Wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie, odległość punktu od prostej, odległość między prostymi równoległymi, symetralna odcinka, dwusieczna kąta kartkówka LiczBit

7.2 Wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie, odległość punktu od prostej, odległość między prostymi równoległymi, symetralna odcinka, dwusieczna kąta

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Trzy proste $k, l, m$ są równoległe. Odległość między $k$ i $l$ wynosi $7$ cm, a odległość między $l$ i $m$ wynosi $4$ cm. Punkt $P$ znajduje się w odległości $2$ cm od prostej $k$. Oblicz wszystkie możliwe odległości punktu $P$ od prostej $m$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zauważ, że położenie prostych równoległych względem siebie nie jest jednoznacznie określone. Najpierw ustal położenie prostych $k$ oraz $l$. Następnie zastanów się, w ilu miejscach względem nich może znajdować się prosta $m$, skoro jej odległość od $l$ wynosi $4$ cm. Wyznacz możliwe odległości między prostą $k$ a prostą $m$. 2) Punkt $P$ znajduje się $2$ cm od prostej $k$. Oznacza to, że może on leżeć po jednej lub po drugiej stronie tej prostej. 3) Rozpatrz wszystkie kombinacje: dla każdej możliwej odległości między prostymi $k$ i $m$, sprawdź dwie możliwości położenia punktu $P$. Odległość punktu od prostej będzie sumą lub różnicą odpowiednich odcinków, w zależności od tego, czy punkt leży pomiędzy prostymi, czy na zewnątrz nich. ROZWIĄZANIE: 1) Analiza wzajemnego położenia prostych $k$, $l$ oraz $m$. Z treści zadania wiemy, że wszystkie trzy proste są równoległe. Przyjmijmy prostopadłą oś pomocniczą, na której będziemy odmierzać odległości. Niech prosta $k$ znajduje się w punkcie $0$. Prosta $l$ jest oddalona od $k$ o $7$ cm, więc może znajdować się w punkcie $7$. Teraz szukamy położenia prostej $m$, która jest oddalona od prostej $l$ o $4$ cm. Mamy dwie możliwości: - Prosta $m$ leży "dalej" od prostej $k$ niż prosta $l$. Wtedy odległość między $k$ i $m$ jest sumą odległości:$$d\left(k, m\right) = 7 + 4 = 11$$cm. - Prosta $m$ leży "pomiędzy" prostymi $k$ i $l$. Wtedy odległość między $k$ i $m$ jest różnicą odległości:$$d\left(k, m\right) = 7 - 4 = 3$$cm. Mamy zatem dwa główne przypadki odległości prostej $m$ od prostej $k$: $11$ cm oraz $3$ cm. 2) Rozważenie położenia punktu $P$ względem prostej $k$. Punkt $P$ leży w odległości $2$ cm od prostej $k$. W każdym z powyższych przypadków punkt $P$ może znajdować się w dwóch położeniach: - Po tej samej stronie prostej $k$, co prosta $m$. - Po przeciwnej stronie prostej $k$ niż prosta $m$. 3) Obliczenia dla przypadku, gdy odległość między $k$ i $m$ wynosi $11$ cm. - Jeśli punkt $P$ leży po tej samej stronie prostej $k$ co prosta $m$, to znajduje się on "pomiędzy" nimi. Aby obliczyć odległość $P$ od $m$, odejmujemy jego odległość od $k$ od całkowitej odległości między prostymi:$$d\left(P, m\right) = 11 - 2 = 9$$cm. - Jeśli punkt $P$ leży po przeciwnej stronie prostej $k$ niż prosta $m$, to prosta $k$ znajduje się pomiędzy punktem a prostą $m$. Odległość $P$ od $m$ jest wtedy sumą odcinków:$$d\left(P, m\right) = 11 + 2 = 13$$cm. 4) Obliczenia dla przypadku, gdy odległość między $k$ i $m$ wynosi $3$ cm. - Jeśli punkt $P$ leży po tej samej stronie prostej $k$ co prosta $m$, musimy sprawdzić ich wzajemne położenie. Ponieważ $2 < 3$, punkt $P$ leży bliżej prostej $k$ niż prosta $m$, czyli znajduje się pomiędzy nimi. Odległość obliczamy jako różnicę:$$d\left(P, m\right) = 3 - 2 = 1$$cm. - Jeśli punkt $P$ leży po przeciwnej stronie prostej $k$ niż prosta $m$, to odległość jest sumą odcinków, ponieważ prosta $k$ je rozdziela:$$d\left(P, m\right) = 3 + 2 = 5$$cm. Wszystkie możliwe odległości punktu $P$ od prostej $m$ to: $1$ cm, $5$ cm, $9$ cm oraz $13$ cm.

Zadanie 2 (3 pkt)

Dany jest odcinek $AB$ o długości $24 \text{ cm}$. Punkt $P$ leży na symetralnej tego odcinka. Odległość punktu $P$ od punktu $A$ wynosi $13 \text{ cm}$. Oblicz odległość punktu $P$ od odcinka $AB$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Przypomnij sobie definicję symetralnej odcinka. Symetralna to prosta prostopadła do danego odcinka, która przechodzi dokładnie przez jego środek. Ważną własnością jest to, że każdy punkt leżący na symetralnej jest równo oddalony od obu końców tego odcinka. 2) Odległość punktu od odcinka to długość najkrótszego odcinka łączącego ten punkt z linią, na której leży odcinek. Skoro punkt $P$ leży na symetralnej, to jego odległością od odcinka $AB$ będzie długość odcinka łączącego punkt $P$ ze środkiem odcinka $AB$. 3) Zauważ, że środek odcinka $AB$ (nazwijmy go $M$), punkt $A$ oraz punkt $P$ tworzą trójkąt prostokątny $AMP$. W tym trójkącie kąt prosty znajduje się przy wierzchołku $M$. Możesz więc skorzystać z twierdzenia Pitagorasa:$$a^{2} + b^{2} = c^{2}$$ROZWIĄZANIE: a) Wyznaczenie środka odcinka i długości przyprostokątnej $AM$. Przyjmijmy, że punkt $M$ jest środkiem odcinka $AB$. Ponieważ punkt $M$ dzieli odcinek $AB$ o długości $24$ $cm$ na dwie równe części, możemy obliczyć długość odcinka $AM$ dzieląc całkowitą długość przez $2$:$$|AM| = \frac{1}{2} \cdot |AB|$$$$|AM| = \frac{1}{2} \cdot 24$$$$|AM| = 12$$Zatem długość odcinka $AM$ wynosi $12$ $cm$. b) Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $AMP$. Punkt $P$ leży na symetralnej, więc odcinek $PM$ jest prostopadły do odcinka $AB$. Oznacza to, że trójkąt $AMP$ jest prostokątny. Długość odcinka $PM$ oznaczmy jako $d$ – jest to szukana odległość punktu $P$ od odcinka $AB$. Znamy długości dwóch boków tego trójkąta: Przyprostokątna $|AM| = 12$ $cm$. Przeciwprostokątna $|AP| = 13$ $cm$ (odległość punktu $P$ od punktu $A$ podana w treści zadania). Szukamy drugiej przyprostokątnej $|PM| = d$. Zapisujemy równanie wynikające z twierdzenia Pitagorasa:$$|AM|^{2} + |PM|^{2} = |AP|^{2}$$Podstawiamy nasze liczby do wzoru:$$12^{2} + d^{2} = 13^{2}$$c) Obliczenia końcowe. W pierwszej kolejności musimy podnieść liczby $12$ oraz $13$ do drugiej potęgi (kwadratu):$$144 + d^{2} = 169$$Teraz musimy wyizolować niewiadomą $d^{2}$. W tym celu przenosimy liczbę $144$ na prawą stronę równania, zmieniając jej znak z dodatniego na ujemny:$$d^{2} = 169 - 144$$Wykonujemy odejmowanie po prawej stronie:$$d^{2} = 25$$Ostatnim krokiem jest obliczenie wartości $d$ poprzez wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego z liczby $25$:$$d = \sqrt{25}$$$$d = 5$$Odległość punktu $P$ od odcinka $AB$ wynosi $5$ $cm$.

Zadanie 3 (3 pkt)

Punkt $P$ leży na dwusiecznej kąta $XOY$. Kąt $XOY$ ma miarę $60^{\circ}$. Odległość punktu $P$ od ramienia $OX$ kąta jest równa $3\sqrt{3}$ cm. Oblicz odległość punktu $P$ od wierzchołka $O$ kąta.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Ponieważ punkt $P$ leży na dwusiecznej kąta $XOY$, dzieli on ten kąt o mierze $60^{\circ}$ na dwa identyczne kąty o mierze $30^{\circ}$. 2) Odległość punktu od prostej zawsze mierzymy wzdłuż odcinka prostopadłego. Oznacza to, że po rzutowaniu punktu $P$ na ramię $OX$ otrzymasz trójkąt prostokątny. 3) W trójkącie prostokątnym o kątach $30^{\circ}$ i $60^{\circ}$ zachodzi bardzo ważna własność: bok leżący naprzeciwko kąta $30^{\circ}$ ma długość równą dokładnie połowie długości przeciwprostokątnej. Możesz o tym myśleć jak o połowie trójkąta równobocznego, w którym wysokość dzieli podstawę na dwa równe odcinki. ROZWIĄZANIE: a) Wyznaczenie miary kąta między dwusieczną a ramieniem kąta. Punkt $P$ leży na dwusiecznej kąta $XOY$. Skoro miara kąta $XOY$ wynosi $60^{\circ}$, to kąt zawarty między ramieniem $OX$ a odcinkiem $OP$ (oznaczmy go jako $\alpha$) obliczamy dzieląc cały kąt na dwa:$$\alpha = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$$b) Konstrukcja i analiza trójkąta prostokątnego. Przyjmijmy, że punkt $A$ jest rzutem prostopadłym punktu $P$ na ramię $OX$. Odcinek $PA$ reprezentuje odległość punktu $P$ od ramienia $OX$. Z treści zadania wiemy, że:$$PA = 3\sqrt{3} \text{ } cm$$Ponieważ odległość mierzona jest pod kątem prostym, kąt $\angle OAP$ wynosi $90^{\circ}$. Powstały trójkąt $OAP$ jest trójkątem prostokątnym o kątach:$$\angle AOP = 30^{\circ}$$$$\angle OAP = 90^{\circ}$$Trzeci kąt tego trójkąta musi wynosić $60^{\circ}$, ponieważ suma kątów w każdym trójkącie to $180^{\circ}$:$$180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$$c) Obliczenie odległości punktu $P$ od wierzchołka $O$. W trójkącie o kątach $30^{\circ}, 60^{\circ}$ oraz $90^{\circ}$ bok leżący naprzeciwko kąta $30^{\circ}$ (w naszym przypadku odcinek $PA$) jest dwa razy krótszy od przeciwprostokątnej (odcinek $OP$). Możemy to zapisać za pomocą równania:$$PA = \frac{1}{2} \cdot OP$$Aby wyznaczyć długość odcinka $OP$, musimy pomnożyć obie strony równania przez $2$:$$OP = 2 \cdot PA$$Teraz podstawiamy daną wartość $PA = 3\sqrt{3}$ $cm$ do wzoru:$$OP = 2 \cdot 3\sqrt{3}$$Mnożymy liczbę $2$ przez współczynnik stojący przed pierwiastkiem:$$OP = 6\sqrt{3}$$Odległość punktu $P$ od wierzchołka $O$ wynosi $6\sqrt{3}$ $cm$.

Zadanie 4 (3 pkt)

Dany jest odcinek $EF$ o długości $12\text{ cm}$. Punkt $Q$ należy do symetralnej odcinka $EF$. Odległość punktu $Q$ od odcinka $EF$ wynosi $8\text{ cm}$. Oblicz odległość punktu $Q$ od punktu $E$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Symetralna odcinka to prosta prostopadła do tego odcinka, która przechodzi dokładnie przez jego środek. Przyjmijmy, że punkt $M$ jest środkiem odcinka $EF$. 2) Odległość punktu $Q$ od odcinka $EF$ to długość najkrótszego odcinka łączącego ten punkt z prostą zawierającą odcinek. Ponieważ $Q$ leży na symetralnej, która jest prostopadła do $EF$, odległością tą jest długość odcinka $QM$, gdzie $M$ jest środkiem odcinka $EF$. 3) Punkty $E$, $M$ oraz $Q$ tworzą trójkąt prostokątny $EMQ$, w którym kąt prosty znajduje się przy wierzchołku $M$. Odległość punktu $Q$ od punktu $E$ to długość przeciwprostokątnej tego trójkąta. Do jej obliczenia wykorzystaj twierdzenie Pitagorasa:$$a^{2} + b^{2} = c^{2}$$gdzie $a$ i $b$ to przyprostokątne, a $c$ to przeciwprostokątna. ROZWIĄZANIE: a) Obliczanie długości odcinka $EM$. Punkt $M$ jest środkiem odcinka $EF$ o długości $12$ $cm$. Z definicji środka odcinka wynika, że dzieli on ten odcinek na dwie równe części. Aby znaleźć długość jednej z nich, dzielimy całkowitą długość przez $2$:$$|EM| = \frac{1}{2} \cdot 12$$$$|EM| = 6$$Długość przyprostokątnej $|EM|$ wynosi $6$ $cm$. b) Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $EMQ$. W trójkącie prostokątnym $EMQ$ znamy długości dwóch przyprostokątnych. Pierwsza to $|EM| = 6$ $cm$. Druga to odcinek $|QM|$, który odpowiada odległości punktu $Q$ od odcinka $EF$, czyli $|QM| = 8$ $cm$. Szukamy długości przeciwprostokątnej $|QE|$. Podstawiamy te dane do wzoru:$$|EM|^{2} + |QM|^{2} = |QE|^{2}$$$$6^{2} + 8^{2} = |QE|^{2}$$c) Obliczanie kwadratów liczb i sumowanie wyników. Najpierw podnosimy długości przyprostokątnych do drugiej potęgi. Kwadrat liczby $6$ to:$$6^{2} = 6 \cdot 6 = 36$$Kwadrat liczby $8$ to:$$8^{2} = 8 \cdot 8 = 64$$Teraz dodajemy te dwie wartości do siebie, aby otrzymać kwadrat długości odcinka $|QE|$:$$36 + 64 = 100$$Otrzymujemy równanie:$$|QE|^{2} = 100$$d) Wyciąganie pierwiastka kwadratowego. Aby wyznaczyć samą odległość $|QE|$, musimy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z liczby $100$. Szukamy liczby, która pomnożona przez samą siebie da wynik $100$:$$|QE| = \sqrt{100}$$Ponieważ $10 \cdot 10 = 100$, wynik to:$$|QE| = 10$$Odległość punktu $Q$ od punktu $E$ wynosi $10$ $cm$.

Zadanie 5 (3 pkt)

Dany jest kąt $XOY$ o mierze $60^{\circ}$. Punkt $R$ leży na dwusiecznej tego kąta. Odległość punktu $R$ od ramienia $OX$ wynosi $6\text{ cm}$. Oblicz odległość punktu $R$ od ramienia $OY$ oraz odległość punktu $R$ od wierzchołka $O$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Przypomnij sobie definicję dwusiecznej kąta. Jest to prosta, która dzieli dany kąt na dwa kąty o równej mierze. W tym przypadku kąt o mierze $60^{\circ}$ zostanie podzielony na dwa kąty po $30^{\circ}$. 2) Skorzystaj z ważnego twierdzenia o dwusiecznej kąta: każdy punkt leżący na dwusiecznej kąta jest równooddalony od ramion tego kąta. To pozwoli Ci natychmiast wyznaczyć odległość punktu $R$ od drugiego ramienia. 3) Aby obliczyć odległość od wierzchołka, rozważ trójkąt prostokątny utworzony przez wierzchołek $O$, punkt $R$ oraz punkt będący rzutem prostokątnym punktu $R$ na jedno z ramion. 4) W trójkącie prostokątnym o kątach ostrych $30^{\circ}$ i $60^{\circ}$ zachodzi stała zależność: bok leżący naprzeciwko kąta $30^{\circ}$ ma długość równą połowie długości przeciwprostokątnej. Przeciwprostokątną w Twoim trójkącie będzie właśnie odcinek $OR$. ROZWIĄZANIE: a) Obliczanie odległości punktu $R$ od ramienia $OY$. Z treści zadania wiemy, że punkt $R$ leży na dwusiecznej kąta $XOY$. Zgodnie z twierdzeniem o dwusiecznej kąta, każdy punkt na niej leżący znajduje się w tej samej odległości od obu ramion kąta. Ponieważ odległość punktu $R$ od ramienia $OX$ wynosi $6$ $cm$, to odległość punktu $R$ od ramienia $OY$ musi być taka sama. Zatem odległość punktu $R$ od ramienia $OY$ wynosi $6$ $cm$. b) Obliczanie odległości punktu $R$ od wierzchołka $O$. Przyjmijmy oznaczenie $A$ jako rzut prostokątny punktu $R$ na ramię $OX$. Odcinek $RA$ jest odległością punktu $R$ od ramienia $OX$, więc jego długość wynosi $6$ $cm$. Ponieważ jest to rzut prostokątny, kąt $\angle OAR$ ma miarę $90^{\circ}$. Rozważamy trójkąt $OAR$. Jest to trójkąt prostokątny. Skoro odcinek $OR$ jest fragmentem dwusiecznej kąta $XOY$, który ma miarę $60^{\circ}$, to kąt $\angle AOR$ obliczamy następująco:$$\angle AOR = \frac{60^{\circ}}{2}$$$$\angle AOR = 30^{\circ}$$W trójkącie $OAR$ mamy kąty: $90^{\circ}$ przy wierzchołku $A$, $30^{\circ}$ przy wierzchołku $O$. Obliczamy miarę trzeciego kąta $\angle ORA$:$$\angle ORA = 180^{\circ} - \left( 90^{\circ} + 30^{\circ} \right)$$$$\angle ORA = 180^{\circ} - 120^{\circ}$$$$\angle ORA = 60^{\circ}$$Mamy do czynienia z trójkątem o kątach $30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}$. Jest to trójkąt, który stanowi połowę trójkąta równobocznego. W takim trójkącie bok leżący naprzeciwko kąta $30^{\circ}$ (u nas jest to odcinek $RA$) jest równy połowie długości przeciwprostokątnej (u nas jest to odcinek $OR$). Możemy to zapisać równaniem:$$RA = \frac{1}{2} \cdot OR$$Podstawiamy znaną długość $RA = 6$ $cm$:$$6 = \frac{1}{2} \cdot OR$$Aby wyznaczyć długość odcinka $OR$, musimy pozbyć się ułamka $\frac{1}{2}$. W tym celu mnożymy obie strony równania przez liczbę $2$:$$6 \cdot 2 = OR$$$$12 = OR$$Długość odcinka $OR$, czyli odległość punktu $R$ od wierzchołka $O$, wynosi $12$ $cm$.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Trzy proste $k, l, m$ są równoległe. Odległość między $k$ i $l$ wynosi $8$ cm, a odległość między $l$ i $m$ wynosi $5$ cm. Punkt $P$ leży w odległości $4$ cm od prostej $k$. Jaka jest odległość punktu $P$ od prostej $m$? Rozważ wszystkie przypadki.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Dany jest odcinek $AB$ o długości $12 \text{ cm}$. Punkt $P$ leży na symetralnej tego odcinka. Odległość punktu $P$ od odcinka $AB$ wynosi $8 \text{ cm}$. Oblicz odległość punktu $P$ od punktu $A$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Punkt $P$ leży na dwusiecznej kąta $XOY$ o mierze $60^{\circ}$. Odległość punktu $P$ od ramienia $OX$ tego kąta jest równa $4\sqrt{3}$ cm. Oblicz odległość punktu $P$ od wierzchołka $O$ kąta.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Dany jest odcinek $EF$ o długości $10\text{ cm}$. Punkt $Q$ należy do symetralnej odcinka $EF$. Odległość punktu $Q$ od odcinka $EF$ wynosi $12\text{ cm}$. Oblicz odległość punktu $Q$ od punktu $E$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

Dany jest kąt $XOY$ o mierze $60^{\circ}$. Punkt $R$ leży na dwusiecznej tego kąta. Odległość punktu $R$ od ramienia $OX$ wynosi $2,5\text{ cm}$. Oblicz odległość punktu $R$ od ramienia $OY$ oraz odległość punktu $R$ od wierzchołka $O$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

7.2 Wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie, odległość punktu od prostej, odległość między prostymi równoległymi, symetralna odcinka, dwusieczna kąta

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋