Wysokości w trójkącie. Środkowe w trójkącie kartkówka LiczBit

7.8 Wysokości w trójkącie. Środkowe w trójkącie

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Obwód trójkąta $ABC$ wynosi $36 \text{ cm}$. Wysokość $CD$ poprowadzona do podstawy dzieli go na dwa mniejsze trójkąty. Obwód pierwszego z nich jest równy $20 \text{ cm}$, a obwód drugiego wynosi $24 \text{ cm}$. Oblicz długość wysokości $CD$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Rozpocznij od zapisania wzorów na obwody wszystkich trzech trójkątów wspomnianych w zadaniu (trójkąta głównego $ABC$ oraz dwóch mniejszych trójkątów powstałych po narysowaniu wysokości). 2) Zauważ, że podstawa głównego trójkąta, czyli odcinek $AB$, składa się z dwóch mniejszych odcinków $AD$ oraz $DB$, które są bokami mniejszych trójkątów powstałych po podziale. 3) Spróbuj dodać do siebie obwody dwóch mniejszych trójkątów. Zauważysz wtedy, że suma ta zawiera w sobie wszystkie boki dużego trójkąta oraz dwukrotnie policzoną wysokość $CD$. 4) Porównaj otrzymaną sumę z obwodem trójkąta $ABC$, aby ułożyć proste równanie z jedną niewiadomą, którą jest szukana długość wysokości $CD$. ROZWIĄZANIE: 1) Analiza obwodów trójkątów. Przyjmijmy oznaczenia boków. Obwód trójkąta $ABC$ to suma długości jego trzech boków: $AC$, $BC$ oraz $AB$. Z treści zadania wiemy, że wynosi on $36$ $cm$. Zapisujemy to równaniem:$$AC + BC + AB = 36$$Wiemy również, że wysokość $CD$ poprowadzona do podstawy $AB$ dzieli ją na dwa odcinki: $AD$ oraz $DB$. Możemy więc zapisać długość podstawy jako sumę:$$AB = AD + DB$$Jeśli podstawimy to do pierwszego równania, obwód całego trójkąta $ABC$ możemy przedstawić jako:$$AC + BC + AD + DB = 36$$2) Zapisanie obwodów mniejszych trójkątów. Wysokość $CD$ podzieliła trójkąt $ABC$ na dwa mniejsze trójkąty: $ADC$ oraz $BDC$. Zapisujemy wzory na ich obwody korzystając z danych zawartych w zadaniu. Dla pierwszego trójkąta ($ADC$) obwód wynosi $20$ $cm$:$$AC + AD + CD = 20$$Dla drugiego trójkąta ($BDC$) obwód wynosi $24$ $cm$:$$BC + DB + CD = 24$$3) Sumowanie obwodów mniejszych trójkątów. Teraz dodajemy do siebie oba powyższe równania stronami. Oznacza to, że dodajemy lewą stronę do lewej, a prawą do prawej:$$(AC + AD + CD) + (BC + DB + CD) = 20 + 24$$Teraz porządkujemy składniki po lewej stronie równania, aby ułatwić dalsze obliczenia. Grupujemy boki należące do dużego trójkąta oraz odcinki wysokości $CD$:$$(AC + BC + AD + DB) + CD + CD = 44$$Sumujemy dwie identyczne wysokości $CD$:$$AC + BC + AD + DB + 2 \cdot CD = 44$$4) Wyznaczenie długości wysokości $CD$. Spójrzmy na początek lewej strony naszego równania. Wyrażenie $AC + BC + AD + DB$ to nic innego jak obwód trójkąta $ABC$. W punkcie pierwszym ustaliliśmy, że jego wartość to $36$. Możemy więc wstawić liczbę $36$ w miejsce tego wyrażenia:$$36 + 2 \cdot CD = 44$$W tym momencie mamy równanie z jedną niewiadomą $CD$. Aby ją wyznaczyć, musimy najpierw przenieść liczbę $36$ na prawą stronę równania. Pamiętamy, że przy przenoszeniu na drugą stronę znaku równości należy zmienić znak liczby na przeciwny:$$2 \cdot CD = 44 - 36$$Wykonujemy odejmowanie po prawej stronie równania:$$2 \cdot CD = 8$$Ostatnim krokiem jest obliczenie wartości samej wysokości $CD$. Musimy podzielić obie strony równania przez liczbę $2$:$$CD = \frac{8}{2}$$$$CD = 4$$Długość wysokości $CD$ wynosi $4$ $cm$.

Zadanie 2 (3 pkt)

W trójkącie prostokątnym długości wysokości wynoszą: $24\text{ cm}$, $30\text{ cm}$ oraz $40\text{ cm}$. Oblicz długości odcinków, na jakie wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną tego trójkąta.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zauważ, że w każdym trójkącie prostokątnym dwie wysokości pokrywają się z przyprostokątnymi, a trzecia wysokość jest opuszczona na przeciwprostokątną. Ponieważ przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem trójkąta, wysokość na nią opuszczona musi być najkrótszą z trzech wysokości. W Twoim zadaniu wysokości to $24$, $30$ oraz $40$, więc wysokość opuszczona na przeciwprostokątną wynosi $24$ $cm$, a przyprostokątne mają długości $30$ $cm$ oraz $40$ $cm$. 2) Aby obliczyć długość przeciwprostokątnej $c$, skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa:$$a^{2} + b^{2} = c^{2}$$gdzie $a = 30$ oraz $b = 40$. 3) Odcinki, na jakie wysokość dzieli przeciwprostokątną (oznaczmy je jako $p$ oraz $q$), można obliczyć, korzystając z twierdzenia o wysokości w trójkącie prostokątnym lub z podobieństwa trójkątów. Przydatne są wzory:$$a^{2} = p \cdot c$$$$b^{2} = q \cdot c$$gdzie $p$ jest odcinkiem sąsiadującym z bokiem $a$, a $q$ odcinkiem sąsiadującym z bokiem $b$. ROZWIĄZANIE: a) Identyfikacja boków trójkąta na podstawie podanych wysokości. W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $a$ i $b$ oraz przeciwprostokątnej $c$, wysokościami są: $h_{a} = b$, $h_{b} = a$ oraz wysokość $h_{c}$ opuszczona na bok $c$. Wiemy, że $h_{c} = \frac{a \cdot b}{c}$. Ponieważ $c$ jest większe od $a$ i $b$, wysokość $h_{c}$ jest zawsze najkrótsza. Z danych liczb $24, 30, 40$ wynika więc, że:$$h_{c} = 24$$$$a = 30$$$$b = 40$$b) Obliczanie długości przeciwprostokątnej $c$. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla przyprostokątnych $30$ oraz $40$:$$c^{2} = 30^{2} + 40^{2}$$Podnosimy liczby do kwadratu:$$c^{2} = 900 + 1600$$Dodajemy wartości:$$c^{2} = 2500$$Wyciągamy pierwiastek kwadratowy:$$c = \sqrt{2500} = 50$$Przeciwprostokątna ma długość $50$ $cm$. c) Obliczanie długości odcinków $p$ i $q$ na przeciwprostokątnej. Niech $p$ oznacza długość odcinka rzutu przyprostokątnej $a = 30$ na przeciwprostokątną. Korzystamy ze wzoru:$$a^{2} = p \cdot c$$Podstawiamy dane: $30^{2} = p \cdot 50$. Obliczamy kwadrat boku $a$:$$900 = 50 \cdot p$$Aby wyznaczyć $p$, dzielimy obie strony równania przez $50$:$$p = \frac{900}{50}$$Skracamy przez $10$ i wykonujemy dzielenie:$$p = \frac{90}{5} = 18$$Pierwszy odcinek ma długość $18$ $cm$. Teraz obliczamy długość drugiego odcinka $q$, który jest rzutem przyprostokątnej $b = 40$. Możemy to zrobić na dwa sposoby. Sposób pierwszy to odjęcie długości $p$ od całej długości $c$:$$q = c - p$$$$q = 50 - 18 = 32$$Sposób drugi to skorzystanie z analogicznego wzoru:$$b^{2} = q \cdot c$$$$40^{2} = q \cdot 50$$$$1600 = 50 \cdot q$$Dzielimy obie strony przez $50$:$$q = \frac{1600}{50} = 32$$Wysokość dzieli przeciwprostokątną na odcinki o długościach $18$ $cm$ oraz $32$ $cm$.

Zadanie 3 (3 pkt)

W trójkącie prostokątnym $ABC$ poprowadzono z wierzchołka kąta prostego $C$ wysokość oraz środkową. Linie te podzieliły kąt prosty na trzy części w taki sposób, że dwie części przylegające do przyprostokątnych mają miarę po $20^\circ$ każda. Oblicz miary kątów ostrych tego trójkąta.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zauważ, że suma trzech części, na które został podzielony kąt prosty przy wierzchołku $C$, musi wynosić dokładnie $90^\circ$. Możesz obliczyć miarę środkowej części kąta, odejmując od $90^\circ$ dwie znane miary kątów przylegających do przyprostokątnych. 2) Skup się na trójkącie prostokątnym utworzonym przez wysokość i jedną z przyprostokątnych. Suma kątów ostrych w takim małym trójkącie prostokątnym zawsze wynosi $90^\circ$. Pozwoli Ci to natychmiast wyznaczyć jeden z kątów ostrych głównego trójkąta. 3) Przypomnij sobie kluczową własność środkowej w trójkącie prostokątnym poprowadzonej do przeciwprostokątnej: jej długość jest równa połowie długości przeciwprostokątnej. Dzięki temu powstają dwa trójkąty równoramienne. 4) Wykorzystaj fakt, że w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe. To pozwoli Ci wyznaczyć drugi kąt ostry głównego trójkąta. ROZWIĄZANIE: a) Wyznaczenie miary kąta ostrego przy wierzchołku $A$. Oznaczmy wierzchołki trójkąta jako $A$, $B$ oraz $C$, gdzie kąt przy wierzchołku $C$ jest kątem prostym, czyli jego miara wynosi $90^\circ$. Niech odcinek $CD$ będzie wysokością opuszczoną z wierzchołka $C$ na przeciwprostokątną $AB$. Punkt $D$ leży na boku $AB$, a kąt $\angle ADC$ wynosi $90^\circ$. Z treści zadania wiemy, że kąt przylegający do przyprostokątnej $AC$, czyli $\angle ACD$, ma miarę $20^\circ$. Rozpatrujemy trójkąt prostokątny $ACD$. Suma kątów w każdym trójkącie wynosi $180^\circ$, zatem kąt $\angle CAD$, który jest kątem ostrym przy wierzchołku $A$ naszego głównego trójkąta, obliczamy następująco:$$\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 20^\circ$$Wykonujemy odejmowanie:$$\angle A = 70^\circ$$b) Wyznaczenie miary kąta ostrego przy wierzchołku $B$. Oznaczmy środkową poprowadzoną z wierzchołka $C$ jako odcinek $CM$. Punkt $M$ jest środkiem przeciwprostokątnej $AB$. Z treści zadania wiemy, że kąt przylegający do drugiej przyprostokątnej $BC$, czyli kąt $\angle BCM$, ma miarę $20^\circ$. W trójkącie prostokątnym długość środkowej poprowadzonej do przeciwprostokątnej jest równa połowie długości tej przeciwprostokątnej. Oznacza to, że zachodzi równość:$$CM = AM = BM$$Z tej własności wynika, że trójkąt $BCM$ jest trójkątem równoramiennym, w którym ramionami są boki $CM$ oraz $BM$. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe, więc kąt przy wierzchołku $B$, czyli $\angle MBC$, ma taką samą miarę jak kąt $\angle BCM$. Podstawiamy znaną wartość:$$\angle B = 20^\circ$$c) Sprawdzenie sumy kątów w trójkącie $ABC$. Sprawdźmy, czy suma obliczonych kątów ostrych oraz kąta prostego wynosi $180^\circ$:$$70^\circ + 20^\circ + 90^\circ = 180^\circ$$Obliczenia są poprawne. Miary kątów ostrych trójkąta $ABC$ to $70^\circ$ oraz $20^\circ$.

Zadanie 4 (3 pkt)

W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość $8\text{ cm}$. Środek ciężkości tego trójkąta znajduje się w odległości $1\text{ cm}$ od podstawy. Oblicz obwód tego trójkąta.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: a) Środek ciężkości trójkąta (punkt przecięcia środkowych) dzieli każdą środkową w stosunku $2:1$, licząc od wierzchołka. Oznacza to, że odległość od środka ciężkości do boku jest równa $\frac{1}{3}$ długości środkowej opuszczonej na ten bok. b) W trójkącie równoramiennym środkowa opuszczona na podstawę jest jednocześnie wysokością tego trójkąta. Jeśli oznaczymy wysokość jako $h$, to odległość środka ciężkości od podstawy wynosi:$$d = \frac{1}{3} \cdot h$$c) Po wyznaczeniu wysokości $h$, wykorzystaj twierdzenie Pitagorasa w jednym z dwóch trójkątów prostokątnych powstałych przez podział trójkąta równoramiennego wysokością. Przyprostokątnymi będą wysokość $h$ oraz połowa podstawy $\frac{a}{2}$, a przeciwprostokątną ramię trójkąta $b$:$$\left(\frac{a}{2}\right)^{2} + h^{2} = b^{2}$$d) Obwód trójkąta równoramiennego to suma długości podstawy $a$ oraz dwóch ramion $b$:$$Obw = a + 2 \cdot b$$ROZWIĄZANIE: a) Wyznaczenie wysokości trójkąta. W trójkącie równoramiennym wysokość $h$ poprowadzona do podstawy $a$ pokrywa się ze środkową. Środek ciężkości trójkąta $S$ leży na tej wysokości i dzieli ją w stosunku $2:1$. Odległość punktu $S$ od podstawy wynosi $\frac{1}{3}$ wysokości $h$. Z treści zadania wiemy, że ta odległość wynosi $1$ $cm$. Zapisujemy równanie:$$1 = \frac{1}{3} \cdot h$$Aby wyznaczyć $h$, mnożymy obie strony równania przez liczbę $3$:$$h = 1 \cdot 3$$$$h = 3$$Wysokość trójkąta wynosi $3$ $cm$. b) Wyznaczenie długości ramienia trójkąta. Wysokość $h$ dzieli podstawę $a = 8$ $cm$ na dwie równe części. Długość połowy podstawy wynosi:$$\frac{a}{2} = \frac{8}{2} = 4$$Teraz rozważamy trójkąt prostokątny utworzony przez połowę podstawy, wysokość oraz ramię trójkąta $b$. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa:$$4^{2} + 3^{2} = b^{2}$$Obliczamy kwadraty liczb $4$ oraz $3$:$$16 + 9 = b^{2}$$Dodajemy liczby po lewej stronie:$$25 = b^{2}$$Aby wyznaczyć $b$, wyciągamy pierwiastek kwadratowy z liczby $25$. Ponieważ długość boku musi być dodatnia, otrzymujemy:$$b = \sqrt{25}$$$$b = 5$$Ramię trójkąta ma długość $5$ $cm$. c) Obliczanie obwodu trójkąta. Obwód trójkąta równoramiennego obliczamy sumując podstawę i dwa równe ramiona:$$Obw = a + b + b$$Podstawiamy dane: $a = 8$ $cm$ oraz $b = 5$ $cm$:$$Obw = 8 + 5 + 5$$Wykonujemy dodawanie:$$Obw = 13 + 5$$$$Obw = 18$$Obwód tego trójkąta wynosi $18$ $cm$.

Zadanie 5 (3 pkt)

W trójkącie $KLM$ poprowadzono środkową $LN$. Wierzchołek $K$ połączono odcinkiem ze środkiem $P$ środkowej $LN$ i przedłużono go do przecięcia z bokiem $LM$ w punkcie $S$. Oblicz stosunek długości odcinków $\frac{\left| LS \right|}{\left| SM \right|}$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Narysuj trójkąt $KLM$ oraz środkową $LN$. Zaznacz punkt $P$ jako środek tej środkowej. 2) Aby rozwiązać to zadanie w sposób przejrzysty, dorysuj linię pomocniczą. Poprowadź przez punkt $N$ prostą równoległą do odcinka $KS$. Punkt przecięcia tej prostej z bokiem $LM$ oznacz jako $T$. 3) Zastosuj twierdzenie Talesa w trójkącie $KMS$. Ponieważ $N$ jest środkiem $KM$ i $NT$ jest równoległe do $KS$, wyznacz zależność między odcinkami $ST$ i $TM$. 4) Zastosuj twierdzenie Talesa w trójkącie $LNT$. Ponieważ $P$ jest środkiem $LN$ i $PS$ jest równoległe do $NT$, wyznacz zależność między odcinkami $LS$ i $ST$. 5) Zestaw ze sobą otrzymane równości, aby obliczyć szukany stosunek $\frac{|LS|}{|SM|}$. ROZWIĄZANIE: a) Konstrukcja pomocnicza i analiza trójkąta $KMS$. W trójkącie $KLM$ odcinek $LN$ jest środkową wychodzącą z wierzchołka $L$ na bok $KM$. Oznacza to, że punkt $N$ jest środkiem boku $KM$, czyli $|KN| = |NM|$. Przez punkt $N$ prowadzimy prostą pomocniczą równoległą do prostej przechodzącej przez punkty $K, P, S$. Punkt przecięcia tej prostej z bokiem $LM$ oznaczamy jako $T$. Zachodzi zatem warunek:$$NT \parallel KS$$Rozpatrzmy kąt o wierzchołku $M$ i ramionach $MK$ oraz $ML$. Ramiona te zostały przecięte prostymi równoległymi $KS$ i $NT$. Z twierdzenia Talesa wynika, że stosunek długości odcinków wyznaczonych na jednym ramieniu jest równy stosunkowi długości odcinków na drugim ramieniu:$$\frac{|NK|}{|NM|} = \frac{|ST|}{|TM|}$$Ponieważ $N$ jest środkiem $KM$, to $\frac{|NK|}{|NM|} = 1$. Zatem:$$1 = \frac{|ST|}{|TM|}$$Co po pomnożeniu przez $|TM|$ daje równość:$$|ST| = |TM|$$b) Analiza trójkąta $LNT$. Z treści zadania wiemy, że punkt $P$ jest środkiem środkowej $LN$, co oznacza, że $|LP| = |PN|$. Skoro odcinek $PS$ jest częścią prostej $KS$, która jest równoległa do $NT$, to zachodzi również:$$PS \parallel NT$$Rozpatrzmy teraz kąt o wierzchołku $L$ i ramionach $LN$ oraz $LT$. Ramiona te są przecięte prostymi równoległymi $PS$ i $NT$. Ponownie stosujemy twierdzenie Talesa:$$\frac{|LP|}{|PN|} = \frac{|LS|}{|ST|}$$Ponieważ $P$ jest środkiem $LN$, to $\frac{|LP|}{|PN|} = 1$. Zatem:$$1 = \frac{|LS|}{|ST|}$$Co prowadzi do równości:$$|LS| = |ST|$$c) Obliczenie stosunku długości odcinków. Z punktu a) otrzymaliśmy, że $|ST| = |TM|$. Z punktu b) otrzymaliśmy, że $|LS| = |ST|$. Łącząc te dwie informacje, otrzymujemy ciąg równości:$$|LS| = |ST| = |TM|$$Oznacza to, że punkty $S$ oraz $T$ dzielą odcinek $LM$ na trzy równe części. Odcinek $SM$ składa się z dwóch takich części, czyli odcinków $ST$ i $TM$:$$|SM| = |ST| + |TM|$$Podstawiamy $|LS|$ w miejsce obu składników:$$|SM| = |LS| + |LS|$$$$|SM| = 2 \cdot |LS|$$W ostatnim kroku obliczamy szukany stosunek $\frac{|LS|}{|SM|}$:$$\frac{|LS|}{|SM|} = \frac{|LS|}{2 \cdot |LS|}$$Skracamy ułamek przez wartość $|LS|$:$$\frac{|LS|}{|SM|} = \frac{1}{2}$$

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

W trójkącie $ABC$ obwód jest równy $50 \text{ cm}$. Poprowadzono wysokość $CD$, która podzieliła ten trójkąt na dwa trójkąty o obwodach $30 \text{ cm}$ i $32 \text{ cm}$. Jaka jest długość tej wysokości?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Długości wysokości trójkąta prostokątnego są równe: $60\text{ cm}$, $65\text{ cm}$ oraz $156\text{ cm}$. Wyznacz długości odcinków, na jakie spodek wysokości poprowadzonej do przeciwprostokątnej podzielił tę przeciwprostokątną.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

W trójkącie prostokątnym wysokość i środkowa poprowadzone z wierzchołka kąta prostego dzielą ten kąt na trzy części. Wiadomo, że skrajne części (przylegające do przyprostokątnych) mają miary odpowiednio $15^\circ$ oraz $15^\circ$. Wyznacz miary kątów ostrych tego trójkąta oraz miarę środkowej części kąta prostego.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość $24\text{ cm}$. Środek ciężkości tego trójkąta znajduje się w odległości $1\frac{2}{3}\text{ cm}$ od podstawy. Oblicz obwód tego trójkąta.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

W trójkącie $ABC$ poprowadzono środkową $CD$. Punkt $E$ jest środkiem tej środkowej. Przez punkty $A$ i $E$ poprowadzono prostą, która przecina bok $BC$ w punkcie $F$. Oblicz stosunek $\frac{|AF|}{|EF|}$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

7.8 Wysokości w trójkącie. Środkowe w trójkącie

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋