Zdanie. Zaprzeczenie zdania kartkówka LiczBit

2.10 Zdanie. Zaprzeczenie zdania

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Oceń wartość logiczną podanych zdań:

a) Liczba $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ jest większa od $4$.

b) $4 \cdot 8 - 12 = 20$

c) $-0{,}3 > -0{,}2$

d) Istnieje trójkąt o bokach długości $4\text{ cm}$, $5\text{ cm}$, $9\text{ cm}$.

e) Liczba przekątnych sześciokąta jest równa $9$.

f) Obwód trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $5$ i $12$ jest równy $30$.

Wskazówki:

Aby porównać sumę dwóch dodatnich pierwiastków z liczbą całkowitą, podnieś obie strony do kwadratu lub oszacuj wartości pierwiastków z niedomiarem i nadmiarem.
Kolejność wykonywania działań: najpierw mnożenie i dzielenie, potem dodawanie i odejmowanie.
Przy porównywaniu liczb ujemnych większa jest ta, która leży bliżej zera na osi liczbowej (czyli ma mniejszą wartość bezwzględną).
Nierówność trójkąta: trójkąt o bokach $a, b, c$ istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy suma długości każdych dwóch boków jest ściśle większa od długości boku trzeciego ($a+b>c$, $a+c>b$, $b+c>a$).
Liczbę przekątnych dowolnego $n$-kąta wypukłego obliczamy ze wzoru $d = \dfrac{n(n-3)}{2}$.
Długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, a obwód to suma długości wszystkich trzech boków.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Oceniamy wartość logiczną zdania: „Liczba $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ jest większa od $4$”:
Sprawdzamy, czy zachodzi nierówność $\sqrt{5} + \sqrt{3} > 4$. Ponieważ obie strony są dodatnie, możemy podnieść je obustronnie do kwadratu: $$ \begin{aligned} (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 &= (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\cdot\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 \\[8pt] &= 5 + 2\sqrt{15} + 3 \\[8pt] &= 8 + 2\sqrt{15} \end{aligned} $$ Obliczamy kwadrat prawej strony: $$4^2 = 16 = 8 + 8 = 8 + 2\sqrt{16}$$ Porównujemy wyrażenia $8 + 2\sqrt{15}$ oraz $8 + 2\sqrt{16}$. Ponieważ $15 < 16$, to $\sqrt{15} < \sqrt{16}$, a zatem: $$8 + 2\sqrt{15} < 16 \implies \sqrt{5} + \sqrt{3} < 4$$ Liczba $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ jest mniejsza od $4$, więc podane zdanie jest **fałszywe**.
Podpunkt b) Oceniamy wartość logiczną zdania: „$4 \cdot 8 - 12 = 20$”:
Wykonujemy działania po lewej stronie równania, pamiętając o pierwszeństwie mnożenia: $$ \begin{aligned} L &= 4 \cdot 8 - 12 \\[8pt] &= 32 - 12 \\[8pt] &= 20 \end{aligned} $$ Prawa strona wynosi $P = 20$. Zachodzi równość $L = P$, zatem zdanie jest **prawdziwe**.
Podpunkt c) Oceniamy wartość logiczną zdania: „$-0{,}3 > -0{,}2$”:
Dla liczb ujemnych większa jest ta liczba, która ma mniejszą wartość bezwzględną: $$|-0{,}3| = 0{,}3, \quad |-0{,}2| = 0{,}2$$ Ponieważ $0{,}3 > 0{,}2$, na osi liczbowej liczba $-0{,}3$ leży na lewo od liczby $-0{,}2$, co oznacza, że: $$-0{,}3 < -0{,}2$$ Zdanie głoszące, że $-0{,}3 > -0{,}2$, jest **fałszywe**.
Podpunkt d) Oceniamy wartość logiczną zdania: „Istnieje trójkąt o bokach długości $4\text{ cm}$, $5\text{ cm}$, $9\text{ cm}$”:
Aby z trzech odcinków można było zbudować trójkąt, suma długości dwóch krótszych boków musi być większa od długości boku najdłuższego: $$4 + 5 = 9$$ Warunek istnienia trójkąta wymaga ostrej nierówności: $$4 + 5 > 9 \iff 9 > 9$$ Otrzymana nierówność jest sprzeczna. Odcinki o takich długościach pokryłyby się w jedną linię prostą, więc trójkąt nie istnieje. Zdanie jest **fałszywe**.
Podpunkt e) Oceniamy wartość logiczną zdania: „Liczba przekątnych sześciokąta jest równa $9$”:
Sześciokąt ma $n = 6$ wierzchołków. Korzystamy ze wzoru na liczbę przekątnych $n$-kąta wypukłego: $$ \begin{aligned} d &= \dfrac{n(n - 3)}{2} \\[8pt] &= \dfrac{6 \cdot (6 - 3)}{2} \\[8pt] &= \dfrac{6 \cdot 3}{2} \\[8pt] &= \dfrac{18}{2} = 9 \end{aligned} $$ Liczba przekątnych sześciokąta wynosi dokładnie $9$, zatem zdanie jest **prawdziwe**.
Podpunkt f) Oceniamy wartość logiczną zdania: „Obwód trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $5$ i $12$ jest równy $30$”:
Wyznaczamy długość przeciwprostokątnej $c$ za pomocą twierdzenia Pitagorasa: $$ \begin{aligned} c^2 &= 5^2 + 12^2 \\[8pt] &= 25 + 144 = 169 \\[8pt] c &= \sqrt{169} = 13 \end{aligned} $$ Obliczamy obwód trójkąta: $$ \begin{aligned} Obw &= 5 + 12 + 13 \\[8pt] &= 30 \end{aligned} $$ Obwód trójkąta jest równy $30$, zatem zdanie jest **prawdziwe**.

Odpowiedź:
a) Fałsz

b) Prawda

c) Fałsz

d) Fałsz

e) Prawda

f) Prawda

Zadanie 2

Podaj zaprzeczenia zdań i oceń wartość logiczną zaprzeczeń:

a) $\sqrt{7}$ jest liczbą całkowitą.

b) Liczba 2024 nie jest liczbą parzystą.

c) $4^2 = (-4)^2$

d) $-6 \cdot (-3) \neq 2 \cdot 9$

e) $-5^2 = 25$

f) $2^3 - 3^3 \neq (-1)^3$

Wskazówki:

Zaprzeczeniem zdania $p$ jest zdanie $\sim p$ („nieprawda, że $p$”).
Jeśli zdanie orzeka „jest”, to jego zaprzeczenie orzeka „nie jest”. Jeśli zdanie wyjściowe zawiera już przeczenie („nie jest”), to jego zaprzeczeniem staje się zdanie twierdzące („jest”).
W relacjach matematycznych zaprzeczeniem równości $=$ jest różność $\neq$, a zaprzeczeniem różności $\neq$ jest równość $=$.
Zdanie i jego zaprzeczenie mają zawsze przeciwne wartości logiczne: gdy zdanie wyjściowe jest fałszywe ($0$), to jego zaprzeczenie jest prawdziwe ($1$), i odwrotnie.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Tworzymy zaprzeczenie zdania „$\sqrt{7}$ jest liczbą całkowitą” i oceniamy jego wartość logiczną:
Dodajemy przeczenie do orzeczenia zdania wyjściowego: $$\text{Zaprzeczenie: „}\sqrt{7}\text{ nie jest liczbą całkowitą”}$$ Liczba $\sqrt{7}$ znajduje się między liczbami całkowitymi $2$ a $3$ (gdyż $2 = \sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9} = 3$) i jest liczbą niewymierną, a więc w szczególności nie jest liczbą całkowitą. Zaprzeczenie orzeka prawdę.
Wartość logiczna zaprzeczenia: $1$ (prawda).
Podpunkt b) Tworzymy zaprzeczenie zdania „Liczba 2024 nie jest liczbą parzystą” i oceniamy jego wartość logiczną:
Zdanie wyjściowe zawiera przeczenie, zatem jego negacją jest zdanie twierdzące: $$\text{Zaprzeczenie: „Liczba 2024 jest liczbą parzystą”}$$ Liczba $2024$ kończy się cyfrą $4$, jest więc podzielna przez $2$, co oznacza, że jest liczbą parzystą. Zaprzeczenie jest zatem prawdziwe.
Wartość logiczna zaprzeczenia: $1$ (prawda).
Podpunkt c) Tworzymy zaprzeczenie zdania $4^2 = (-4)^2$ i oceniamy jego wartość logiczną:
Zaprzeczeniem relacji równości $=$ jest relacja różności $\neq$: $$\text{Zaprzeczenie: } 4^2 \neq (-4)^2$$ Obliczamy wartości obu stron: $$ \begin{aligned} L &= 4^2 = 16 \\[8pt] P &= (-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16 \end{aligned} $$ Ponieważ $L = P = 16$, stwierdzenie, że liczby te są od siebie różne ($16 \neq 16$), jest fałszem.
Wartość logiczna zaprzeczenia: $0$ (fałsz).
Podpunkt d) Tworzymy zaprzeczenie zdania $-6 \cdot (-3) \neq 2 \cdot 9$ i oceniamy jego wartość logiczną:
Zaprzeczeniem relacji różności $\neq$ jest relacja równości $=$: $$\text{Zaprzeczenie: } -6 \cdot (-3) = 2 \cdot 9$$ Obliczamy wartości obu stron: $$ \begin{aligned} L &= -6 \cdot (-3) = 18 \\[8pt] P &= 2 \cdot 9 = 18 \end{aligned} $$ Obie strony są równe ($18 = 18$), zatem zaprzeczenie jest zdaniem prawdziwym.
Wartość logiczna zaprzeczenia: $1$ (prawda).
Podpunkt e) Tworzymy zaprzeczenie zdania $-5^2 = 25$ i oceniamy jego wartość logiczną:
Zastępujemy znak równości znakiem różności: $$\text{Zaprzeczenie: } -5^2 \neq 25$$ Zgodnie z kolejnością wykonywania działań potęgowanie ma pierwszeństwo przed znakiem minus (brak nawiasu): $$ \begin{aligned} L &= -5^2 = -(5^2) = -25 \\[8pt] P &= 25 \end{aligned} $$ Ponieważ $-25 \neq 25$, zaprzeczenie jest zdaniem prawdziwym.
Wartość logiczna zaprzeczenia: $1$ (prawda).
Podpunkt f) Tworzymy zaprzeczenie zdania $2^3 - 3^3 \neq (-1)^3$ i oceniamy jego wartość logiczną:
Zaprzeczeniem różności jest równość: $$\text{Zaprzeczenie: } 2^3 - 3^3 = (-1)^3$$ Obliczamy wartości obu stron równości: $$ \begin{aligned} L &= 2^3 - 3^3 = 8 - 27 = -19 \\[8pt] P &= (-1)^3 = -1 \end{aligned} $$ Ponieważ $-19 \neq -1$, równość $2^3 - 3^3 = (-1)^3$ nie zachodzi, czyli zaprzeczenie jest fałszem.
Wartość logiczna zaprzeczenia: $0$ (fałsz).

Odpowiedź:
a) Zaprzeczenie: $\sqrt{7}$ nie jest liczbą całkowitą; wartość logiczna: $1$ (prawda)

b) Zaprzeczenie: Liczba 2024 jest liczbą parzystą; wartość logiczna: $1$ (prawda)

c) Zaprzeczenie: $4^2 \neq (-4)^2$; wartość logiczna: $0$ (fałsz)

d) Zaprzeczenie: $-6 \cdot (-3) = 2 \cdot 9$; wartość logiczna: $1$ (prawda)

e) Zaprzeczenie: $-5^2 \neq 25$; wartość logiczna: $1$ (prawda)

f) Zaprzeczenie: $2^3 - 3^3 = (-1)^3$; wartość logiczna: $0$ (fałsz)

Zadanie 3

Zapisz zdanie, używając symboli matematycznych. Oceń wartość logiczną tego zdania. W przypadku zdania fałszywego podaj jego zaprzeczenie.

a) Liczba $ 3 - \sqrt{10} $ jest dodatnia.

b) Liczba $ \sqrt{(-2)^2} $ jest nieujemna.

c) Sześcian liczby 3 jest większy od kwadratu liczby $(-5)$.

d) Nieprawda, że $ \sqrt{1} $ jest równy 1.

e) Pierwiastek trzeciego stopnia liczby $(-27)$ jest większy lub równy zerowej potędze liczby $(-3)$.

f) Iloraz liczby 6 przez $(-3)$ jest niemniejszy od iloczynu liczby 6 i $(-3)$.

g) Kwadrat sumy liczb 3 i 4 jest mniejszy lub równy sumie kwadratów liczb 3 i 4.

h) Nieprawda, że druga potęga liczby 0,4 jest nie większa niż druga potęga liczby 0,2.

Wskazówki:

Określenie „dodatnia” oznacza relację $ > 0 $, a „nieujemna” relację $ \ge 0 $.
Sformułowanie „nie mniejszy niż” oznacza relację większości lub równości: $ \ge $, natomiast „nie większy niż” oznacza $ \le $.
Zaprzeczeniem relacji ostrej nierówności $ > $ jest relacja słaba $ \le $, a zaprzeczeniem relacji słabej nierówności $ \le $ jest nierówność ostra $ > $.
Zaprzeczeniem równości $ = $ jest różność $ \neq $, a zaprzeczeniem zdania postaci $ \sim p $ jest zdanie $ p $.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Analiza zdania „Liczba $ 3 - \sqrt{10} $ jest dodatnia”:
Zapisujemy treść zdania za pomocą symboli matematycznych: $$ 3 - \sqrt{10} > 0 $$ Oceniamy wartość logiczną: zauważamy, że $ 3 = \sqrt{9} $. Ponieważ $ \sqrt{9} < \sqrt{10} $, liczba $ 3 - \sqrt{10} $ jest mniejsza od zera (jest ujemna). Zdanie jest zatem fałszywe (wartość logiczna: 0).
Podajemy zaprzeczenie zdania fałszywego (negacją relacji $ > $ jest $ \le $): $$ 3 - \sqrt{10} \le 0 $$
Podpunkt b) Analiza zdania „Liczba $ \sqrt{(-2)^2} $ jest nieujemna”:
Zapisujemy zdanie w postaci symbolicznej: $$ \sqrt{(-2)^2} \ge 0 $$ Oceniamy wartość logiczną: obliczamy wartość wyrażenia: $$ \sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2 $$ Ponieważ $ 2 \ge 0 $, zdanie jest prawdziwe (wartość logiczna: 1).
Podpunkt c) Analiza zdania „Sześcian liczby 3 jest większy od kwadratu liczby $(-5)$”:
Zapisujemy zdanie symbolicznie: $$ 3^3 > (-5)^2 $$ Obliczamy wartości obu stron: $$ \begin{aligned} 3^3 &= 27 \\[8pt] (-5)^2 &= 25 \end{aligned} $$ Nierówność $ 27 > 25 $ jest prawdziwa, zatem całe zdanie jest prawdziwe (wartość logiczna: 1).
Podpunkt d) Analiza zdania „Nieprawda, że $ \sqrt{1} $ jest równy 1”:
Zapisujemy zaprzeczenie równości za pomocą symbolu negacji logicznej lub znaku nierówności: $$ \sim(\sqrt{1} = 1) \quad \text{lub} \quad \sqrt{1} \neq 1 $$ Ponieważ $ \sqrt{1} = 1 $ jest zdaniem prawdziwym, jego zaprzeczenie jest fałszywe (wartość logiczna: 0).
Zaprzeczeniem tego zdania jest zdanie twierdzące: $$ \sqrt{1} = 1 $$
Podpunkt e) Analiza zdania „Pierwiastek trzeciego stopnia liczby $(-27)$ jest większy lub równy zerowej potędze liczby $(-3)$”:
Zapisujemy zdanie symbolicznie: $$ \sqrt[3]{-27} \ge (-3)^0 $$ Wyznaczamy wartości obu stron nierówności: $$ \begin{aligned} \sqrt[3]{-27} &= -3 \\[8pt] (-3)^0 &= 1 \end{aligned} $$ Nierówność przyjmuje postać $ -3 \ge 1 $, co jest sprzecznością. Zdanie jest fałszywe (wartość logiczna: 0).
Zaprzeczeniem relacji $ \ge $ jest relacja ostra $ < $: $$ \sqrt[3]{-27} < (-3)^0 $$
Podpunkt f) Analiza zdania „Iloraz liczby 6 przez $(-3)$ jest niemniejszy od iloczynu liczby 6 i $(-3)$”:
Określenie „niemniejszy” oznacza relację $ \ge $. Zapisujemy: $$ \dfrac{6}{-3} \ge 6 \cdot (-3) $$ Obliczamy wartości obu stron: $$ \begin{aligned} \dfrac{6}{-3} &= -2 \\[8pt] 6 \cdot (-3) &= -18 \end{aligned} $$ Ponieważ na osi liczbowej liczba $ -2 $ leży na prawo od $ -18 $, nierówność $ -2 \ge -18 $ jest poprawna. Zdanie jest prawdziwe (wartość logiczna: 1).
Podpunkt g) Analiza zdania „Kwadrat sumy liczb 3 i 4 jest mniejszy lub równy sumie kwadratów liczb 3 i 4”:
Kwadrat sumy to $ (3+4)^2 $, a suma kwadratów to $ 3^2 + 4^2 $. Zapisujemy zdanie: $$ (3 + 4)^2 \le 3^2 + 4^2 $$ Obliczamy wartość lewej i prawej strony: $$ \begin{aligned} (3 + 4)^2 &= 7^2 = 49 \\[8pt] 3^2 + 4^2 &= 9 + 16 = 25 \end{aligned} $$ Nierówność $ 49 \le 25 $ jest fałszywa. Wartość logiczna zdania wynosi 0.
Zaprzeczeniem relacji $ \le $ jest relacja $ > $: $$ (3 + 4)^2 > 3^2 + 4^2 $$
Podpunkt h) Analiza zdania „Nieprawda, że druga potęga liczby 0,4 jest nie większa niż druga potęga liczby 0,2”:
Określenie „nie większa niż” oznacza relację $ \le $. Zapisujemy zdanie wyjściowe będące negacją: $$ \sim(0{,}4^2 \le 0{,}2^2) \quad \text{lub po uproszczeniu} \quad 0{,}4^2 > 0{,}2^2 $$ Obliczamy potęgi: $$ \begin{aligned} 0{,}4^2 &= 0{,}16 \\[8pt] 0{,}2^2 &= 0{,}04 \end{aligned} $$ Zdanie wewnętrzne $ 0{,}16 \le 0{,}04 $ jest fałszem. Wobec tego jego zaprzeczenie („nieprawda, że...”) jest zdaniem prawdziwym (wartość logiczna: 1).

Odpowiedź:
a) Zapis: $ 3 - \sqrt{10} > 0 $. Zdanie fałszywe (wartość logiczna: 0). Zaprzeczenie: $ 3 - \sqrt{10} \le 0 $.

b) Zapis: $ \sqrt{(-2)^2} \ge 0 $. Zdanie prawdziwe (wartość logiczna: 1).

c) Zapis: $ 3^3 > (-5)^2 $. Zdanie prawdziwe (wartość logiczna: 1).

d) Zapis: $ \sim(\sqrt{1} = 1) $ lub $ \sqrt{1} \neq 1 $. Zdanie fałszywe (wartość logiczna: 0). Zaprzeczenie: $ \sqrt{1} = 1 $.

e) Zapis: $ \sqrt[3]{-27} \ge (-3)^0 $. Zdanie fałszywe (wartość logiczna: 0). Zaprzeczenie: $ \sqrt[3]{-27} < (-3)^0 $.

f) Zapis: $ \dfrac{6}{-3} \ge 6 \cdot (-3) $. Zdanie prawdziwe (wartość logiczna: 1).

g) Zapis: $ (3 + 4)^2 \le 3^2 + 4^2 $. Zdanie fałszywe (wartość logiczna: 0). Zaprzeczenie: $ (3 + 4)^2 > 3^2 + 4^2 $.

h) Zapis: $ \sim(0{,}4^2 \le 0{,}2^2) $ lub $ 0{,}4^2 > 0{,}2^2 $. Zdanie prawdziwe (wartość logiczna: 1).

Zadanie 4

Oceń wartość logiczną podanych zdań i zapisz je, używając kwantyfikatorów i symboli matematycznych:

a) Każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu jest nieujemna.

b) Istnieje taka liczba rzeczywista $x$, dla której $x + \dfrac{1}{x} = -2$.

c) Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej powiększony o 5 jest liczbą dodatnią.

d) Istnieje liczba całkowita, której piąta potęga jest liczbą ujemną.

e) Istnieje liczba naturalna, której kwadrat pomniejszony o 4 jest mniejszy od $-5$.

f) Istnieje taka liczba całkowita, której sześcian jest równy $\sqrt{2}$.

Wskazówki:

Kwantyfikator ogólny ($\forall$) oznacza „dla każdego” i orzeka o wszystkich elementach danej dziedziny.
Kwantyfikator szczegółowy ($\exists$) oznacza „istnieje taki, że” – do wykazania prawdziwości zdania wystarczy podać co najmniej jeden element spełniający warunek.
Podstawowe symbole zbiorów liczbowych: $\mathbb{N}$ to liczby naturalne ($\{0, 1, 2, \dots\}$ lub $\{1, 2, 3, \dots\}$), $\mathbb{Z}$ to liczby całkowite, a $\mathbb{R}$ to liczby rzeczywiste.
Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny: $x^2 \ge 0$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Analiza zdania „Każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu jest nieujemna”:
Sformułowanie „każda” wskazuje na kwantyfikator ogólny $\forall$. Zapisujemy zdanie w języku symboli matematycznych: $$ \forall_{x \in \mathbb{R}} \; x^2 \ge 0 $$ Z własności liczb rzeczywistych wiemy, że kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze liczbą większą bądź równą zero ($x^2 > 0$ dla $x \neq 0$ oraz $0^2 = 0$). Zdanie jest prawdziwe (wartość logiczna 1).
Podpunkt b) Analiza zdania „Istnieje taka liczba rzeczywista $x$, dla której $x + \dfrac{1}{x} = -2$”:
Słowo „istnieje” oznacza użycie kwantyfikatora szczegółowego $\exists$. Wyrażenie wymaga zastrzeżenia dziedziny $x \neq 0$: $$ \exists_{x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}} \; x + \frac{1}{x} = -2 $$ Rozwiązujemy równanie, aby sprawdzić, czy istnieje takie rozwiązanie w zbiorze $\mathbb{R}$: $$ \begin{aligned} x + \frac{1}{x} &= -2 \quad \Big| \cdot x \\[8pt] x^2 + 1 &= -2x \\[8pt] x^2 + 2x + 1 &= 0 \\[8pt] (x + 1)^2 &= 0 \\[8pt] x &= -1 \end{aligned} $$ Liczba $x = -1$ jest liczbą rzeczywistą różną od zera i spełnia podane równanie. Zatem zdanie jest prawdziwe (wartość logiczna 1).
Podpunkt c) Analiza zdania „Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej powiększony o 5 jest liczbą dodatnią”:
Określenie „dowolnej” oznacza każdą liczbę, co wymaga użycia kwantyfikatora ogólnego $\forall$: $$ \forall_{x \in \mathbb{R}} \; x^2 + 5 > 0 $$ Dla dowolnej liczby rzeczywistej zachodzi nierówność $x^2 \ge 0$. Dodając do obu stron liczbę $5$, otrzymujemy: $$ x^2 + 5 \ge 5 > 0 $$ Wyrażenie przyjmuje zawsze wartości większe od zera, co oznacza, że zdanie jest prawdziwe (wartość logiczna 1).
Podpunkt d) Analiza zdania „Istnieje liczba całkowita, której piąta potęga jest liczbą ujemną”:
Używamy kwantyfikatora szczegółowego $\exists$ oraz symbolu zbioru liczb całkowitych $\mathbb{Z}$: $$ \exists_{k \in \mathbb{Z}} \; k^5 < 0 $$ Nieparzysta potęga liczby ujemnej jest ujemna. Wskazujemy przykładową liczbę całkowitą, np. $k = -1 \in \mathbb{Z}$: $$ (-1)^5 = -1 < 0 $$ Wskazano element spełniający warunek, a więc zdanie jest prawdziwe (wartość logiczna 1).
Podpunkt e) Analiza zdania „Istnieje liczba naturalna, której kwadrat pomniejszony o 4 jest mniejszy od $-5$”:
Zapisujemy zdanie przy użyciu kwantyfikatora szczegółowego i symbolu liczb naturalnych $\mathbb{N}$: $$ \exists_{n \in \mathbb{N}} \; n^2 - 4 < -5 $$ Przekształcamy równoważnie nierówność: $$ \begin{aligned} n^2 - 4 &< -5 \\[8pt] n^2 &< -1 \end{aligned} $$ Dla dowolnej liczby naturalnej $n$ jej kwadrat jest nieujemny ($n^2 \ge 0$), dlatego nie może być mniejszy od liczby ujemnej $-1$. Oznacza to brak jakichkolwiek rozwiązań, a całe zdanie jest fałszywe (wartość logiczna 0).
Podpunkt f) Analiza zdania „Istnieje taka liczba całkowita, której sześcian jest równy $\sqrt{2}$”:
Zapisujemy zdanie symbolicznie dla zmiennej całkowitej $k \in \mathbb{Z}$: $$ \exists_{k \in \mathbb{Z}} \; k^3 = \sqrt{2} $$ Wyznaczamy potencjalne rozwiązanie równania: $$ \begin{aligned} k^3 &= 2^{\frac{1}{2}} \\[8pt] k &= \left(2^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} \\[8pt] k &= 2^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{2} \end{aligned} $$ Liczba $\sqrt[6]{2}$ jest liczbą niewymierną, co oznacza, że $\sqrt[6]{2} \notin \mathbb{Z}$. Nie istnieje zatem liczba całkowita spełniająca ten warunek, więc zdanie jest fałszywe (wartość logiczna 0).

Odpowiedź:
a) Prawda (1); symbolicznie: $\forall_{x \in \mathbb{R}} \; x^2 \ge 0$

b) Prawda (1); symbolicznie: $\exists_{x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}} \; x + \dfrac{1}{x} = -2$

c) Prawda (1); symbolicznie: $\forall_{x \in \mathbb{R}} \; x^2 + 5 > 0$

d) Prawda (1); symbolicznie: $\exists_{k \in \mathbb{Z}} \; k^5 < 0$

e) Fałsz (0); symbolicznie: $\exists_{n \in \mathbb{N}} \; n^2 - 4 < -5$

f) Fałsz (0); symbolicznie: $\exists_{k \in \mathbb{Z}} \; k^3 = \sqrt{2}$

Zadanie 5

Oceń wartość logiczną podanych zdań. Następnie podaj zaprzeczenia tych zdań:

a) $\bigwedge_{x \in \mathbb{R}} x^2 + 1 > 0$

b) $\bigvee_{x \in \mathbb{R}} x^2 = -4$

c) $\bigvee_{x \in \mathbb{N}} \dfrac{2}{x} \in \mathbb{N}$

d) $\bigvee_{x \in \mathbb{Q}} 7x \notin \mathbb{Q}$

e) $\bigwedge_{x \in \mathbb{Z}} |x| = x$

f) $\bigwedge_{x \in \mathbb{R}} |x^2| = x^2$

Wskazówki:

Kwantyfikator ogólny $\bigwedge_{x \in X}$ („dla każdego $x$...”) orzeka, że dana własność przysługuje bez wyjątku wszystkim elementom zbioru $X$. Aby wykazać jego fałszywość, wystarczy znaleźć jeden kontrprzykład.
Kwantyfikator szczegółowy $\bigvee_{x \in X}$ („istnieje takie $x$...”) orzeka, że w zbiorze $X$ znajduje się co najmniej jeden element spełniający dany warunek. Aby wykazać jego prawdziwość, wystarczy wskazać jeden taki element.
Zaprzeczenia zdań z kwantyfikatorami tworzymy za pomocą praw de Morgana dla rachunku kwantyfikatorów: negacja kwantyfikatora ogólnego przechodzi w kwantyfikator szczegółowy z zaprzeczonym warunkiem wewnętrznym: $\sim \left(\bigwedge_{x \in X} \varphi(x)\right) \iff \bigvee_{x \in X} \sim \varphi(x)$, natomiast negacja kwantyfikatora szczegółowego przechodzi w kwantyfikator ogólny z zaprzeczonym warunkiem: $\sim \left(\bigvee_{x \in X} \varphi(x)\right) \iff \bigwedge_{x \in X} \sim \varphi(x)$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Badamy zdanie $\bigwedge_{x \in \mathbb{R}} x^2 + 1 > 0$:
Dla dowolnej liczby rzeczywistej $x \in \mathbb{R}$ jej kwadrat jest nieujemny: $x^2 \ge 0$. Dodając obustronnie liczbę $1$, otrzymujemy: $$x^2 + 1 \ge 1 > 0$$ Nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej, zatem zdanie jest prawdziwe (wartość logiczna 1).
Tworzymy zaprzeczenie: zamieniamy kwantyfikator ogólny $\bigwedge$ na szczegółowy $\bigvee$, a relację ostrej nierówności $>$ na jej zaprzeczenie $\le$: $$\bigvee_{x \in \mathbb{R}} x^2 + 1 \le 0$$
Podpunkt b) Badamy zdanie $\bigvee_{x \in \mathbb{R}} x^2 = -4$:
Dla każdego $x \in \mathbb{R}$ zachodzi warunek $x^2 \ge 0$. Kwadrat żadnej liczby rzeczywistej nie może przyjmować wartości ujemnej, więc równanie $x^2 = -4$ nie posiada rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. Zdanie orzekające istnienie takiego elementu jest fałszywe (wartość logiczna 0).
Tworzymy zaprzeczenie: zamieniamy kwantyfikator $\bigvee$ na $\bigwedge$, a znak równości na negację równości: $$\bigwedge_{x \in \mathbb{R}} x^2 \ne -4$$
Podpunkt c) Badamy zdanie $\bigvee_{x \in \mathbb{N}} \dfrac{2}{x} \in \mathbb{N}$:
Wystarczy wskazać przynajmniej jedną liczbę ze zbioru liczb naturalnych, dla której ułamek jest liczbą naturalną. Wybierając $x = 1 \in \mathbb{N}$ (lub $x = 2 \in \mathbb{N}$), otrzymujemy: $$\dfrac{2}{1} = 2 \in \mathbb{N}$$ Warunek jest spełniony, stąd zdanie jest prawdziwe (wartość logiczna 1).
Tworzymy zaprzeczenie: zamieniamy kwantyfikator $\bigvee$ na $\bigwedge$, a symbol przynależności do zbioru $\in$ na symbol braku przynależności $\notin$: $$\bigwedge_{x \in \mathbb{N}} \dfrac{2}{x} \notin \mathbb{N}$$
Podpunkt d) Badamy zdanie $\bigvee_{x \in \mathbb{Q}} 7x \notin \mathbb{Q}$:
Zbiór liczb wymiernych $\mathbb{Q}$ jest zamknięty ze względu na działanie mnożenia. Liczba $7 = \frac{7}{1}$ jest wymierna, zatem dla dowolnej liczby wymiernej $x = \frac{p}{q}$ (gdzie $p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$) ich iloczyn: $$7x = 7 \cdot \dfrac{p}{q} = \dfrac{7p}{q}$$ zawsze reprezentuje iloraz liczb całkowitych o niezerowym mianowniku, czyli należy do zbioru $\mathbb{Q}$. Nie istnieje więc taka liczba wymierna $x$, dla której wynik mnożenia byłby niewymierny. Zdanie jest fałszywe (wartość logiczna 0).
Tworzymy zaprzeczenie: zamieniamy kwantyfikator $\bigvee$ na $\bigwedge$, a relację $\notin$ na $\in$: $$\bigwedge_{x \in \mathbb{Q}} 7x \in \mathbb{Q}$$
Podpunkt e) Badamy zdanie $\bigwedge_{x \in \mathbb{Z}} |x| = x$:
Z definicji wartości bezwzględnej wynika, że równość $|x| = x$ zachodzi wyłącznie dla liczb nieujemnych ($x \ge 0$). Aby obalić zdanie orzekające prawdziwość tego faktu dla wszystkich liczb całkowitych, wystarczy podać pojedynczy kontrprzykład dla liczby ujemnej. Biorąc $x = -3 \in \mathbb{Z}$, mamy: $$|-3| = 3 \ne -3$$ Zdanie nie jest spełnione dla każdego elementu dziedziny, zatem jest fałszywe (wartość logiczna 0).
Tworzymy zaprzeczenie: zamieniamy kwantyfikator $\bigwedge$ na $\bigvee$, a znak $=$ na $\ne$: $$\bigvee_{x \in \mathbb{Z}} |x| \ne x$$
Podpunkt f) Badamy zdanie $\bigwedge_{x \in \mathbb{R}} |x^2| = x^2$:
Dla dowolnej liczby rzeczywistej $x \in \mathbb{R}$ wyrażenie $x^2$ jest liczbą nieujemną ($x^2 \ge 0$). Wartość bezwzględna z dowolnej liczby nieujemnej jest równa dokładnie tej samej liczbie: $$|x^2| = x^2$$ Równość zachodzi tożsamościowo dla wszystkich liczb rzeczywistych, zatem zdanie jest prawdziwe (wartość logiczna 1).
Tworzymy zaprzeczenie: zamieniamy kwantyfikator $\bigwedge$ na $\bigvee$, a znak $=$ na $\ne$: $$\bigvee_{x \in \mathbb{R}} |x^2| \ne x^2$$

Odpowiedź:
a) Zdanie prawdziwe (wartość logiczna 1). Zaprzeczenie: $\bigvee_{x \in \mathbb{R}} x^2 + 1 \le 0$

b) Zdanie fałszywe (wartość logiczna 0). Zaprzeczenie: $\bigwedge_{x \in \mathbb{R}} x^2 \ne -4$

c) Zdanie prawdziwe (wartość logiczna 1). Zaprzeczenie: $\bigwedge_{x \in \mathbb{N}} \dfrac{2}{x} \notin \mathbb{N}$

d) Zdanie fałszywe (wartość logiczna 0). Zaprzeczenie: $\bigwedge_{x \in \mathbb{Q}} 7x \in \mathbb{Q}$

e) Zdanie fałszywe (wartość logiczna 0). Zaprzeczenie: $\bigvee_{x \in \mathbb{Z}} |x| \ne x$

f) Zdanie prawdziwe (wartość logiczna 1). Zaprzeczenie: $\bigvee_{x \in \mathbb{R}} |x^2| \ne x^2$

Grupa B

Zadanie 1

Oceń wartość logiczną podanych zdań:

a) Liczba $\sqrt{6} + \sqrt{3}$ jest większa od $4$.

b) $5 \cdot 6 - 14 = 16$

c) $-0{,}7 > -0{,}5$

d) Istnieje trójkąt o bokach długości $3\text{ cm}$, $6\text{ cm}$, $10\text{ cm}$.

e) Liczba przekątnych siedmiokąta jest równa $14$.

f) Obwód trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $6$ i $8$ jest równy $24$.

Zadanie 2

Podaj zaprzeczenia zdań i oceń wartość logiczną zaprzeczeń:

a) $\sqrt{2}$ jest liczbą naturalną.

b) Liczba 303 nie jest liczbą podzielną przez 3.

c) $6^2 = (-6)^2$

d) $-4 \cdot (-5) \neq 2 \cdot 10$

e) $-2^2 = 4$

f) $2^3 - 1^3 \neq 1^3$

Zadanie 3

Zapisz zdanie, używając symboli matematycznych. Oceń wartość logiczną tego zdania. W przypadku zdania fałszywego podaj jego zaprzeczenie.

a) Liczba $ \sqrt{7} - 3 $ jest dodatnia.

b) Liczba $ \sqrt{(-3)^2} $ jest nieujemna.

c) Sześcian liczby 4 jest większy od kwadratu liczby $(-8)$.

d) Nieprawda, że $ \sqrt{4} $ jest równy 2.

e) Pierwiastek trzeciego stopnia liczby $(-64)$ jest większy lub równy zerowej potędze liczby $(-7)$.

f) Iloraz liczby 10 przez $(-2)$ jest niemniejszy od iloczynu liczby 10 i $(-2)$.

g) Kwadrat sumy liczb 1 i 4 jest mniejszy lub równy sumie kwadratów liczb 1 i 4.

h) Nieprawda, że druga potęga liczby 0,6 jest nie większa niż druga potęga liczby 0,4.

Zadanie 4

Oceń wartość logiczną podanych zdań i zapisz je, używając kwantyfikatorów i symboli matematycznych:

a) Każda liczba całkowita podniesiona do czwartej potęgi jest nieujemna.

b) Istnieje taka liczba rzeczywista $x$, dla której $x + \dfrac{4}{x} = 4$.

c) Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej powiększony o 3 jest liczbą dodatnią.

d) Istnieje liczba całkowita, której siódma potęga jest liczbą ujemną.

e) Istnieje liczba naturalna, której kwadrat pomniejszony o 2 jest mniejszy od $-3$.

f) Istnieje taka liczba całkowita, której kwadrat jest równy $\sqrt{5}$.

Zadanie 5

Oceń wartość logiczną podanych zdań. Następnie podaj zaprzeczenia tych zdań:

a) $\bigwedge_{x \in \mathbb{R}} x^2 + 5 > 0$

b) $\bigvee_{x \in \mathbb{R}} x^2 = -16$

c) $\bigvee_{x \in \mathbb{N}} \dfrac{3}{x} \in \mathbb{N}$

d) $\bigvee_{x \in \mathbb{Q}} 4x \notin \mathbb{Q}$

e) $\bigwedge_{x \in \mathbb{Z}} \sqrt{x^2} = -x$

f) $\bigwedge_{x \in \mathbb{R}} |x|^4 = x^4$

2.10 Zdanie. Zaprzeczenie zdania

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋