Wyrażenia algebraiczne sprawdzian 3 LiczBit

2 Wyrażenia algebraiczne

Sprawdzian 3

Grupa A

Zadanie 1

Wyznacz dziedzinę (niezbędne założenia) dla poniższego wyrażenia wymiernego, a następnie przedstaw je w postaci nieskracalnego ułamka:

$$\dfrac{2a+b}{a-3b} : \dfrac{4a^2+4ab+b^2}{3a-9b}$$

Wskazówki:

Założenia przy dzieleniu ułamków algebraicznych: Mianownik ułamka nigdy nie może być równy zero. Pamiętaj, że operacja dzielenia $\frac{A}{B} : \frac{C}{D}$ sprowadza się do mnożenia przez odwrotność $\frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$. Z tego powodu z zera muszą być wykluczone mianowniki obu wyjściowych ułamków ($B \neq 0$, $D \neq 0$) oraz licznik dzielnika ($C \neq 0$), który po odwróceniu staje się nowym mianownikiem.
Uwaga na typowy błąd – nieuwzględnienie licznika dzielnika: Najczęstszym błędem uczniów jest wyznaczanie założeń wyłącznie dla widocznych na początku mianowników ($a - 3b \neq 0$ oraz $3a - 9b \neq 0$) i zapomnienie o warunku dla wyrażenia $4a^2 + 4ab + b^2 \neq 0$. Dzielenie przez zero w ułamku odwracanym jest niedozwolone.
Uwaga na błąd w skracaniu: Kategorycznie nie wolno skracać pojedynczych składników w sumie (np. litery $b$ z $b^2$ lub $a$ z $4a^2$). Skracać wolno wyłącznie całe czynniki po uprzednim doprowadzeniu licznika i mianownika do postaci iloczynowej (np. poprzez wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias lub zastosowanie wzorów skróconego mnożenia).

Rozwiązanie krok po kroku:

Ustalenie założeń (dziedziny wyrażenia):
Dzielenie przez zero jest wykonalne tylko wtedy, gdy żaden z mianowników ani dzielnik nie przyjmują wartości $0$. Zapisujemy trzy warunki: $$\begin{aligned} 1) \quad a - 3b &\neq 0 \iff a \neq 3b \\[8pt] 2) \quad 3a - 9b &\neq 0 \iff 3(a - 3b) \neq 0 \iff a \neq 3b \\[8pt] 3) \quad 4a^2 + 4ab + b^2 &\neq 0 \end{aligned}$$ Wyrażenie w trzecim warunku zwijamy za pomocą wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$: $$\begin{aligned} 4a^2 + 4ab + b^2 &= (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot b + b^2 \\[8pt] &= (2a + b)^2 \end{aligned}$$ Kwadrat wyrażenia jest różny od zera wtedy i tylko wtedy, gdy samo wyrażenie pod potęgą jest różne od zera: $$(2a + b)^2 \neq 0 \iff 2a + b \neq 0 \iff b \neq -2a$$ Łącząc powyższe warunki, otrzymujemy pełne założenia: $$a \neq 3b \quad \text{oraz} \quad 2a + b \neq 0 \quad (b \neq -2a)$$
Rozkład wyrażeń na czynniki i zamiana dzielenia na mnożenie:
Mianownik drugiego ułamka rozkładamy przez wyłączenie wspólnego czynnika liczbowego przed nawias: $$3a - 9b = 3(a - 3b)$$ Dzielenie ułamków algebraicznych zastępujemy mnożeniem przez odwrotność drugiego ułamka: $$\begin{aligned} \dfrac{2a+b}{a-3b} : \dfrac{4a^2+4ab+b^2}{3a-9b} &= \dfrac{2a+b}{a-3b} \cdot \dfrac{3a-9b}{4a^2+4ab+b^2} \\[8pt] &= \dfrac{2a+b}{a-3b} \cdot \dfrac{3(a-3b)}{(2a+b)^2} \end{aligned}$$
Redukcja (skrócenie) wspólnych czynników:
Zapisujemy iloczyn na jednej kresce ułamkowej i skracamy jednakowe czynniki w liczniku i mianowniku: $$\begin{aligned} \dfrac{(2a+b) \cdot 3(a-3b)}{(a-3b) \cdot (2a+b)^2} &= \dfrac{3 \cdot \cancel{(2a+b)}\,\cancel{(a-3b)}}{\cancel{(2a+b)}\,(2a+b)\,\cancel{(a-3b)}} \\[8pt] &= \dfrac{3}{2a+b} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Postać uproszczona: $\dfrac{3}{2a+b}$

Założenia: $a \neq 3b$ oraz $2a + b \neq 0$ (czyli $b \neq -2a$)

Zadanie 2

Wyznacz wartość liczbową wyrażenia logarytmicznego: $$\dfrac{\log_3 49}{\log_3 7} + 3\log_7 \dfrac{7}{2} + \log_7 8$$

Wskazówki:

Iloraz dwóch logarytmów o tej samej podstawie $\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ można zwinąć do postaci pojedynczego logarytmu na mocy wzoru na zamianę podstaw: $\dfrac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b$, bądź przedstawić liczbę logarytmowaną w liczniku jako potęgę liczby z mianownika.
Współczynnik liczbowy stojący przed logarytmem włączamy do wykładnika potęgi liczby logarytmowanej: $k \log_a x = \log_a (x^k)$.
Sumę logarytmów o jednakowych podstawach zamieniamy na logarytm iloczynu: $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$.
Uwaga na kardynalne błędy:
- Kategorycznie nie wolno mylić ilorazu logarytmów z logarytmem różnicy: $\dfrac{\log_3 49}{\log_3 7} \neq \log_3(49 - 7)$. Logarytm nie jest czynnikiem, którego symbol można „skrócić” jak ułamek zwykły do postaci $\frac{49}{7}$.
- W wyrażeniu $3\log_7 \dfrac{7}{2}$ liczba $3$ nie mnoży ułamka wewnątrz nawiasu (błędem byłoby napisanie $\log_7\left(3 \cdot \frac{7}{2}\right)$), lecz podnosi cały ten ułamek do potęgi trzeciej.

Rozwiązanie krok po kroku:

Uproszczenie pierwszego składnika $\dfrac{\log_3 49}{\log_3 7}$:
Zauważamy, że liczba $49$ jest drugą potęgą liczby $7$, czyli $49 = 7^2$.

Sposób I (wykorzystanie własności potęgi w logarytmie):
Wyprowadzamy wykładnik przed znak logarytmu: $$\begin{aligned} \dfrac{\log_3 49}{\log_3 7} &= \dfrac{\log_3 (7^2)}{\log_3 7} \\[8pt] &= \dfrac{2 \cdot \log_3 7}{\log_3 7} \\[8pt] &= 2 \end{aligned}$$ Sposób II (wzór na zamianę podstawy logarytmu):
Stosujemy wzór $\dfrac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b$: $$\dfrac{\log_3 49}{\log_3 7} = \log_7 49 = 2$$ ponieważ $7^2 = 49$.
Obliczenie sumy pozostałych składników $3\log_7 \dfrac{7}{2} + \log_7 8$:
Również tę część możemy wyznaczyć dwoma sposobami.

Sposób I (działania na potęgach i iloczyn logarytmów):
Wciągamy liczbę $3$ do wykładnika potęgi argumentu: $$3\log_7 \dfrac{7}{2} = \log_7 \left(\left(\dfrac{7}{2}\right)^3\right) = \log_7 \dfrac{343}{8}$$ Dodajemy kolejny składnik, stosując wzór na logarytm iloczynu: $$\begin{aligned} 3\log_7 \dfrac{7}{2} + \log_7 8 &= \log_7 \dfrac{343}{8} + \log_7 8 \\[8pt] &= \log_7 \left(\dfrac{343}{8} \cdot 8\right) \\[8pt] &= \log_7 343 \end{aligned}$$ Ponieważ $7^3 = 343$, otrzymujemy: $$\log_7 343 = 3$$ Sposób II (rozbicie logarytmu ilorazu i potęgi liczby $8$):
Zapisujemy logarytm ilorazu jako różnicę logarytmów, a liczbę $8$ jako $2^3$: $$\begin{aligned} 3\log_7 \dfrac{7}{2} + \log_7 8 &= 3(\log_7 7 - \log_7 2) + \log_7 (2^3) \\[8pt] &= 3(1 - \log_7 2) + 3\log_7 2 \\[8pt] &= 3 - 3\log_7 2 + 3\log_7 2 \\[8pt] &= 3 \end{aligned}$$
Zsumowanie wyznaczonych wartości całego wyrażenia:
Wstawiamy otrzymane wyniki cząstkowe do wyjściowego równania: $$\begin{aligned} \dfrac{\log_3 49}{\log_3 7} + 3\log_7 \dfrac{7}{2} + \log_7 8 &= 2 + 3 \\[8pt] &= 5 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
$$5$$

Zadanie 3

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej założenia $x \neq -2$ oraz $x \neq 2$ prawdziwa jest tożsamość algebraiczna: $$\dfrac{x^2-2x}{(x+2)^2} : \left(\dfrac{x^2+4}{x^2-4} + \dfrac{x}{x+2} + \dfrac{x}{2-x}\right) = \dfrac{x}{x+2}$$

Wskazówki:

Rozpocznij od uporządkowania sumy w nawiasie. Zauważ, że $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$, a mianownik $2-x$ różni się od $x-2$ jedynie znakiem, więc $\dfrac{x}{2-x} = -\dfrac{x}{x-2}$.
Uwaga na typowy błąd: Skracanie ułamków jest dozwolone wyłącznie w postaci iloczynowej. Kategorycznie nie wolno skracać wyrazów będących składnikami sumy lub różnicy (np. skreślać $x^2$ z licznika i mianownika w wyrażeniu $\dfrac{x^2+4}{x^2-4}$). Pamiętaj także o dokładnej zmianie znaków przy odejmowaniu całego licznika w nawiasie.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sprowadzenie ułamków w nawiasie do wspólnego mianownika:
Oznaczmy wyrażenie w nawiasie jako $W$: $$W = \dfrac{x^2+4}{x^2-4} + \dfrac{x}{x+2} + \dfrac{x}{2-x}$$ Rozkładamy mianownik pierwszego ułamka na czynniki ze wzoru na różnicę kwadratów: $$x^2-4 = (x-2)(x+2)$$ W trzecim ułamku wyciągamy minus z mianownika przed ułamek: $$\dfrac{x}{2-x} = \dfrac{x}{-(x-2)} = -\dfrac{x}{x-2}$$ Wspólnym mianownikiem dla wszystkich trzech składników jest iloczyn $(x-2)(x+2)$. Rozszerzamy ułamki: $$\begin{aligned} W &= \dfrac{x^2+4}{(x-2)(x+2)} + \dfrac{x(x-2)}{(x-2)(x+2)} - \dfrac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} \\[8pt] &= \dfrac{(x^2+4) + x(x-2) - x(x+2)}{(x-2)(x+2)} \end{aligned}$$
Redukcja wyrazów w liczniku i uproszczenie wyrażenia $W$:
Wymnażamy wyrażenia w nawiasach w liczniku: $$\begin{aligned} (x^2+4) + x(x-2) - x(x+2) &= x^2 + 4 + x^2 - 2x - (x^2 + 2x) \\[8pt] &= x^2 + 4 + x^2 - 2x - x^2 - 2x \\[8pt] &= x^2 - 4x + 4 \end{aligned}$$ Zwijamy otrzymany trójmian za pomocą wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$: $$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$$ Podstawiamy zwinięty licznik i skracamy czynnik $(x-2)$: $$\begin{aligned} W &= \dfrac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)} \\[8pt] &= \dfrac{x-2}{x+2} \end{aligned}$$
Wykonanie dzielenia przez uproszczone wyrażenie $W$ (lewa strona tożsamości):
W liczniku dzielnej $\dfrac{x^2-2x}{(x+2)^2}$ wyłączamy wspólny czynnik $x$ przed nawias: $$x^2-2x = x(x-2)$$ Dzielenie przez ułamek $W$ zastępujemy mnożeniem przez jego odwrotność: $$\begin{aligned} L &= \dfrac{x(x-2)}{(x+2)^2} : \dfrac{x-2}{x+2} \\[8pt] &= \dfrac{x(x-2)}{(x+2)^2} \cdot \dfrac{x+2}{x-2} \\[8pt] &= \dfrac{x \cdot (x-2) \cdot (x+2)}{(x+2)^2 \cdot (x-2)} \end{aligned}$$ Skracamy wspólne czynniki $(x-2)$ oraz jeden z czynników $(x+2)$: $$L = \dfrac{x}{x+2}$$
Porównanie lewej i prawej strony tożsamości:
Prawa strona tożsamości dana w treści zadania to: $$P = \dfrac{x}{x+2}$$ Ponieważ dla każdego $x \neq -2$ oraz $x \neq 2$ zachodzi równość $L = P$, tożsamość została udowodniona.

Odpowiedź:
Równość jest prawdziwa dla wszystkich $x \neq -2$ i $x \neq 2$, ponieważ lewa strona przekształca się do postaci prawej strony: $L = \dfrac{x}{x+2} = P$.

Zadanie 4

Wyznacz resztę z dzielenia sumy kwadratów trzech liczb całkowitych $a$, $b$ oraz $c$ przez $4$, jeżeli wiadomo, że reszta z dzielenia liczby $c$ przez $4$ wynosi $3$, reszta z dzielenia liczby $b$ przez $4$ jest równa $2$, natomiast liczba $a$ przy dzieleniu przez $4$ daje resztę $1$.

Wskazówki:

Zastosuj postać ogólną liczby całkowitej wynikającą z twierdzenia o dzieleniu z resztą: jeżeli liczba całkowita $x$ przy dzieleniu przez $4$ daje resztę $r$, to zapisujemy ją jako $x = 4q + r$, gdzie $q \in \mathbb{C}$ oraz $r \in \{0, 1, 2, 3\}$.
Czego kategorycznie nie wolno robić – ta sama litera dla ilorazów: Bezwzględnie zabronione jest zapisanie wszystkich trzech liczb z tą samą literą ilorazu, np. $a = 4k + 1$, $b = 4k + 2$, $c = 4k + 3$. Taki zapis narzucałby fałszywe założenie, że wszystkie trzy liczby dają ten sam wynik z dzielenia i różnią się dokładnie o $1$. Każda z liczb może być zupełnie inna, dlatego dla ilorazów należy użyć różnych zmiennych całkowitych (np. $k, l, m$).
Czego kategorycznie nie wolno robić – gubienie podwojonego iloczynu: Podnosząc sumy do kwadratu, stosuj wzór skróconego mnożenia $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Błędny zapis w stylu $(4k + 1)^2 = 16k^2 + 1$ to kardynalny błąd algebraiczny.
Własność reszty: Reszta z dzielenia przez $4$ musi być liczbą ze zbioru $\{0, 1, 2, 3\}$. Jeśli ze zsumowania wyrazów wolnych otrzymasz liczbę większą bądź równą $4$ (tutaj $14$), należy wydzielić z niej pełne czwórki: $14 = 4 \cdot 3 + 2$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Wykorzystanie algebraicznego zapisu liczb i wyłączenie wspólnego czynnika:
Z treści zadania wiemy, że liczby $a, b, c$ dzielone przez $4$ dają reszty odpowiednio $1, 2, 3$. Zgodnie z definicją dzielenia z resztą zapisujemy je w postaci ogólnej: $$\begin{aligned} a &= 4k + 1 \\[8pt] b &= 4l + 2 \\[8pt] c &= 4m + 3 \end{aligned}$$ gdzie $k, l, m$ to dowolne liczby całkowite ($k, l, m \in \mathbb{C}$).

Podnosimy każdą z liczb do kwadratu, stosując wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy: $$\begin{aligned} a^2 &= (4k + 1)^2 = 16k^2 + 8k + 1 \\[8pt] b^2 &= (4l + 2)^2 = 16l^2 + 16l + 4 \\[8pt] c^2 &= (4m + 3)^2 = 16m^2 + 24m + 9 \end{aligned}$$ Obliczamy sumę kwadratów tych liczb: $$\begin{aligned} a^2 + b^2 + c^2 &= (16k^2 + 8k + 1) + (16l^2 + 16l + 4) + (16m^2 + 24m + 9) \\[8pt] &= 16k^2 + 8k + 16l^2 + 16l + 16m^2 + 24m + (1 + 4 + 9) \\[8pt] &= 16k^2 + 8k + 16l^2 + 16l + 16m^2 + 24m + 14 \end{aligned}$$ Liczbę $14$ przedstawiamy jako sumę wielokrotności liczby $4$ oraz reszty: $14 = 12 + 2 = 4 \cdot 3 + 2$: $$\begin{aligned} a^2 + b^2 + c^2 &= 16k^2 + 8k + 16l^2 + 16l + 16m^2 + 24m + 12 + 2 \\[8pt] &= 4(4k^2 + 2k + 4l^2 + 4l + 4m^2 + 6m + 3) + 2 \end{aligned}$$ Oznaczmy wyrażenie w nawiasie jako $M = 4k^2 + 2k + 4l^2 + 4l + 4m^2 + 6m + 3$. Ponieważ liczby $k, l, m$ są całkowite, to ich potęgi, iloczyny i sumy również są liczbami całkowitymi, zatem $M \in \mathbb{C}$. Otrzymujemy: $$a^2 + b^2 + c^2 = 4M + 2, \quad \text{gdzie } M \in \mathbb{C}$$ Ponieważ $0 \le 2 < 4$, liczba $2$ jest szukaną resztą z dzielenia sumy kwadratów przez $4$.
Sposób II – Wykorzystanie arytmetyki reszt (własności reszt z działań):
Reszta z sumy liczb jest równa reszcie z sumy reszt jej składników, a reszta z kwadratu liczby jest równa reszcie z kwadratu jej reszty przy dzieleniu przez tę samą liczbę.

Wyznaczamy reszty z kwadratów poszczególnych liczb: $$\begin{aligned} r_{a^2} &= 1^2 = 1 \\[8pt] r_{b^2} &= 2^2 = 4 = 1 \cdot 4 + 0 \implies \text{reszta wynosi } 0 \\[8pt] r_{c^2} &= 3^2 = 9 = 2 \cdot 4 + 1 \implies \text{reszta wynosi } 1 \end{aligned}$$ Sumujemy wyznaczone reszty: $$r = r_{a^2} + r_{b^2} + r_{c^2} = 1 + 0 + 1 = 2$$ Otrzymana wartość spełnia warunek reszty z dzielenia przez $4$ ($0 \le 2 < 4$), co potwierdza, że reszta z dzielenia sumy kwadratów przez $4$ wynosi $2$.

Odpowiedź:
Reszta z dzielenia sumy kwadratów liczb $a, b, c$ przez $4$ wynosi $2$.

Zadanie 5

Drogę powrotną tą samą trasą motocyklista przejechał w czasie 1 godziny. Wcześniej, jadąc z bazy do górskiego punktu widokowego, poruszał się ze stałą prędkością 60 km/h, co zajęło mu 1 godzinę i 30 minut. Ustal wartość średniej prędkości motocyklisty na całej trasie w obie strony.

Wskazówki:

Prędkość średnia w fizyce jest zdefiniowana jako iloraz całkowitej przebytej drogi przez całkowity czas trwania ruchu: $v_{śr} = \dfrac{s_c}{t_c}$.
Czego kategorycznie nie wolno robić: Nie wolno obliczać prędkości średniej jako zwykłej średniej arytmetycznej prędkości z poszczególnych etapów, czyli $\dfrac{v_1 + v_2}{2}$. Taki zabieg jest fundamentalnym błędem merytorycznym, ponieważ czas trwania każdego z etapów był inny (motocyklista dłużej jechał z prędkością mniejszą, a krócej z większą). Średnia arytmetyczna daje poprawny wynik wyłącznie wtedy, gdy czasy trwania obu etapów są identyczne ($t_1 = t_2$).

Dane i szukane:

Dane:
$v_{m_1} = 60\text{ km/h}$
$t_1 = 1\text{ h } 30\text{ min} = 1{,}5\text{ h}$
$t_2 = 1\text{ h}$
$s_2 = s_1$

Szukane:
$v_{śr} = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza etapów ruchu motocyklisty:
Ruch składa się z dwóch etapów odbywających się na tej samej trasie o długości $s_1$. W pierwszym etapie motocyklista pokonuje drogę z bazy do punktu widokowego z prędkością $v_{m_1} = 60\text{ km/h}$ w czasie $t_1 = 1{,}5\text{ h}$. W drodze powrotnej przebywa ten sam dystans ($s_2 = s_1$) w krótszym czasie $t_2 = 1\text{ h}$.
Obliczenie długości trasy w jedną stronę oraz prędkości powrotnej:
W ruchu jednostajnym prostoliniowym droga jest iloczynem prędkości i czasu. Obliczamy długość trasy z bazy do punktu widokowego $s_1$: $$\begin{aligned} s_1 &= v_{m_1} \cdot t_1 \\[8pt] &= 60\text{ km/h} \cdot 1{,}5\text{ h} \\[8pt] &= 90\text{ km} \end{aligned}$$ Ponieważ droga powrotna odbywała się tą samą trasą, jej długość wynosi: $$s_2 = s_1 = 90\text{ km}$$ Dla pełnego obrazu sytuacji możemy wyznaczyć prędkość motocyklisty w drodze powrotnej $v_{m_2}$: $$\begin{aligned} v_{m_2} &= \dfrac{s_2}{t_2} \\[8pt] &= \dfrac{90\text{ km}}{1\text{ h}} \\[8pt] &= 90\text{ km/h} \end{aligned}$$ Wyjaśnienie pułapki średniej arytmetycznej: Średnia arytmetyczna z prędkości $60\text{ km/h}$ i $90\text{ km/h}$ wynosi $\dfrac{60 + 90}{2} = 75\text{ km/h}$. Wynik ten nie jest poprawny, ponieważ motocyklista jechał z prędkością $60\text{ km/h}$ aż przez 90 minut, a z prędkością $90\text{ km/h}$ zaledwie przez 60 minut. Prędkość mniejsza miała większy wpływ na cały bilans czasowy.
Wyznaczenie całkowitej drogi, łącznego czasu i prędkości średniej oraz interpretacja graficzna $v(t)$:
Obliczamy całkowity dystans pokonany przez motocyklistę w obie strony: $$\begin{aligned} s_c &= s_1 + s_2 \\[8pt] &= 90\text{ km} + 90\text{ km} \\[8pt] &= 180\text{ km} \end{aligned}$$ Obliczamy łączny czas trwania obu etapów: $$\begin{aligned} t_c &= t_1 + t_2 \\[8pt] &= 1{,}5\text{ h} + 1\text{ h} \\[8pt] &= 2{,}5\text{ h} \end{aligned}$$ Stosujemy definicję prędkości średniej: $$\begin{aligned} v_{śr} &= \dfrac{s_c}{t_c} \\[8pt] &= \dfrac{180\text{ km}}{2{,}5\text{ h}} \\[8pt] &= \dfrac{180}{\frac{5}{2}} \\[8pt] &= 180 \cdot \dfrac{2}{5} \\[8pt] &= 72\text{ km/h} \end{aligned}$$ Poniższy wykres zależności prędkości od czasu $v(t)$ przedstawia prędkości na poszczególnych etapach oraz poziom wyliczonej prędkości średniej $v_{śr} = 72\text{ km/h}$ (czerwona linia przerywana):

Odpowiedź:
Średnia prędkość motocyklisty na całej trasie wynosiła $72\text{ km/h}$.

Zadanie 6

Rozstrzygnij, jaką wartość logiczną ma zdanie złożone $q$: $$\left( \sqrt{1\dfrac{7}{9}} < \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1} \right) \Rightarrow \left( 0,(6) \le \dfrac{2}{3} \;\wedge\; 9 \mid 4302 \right)$$

Wskazówki:

Etapowa weryfikacja zdań składowych: Złożone wyrażenie logiczne rozbijamy na prostsze elementy. Oceniamy kolejno wartość logiczną poprzednika implikacji, a następnie każdego ze składników koniunkcji w nawiasie po prawej stronie.
Uwaga na zamianę ułamka okresowego: Kategorycznie nie wolno przybliżać ułamka okresowego $0,(6)$ jako liczby skończonej $0{,}6$ ani zapisywać go jako $\dfrac{6}{10}$. W ułamkach okresowych o okresie jednocyfrowym mianownikiem jest 9, stąd $0,(6) = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$.
Interpretacja nierówności słabej ($\le$): Znak $\le$ oznacza relację „mniejsze lub równe”. Jeśli zachodzi równość stron ($\dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3}$), to cała nierówność słaba $\dfrac{2}{3} \le \dfrac{2}{3}$ jest w pełni prawdziwa.
Tabela prawdy implikacji: Implikacja $A \Rightarrow B$ jest fałszywa wyłącznie w sytuacji, gdy z prawdy wynika fałsz ($1 \Rightarrow 0$). W każdym innym przypadku implikacja przyjmuje wartość 1.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie wartości logicznej poprzednika implikacji:
Rozpatrujemy pierwsze zdanie składowe $p_1: \sqrt{1\dfrac{7}{9}} < \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1}$.
Przekształcamy lewą stronę nierówności, zamieniając liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy: $$\begin{aligned} \sqrt{1\dfrac{7}{9}} &= \sqrt{\dfrac{16}{9}} \\[8pt] &= \dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}} \\[8pt] &= \dfrac{4}{3} \end{aligned}$$ Obliczamy prawą stronę nierówności, stosując definicję potęgi o wykładniku ujemnym $\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a}$: $$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1} = \dfrac{3}{2}$$ Porównujemy obie wartości, sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika 6: $$\dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{6}, \quad \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{6}$$ Ponieważ $\dfrac{8}{6} < \dfrac{9}{6}$, nierówność jest prawdziwa. Zatem: $$w(p_1) = 1$$
Wyznaczenie wartości logicznej pierwszego członu koniunkcji:
Rozpatrujemy zdanie $p_2: 0,(6) \le \dfrac{2}{3}$.
Zamieniamy ułamek dziesiętny nieskończony okresowy $0,(6)$ na ułamek zwykły metodą algebraiczną: $$\begin{aligned} x &= 0{,}666\dots \\[8pt] 10x &= 6{,}666\dots \end{aligned}$$ Odejmując pierwsze równanie od drugiego stronami: $$\begin{aligned} 9x &= 6 \\[8pt] x &= \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3} \end{aligned}$$ Nierówność przyjmuje postać $\dfrac{2}{3} \le \dfrac{2}{3}$. Ponieważ relacja $\le$ dopuszcza równość obu stron, zdanie jest prawdziwe: $$w(p_2) = 1$$
Wyznaczenie wartości logicznej drugiego członu koniunkcji:
Rozpatrujemy zdanie $p_3: 9 \mid 4302$.
Liczba jest podzielna przez 9 wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 9. Obliczamy sumę cyfr liczby 4302: $$S = 4 + 3 + 0 + 2 = 9$$ Liczba 9 jest podzielna przez 9 ($9 : 9 = 1$), zatem liczba 4302 dzieli się przez 9 bez reszty. Zdanie jest prawdziwe: $$w(p_3) = 1$$
Ocena wartości logicznej całego zdania złożonego:
Najpierw obliczamy wartość logiczną następnika implikacji, którym jest koniunkcja $(p_2 \wedge p_3)$: $$w(p_2 \wedge p_3) = 1 \wedge 1 = 1$$ Następnie oceniamy wartość logiczną całej implikacji $p_1 \Rightarrow (p_2 \wedge p_3)$: $$w(q) = 1 \Rightarrow 1 = 1$$ Całe zdanie złożone $q$ jest prawdziwe.

Odpowiedź:
Zdanie $q$ jest prawdziwe (wartość logiczna: 1).

Grupa B

Zadanie 1

Określ zbiór dopuszczalnych wartości zmiennych (konieczne założenia) i doprowadź poniższe wyrażenie algebraiczne do najprostszej postaci:

$$\dfrac{4x-y}{2x+y} : \dfrac{16x^2-8xy+y^2}{8x+4y}$$

Zadanie 2

Oblicz dokładną wartość wyrażenia zawierającego logarytmy: $$\dfrac{\log_7 125}{\log_7 5} + 2\log_5 \dfrac{5}{3} + \log_5 9$$

Zadanie 3

Uzasadnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $m$ różnej od $-4$ oraz $4$ zachodzi tożsamość: $$\dfrac{m^2-4m}{(m+4)^2} : \left(\dfrac{m^2+16}{m^2-16} + \dfrac{m}{m+4} + \dfrac{m}{4-m}\right) = \dfrac{m}{m+4}$$

Zadanie 4

Ustal, jaką resztę przy dzieleniu przez $4$ daje suma kwadratów trzech liczb całkowitych $k$, $l$ oraz $m$, jeżeli przy dzieleniu przez $4$ liczba $k$ daje resztę $1$, natomiast każda z liczb $l$ oraz $m$ daje resztę $3$.

Zadanie 5

Drogę powrotną tą samą trasą, z magazynu centralnego do punktu odbioru paczek, kurier na skuterze elektrycznym pokonał w czasie 1 godziny i 15 minut. Wcześniej, jadąc do magazynu, poruszał się ze stałą prędkością 40 km/h w czasie 45 minut. Oblicz wartość średniej prędkości kuriera na całym dystansie w obie strony.

Zadanie 6

Rozstrzygnij, jaką wartość logiczną ma zdanie złożone $s$: $$\left( 0,(27) = \dfrac{3}{11} \right) \Rightarrow \left( \sqrt[3]{2\dfrac{10}{27}} \ge 3^{-1} \;\wedge\; 4 \mid 5138 \right)$$

2 Wyrażenia algebraiczne

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Zadanie 6

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Zadanie 6

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋