Zbiór. Działania na zbiorach LiczBit

1.1 Zbiór. Działania na zbiorach

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (4 pkt)

Wyznacz zbiory $A \cup B$, $A \cap B$, $A - B$ oraz $B - A$, jeśli:
a) $A = \{1, 3, 4, 6, 7\}$, $B = \{3, 5, 7\}$
b) $A = \{4, 8, 12, \dots, 40\}$, $B = \{2, 4, 6, \dots, 42\}$
c) $A = \{1, 3, 5, \dots, 49\}$, $B = \{2, 4, 6, \dots, 50\}$
d) $A$ – zbiór cyfr, $B = \{0, 3, 6, 9, 12\}$

Wskazówki:

Suma zbiorów ($A \cup B$): zbiór złożony ze wszystkich elementów, które należą do zbioru $A$ lub do zbioru $B$ (zapisujemy każdy element bez powtórzeń).
Iloczyn / część wspólna ($A \cap B$): zbiór złożony wyłącznie z elementów należących jednocześnie do obu zbiorów.
Różnica zbiorów ($A - B$): zbiór elementów należących do zbioru $A$, z którego usuwamy wszystkie elementy będące w zbiorze $B$.
Różnica zbiorów ($B - A$): zbiór elementów należących do zbioru $B$, z którego usuwamy wszystkie elementy będące w zbiorze $A$.
Pamiętaj, że zbiór cyfr w systemie dziesiętnym to $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Liczby od $10$ w górę składają się z cyfr, ale same cyframi nie są.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie działań dla podpunktu a):
Dane są zbiory: $A = \{1, 3, 4, 6, 7\}$ oraz $B = \{3, 5, 7\}$.
- Część wspólna ($A \cap B$): Szukamy elementów, które występują w obu zbiorach jednocześnie. Są to liczby $3$ i $7$: $$A \cap B = \{3, 7\}$$ - Suma zbiorów ($A \cup B$): Łączymy wszystkie elementy z obu zbiorów bez powtarzania: $$A \cup B = \{1, 3, 4, 5, 6, 7\}$$ - Różnica $A - B$: Ze zbioru $A$ zabieramy elementy należące do $B$ (czyli $3$ i $7$): $$A - B = \{1, 4, 6\}$$ - Różnica $B - A$: Ze zbioru $B$ zabieramy elementy należące do $A$ (czyli $3$ i $7$): $$B - A = \{5\}$$
Wyznaczenie działań dla podpunktu b):
Analizujemy zbiory zadane za pomocą reguły:
Zbiór $A = \{4, 8, 12, \dots, 40\}$ to zbiór dodatnich wielokrotności liczby $4$ nie większych niż $40$.
Zbiór $B = \{2, 4, 6, \dots, 42\}$ to zbiór dodatnich liczb parzystych (czyli wielokrotności liczby $2$) nie większych niż $42$.
Ponieważ każda wielokrotność liczby $4$ jest również liczbą parzystą, każdy element zbioru $A$ należy do zbioru $B$. Zachodzi więc relacja zawierania: $$A \subset B$$ Z własności inkluzji zbiorów otrzymujemy:
- Suma zbiorów: $$A \cup B = B = \{2, 4, 6, \dots, 42\}$$ - Część wspólna: $$A \cap B = A = \{4, 8, 12, \dots, 40\}$$ - Różnica $A - B$: Skoro wszystkie elementy $A$ należą do $B$, po ich odjęciu nie zostaje żaden element: $$A - B = \emptyset$$ - Różnica $B - A$: Są to liczby parzyste ze zbioru $B$, które nie są podzielne przez $4$ (czyli liczby dające resztę $2$ przy dzieleniu przez $4$): $$B - A = \{2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42\} = \{2, 6, 10, \dots, 42\}$$
Wyznaczenie działań dla podpunktu c):
Zbiór $A = \{1, 3, 5, \dots, 49\}$ to zbiór dodatnich liczb nieparzystych mniejszych od $50$.
Zbiór $B = \{2, 4, 6, \dots, 50\}$ to zbiór dodatnich liczb parzystych nie większych od $50$.
Żadna liczba całkowita nie może być jednocześnie parzysta i nieparzysta, więc zbiory $A$ i $B$ są rozłączne:
- Część wspólna: $$A \cap B = \emptyset$$ - Suma zbiorów: Połączenie liczb nieparzystych i parzystych tworzy zbiór wszystkich kolejnych liczb naturalnych od $1$ do $50$: $$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, \dots, 50\}$$ - Różnica $A - B$: Ponieważ zbiory nie mają wspólnych elementów, odejmując zbiór $B$, nie usuwamy nic ze zbioru $A$: $$A - B = A = \{1, 3, 5, \dots, 49\}$$ - Różnica $B - A$: Podobnie, odejmując zbiór $A$, nie usuwamy nic ze zbioru $B$: $$B - A = B = \{2, 4, 6, \dots, 50\}$$
Wyznaczenie działań dla podpunktu d):
Zbiór cyfr w zapisie dziesiętnym to: $$A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$$ Drugi zbiór to $B = \{0, 3, 6, 9, 12\}$.
Zauważmy, że liczba $12$ jest liczbą dwucyfrową, więc $12 \notin A$.
- Część wspólna ($A \cap B$): Elementy ze zbioru $B$, które są jednocyfrowe (należą do $A$): $$A \cap B = \{0, 3, 6, 9\}$$ - Suma zbiorów ($A \cup B$): Wszystkie cyfry oraz dodatkowo liczba $12$: $$A \cup B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12\}$$ - Różnica $A - B$: Wszystkie cyfry poza $0, 3, 6, 9$: $$A - B = \{1, 2, 4, 5, 7, 8\}$$ - Różnica $B - A$: Ze zbioru $B$ usuwamy cyfry, zostaje tylko liczba dwucyfrowa $12$: $$B - A = \{12\}$$

Odpowiedź:
a) $A \cup B = \{1, 3, 4, 5, 6, 7\}$, $A \cap B = \{3, 7\}$, $A - B = \{1, 4, 6\}$, $B - A = \{5\}$
b) $A \cup B = \{2, 4, 6, \dots, 42\}$, $A \cap B = \{4, 8, 12, \dots, 40\}$, $A - B = \emptyset$, $B - A = \{2, 6, 10, \dots, 42\}$
c) $A \cup B = \{1, 2, 3, \dots, 50\}$, $A \cap B = \emptyset$, $A - B = \{1, 3, 5, \dots, 49\}$, $B - A = \{2, 4, 6, \dots, 50\}$
d) $A \cup B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12\}$, $A \cap B = \{0, 3, 6, 9\}$, $A - B = \{1, 2, 4, 5, 7, 8\}$, $B - A = \{12\}$

Zadanie 2 (3 pkt)

Przyjmijmy następujące oznaczenia:

$T$ – zbiór trapezów
$R$ – zbiór równoległoboków
$B$ – zbiór rombów
$K$ – zbiór kwadratów

Które z poniższych zdań są fałszywe?

a) $B \cap K = B$

b) $B \cup R = R$

c) $B \subset T$

d) $B - R = B$

e) $K \cap B = K$

f) $T - R = \emptyset$

Wskazówki:

Przypomnij sobie relacje zawierania między czworokątami: każdy kwadrat jest rombem, każdy romb jest równoległobokiem, a każdy równoległobok jest trapezem ($K \subset B \subset R \subset T$).
Dla dowolnych dwóch zbiorów, jeżeli $X \subset Y$, to ich iloczyn (część wspólna) daje zbiór mniejszy $X \cap Y = X$, ich suma daje zbiór większy $X \cup Y = Y$, a ich różnica $X - Y$ jest zbiorem pustym $\emptyset$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Ustalenie hierarchii i relacji zawierania (inkluzji) między zbiorami czworokątów:
Analizujemy definicje poszczególnych figur geometrycznych:
– Kwadrat ma wszystkie boki równe oraz wszystkie kąty proste, zatem w szczególności jest rombem, czyli $K \subset B$.
– Romb ma przeciwległe boki równoległe, więc jest równoległobokiem o wszystkich bokach równej długości, co oznacza, że $B \subset R$.
– Równoległobok posiada dwie pary boków równoległych, zatem ma co najmniej jedną parę boków równoległych, co czyni go trapezem: $R \subset T$.
Otrzymujemy następujący łańcuch zawierania: $$K \subset B \subset R \subset T$$
Ocena zdań a), b) oraz c):
a) $B \cap K = B$: Ponieważ $K \subset B$, iloczyn zbioru rombów i kwadratów jest równy zbiorowi mniejszemu, czyli $B \cap K = K$. Równość $B \cap K = B$ zachodziłaby tylko wtedy, gdyby każdy romb był kwadratem, co nie jest prawdą (istnieją romby bez kątów prostych). Zdanie jest fałszywe.
b) $B \cup R = R$: Ponieważ każdy romb jest równoległobokiem ($B \subset R$), dodanie zbioru $B$ do zbioru $R$ nie wprowadza nowych elementów, więc $B \cup R = R$. Zdanie jest prawdziwe.
c) $B \subset T$: Z faktu, że $B \subset R$ oraz $R \subset T$, na mocy przechodniości inkluzji wynika, że każdy romb jest trapezem. Zdanie jest prawdziwe.
Ocena zdań d), e) oraz f):
d) $B - R = B$: Różnica $B - R$ to zbiór rombów, które nie są równoległobokami. Ponieważ każdy romb jest równoległobokiem ($B \subset R$), odejmując zbiór $R$, usuwamy wszystkie elementy zbioru $B$. W rezultacie $B - R = \emptyset$. Zdanie jest fałszywe.
e) $K \cap B = K$: Ponieważ każdy kwadrat jest rombem ($K \subset B$), ich częścią wspólną jest cały zbiór kwadratów. Zdanie jest prawdziwe.
f) $T - R = \emptyset$: Równość ta byłaby prawdziwa tylko wtedy, gdyby każdy trapez był równoległobokiem ($T \subset R$). Istnieją jednak trapezy o dokładnie jednej parze boków równoległych (np. trapezy różnoboczne czy prostokątne), które nie są równoległobokami. Zatem $T - R \neq \emptyset$. Zdanie jest fałszywe.

Odpowiedź: Zdania fałszywe to: a), d), f).

Zadanie 3 (3 pkt)

Na kołach reprezentujących zbiory $A$, $B$ oraz $C$ wykonano pewne operacje i zacieniowano otrzymane figury. Używając symboli: $\cap$, $\cup$, $\setminus$ oraz liter $A, B, C$, zapisz te działania dla każdego z podpunktów od a) do f).

Wskazówki:

Gdy zacieniowane są obszary styku, warto sprawdzić podwójne iloczyny: $A \cap B$, $B \cap C$ oraz $A \cap C$.
Biała „dziura” wewnątrz zamalowanej figury zazwyczaj oznacza odjęcie ($\setminus$) jakiegoś mniejszego podzbioru.
Zamalowanie całego jednego koła wraz z fragmentem obok można złożyć z sumy ($\cup$) tego koła i odpowiedniego przekroju pozostałych kół.

Rozwiązanie krok po kroku:

Analiza podpunktu a) – elementy należące do dokładnie dwóch zbiorów:
Zamalowano części wspólne każdej pary kół ($A \cap B$, $B \cap C$, $A \cap C$), lecz z samego środka wycięto obszar należący jednocześnie do wszystkich trzech kół ($A \cap B \cap C$). $$((A \cap B) \cup (B \cap C) \cup (A \cap C)) \setminus (A \cap B \cap C)$$
Analiza podpunktu b) – elementy należące wyłącznie do jednego zbioru:
Zamalowano zewnętrzne „płatki” każdego ze zbiorów, co odpowiada sumie wszystkich kół ($A \cup B \cup C$) z usunięciem wszelkich obszarów styku dwóch lub trzech zbiorów. $$(A \cup B \cup C) \setminus ((A \cap B) \cup (B \cap C) \cup (A \cap C))$$
Analiza podpunktu c) – całe koło i pojedynczy styk:
Zacieniowano w całości koło $A$ oraz dodatkowo fragment wspólny pozostałych dwóch kół $B$ i $C$. Zapisujemy to jako sumę koła $A$ i iloczynu $B \cap C$. $$A \cup (B \cap C)$$
Analiza podpunktu d) – różnica symetryczna bez trzeciego zbioru:
Zamalowano wyłącznie fragmenty należące tylko do $A$ lub tylko do $B$, z wycięciem koła $C$ oraz ich wzajemnego przecięcia. $$(A \cup B) \setminus (C \cup (A \cap B))$$
Analiza podpunktu e) – elementy należące do co najmniej dwóch zbiorów:
Zamalowano cały wewnętrzny rdzeń tworzony przez przecięcia par kół, włącznie ze środkiem potrójnym. Jest to suma wszystkich dwuelementowych iloczynów. $$(A \cap B) \cup (B \cap C) \cup (A \cap C)$$
Analiza podpunktu f) – suma z wyciętym pojedynczym stykiem:
Zamalowano wszystkie trzy zbiory w całości, za wyjątkiem górnego obszaru wspólnego kół $A$ i $B$. $$(A \cup B \cup C) \setminus (A \cap B)$$

Odpowiedź: a) $((A \cap B) \cup (B \cap C) \cup (A \cap C)) \setminus (A \cap B \cap C)$, b) $(A \cup B \cup C) \setminus ((A \cap B) \cup (B \cap C) \cup (A \cap C))$, c) $A \cup (B \cap C)$, d) $(A \cup B) \setminus (C \cup (A \cap B))$, e) $(A \cap B) \cup (B \cap C) \cup (A \cap C)$, f) $(A \cup B \cup C) \setminus (A \cap B)$

Zadanie 4 (3 pkt)

W 32-osobowej klasie każdy uczeń trenuje siatkówkę lub koszykówkę. Wiedząc, że siatkówkę trenuje 20 uczniów, a koszykówkę 18 uczniów, oblicz, ilu uczniów tej klasy trenuje obie te dyscypliny sportowe.

Wskazówki:

Wprowadź niewiadomą $x$ oznaczającą liczbę uczniów uprawiających obie dyscypliny i przedstaw liczbę trenujących tylko jedną dyscyplinę na diagramie Venna.
Możesz również skorzystać bezpośrednio ze wzoru na moc sumy dwóch zbiorów (zasada włączeń i wyłączeń): $|S \cup K| = |S| + |K| - |S \cap K|$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Rozwiązanie za pomocą diagramu Venna i niewiadomej $x$:
Oznaczmy przez $x$ liczbę uczniów, którzy trenują jednocześnie siatkówkę i koszykówkę (część wspólna obu kół).
Wiedząc, że siatkówkę trenuje łącznie 20 uczniów, liczba osób trenujących wyłącznie siatkówkę wynosi: $$20 - x$$ Podobnie, skoro koszykówkę trenuje 18 osób, liczba uczniów grających wyłącznie w koszykówkę jest równa: $$18 - x$$ Poniższy diagram Venna ilustruje ten podział:

Ponieważ każdy z 32 uczniów uprawia co najmniej jeden sport, suma uczniów we wszystkich trzech rozłącznych częściach diagramu musi być równa liczebności całej klasy: $$(20 - x) + x + (18 - x) = 32$$ Redukujemy wyrazy podobne: $$20 + 18 - x = 32$$ $$38 - x = 32$$ $$x = 38 - 32 = 6$$ Zatem obie dyscypliny uprawia $6$ uczniów.
Sposób II – Rozwiązanie za pomocą rachunku zbiorów (zasada włączeń i wyłączeń):
Oznaczmy:
- $S$ — zbiór uczniów trenujących siatkówkę,
- $K$ — zbiór uczniów trenujących koszykówkę.
Z treści zadania znamy liczebności poszczególnych zbiorów oraz ich sumy: $$|S| = 20, \quad |K| = 18, \quad |S \cup K| = 32$$ Zgodnie z zasadą włączeń i wyłączeń moc sumy dwóch zbiorów wyraża się wzorem: $$|S \cup K| = |S| + |K| - |S \cap K|$$ Przekształcamy wzór tak, aby wyznaczyć moc części wspólnej $|S \cap K|$: $$|S \cap K| = |S| + |K| - |S \cup K|$$ Podstawiamy dane liczbowe: $$|S \cap K| = 20 + 18 - 32 = 38 - 32 = 6$$
Podsumowanie i sprawdzenie:
Obie metody prowadzą do tego samego wyniku. Możemy zweryfikować liczbę uczniów w poszczególnych grupach:
- Tylko siatkówka: $20 - 6 = 14$ uczniów,
- Tylko koszykówka: $18 - 6 = 12$ uczniów,
- Obie dyscypliny: $6$ uczniów.
Łącznie: $$14 + 6 + 12 = 32$$ Liczba ta w pełni odpowiada liczebności całej klasy.

Odpowiedź: $6$

Zadanie 5 (3 pkt)

W 35-osobowej klasie muzycznej: 19 uczniów gra na gitarze, 16 gra na pianinie, a 12 gra na perkusji. Wiadomo również, że 9 uczniów gra na gitarze i na pianinie, 6 uczniów gra na gitarze i na perkusji, a 5 uczniów gra na pianinie i na perkusji. Trzech uczniów gra na wszystkich trzech wymienionych instrumentach.
a) Ilu uczniów w tej klasie nie gra na żadnym z tych instrumentów?
b) Ilu uczniów gra wyłącznie na gitarze?
c) Ilu uczniów gra tylko na pianinie i na perkusji?

Wskazówki:

W metodzie z diagramem Venna uzupełnianie pól zawsze rozpoczynaj od samego środka, czyli od części wspólnej wszystkich trzech zbiorów, a następnie odejmuj tę wartość od podwójnych przecięć.
W metodzie formalnej wykorzystaj zasadę włączeń i wyłączeń dla trzech zbiorów, aby obliczyć liczebność sumy, a następnie dopełnienie do liczby wszystkich uczniów.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Rozwiązanie na podstawie diagramu Venna (od środka do zewnątrz):
Rysujemy trzy przecinające się koła reprezentujące zbiory: $G$ (grający na gitarze), $P$ (grający na pianinie) oraz $K$ (grający na perkusji). Wypełniamy poszczególne rozłączne obszary diagramu w następującej kolejności:
- Środek (wszystkie 3 instrumenty): Wpisujemy bezpośrednio daną z zadania: $3$.
- Tylko dwa instrumenty: Od liczebności par odejmujemy środek:
  - Tylko gitara i pianino: $9 - 3 = 6$
  - Tylko gitara i perkusja: $6 - 3 = 3$
  - Tylko pianino i perkusja: $5 - 3 = 2$
- Tylko jeden instrument: Od całkowitej liczby uczniów grających na danym instrumencie odejmujemy trzy pozostałe części jego koła:
  - Tylko gitara: $19 - (6 + 3 + 3) = 19 - 12 = 7$
  - Tylko pianino: $16 - (6 + 3 + 2) = 16 - 11 = 5$
  - Tylko perkusja: $12 - (3 + 3 + 2) = 12 - 8 = 4$
- Żaden instrument (poza kołami): Sumujemy wszystkich uczniów grających na co najmniej jednym instrumencie: $$7 + 5 + 4 + 6 + 3 + 2 + 3 = 30$$ Od liczby wszystkich osób w klasie odejmujemy tę sumę: $$35 - 30 = 5$$
Odczytujemy bezpośrednio z diagramu:
- a) Żadnego instrumentu nie uprawia $5$ osób.
- b) Tylko na gitarze gra $7$ osób.
- c) Tylko na pianinie i perkusji grają $2$ osoby.
Sposób II – Rozwiązanie formalne za pomocą rachunku zbiorów:
Oznaczmy:
- $U$ — przestrzeń wszystkich uczniów klasy ($|U| = 35$),
- $G, P, K$ — odpowiednio zbiory osób grających na gitarze, pianinie i perkusji.
Z treści zadania mamy dane: $$|G| = 19, \quad |P| = 16, \quad |K| = 12$$ $$|G \cap P| = 9, \quad |G \cap K| = 6, \quad |P \cap K| = 5, \quad |G \cap P \cap K| = 3$$
Podpunkt a) Liczba osób niegrających na żadnym instrumencie:
Wyznaczamy moc sumy trzech zbiorów ze wzoru włączeń i wyłączeń: $$|G \cup P \cup K| = |G| + |P| + |K| - (|G \cap P| + |G \cap K| + |P \cap K|) + |G \cap P \cap K|$$ Podstawiamy liczby: $$|G \cup P \cup K| = 19 + 16 + 12 - (9 + 6 + 5) + 3 = 47 - 20 + 3 = 30$$ Liczba osób niegrających na żadnym instrumencie to moc dopełnienia tej sumy: $$|(G \cup P \cup K)'| = |U| - |G \cup P \cup K| = 35 - 30 = 5$$
Podpunkt b) Liczba osób grających wyłącznie na gitarze:
Wyznaczamy moc różnicy zbioru $G$ i sumy pozostałych dwóch zbiorów $P \cup K$: $$|G \setminus (P \cup K)| = |G| - |G \cap P| - |G \cap K| + |G \cap P \cap K|$$ Podstawiamy wartości: $$|G \setminus (P \cup K)| = 19 - 9 - 6 + 3 = 7$$
Podpunkt c) Liczba osób grających tylko na pianinie i na perkusji:
Odejmujemy od iloczynu zbiorów $P$ i $K$ tych uczniów, którzy grają także na gitarze: $$|(P \cap K) \setminus G| = |P \cap K| - |G \cap P \cap K| = 5 - 3 = 2$$

Odpowiedź: a) $5$, b) $7$, c) $2$

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Wyznacz zbiory $A \cup B$, $A \cap B$, $A - B$ oraz $B - A$, jeśli:
a) $A = \{2, 4, 5, 7, 9\}$, $B = \{1, 2, 7, 8\}$
b) $A = \{10, 20, 30, \dots, 100\}$, $B = \{5, 10, 15, \dots, 105\}$
c) $A = \{10, 12, 14, \dots, 50\}$, $B = \{11, 13, 15, \dots, 49\}$
d) $A$ – zbiór cyfr, $B = \{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13\}$

Zadanie 2 (3 pkt)

Przyjmijmy następujące oznaczenia:

$T$ – zbiór wszystkich trójkątów
$R$ – zbiór trójkątów równoramiennych
$B$ – zbiór trójkątów równobocznych
$P$ – zbiór trójkątów prostokątnych

Które z poniższych zdań są fałszywe?

a) $B \cap R = B$

b) $B \cap P = \emptyset$

c) $R \cup B = B$

d) $P - T = P$

e) $B \subset T$

f) $T \subset R$

Zadanie 3 (3 pkt)

Na poniższych diagramach Venna zilustrowano nietypowe konfiguracje działań na zbiorach $A$, $B$ i $C$. Zapisz operacje prowadzące do zacieniowanych zbiorów za pomocą symboli: $\cap$, $\cup$, $\setminus$ oraz oznaczeń $A, B, C$.

Zadanie 4 (3 pkt)

Na półce w bibliotece znajduje się 40 książek i każda z nich to kryminał lub książka w twardej oprawie. Wiadomo, że kryminałów jest 28, a książek w twardej oprawie jest 25. Oblicz, ile kryminałów w twardej oprawie stoi na tej półce.

Zadanie 5 (3 pkt)

W 40-osobowym klubie czytelniczym: 25 osób czyta powieści kryminalne, 18 osób czyta literaturę fantastyczną, a 15 osób czyta książki historyczne. Wiadomo również, że 10 osób czyta kryminały i fantastykę, 8 osób czyta kryminały i książki historyczne, a 6 osób czyta fantastykę i książki historyczne. Cztery osoby z tego klubu czytają książki ze wszystkich trzech wymienionych gatunków.
a) Ile osób w klubie nie czyta książek z żadnego z tych trzech gatunków?
b) Ile osób czyta wyłącznie powieści kryminalne?
c) Ile osób czyta tylko literaturę fantastyczną i książki historyczne?

1.1 Zbiór. Działania na zbiorach

Grupa A

Zadanie 1 (4 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋