Zastosowanie wiadomości o funkcjach do opisywania, interpretowania i przetwarzania informacji wyrażonych w postaci wykresu funkcji kartkówka LiczBit

3.11 Zastosowanie wiadomości o funkcjach do opisywania, interpretowania i przetwarzania informacji wyrażonych w postaci wykresu funkcji

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Przez rozpuszczalność substancji rozumiemy maksymalną ilość tej substancji wyrażoną w gramach, którą można rozpuścić w 100 gramach rozpuszczalnika (wody) w danej temperaturze, otrzymując roztwór nasycony. Wykres poniżej przedstawia tę zależność dla trzech substancji: azotanu potasu, chlorku sodu i siarczanu miedzi.

Korzystając z wykresu, odpowiedz na poniższe pytania:

a) Której substancji można rozpuścić najwięcej w temperaturze $20^\circ\text{C}$?
b) W jakiej temperaturze azotan potasu i chlorek sodu mają taką samą rozpuszczalność w wodzie?
c) W jakiej temperaturze rozpuści się maksymalnie $50\text{ g}$ azotanu potasu w $100\text{ g}$ wody?
d) Z wykresu można odczytać, że w temperaturze $40^\circ\text{C}$ rozpuszczalność siarczanu miedzi wynosi $25\text{ g} / 100\text{ g}$ wody. Oblicz stężenie procentowe tego nasyconego roztworu.

Wskazówki:

Oś pozioma reprezentuje temperaturę roztworu $T$ w stopniach Celsjusza, a oś pionowa maksymalną masę substancji (w gramach), którą można rozpuścić w $100\text{ g}$ wody.
Aby sprawdzić, której substancji rozpuści się najwięcej w danej temperaturze, prowadzimy pionową linię od danej temperatury i patrzymy, który wykres znajduje się najwyżej.
Jednakowa rozpuszczalność dwóch substancji odpowiada punktowi przecięcia ich krzywych na wykresie.
Stężenie procentowe roztworu nasyconego wyznaczamy ze wzoru $C_p = \dfrac{m_s}{m_r} \cdot 100\%$, pamiętając, że masa roztworu to suma masy substancji i masy rozpuszczalnika ($m_r = m_s + m_w$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Ustalenie, której substancji można rozpuścić najwięcej w temperaturze $20^\circ\text{C}$:
Na osi poziomej odnajdujemy temperaturę $T = 20^\circ\text{C}$ i odczytujemy wartości rozpuszczalności dla każdej z trzech substancji (położenie wykresów w pionie):
- dla siarczanu miedzi rozpuszczalność wynosi ok. $17\text{ g} / 100\text{ g}$ wody,
- dla azotanu potasu rozpuszczalność wynosi ok. $28\text{ g} / 100\text{ g}$ wody,
- dla chlorku sodu rozpuszczalność wynosi ok. $37\text{ g} / 100\text{ g}$ wody.
Krzywa odpowiadająca chlorkowi sodu leży w tej temperaturze najwyżej, co oznacza, że w temperaturze $20^\circ\text{C}$ można rozpuścić najwięcej chlorku sodu.
Podpunkt b) Wyznaczenie temperatury, w której azotan potasu i chlorek sodu mają jednakową rozpuszczalność:
Jednakowa rozpuszczalność oznacza, że obie substancje mają w danej temperaturze tę samą wartość na osi pionowej, co geometrycznie odpowiada punktowi przecięcia się ich wykresów. Szukamy punktu przecięcia niebieskiej krzywej (azotan potasu) z zieloną prostą (chlorek sodu). Punkt ten znajduje się dokładnie na pionowej linii odpowiadającej temperaturze $T = 30^\circ\text{C}$ (gdzie rozpuszczalność obu soli wynosi ok. $37\text{ g} / 100\text{ g}$ wody).
Zatem azotan potasu i chlorek sodu mają taką samą rozpuszczalność w temperaturze $30^\circ\text{C}$.
Podpunkt c) Odczytanie temperatury, w której rozpuści się maksymalnie $50\text{ g}$ azotanu potasu w $100\text{ g}$ wody:
Na osi pionowej (rozpuszczalność) odnajdujemy wartość $50\text{ g}$. Następnie prowadzimy poziomą linię aż do przecięcia z wykresem azotanu potasu. Z otrzymanego punktu rzutujemy pionowo w dół na oś poziomą. Odczytana wartość temperatury wynosi dokładnie $40^\circ\text{C}$.
Podpunkt d) Obliczenie stężenia procentowego nasyconego roztworu siarczanu miedzi w temperaturze $40^\circ\text{C}$:
Z treści zadania i wykresu wiemy, że rozpuszczalność siarczanu miedzi w temperaturze $40^\circ\text{C}$ wynosi $25\text{ g} / 100\text{ g}$ wody. Oznacza to, że nasycony roztwór zawiera:
- masę substancji rozpuszczonej: $m_s = 25\text{ g}$,
- masę rozpuszczalnika (wody): $m_w = 100\text{ g}$.
Obliczamy masę całego roztworu $m_r$: $$\begin{aligned} m_r &= m_s + m_w \\[8pt] &= 25\text{ g} + 100\text{ g} \\[8pt] &= 125\text{ g} \end{aligned}$$ Zadanie to możemy dokończyć na dwa sposoby:

Sposób I – Wykorzystanie klasycznego wzoru na stężenie procentowe:
Stosujemy definicyjny wzór: $$C_p = \dfrac{m_s}{m_r} \cdot 100\%$$ Podstawiamy wyznaczone wielkości: $$\begin{aligned} C_p &= \dfrac{25\text{ g}}{125\text{ g}} \cdot 100\% \\[8pt] &= \dfrac{1}{5} \cdot 100\% \\[8pt] &= 20\% \end{aligned}$$
Sposób II – Ułożenie proporcji:
Skoro w $125\text{ g}$ roztworu znajduje się $25\text{ g}$ substancji, to w $100\text{ g}$ roztworu znajduje się $x\text{ g}$ substancji (co odpowiada stężeniu procentowemu): $$\begin{aligned} 125\text{ g roztworu} &\ \longrightarrow\ 25\text{ g substancji} \\[8pt] 100\text{ g roztworu} &\ \longrightarrow\ x\text{ g substancji} \end{aligned}$$ Wyznaczamy $x$: $$\begin{aligned} x &= \dfrac{100 \cdot 25}{125} \\[8pt] &= \dfrac{100}{5} \\[8pt] &= 20\text{ g} \end{aligned}$$ Zatem stężenie procentowe roztworu wynosi $20\%$.

Odpowiedź:
a) Chlorku sodu

b) W temperaturze $30^\circ\text{C}$

c) W temperaturze $40^\circ\text{C}$

d) $20\%$

Zadanie 2

Poniższy wykres przedstawia przebieg temperatury w ciągu pewnej kwietniowej doby.
Przeanalizuj rysunek i odpowiedz na poniższe pytania.
a) O której godzinie zanotowano najniższą temperaturę, i ile ona wynosiła?
b) Ile stopni wynosiła różnica pomiędzy najwyższą i najniższą temperaturą tej doby?
c) W jakich godzinach temperatura rosła?
d) W jakich godzinach temperatura wynosiła 3°C?

Wskazówki:

Wartości temperatury odczytujemy z osi pionowej $T$ (oś rzędnych), a czas w godzinach z osi poziomej $t$ (oś odciętych).
Najniższa temperatura odpowiada najniżej położonemu punktowi (minimum) wykresu, a najwyższa – punktom położonym najwyżej (maksimum).
Różnica temperatur to wynik odejmowania: temperatura najwyższa minus temperatura najniższa. Pamiętaj o regule znaków przy odejmowaniu liczby ujemnej: $a - (-b) = a + b$.
Temperatura rośnie w tych przedziałach czasu, w których wykres biegnie „pod górę” od lewej do prawej strony.
Aby wyznaczyć godziny, w których temperatura wynosiła $3^\circ\text{C}$, prowadzimy poziomą linię na wysokości $T = 3$ i odczytujemy współrzędne czasowe punktów jej przecięcia z wykresem.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie godziny i wartości najniższej temperatury:
Szukamy punktu na wykresie, który leży najniżej. Z wykresu odczytujemy, że wierzchołek minimum znajduje się w punkcie o współrzędnych czasowych $t = 4$ oraz temperaturowych $T = -4$. Oznacza to, że najniższą temperaturę zanotowano o godzinie 4:00 i wynosiła ona $-4^\circ\text{C}$.
Podpunkt b) Obliczenie różnicy pomiędzy najwyższą i najniższą temperaturą:
Odczytujemy z wykresu najwyższą temperaturę: wykres osiąga płaskie maksimum na poziomie $T_{\max} = 6^\circ\text{C}$ (między godziną 15:00 a 17:00).
Najniższa odczytana wcześniej temperatura to $T_{\min} = -4^\circ\text{C}$.
Obliczamy różnicę tych temperatur: $$\begin{aligned} \Delta T &= T_{\max} - T_{\min} \\[6pt] &= 6^\circ\text{C} - (-4^\circ\text{C}) \\[6pt] &= 6^\circ\text{C} + 4^\circ\text{C} \\[6pt] &= 10^\circ\text{C} \end{aligned}$$
Podpunkt c) Wyznaczenie przedziału godzin, w których temperatura rosła:
Wykres jest rosnący tam, gdzie linia wznosi się w górę. Wzrost rozpoczyna się w punkcie minimum o godzinie 4:00 (od temperatury $-4^\circ\text{C}$) i trwa nieprzerwanie aż do osiągnięcia maksymalnej temperatury $6^\circ\text{C}$ o godzinie 15:00. Między 15:00 a 17:00 temperatura była stała, a po godzinie 17:00 malała.
Zatem temperatura rosła w przedziale czasowym od godziny 4:00 do godziny 15:00 (czyli dla $t \in [4:00, 15:00]$).
Podpunkt d) Wyznaczenie godzin, w których temperatura wynosiła $3^\circ\text{C}$:
Prowadzimy prostą poziomą odpowiadającą temperaturze $T = 3^\circ\text{C}$. Prosta ta przecina wykres dokładnie w dwóch punktach: $$\begin{aligned} t_1 &= 12\text{ (godzina 12:00)} \\[4pt] t_2 &= 20\text{ (godzina 20:00)} \end{aligned}$$ Zatem temperatura wynosiła dokładnie $3^\circ\text{C}$ dwukrotnie w ciągu doby: o godzinie 12:00 (podczas ocieplania w ciągu dnia) oraz o godzinie 20:00 (podczas wieczornego ochładzania).

Odpowiedź:
a) Najniższą temperaturę zanotowano o godzinie 4:00 i wynosiła ona $-4^\circ\text{C}$.

b) Różnica pomiędzy najwyższą i najniższą temperaturą wynosiła $10^\circ\text{C}$.

c) Temperatura rosła w godzinach od 4:00 do 15:00.

d) Temperatura wynosiła $3^\circ\text{C}$ o godzinie 12:00 oraz o godzinie 20:00.

Zadanie 3

Od domu Bartka do domu jego babci prowadzi droga w linii prostej. Bartek wybrał się do babci w odwiedziny. Najpierw szedł pieszo na stację kolejową, później czekał na pociąg, a następnie wsiadł do pociągu, który dowiózł go bezpośrednio do stacji położonej tuż przy domu babci. Wykres przedstawia przebytą przez Bartka drogę w zależności od czasu.

a) Z jaką prędkością szedł Bartek na stację kolejową?
b) Ile minut czekał Bartek na pociąg?
c) Jaką drogę pokonał Bartek pociągiem?
d) Z jaką średnią prędkością jechał pociąg?

Wskazówki:

Ruch składa się z trzech etapów: marszu pieszego (odcinek rosnący o łagodnym nachyleniu), oczekiwania na stacji (odcinek poziomy, na którym przebyta droga nie przyrasta) oraz jazdy pociągiem (odcinek stromo rosnący).
Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym wyznaczamy ze wzoru $v = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}$, gdzie $\Delta s$ oznacza przyrost drogi na danym etapie, a $\Delta t$ czas trwania tego etapu.
Zwróć uwagę na podział osi czasu: odcinek między $0$ a $1\text{ h}$ podzielony jest na $6$ równych części, co oznacza, że jedna kratka odpowiada $\dfrac{1}{6}\text{ h} = 10\text{ minutom}$.

Dane i szukane:

Dane odczytane z wykresu:
Czas rozpoczęcia marszu: $t_1 = 0\text{ h}$, położenie początkowe: $s_1 = 0\text{ km}$
Czas zakończenia marszu: $t_2 = \dfrac{4}{6}\text{ h} = \dfrac{2}{3}\text{ h} = 40\text{ min}$, położenie stacji: $s_2 = 4\text{ km}$
Czas odjazdu pociągu (koniec postoju): $t_3 = \dfrac{5}{6}\text{ h} = 50\text{ min}$
Czas przyjazdu do celu: $t_4 = 1{,}5\text{ h} = \dfrac{9}{6}\text{ h} = 90\text{ min}$, całkowita droga: $s_3 = 44\text{ km}$

Szukane:
a) Prędkość marszu Bartka: $v_b = ?$
b) Czas oczekiwania na pociąg: $\Delta t_w = ?$
c) Droga pokonana pociągiem: $s_p = ?$
d) Średnia prędkość pociągu: $v_p = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza etapów ruchu na wykresie:
Wykres zależności drogi od czasu $s(t)$ pozwala jednoznacznie podzielić podróż na trzy kolejne fazy. Każdy odcinek prostoliniowy odpowiada ruchowi jednostajnemu, a jego nachylenie bezpośrednio reprezentuje prędkość:
Podpunkt a) Obliczenie prędkości marszu Bartka na stację:
Wyjściowe dane dla etapu marszu: przebyta droga wynosi $s_2 = 4\text{ km}$, a czas trwania to $4$ kratki osi czasu, czyli $\Delta t_1 = 4 \cdot 10\text{ min} = 40\text{ min} = \dfrac{4}{6}\text{ h} = \dfrac{2}{3}\text{ h}$.

Sposób I – Obliczenia w jednostkach godzinowych:
Stosujemy definicję prędkości w ruchu jednostajnym: $$\begin{aligned} v_b &= \dfrac{s_2}{\Delta t_1} \\[8pt] &= \dfrac{4\text{ km}}{\frac{2}{3}\text{ h}} \\[8pt] &= 4 \cdot \dfrac{3}{2}\text{ km/h} \\[8pt] &= 6\text{ km/h} \end{aligned}$$ Sposób II – Obliczenie prędkości na minutę i przeliczenie na $\text{km/h}$:
Obliczamy, ile kilometrów Bartek przechodził w ciągu jednej minuty: $$v_b = \dfrac{4\text{ km}}{40\text{ min}} = 0{,}1\text{ km/min}$$ W ciągu godziny ($60\text{ minut}$) pokona dystans $60$-krotnie większy: $$v_b = 0{,}1 \cdot 60\text{ km/h} = 6\text{ km/h}$$
Podpunkt b) Wyznaczenie czasu oczekiwania na pociąg:
Oczekiwanie na pociąg reprezentowane jest przez poziomy odcinek wykresu na wysokości $s = 4\text{ km}$ (Bartek nie zmienia swojego położenia).
Początek oczekiwania nastąpił po upływie $4$ kratek ($t_2 = 40\text{ min}$), a odjazd pociągu po upływie $5$ kratek ($t_3 = 50\text{ min}$): $$\begin{aligned} \Delta t_w &= t_3 - t_2 \\[8pt] &= 50\text{ min} - 40\text{ min} \\[8pt] &= 10\text{ min} \end{aligned}$$
Podpunkt c) Wyznaczenie drogi pokonanej pociągiem:
Bartek wsiadł do pociągu na stacji znajdującej się w odległości $s_2 = 4\text{ km}$ od swojego domu, a wysiadł na stacji docelowej w odległości $s_3 = 44\text{ km}$. Droga przebyta pociągiem jest różnicą położeń końcowego i początkowego tego etapu: $$\begin{aligned} s_p &= s_3 - s_2 \\[8pt] &= 44\text{ km} - 4\text{ km} \\[8pt] &= 40\text{ km} \end{aligned}$$
Podpunkt d) Wyznaczenie średniej prędkości pociągu wraz z rysunkiem wynikowym:
Czas jazdy pociągiem rozpoczął się w chwili $t_3 = 50\text{ min} = \dfrac{5}{6}\text{ h}$, a zakończył w chwili $t_4 = 1{,}5\text{ h} = 90\text{ min} = \dfrac{9}{6}\text{ h}$: $$\Delta t_p = 90\text{ min} - 50\text{ min} = 40\text{ min} = \dfrac{40}{60}\text{ h} = \dfrac{2}{3}\text{ h}$$ Sposób I – Podstawienie do wzoru na prędkość w $\text{km/h}$:
$$\begin{aligned} v_p &= \dfrac{s_p}{\Delta t_p} \\[8pt] &= \dfrac{40\text{ km}}{\frac{2}{3}\text{ h}} \\[8pt] &= 40 \cdot \dfrac{3}{2}\text{ km/h} \\[8pt] &= 60\text{ km/h} \end{aligned}$$ Sposób II – Obliczenie prędkości minutowej:
$$v_p = \dfrac{40\text{ km}}{40\text{ min}} = 1\text{ km/min} = 1 \cdot 60\text{ km/h} = 60\text{ km/h}$$ Na poniższym rysunku wynikowym naniesiono wszystkie obliczone wielkości bezpośrednio na wykres:

Odpowiedź:
a) $v_b = 6\text{ km/h}$

b) $10\text{ min}$

c) $s_p = 40\text{ km}$

d) $v_p = 60\text{ km/h}$

Zadanie 4

Z tego samego miejsca wyruszyli w tę samą stronę rowerzysta i motocyklista. Obaj jechali tą samą trasą i w to samo miejsce – do schroniska turystycznego. Rowerzysta wyruszył o godz. $8^{00}$, a motocyklista wyjechał o godz. $9^{00}$ i jechał ze stałą prędkością $60\text{ km/h}$. Na poniższym wykresie przedstawiono zależność drogi przebytej przez rowerzystę od czasu.

a) O której godzinie motocyklista dogoni rowerzystę?
b) Po jakim czasie od przyjazdu do schroniska motocyklisty, na miejsce dotarł rowerzysta?

Wskazówki:

Z wykresu odczytaj czas startu i godzinę dotarcia rowerzysty do schroniska oraz całkowitą odległość trasy.
Oblicz stałą prędkość rowerzysty ze wzoru $v = \dfrac{s}{t}$.
W zadaniu występuje ruch jednostajny prostoliniowy – moment spotkania możesz wyznaczyć na dwa równoważne sposoby: algebraicznie (przyrównując wzory na drogę obu pojazdów) lub graficznie (rysując wykres ruchu motocyklisty i odczytując punkt przecięcia).

Dane i szukane:

Dane:
$t_{1_r} = 8^{00}$ – godzina wyjazdu rowerzysty
$t_{1_m} = 9^{00}$ – godzina wyjazdu motocyklisty
$v_m = 60\text{ km/h}$ – stała prędkość motocyklisty
Z wykresu dla rowerzysty:
$s_c = 60\text{ km}$ – całkowita długość trasy (odległość do schroniska)
$t_{2_r} = 11^{00}$ – godzina przyjazdu rowerzysty do schroniska

Szukane:
a) $t_s = ?$ – godzina, o której motocyklista dogoni rowerzystę
b) $\Delta t = ?$ – różnica czasu dotarcia obu pojazdów do celu ($\Delta t = t_{2_r} - t_{2_m}$)

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i wyznaczenie prędkości rowerzysty:
Na podstawie wykresu ustalamy, że rowerzysta pokonał drogę od $s_1 = 0\text{ km}$ o godzinie $8^{00}$ do schroniska położonego w odległości $s_c = 60\text{ km}$, gdzie dotarł o godzinie $11^{00}$.

Czas jazdy rowerzysty wynosi: $$\begin{aligned} t_r &= t_{2_r} - t_{1_r} \\[8pt] &= 11^{00} - 8^{00} = 3\text{ h} \end{aligned}$$ Obliczamy jego stałą prędkość: $$\begin{aligned} v_r &= \dfrac{s_c}{t_r} \\[8pt] &= \dfrac{60\text{ km}}{3\text{ h}} = 20\text{ km/h} \end{aligned}$$
Podpunkt a) Wyznaczenie godziny dogonienia rowerzysty – Sposób I (algebraiczny):
Rowerzysta wyruszył o godzinie $8^{00}$, więc w chwili startu motocyklisty (o godzinie $9^{00}$) jechał już przez czas: $$t = 9^{00} - 8^{00} = 1\text{ h}$$ Odległość, jaką pokonał rowerzysta do godziny $9^{00}$, wynosi: $$\begin{aligned} s_{0_r} &= v_r \cdot 1\text{ h} \\[8pt] &= 20\text{ km/h} \cdot 1\text{ h} = 20\text{ km} \end{aligned}$$ W chwili wyjazdu motocyklisty przewaga rowerzysty wynosiła zatem $20\text{ km}$. Prędkość względna, z jaką motocyklista zbliża się do rowerzysty, to: $$\begin{aligned} v_{wzg} &= v_m - v_r \\[8pt] &= 60\text{ km/h} - 20\text{ km/h} = 40\text{ km/h} \end{aligned}$$ Czas potrzebny motocykliście na odrobienie przewagi rowerzysty: $$\begin{aligned} t_{dog} &= \dfrac{s_{0_r}}{v_{wzg}} \\[8pt] &= \dfrac{20\text{ km}}{40\text{ km/h}} = 0{,}5\text{ h} = 30\text{ min} \end{aligned}$$ Dodając ten czas do godziny startu motocyklisty, otrzymujemy godzinę spotkania: $$\begin{aligned} t_s &= 9^{00} + 30\text{ min} = 9^{30} \end{aligned}$$
Podpunkt a) Wyznaczenie godziny dogonienia rowerzysty – Sposób II (graficzny) i rysunek wynikowy:
Motocyklista wyjeżdża o godzinie $9^{00}$ ze stałą prędkością $v_m = 60\text{ km/h}$. Oznacza to, że po upływie $1\text{ h}$ (o godzinie $10^{00}$) pokonuje odległość $60\text{ km}$. Wykresem jego ruchu jest odcinek łączący punkt $(9^{00}, 0\text{ km})$ z punktem $(10^{00}, 60\text{ km})$.

Punkt przecięcia obu prostych ma współrzędne $(9^{30}, 30\text{ km})$, co oznacza, że motocyklista dogonił rowerzystę po przebyciu $30\text{ km}$ o godzinie $9^{30}$.
Podpunkt b) Obliczenie różnicy czasu przyjazdu obu pojazdów do schroniska:
Droga do schroniska wynosi $s_c = 60\text{ km}$. Czas jazdy motocyklisty wynosi: $$\begin{aligned} t_m &= \dfrac{s_c}{v_m} \\[8pt] &= \dfrac{60\text{ km}}{60\text{ km/h}} = 1\text{ h} \end{aligned}$$ Ponieważ motocyklista wyjechał o godzinie $9^{00}$, na miejsce dotarł o: $$\begin{aligned} t_{2_m} &= 9^{00} + 1\text{ h} = 10^{00} \end{aligned}$$ Z wykresu wynika, że rowerzysta dotarł do schroniska o godzinie $t_{2_r} = 11^{00}$. Różnica czasu wynosi: $$\begin{aligned} \Delta t &= t_{2_r} - t_{2_m} \\[8pt] &= 11^{00} - 10^{00} = 1\text{ h} = 60\text{ min} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) O godzinie $9^{30}$

b) Po $1$ godzinie (po $60$ minutach)

Zadanie 5

Poniższy wykres przedstawia zależność pomiędzy prędkością, z jaką porusza się ciało, a czasem.

a) Jakim ruchem poruszało się ciało w ciągu pierwszych 4 sekund? Oblicz przyspieszenie, z jakim poruszało się to ciało.

b) Od 4 sekundy ciało poruszało się ruchem jednostajnym. Podaj prędkość tego ruchu.

c) Jaką drogę przebyło to ciało w ciągu pierwszych 8 sekund?

d) Oblicz średnią prędkość tego ciała w czasie pierwszych 8 sekund ruchu. Wyraź ją w km/h.

Wskazówki:

Gdy zależność $v(t)$ jest linią prostą wznoszącą się od zera, ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym. Wartość przyspieszenia obliczamy jako stosunek przyrostu prędkości do czasu: $a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$.
Poziomy odcinek na wykresie $v(t)$ oznacza, że prędkość ciała nie ulega zmianie – jest to ruch jednostajny prostoliniowy.
Przebyta droga w ruchu zmiennym jest liczbowo równa polu figury pod wykresem $v(t)$ w zadanym przedziale czasu (pole trapezu lub suma pól trójkąta i prostokąta).
Średnią prędkość wyznaczamy ze wzoru $v_{\text{śr}} = \dfrac{s}{t}$. Przeliczenia z $\text{m/s}$ na $\text{km/h}$ dokonujemy poprzez pomnożenie wartości przez $3{,}6$.

Dane i szukane:

Dane:
$v_1 = 0\text{ m/s}$ (prędkość początkowa w chwili $t = 0\text{ s}$)
$v_2 = 20\text{ m/s}$ (prędkość w chwili $t_1 = 4\text{ s}$ oraz w ruchu jednostajnym)
$t_1 = 4\text{ s}$ (czas trwania ruchu przyspieszonego)
$t_2 = 8\text{ s}$ (czas analizowany w podpunktach c oraz d)

Szukane:
$a = ?$ (przyspieszenie w pierwszych 4 sekundach)
$v = ?$ (prędkość w ruchu jednostajnym)
$s = ?$ (droga przebyta w ciągu pierwszych 8 sekund)
$v_{\text{śr}} = ?$ (średnia prędkość w ciągu pierwszych 8 sekund wyrażona w $\text{km/h}$)

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza podziału ruchu na etapy:
Na podstawie wykresu wyróżniamy dwa zasadnicze etapy ruchu ciała:
• Etap I (od $0$ do $4\text{ s}$): prędkość rośnie liniowo od wartości $v_1 = 0\text{ m/s}$ do wartości $v_2 = 20\text{ m/s}$.
• Etap II (od $4\text{ s}$ do $10\text{ s}$): prędkość zachowuje stałą wartość równą $20\text{ m/s}$.
Podpunkt a) Określenie rodzaju ruchu oraz obliczenie przyspieszenia w pierwszych 4 sekundach:
Wykres zależności prędkości od czasu w przedziale od $t = 0\text{ s}$ do $t_1 = 4\text{ s}$ jest odcinkiem prostej wychodzącej z początku układu współrzędnych. Oznacza to, że prędkość rośnie wprost proporcjonalnie do upływu czasu, a zatem ciało porusza się ruchem prostoliniowym jednostajnie przyspieszonym.

Przyspieszenie wyznaczamy ze wzoru definicyjnego: $$a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{v_2 - v_1}{t_1 - 0}$$ Podstawiamy odczytane wartości: $$\begin{aligned} a &= \dfrac{20\text{ m/s} - 0\text{ m/s}}{4\text{ s}} \\[8pt] &= \dfrac{20\text{ m/s}}{4\text{ s}} = 5\text{ m/s}^2 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Odczytanie prędkości ciała w ruchu jednostajnym:
Od chwili $t = 4\text{ s}$ wykres przebiega równolegle do osi poziomej. Wartość prędkości nie zmienia się wraz z upływem czasu, co odpowiada ruchowi jednostajnemu. Z osi pionowej odczytujemy stałą wartość prędkości: $$v = 20\text{ m/s}$$
Podpunkt c) Obliczenie drogi przebytej w ciągu pierwszych 8 sekund – Sposób I (Wzory kinematyczne):
Całkowity czas ruchu wynosi $t_2 = 8\text{ s}$. Dzielimy go na dwa odcinki czasowe odpowiadające obu rodzajom ruchu:
• Odcinek I ($t \in [0, 4]\text{ s}$, czas trwania $\Delta t_1 = 4\text{ s}$): ruch jednostajnie przyspieszony bez prędkości początkowej z przyspieszeniem $a = 5\text{ m/s}^2$: $$\begin{aligned} s_1 &= \dfrac{a \cdot (\Delta t_1)^2}{2} \\[8pt] &= \dfrac{5\text{ m/s}^2 \cdot (4\text{ s})^2}{2} \\[8pt] &= \dfrac{5 \cdot 16}{2}\text{ m} = 40\text{ m} \end{aligned}$$ • Odcinek II ($t \in [4, 8]\text{ s}$, czas trwania $\Delta t_{\text{II}} = 8\text{ s} - 4\text{ s} = 4\text{ s}$): ruch jednostajny z prędkością $v = 20\text{ m/s}$: $$\begin{aligned} s_2 &= v \cdot \Delta t_{\text{II}} \\[8pt] &= 20\text{ m/s} \cdot 4\text{ s} = 80\text{ m} \end{aligned}$$ Całkowita droga przebyta przez ciało jest sumą dróg z obu etapów: $$\begin{aligned} s &= s_1 + s_2 \\[8pt] &= 40\text{ m} + 80\text{ m} = 120\text{ m} \end{aligned}$$
Podpunkt c) Obliczenie drogi przebytej w ciągu pierwszych 8 sekund – Sposób II (Interpretacja geometryczna – pole pod wykresem $v(t)$):
Droga przebyta przez ciało jest równa polu figury pod wykresem $v(t)$ w przedziale czasu od $t = 0\text{ s}$ do $t = 8\text{ s}$. Obszar ten stanowi trapez prostokątny o wymiarach:
• dolna podstawa: $p_1 = 8\text{ s}$
• górna podstawa: $p_2 = 8\text{ s} - 4\text{ s} = 4\text{ s}$
• wysokość trapezu: $h = 20\text{ m/s}$

Obliczamy pole trapezu: $$\begin{aligned} s &= \dfrac{(p_1 + p_2) \cdot h}{2} \\[8pt] &= \dfrac{(8\text{ s} + 4\text{ s}) \cdot 20\text{ m/s}}{2} \\[8pt] &= \dfrac{12 \cdot 20}{2}\text{ m} = 120\text{ m} \end{aligned}$$
Podpunkt d) Obliczenie średniej prędkości ciała i zamiana jednostek na km/h:
Średnia prędkość to iloraz całkowitej drogi przebytej przez ciało do czasu trwania tego ruchu: $$v_{\text{śr}} = \dfrac{s}{t_2}$$ Wstawiamy wyliczoną drogę $s = 120\text{ m}$ oraz czas $t_2 = 8\text{ s}$: $$v_{\text{śr}} = \dfrac{120\text{ m}}{8\text{ s}} = 15\text{ m/s}$$ Przeliczamy wartość prędkości na kilometry na godzinę ($\text{km/h}$), korzystając z przelicznika $1\text{ m/s} = 3{,}6\text{ km/h}$: $$\begin{aligned} v_{\text{śr}} &= 15 \cdot 3{,}6\text{ km/h} \\[8pt] &= 54\text{ km/h} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) Ruch jednostajnie przyspieszony prostoliniowy, $a = 5\text{ m/s}^2$

b) $v = 20\text{ m/s}$

c) $s = 120\text{ m}$

d) $v_{\text{śr}} = 54\text{ km/h}$ (czyli $15\text{ m/s}$)

Grupa B

Zadanie 1

Przez rozpuszczalność substancji rozumiemy maksymalną masę tej substancji wyrażoną w gramach, którą można rozpuścić w 100 gramach rozpuszczalnika (wody) w danej temperaturze, otrzymując roztwór nasycony. Poniższy wykres przedstawia tę zależność dla trzech substancji: azotanu potasu, chlorku potasu i chlorku sodu.

Korzystając z wykresu, odpowiedz na poniższe pytania:

a) Której substancji można rozpuścić najmniej w temperaturze $10^\circ\text{C}$?
b) W jakiej temperaturze chlorek potasu i chlorek sodu mają taką samą rozpuszczalność w wodzie?
c) W jakiej temperaturze rozpuści się maksymalnie $60\text{ g}$ azotanu potasu w $100\text{ g}$ wody?
d) Z wykresu można odczytać, że w temperaturze $10^\circ\text{C}$ rozpuszczalność azotanu potasu wynosi $20\text{ g} / 100\text{ g}$ wody. Oblicz stężenie procentowe tego nasyconego roztworu (wynik podaj w postaci ułamka zwykłego lub zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku).

Zadanie 2

Wskazówki:

Wartości temperatury odczytujemy z osi pionowej $T$ (oś rzędnych), a czas w godzinach z osi poziomej $t$ (oś odciętych).
Najniższa temperatura odpowiada najniżej położonemu punktowi (minimum) wykresu, a najwyższa – punktom położonym najwyżej (maksimum).
Różnica temperatur to wynik odejmowania: temperatura najwyższa minus temperatura najniższa. Pamiętaj o regule znaków przy odejmowaniu liczby ujemnej: $a - (-b) = a + b$.
Temperatura rośnie w tych przedziałach czasu, w których wykres biegnie „pod górę” od lewej do prawej strony.
Aby wyznaczyć godziny, w których temperatura wynosiła $3^\circ\text{C}$, prowadzimy poziomą linię na wysokości $T = 3$ i odczytujemy współrzędne czasowe punktów jej przecięcia z wykresem.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie godziny i wartości najniższej temperatury:
Szukamy punktu na wykresie, który leży najniżej. Z wykresu odczytujemy, że wierzchołek minimum znajduje się w punkcie o współrzędnych czasowych $t = 4$ oraz temperaturowych $T = -4$. Oznacza to, że najniższą temperaturę zanotowano o godzinie 4:00 i wynosiła ona $-4^\circ\text{C}$.
Podpunkt b) Obliczenie różnicy pomiędzy najwyższą i najniższą temperaturą:
Odczytujemy z wykresu najwyższą temperaturę: wykres osiąga płaskie maksimum na poziomie $T_{\max} = 6^\circ\text{C}$ (między godziną 15:00 a 17:00).
Najniższa odczytana wcześniej temperatura to $T_{\min} = -4^\circ\text{C}$.
Obliczamy różnicę tych temperatur: $$\begin{aligned} \Delta T &= T_{\max} - T_{\min} \\[6pt] &= 6^\circ\text{C} - (-4^\circ\text{C}) \\[6pt] &= 6^\circ\text{C} + 4^\circ\text{C} \\[6pt] &= 10^\circ\text{C} \end{aligned}$$
Podpunkt c) Wyznaczenie przedziału godzin, w których temperatura rosła:
Wykres jest rosnący tam, gdzie linia wznosi się w górę. Wzrost rozpoczyna się w punkcie minimum o godzinie 4:00 (od temperatury $-4^\circ\text{C}$) i trwa nieprzerwanie aż do osiągnięcia maksymalnej temperatury $6^\circ\text{C}$ o godzinie 15:00. Między 15:00 a 17:00 temperatura była stała, a po godzinie 17:00 malała.
Zatem temperatura rosła w przedziale czasowym od godziny 4:00 do godziny 15:00 (czyli dla $t \in [4:00, 15:00]$).
Podpunkt d) Wyznaczenie godzin, w których temperatura wynosiła $3^\circ\text{C}$:
Prowadzimy prostą poziomą odpowiadającą temperaturze $T = 3^\circ\text{C}$. Prosta ta przecina wykres dokładnie w dwóch punktach: $$\begin{aligned} t_1 &= 12\text{ (godzina 12:00)} \\[4pt] t_2 &= 20\text{ (godzina 20:00)} \end{aligned}$$ Zatem temperatura wynosiła dokładnie $3^\circ\text{C}$ dwukrotnie w ciągu doby: o godzinie 12:00 (podczas ocieplania w ciągu dnia) oraz o godzinie 20:00 (podczas wieczornego ochładzania).

Zadanie 3

Od domu Kasi do domu jej cioci prowadzi droga w linii prostej. Kasia wybrała się do cioci w odwiedziny. Najpierw szła pieszo do przystanku autobusowego, później czekała na autobus, a następnie wsiadła do autobusu, który dowiózł ją bezpośrednio w pobliże domu cioci. Wykres przedstawia przebytą przez Kasię drogę w zależności od czasu.

a) Z jaką prędkością szła Kasia do przystanku autobusowego?
b) Ile minut czekała Kasia na autobus?
c) Jaką drogę pokonała Kasia autobusem?
d) Z jaką średnią prędkością jechał autobus?

Zadanie 4

Z tego samego miejsca wyjechali w tę samą stronę rowerzysta i kierowca samochodu osobowego. Obaj poruszali się tą samą trasą nad jezioro. Rowerzysta wyruszył o godz. $8^{00}$, a samochód wyjechał o godz. $9^{00}$ i jechał ze stałą prędkością $45\text{ km/h}$. Na poniższym wykresie przedstawiono zależność drogi przebytej przez rowerzystę od czasu.

a) O której godzinie samochód dogoni rowerzystę?
b) Po jakim czasie od przyjazdu nad jezioro samochodu, na miejsce dotarł rowerzysta?

Zadanie 5

Poniższy wykres przedstawia zależność pomiędzy prędkością, z jaką porusza się ciało, a czasem.

a) Jakim ruchem poruszało się ciało w ciągu pierwszych 6 sekund? Oblicz przyspieszenie, z jakim poruszało się to ciało.

b) Od 6 sekundy ciało poruszało się ruchem jednostajnym. Podaj prędkość tego ruchu.

c) Jaką drogę przebyło to ciało w ciągu pierwszych 12 sekund?

d) Oblicz średnią prędkość tego ciała w czasie pierwszych 12 sekund ruchu. Wyraź ją w km/h.

3.11 Zastosowanie wiadomości o funkcjach do opisywania, interpretowania i przetwarzania informacji wyrażonych w postaci wykresu funkcji

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋