Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych LiczBit

1.5 Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Litera $X$ oznacza w liczbie $52417X6$ cyfrę dziesiątek. Wpisz w miejsce $X$ taką cyfrę, aby dana liczba była podzielna przez $6$. Podaj wszystkie możliwe rozwiązania.

Wskazówki:

Liczba jest podzielna przez $6$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie podzielna przez $2$ oraz przez $3$.
Cecha podzielności przez $2$ zależy od ostatniej cyfry liczby, a cecha podzielności przez $3$ od sumy wszystkich jej cyfr.
Pamiętaj, że $X$ musi być pojedynczą cyfrą ze zbioru $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rozłożenie warunku podzielności na czynniki pierwsze:
Ponieważ $6 = 2 \cdot 3$, a liczby $2$ i $3$ są względnie pierwsze, dana liczba jest podzielna przez $6$ wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia jednocześnie dwa warunki:
- jest podzielna przez $2$,
- jest podzielna przez $3$.
Sprawdzenie warunku podzielności przez 2:
Liczba jest podzielna przez $2$, jeśli jej ostatnią cyfrą jest cyfra parzysta: $0, 2, 4, 6$ lub $8$.
Ostatnią cyfrą liczby $52417X6$ jest $6$, która jest parzysta. Oznacza to, że liczba ta jest podzielna przez $2$ dla dowolnej wybranej cyfry $X$.
Wyznaczenie sumy cyfr i zastosowanie cechy podzielności przez 3:
Liczba jest podzielna przez $3$, gdy suma wszystkich jej cyfr dzieli się przez $3$. Obliczmy sumę cyfr naszej liczby: $$ \begin{aligned} S &= 5 + 2 + 4 + 1 + 7 + X + 6 \\ &= 25 + X \end{aligned} $$ Wyrażenie $25 + X$ musi być zatem wielokrotnością liczby $3$.
Wyznaczenie dopuszczalnych wartości cyfry X:
Wiedząc, że $X \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$, suma $25 + X$ mieści się w przedziale od $25$ do $34$. Poszukajmy wielokrotności liczby $3$ w tym zakresie: $$ \begin{aligned} 25 + X = 27 &\implies X = 2 \\ 25 + X = 30 &\implies X = 5 \\ 25 + X = 33 &\implies X = 8 \end{aligned} $$ Kolejną wielokrotnością byłaby liczba $36$, lecz wtedy $X = 11$, co nie jest cyfrą.

Odpowiedź: W miejsce $X$ można wpisać cyfrę $2$, $5$ lub $8$ (czyli $X \in \{2, 5, 8\}$).

Zadanie 2 (3 pkt)

Wyznacz $\text{NWD}(a, b)$ oraz $\text{NWW}(a, b)$, jeśli:
a) $a = 780,\ b = 1326$
b) $a = 220,\ b = 165$

Wskazówki:

Rozłóż liczby metodą „pionowej kreski” – po lewej stronie zapisuj kolejne ilorazy, a po prawej najmniejsze liczby pierwsze ($2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$), przez które się dzielą, aż dojdziesz do $1$.
Największy wspólny dzielnik ($\text{NWD}$) to iloczyn wszystkich tych czynników pierwszych, które powtarzają się w obu pionowych rozkładach.
Najmniejszą wspólną wielokrotność ($\text{NWW}$) uzyskasz, biorąc całą pierwszą liczbę i mnożąc ją przez te czynniki z drugiego rozkładu, których w pierwszej zabrakło, lub stosując zależność: $\text{NWW}(a, b) = \dfrac{a \cdot b}{\text{NWD}(a, b)}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rozkład liczb $780$ i $1326$ na czynniki pierwsze za pomocą pionowej kreski:
Dzielimy kolejno każdą z liczb przez najmniejsze możliwe dzielniki pierwsze: $$ \begin{array}{r|l} 780 & 2 \\ 390 & 2 \\ 195 & 3 \\ 65 & 5 \\ 13 & 13 \\ 1 & \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{r|l} 1326 & 2 \\ 663 & 3 \\ 221 & 13 \\ 17 & 17 \\ 1 & \end{array} $$ Zapisujemy otrzymane rozkłady w postaci iloczynów potęg: $$ \begin{aligned} 780 &= 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13 \\ 1326 &= 2 \cdot 3 \cdot 13 \cdot 17 \end{aligned} $$
Wyznaczenie $\text{NWD}$ oraz $\text{NWW}$ dla liczb z podpunktu a):
Wybieramy czynniki pierwsze, które występują jednocześnie w obu pionowych słupkach: jedna dwójka ($2$), jedna trójka ($3$) oraz trzynastka ($13$). Mnożymy je: $$ \begin{aligned} \text{NWD}(780, 1326) &= 2 \cdot 3 \cdot 13 \\ &= 6 \cdot 13 \\ &= 78 \end{aligned} $$ Aby obliczyć $\text{NWW}$, bierzemy całą liczbę $780$ i domnażamy jedyny czynnik z rozkładu liczby $1326$, którego w niej nie ma, czyli $17$: $$ \begin{aligned} \text{NWW}(780, 1326) &= 780 \cdot 17 \\ &= 13260 \end{aligned} $$ Weryfikacja ze wzoru wiążącego: $$ \begin{aligned} \text{NWW}(a, b) &= \dfrac{a \cdot b}{\text{NWD}(a, b)} \\ &= \dfrac{780 \cdot 1326}{78} \\ &= 10 \cdot 1326 \\ &= 13260 \end{aligned} $$
Rozkład liczb $220$ i $165$ na czynniki pierwsze za pomocą pionowej kreski:
Dzielimy kolejno obie liczby w słupkach: $$ \begin{array}{r|l} 220 & 2 \\ 110 & 2 \\ 55 & 5 \\ 11 & 11 \\ 1 & \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{r|l} 165 & 3 \\ 55 & 5 \\ 11 & 11 \\ 1 & \end{array} $$ Zapisujemy iloczyny czynników pierwszych: $$ \begin{aligned} 220 &= 2^2 \cdot 5 \cdot 11 \\ 165 &= 3 \cdot 5 \cdot 11 \end{aligned} $$
Wyznaczenie $\text{NWD}$ oraz $\text{NWW}$ dla liczb z podpunktu b):
Wspólnymi czynnikami dla liczb $220$ i $165$ są piątka ($5$) oraz jedenastka ($11$): $$ \begin{aligned} \text{NWD}(220, 165) &= 5 \cdot 11 \\ &= 55 \end{aligned} $$ Do obliczenia najmniejszej wspólnej wielokrotności bierzemy całą liczbę $220$ i domnażamy brakującą trójkę ($3$) z rozkładu liczby $165$: $$ \begin{aligned} \text{NWW}(220, 165) &= 220 \cdot 3 \\ &= 660 \end{aligned} $$ Sprawdzenie ze wzoru: $$ \begin{aligned} \text{NWW}(a, b) &= \dfrac{a \cdot b}{\text{NWD}(a, b)} \\ &= \dfrac{220 \cdot 165}{55} \\ &= 220 \cdot 3 \\ &= 660 \end{aligned} $$

Odpowiedź:
a) $\text{NWD}(780, 1326) = 78$, $\text{NWW}(780, 1326) = 13260$
b) $\text{NWD}(220, 165) = 55$, $\text{NWW}(220, 165) = 660$

Zadanie 3 (3 pkt)

Ania i Kasia postanowiły zmierzyć alejkę w parku od bramy wejściowej do fontanny za pomocą swoich kroków (idąc równolegle tą samą trasą). Ania stawia kroki o długości $45\text{ cm}$, natomiast Kasia – o długości $60\text{ cm}$. W jakiej odległości od bramy znajduje się fontanna, jeśli ślady stóp dziewcząt pokryły się na trasie dokładnie $20$ razy (przy czym ostatnie pokrycie nastąpiło dokładnie przy fontannie)? Wynik podaj w metrach.

Wskazówki:

Zauważ, że ślady stóp dziewcząt pokrywają się w odległościach będących wspólnymi wielokrotnościami długości ich pojedynczych kroków.
Wyznacz najmniejszą wspólną wielokrotność ($\text{NWW}$) liczb $45$ oraz $60$, aby poznać dystans dzielący dwa kolejne wspólne ślady.
Przemnóż wyznaczony dystans przez liczbę pokryć śladów, a wynik zamień z centymetrów na metry.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zrozumienie zjawiska pokrywania się kroków:
Ślady stóp Ani pojawiają się co $45\text{ cm}$, a ślady Kasi co $60\text{ cm}$. Dziewczęta zostawiają wspólny ślad w każdym punkcie, którego odległość od miejsca startu jest podzielna jednocześnie przez $45$ i przez $60$. Pierwsze wspólne pokrycie nastąpi w odległości równej najmniejszej wspólnej wielokrotności obu liczb, czyli $\text{NWW}(45, 60)$.
Wyznaczenie najmniejszej wspólnej wielokrotności $\text{NWW}(45, 60)$:
Rozkładamy obie długości kroków na czynniki pierwsze: $$ \begin{aligned} 45 &= 3^2 \cdot 5 \\ 60 &= 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \end{aligned} $$ Bierzemy najwyższe potęgi wszystkich występujących czynników pierwszych: $$ \begin{aligned} \text{NWW}(45, 60) &= 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \\ &= 4 \cdot 9 \cdot 5 \\ &= 180\text{ cm} \end{aligned} $$ Oznacza to, że ślady pokrywają się dokładnie co $180\text{ cm}$ (czyli co $1{,}8\text{ m}$). W tym czasie Ania wykonuje $4$ kroki ($4 \cdot 45\text{ cm} = 180\text{ cm}$), a Kasia $3$ kroki ($3 \cdot 60\text{ cm} = 180\text{ cm}$).
Obliczenie całkowitej odległości do fontanny:
Skoro ślady pokryły się na trasie $20$ razy, a ostatnie pokrycie nastąpiło dokładnie przy fontannie, mnożymy odległość jednego cyklu przez liczbę powtórzeń: $$ \begin{aligned} s &= 20 \cdot 180\text{ cm} \\ &= 3600\text{ cm} \end{aligned} $$ Zamieniamy wynik na metry ($1\text{ m} = 100\text{ cm}$): $$ \begin{aligned} s &= \dfrac{3600}{100}\text{ m} \\ &= 36\text{ m} \end{aligned} $$

Odpowiedź: Fontanna znajduje się w odległości $36\text{ m}$ od bramy namiotu.

Zadanie 4 (3 pkt)

W pewnej chwili dwa sztuczne satelity badawcze, Alfa i Beta, znajdują się dokładnie w tej samej linii względem środka Ziemi. Satelita Alfa wykonuje pełny obieg wokół Ziemi w ciągu $72\text{ minut}$, natomiast satelita Beta potrzebuje na to $96\text{ minut}$. Po ilu minutach od tego momentu oba satelity znajdą się po raz pierwszy ponownie dokładnie w tym samym wyjściowym położeniu?

A. $144\text{ minuty}$

B. $216\text{ minut}$

C. $288\text{ minut}$

D. $576\text{ minut}$

Wskazówki:

Aby oba satelity wróciły jednocześnie do wyjściowego położenia, czas który upłynie, musi pozwolić każdemu z nich na wykonanie pełnej, całkowitej liczby okrążeń.
Szukany czas musi być zatem wspólną wielokrotnością liczb $72$ oraz $96$.
Ponieważ pytamy o pierwszy taki moment, oblicz Najmniejszą Wspólną Wielokrotność, czyli $\text{NWW}(72, 96)$, stosując rozkład na czynniki pierwsze.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zrozumienie warunków zadania i model matematyczny:
Niech $t$ oznacza liczbę minut, po których oba satelity wrócą do początkowej konfiguracji. Liczba $t$ musi dzielić się bez reszty przez czas obiegu satelity Alfa ($72\text{ min}$) oraz przez czas obiegu satelity Beta ($96\text{ min}$). Szukamy najmniejszej liczby dodatniej o tej własności: $$t = \text{NWW}(72, 96)$$
Rozkład liczb na czynniki pierwsze:
Rozkładamy obie liczby na iloczyny potęg liczb pierwszych: $$ \begin{aligned} 72 &= 8 \cdot 9 \\ &= 2^3 \cdot 3^2 \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} 96 &= 32 \cdot 3 \\ &= 2^5 \cdot 3^1 \end{aligned} $$
Wyznaczenie Najmniejszej Wspólnej Wielokrotności:
Wybieramy wszystkie występujące czynniki pierwsze w najwyższych potęgach ($2^5$ oraz $3^2$): $$ \begin{aligned} \text{NWW}(72, 96) &= 2^5 \cdot 3^2 \\ &= 32 \cdot 9 \\ &= 288 \end{aligned} $$ Zatem szukany czas wynosi $288\text{ minut}$.
Sprawdzenie liczby wykonanych obiegów:
Obliczamy liczbę okrążeń wykonanych w tym czasie przez każdego z satelitów: $$\text{Alfa: } \dfrac{288}{72} = 4\text{ pełne okrążenia}$$ $$\text{Beta: } \dfrac{288}{96} = 3\text{ pełne okrążenia}$$ Obie wartości są liczbami całkowitymi, co potwierdza poprawność wyznaczonego momentu.

Odpowiedź: C ($288\text{ minut}$)

Zadanie 5 (3 pkt)

Reszta z dzielenia liczby całkowitej przez $3$ jest równa $2$, a reszta z dzielenia tej liczby przez $5$ jest równa $1$. Wyznacz resztę z dzielenia tej liczby całkowitej przez $15$.

Wskazówki:

Zapisz postać liczby wynikającą z dzielenia przez $5$ z resztą $1$: $n = 5m + 1$, gdzie $m \in \mathbb{Z}$.
Rozważ możliwe reszty liczby $m$ z dzielenia przez $3$ (czyli postaci $m = 3p$, $m = 3p + 1$ oraz $m = 3p + 2$), aby sprawdzić, która z nich daje resztę $2$ przy dzieleniu całej liczby przez $3$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zapisanie założeń zadania za pomocą definicji dzielenia z resztą:
Niech $n$ oznacza daną liczbę całkowitą. Z warunków zadania otrzymujemy dwa równania: $$n = 3k + 2 \quad \text{dla pewnego } k \in \mathbb{Z}$$ $$n = 5m + 1 \quad \text{dla pewnego } m \in \mathbb{Z}$$
Zbadanie postaci liczby $m$ w zależności od dzielenia przez $3$:
Każdą liczbę całkowitą $m$ można przedstawić w jednej z trzech postaci: $$m = 3p \quad \text{lub} \quad m = 3p + 1 \quad \text{lub} \quad m = 3p + 2$$ gdzie $p \in \mathbb{Z}$. Podstawiamy każdą z nich do wzoru $n = 5m + 1$:

• Dla $m = 3p$: $$ \begin{aligned} n &= 5(3p) + 1 \\ &= 15p + 1 \\ &= 3 \cdot (5p) + 1 \end{aligned} $$ Reszta z dzielenia przez $3$ wynosi $1$ (sprzeczność z warunkiem zadania, reszta miała wynosić $2$).

• Dla $m = 3p + 1$: $$ \begin{aligned} n &= 5(3p + 1) + 1 \\ &= 15p + 5 + 1 \\ &= 15p + 6 \\ &= 3 \cdot (5p + 2) + 0 \end{aligned} $$ Liczba jest podzielna przez $3$ (reszta wynosi $0$), co również nie spełnia założeń.

• Dla $m = 3p + 2$: $$ \begin{aligned} n &= 5(3p + 2) + 1 \\ &= 15p + 10 + 1 \\ &= 15p + 11 \\ &= 3 \cdot (5p + 3) + 2 \end{aligned} $$ W tym przypadku reszta z dzielenia przez $3$ wynosi dokładnie $2$, co spełnia wszystkie warunki zadania.
Odczytanie reszty z dzielenia przez $15$:
Liczba $n$ ma ostateczną postać: $$n = 15p + 11 \quad \text{gdzie } p \in \mathbb{Z}$$ Ponieważ $0 \le 11 < 15$, reszta z dzielenia liczby $n$ przez $15$ jest równa $11$.

Odpowiedź: Reszta z dzielenia tej liczby przez $15$ wynosi $11$.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Litera $X$ oznacza w liczbie $73521X8$ cyfrę dziesiątek. Wpisz w miejsce $X$ taką cyfrę, aby dana liczba była podzielna przez $6$. Podaj wszystkie możliwe rozwiązania.

Zadanie 2 (3 pkt)

Wyznacz $\text{NWD}(a, b)$ oraz $\text{NWW}(a, b)$, jeśli:
a) $a = 720,\ b = 1680$
b) $a = 260,\ b = 195$

Zadanie 3 (3 pkt)

Tomek i Michał postanowili zmierzyć długość prostej ścieżki w parku od ławki do altany za pomocą swoich kroków. Obaj wyruszyli równocześnie z tego samego punktu przy ławce. Krok Tomka ma długość $50\text{ cm}$, natomiast krok Michała ma długość $70\text{ cm}$. W jakiej odległości od ławki znajduje się altana, jeśli ślady stóp chłopców pokryły się na ścieżce $12$ razy (przy czym ostatni wspólny ślad wypadł dokładnie przy wejściu do altany)? Wynik podaj w metrach.

Zadanie 4 (3 pkt)

W pewnym układzie planetarnym dwie planety, Gaja i Kronos, krążą wokół wspólnej gwiazdy po orbitach kołowych. W określonym dniu obie planety ustawiły się w jednej linii z gwiazdą. Planeta Gaja wykonuje pełny obieg w ciągu $120\text{ dni}$, natomiast planeta Kronos w ciągu $150\text{ dni}$. Po ilu dniach obie planety znajdą się po raz pierwszy ponownie dokładnie w tym samym wyjściowym położeniu względem gwiazdy?

A. $300\text{ dni}$

B. $600\text{ dni}$

C. $900\text{ dni}$

D. $1800\text{ dni}$

Zadanie 5 (3 pkt)

Reszta z dzielenia liczby całkowitej przez $3$ jest równa $1$, a reszta z dzielenia tej liczby przez $7$ jest równa $3$. Wyznacz resztę z dzielenia tej liczby całkowitej przez $21$.

1.5 Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋