \mathbb{N}$ pierwiastek kwadratowy (arytmetyczny) z definicji przyjmuje wartości nieujemne: $$\sqrt{x} \ge 0$$ Ponieważ pierwszy warunek $\sqrt{x} \ge 0$ zachodzi dla każdej liczby ze zbioru $\mathbb{N}$, cała alternatywa jest zawsze prawdziwa dla każdego $x \in \mathbb{N}$. Zatem zdanie jest prawdziwe (wartość logiczna: 1).

Zaprzeczenie zdania tworzymy, stosując prawo de Morgana dla kwantyfikatorów oraz negację alternatywy: $$\begin{aligned} \sim \left[\bigwedge_{x \in \mathbb{N}} (\sqrt{x} \ge 0 \lor x < -1)\right] &\iff \bigvee_{x \in \mathbb{N}} \sim (\sqrt{x} \ge 0 \lor x < -1) \\[8pt] &\iff \bigvee_{x \in \mathbb{N}} (\sqrt{x} < 0 \land x \ge -1) \end{aligned}$$
Podpunkt d) Rozpatrujemy zdanie $\bigwedge_{x \in \mathbb{N}} (\sqrt{x} = 3 \lor x^2 = 9)$:
Zdanie z kwantyfikatorem ogólnym twierdzi, że każda liczba naturalna spełnia alternatywę: $\sqrt{x} = 3$ lub $x^2 = 9$.
Sprawdźmy, czy jest to prawda dla liczby naturalnej $x = 1$: $$\sqrt{1} = 1 \ne 3 \quad \text{oraz} \quad 1^2 = 1 \ne 9$$ Dla $x = 1$ oba człony alternatywy są fałszywe, więc alternatywa przyjmuje wartość logiczną 0. Znaleźliśmy kontrprzykład, zatem zdanie jest fałszywe (wartość logiczna: 0).

Zaprzeczenie zdania wyznaczamy, negując kwantyfikator oraz alternatywę wewnątrz nawiasu: $$\begin{aligned} \sim \left[\bigwedge_{x \in \mathbb{N}} (\sqrt{x} = 3 \lor x^2 = 9)\right] &\iff \bigvee_{x \in \mathbb{N}} \sim (\sqrt{x} = 3 \lor x^2 = 9) \\[8pt] &\iff \bigvee_{x \in \mathbb{N}} (\sqrt{x} \ne 3 \land x^2 \ne 9) \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) Zdanie prawdziwe (wartość logiczna: 1). Zaprzeczenie: $\bigvee_{x \in \mathbb{R}} x^2 + 5 \le 0$

b) Zdanie prawdziwe (wartość logiczna: 1). Zaprzeczenie: $\bigwedge_{x \in \mathbb{N}} x \ge 3$

c) Zdanie prawdziwe (wartość logiczna: 1). Zaprzeczenie: $\bigvee_{x \in \mathbb{N}} (\sqrt{x} < 0 \land x \ge -1)$

d) Zdanie fałszywe (wartość logiczna: 0). Zaprzeczenie: $\bigvee_{x \in \mathbb{N}} (\sqrt{x} \ne 3 \land x^2 \ne 9)$

Grupa B

Zadanie 1

Oceń wartości logiczne poniższych zdań, określając najpierw wartości logiczne zdań prostych tworzących koniunkcję:

a) Pięciokąt foremny ma pięć osi symetrii i środek symetrii.

b) $\sqrt{(-9)^2} = 9 \wedge \sqrt{64} = 8$

c) $(3 + 1)^2 = 3^2 + 1^2 \wedge 6 - 5 = (5 - 6)^2$

d) $\sqrt{17} > 4 \wedge \sqrt{60^2 + 80^2} = 100$

Zadanie 2

Napisz alternatywę zdań, używając symboli matematycznych. Oceń wartość logiczną alternatywy.
a) Iloczyn liczb $(\sqrt{7}-2{,}64)$ oraz $(\pi-3{,}14)$ jest różny od $0$ lub kwadrat liczby $\pi$ jest większy od $10$.
b) Suma liczb $\frac{1}{3}$ i $\frac{1}{6}$ jest równa podwojonej liczbie $\frac{1}{4}$ lub różnica liczb $\frac{1}{3}$ i $\frac{1}{6}$ jest mniejsza od $\frac{1}{8}$.
c) Suma kwadratów liczb $6$ i $8$ jest równa kwadratowi liczby $10$ lub różnica kwadratów liczb $25$ i $24$ jest równa kwadratowi liczby $7$.
d) Różnica sześcianów liczb $0{,}1$ i $(-0{,}1)$ jest równa sześcianowi sumy tych liczb lub iloraz liczby $0{,}05$ przez $0{,}0002$ jest większy od $200$.

Zadanie 3

Podaj wartości logiczne poniższych implikacji, oceniając najpierw wartości logiczne zdań prostych.

a) Jeżeli każdy kwadrat jest prostokątem, to każdy trójkąt równoramienny jest równoboczny.

b) Jeżeli każdy czworokąt jest trapezem, to każdy prostokąt jest czworokątem.

c) $\sqrt{3} > \sqrt{2} \Rightarrow 1 - \sqrt{3} > 1 - \sqrt{2}$

d) $\dfrac{5+5}{55} = 1 \Rightarrow \dfrac{6+6}{66} = 1$

e) $\dfrac{-2}{0{,}1} > \dfrac{-4}{0{,}1} \Rightarrow \dfrac{2}{0{,}1} < \dfrac{4}{0{,}1}$

f) $(-2)^5 = -32 \Rightarrow \pi < 3$

Zadanie 4

Napisz zaprzeczenia podanych zdań. Które zaprzeczenia są prawdziwe? Odpowiedź uzasadnij.

a) Jeżeli $2 \cdot 3 > 4 \cdot 3$, to $2 \cdot (-3) \ge 4 \cdot (-3)$.
b) Jeżeli $4 + 4 \ne 4 \cdot 4$, to $0 + 0 \ne 0 \cdot 0$.
c) Jeżeli liczba $5$ jest nie większa od $\sqrt{26}$, to liczba $-\sqrt{26}$ jest mniejsza od $-5$.
d) $[3^2 = 9 \land (-3)^2 = 9] \implies 3 = -3$

Zadanie 5

Oceń wartość logiczną podanych zdań i znajdź ich zaprzeczenia:

a) $\bigwedge_{x \in \mathbb{R}} x^2 + 7 > 0$

b) $\bigvee_{x \in \mathbb{N}} x < 4$

c) $\bigwedge_{x \in \mathbb{N}} (\sqrt{x} \ge 0 \lor x < -2)$

d) $\bigwedge_{x \in \mathbb{N}} (\sqrt{x} = 5 \lor x^2 = 25)$

2.11 Zdanie złożone. Zaprzeczenia zdań złożonych

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋