Wielokąt. Wielokąt foremny. Suma kątów w wielokącie kartkówka LiczBit

7.4 Wielokąt. Wielokąt foremny. Suma kątów w wielokącie

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Wyznacz liczbę przekątnych: a) siedmiokąta b) dziesięciokąta c) dwudziestokąta.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Przekątna wielokąta to odcinek łączący dwa wierzchołki, które nie są sąsiednie. Z każdego wierzchołka wielokąta o $n$ bokach można wyprowadzić przekątne do wszystkich innych wierzchołków z wyjątkiem samego siebie oraz dwóch sąsiednich wierzchołków. Oznacza to, że z jednego wierzchołka wychodzi $n - 3$ przekątnych. 2) Ponieważ wielokąt ma $n$ wierzchołków, mogłoby się wydawać, że łączna liczba przekątnych to $n \cdot (n - 3)$. Należy jednak pamiętać, że w ten sposób każda przekątna zostaje policzona dwa razy (raz od każdego z jej końców). 3) Ostateczny wzór na liczbę przekątnych $d$ dowolnego $n$-kąta wypukłego to:$$d = \frac{n \cdot (n - 3)}{2}$$gdzie $n$ oznacza liczbę boków (lub wierzchołków) wielokąta. ROZWIĄZANIE: a) Obliczanie liczby przekątnych siedmiokąta. W przypadku siedmiokąta liczba boków wynosi $n = 7$. Podstawiamy tę wartość do wzoru na liczbę przekątnych:$$d = \frac{7 \cdot (7 - 3)}{2}$$Zgodnie z kolejnością wykonywania działań, najpierw obliczamy wartość w nawiasie, czyli odejmujemy $3$ od $7$:$$d = \frac{7 \cdot 4}{2}$$Następnie wykonujemy mnożenie w liczniku ułamka:$$d = \frac{28}{2}$$Na końcu dzielimy otrzymany wynik przez $2$:$$d = 14$$Siedmiokąt ma $14$ przekątnych. b) Obliczanie liczby przekątnych dziesięciokąta. W przypadku dziesięciokąta liczba boków wynosi $n = 10$. Podstawiamy tę wartość do wzoru:$$d = \frac{10 \cdot (10 - 3)}{2}$$Najpierw wykonujemy odejmowanie wewnątrz nawiasu:$$d = \frac{10 \cdot 7}{2}$$Teraz mnożymy liczby w liczniku:$$d = \frac{70}{2}$$Ostatnim krokiem jest dzielenie przez mianownik:$$d = 35$$Dziesięciokąt ma $35$ przekątnych. c) Obliczanie liczby przekątnych dwudziestokąta. W przypadku dwudziestokąta liczba boków wynosi $n = 20$. Ponownie korzystamy z tego samego wzoru:$$d = \frac{20 \cdot (20 - 3)}{2}$$Obliczamy wynik odejmowania w nawiasie:$$d = \frac{20 \cdot 17}{2}$$Wykonujemy mnożenie liczby $20$ przez $17$:$$d = \frac{340}{2}$$Dzielimy wynik przez $2$:$$d = 170$$Dwudziestokąt ma $170$ przekątnych.

Zadanie 2 (3 pkt)

W turnieju szachowym bierze udział 12 zawodników. System rozgrywek przewiduje, że każdy uczestnik musi rozegrać dokładnie jedną partię z każdym z pozostałych zawodników. Ile łącznie partii szachowych zostanie rozegranych w tym turnieju?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Wyobraź sobie, że zawodnicy wchodzą do sali jeden po drugim. Pierwszy zawodnik, który wejdzie, musi rozegrać partię z każdym, kto już jest w środku. Drugi zawodnik gra z tym pierwszym ($1$ nowa gra). Trzeci gra z dwoma poprzednimi ($2$ nowe gry). 2) Możesz też pomyśleć o tym w ten sposób: każdy z $12$ zawodników ma do rozegrania pewną liczbę meczów. Skoro nie gra sam ze sobą, to każdy musi zmierzyć się z $11$ innymi osobami. 3) Zwróć uwagę, że jeśli pomnożysz liczbę zawodników przez liczbę ich gier, to każdą partię policzysz dwukrotnie. Aby pozbyć się tego błędu, wynik mnożenia trzeba podzielić przez $2$. ROZWIĄZANIE: a) Wyznaczenie liczby przeciwników dla jednego gracza. W turnieju bierze udział $12$ osób. Każdy uczestnik gra z każdym z pozostałych dokładnie raz. Aby dowiedzieć się, ile partii rozegra jeden konkretny zawodnik, musimy od łącznej liczby uczestników odjąć jego samego:$$12 - 1 = 11$$Zatem każdy zawodnik rozegra dokładnie $11$ partii. b) Obliczanie łącznej liczby "występów" przy szachownicy. Skoro mamy $12$ zawodników i każdy z nich zasiądzie do szachownicy $11$ razy, to możemy obliczyć sumę wszystkich takich zdarzeń, mnożąc liczbę osób przez liczbę ich partii:$$12 \cdot 11 = 132$$Liczba $132$ to łączna liczba osób, które wzięły udział we wszystkich grach. c) Uwzględnienie faktu, że partia składa się z dwóch graczy. Każda partia szachowa odbywa się pomiędzy dwiema osobami. Oznacza to, że w naszym wyniku $132$ każda jedna partia została policzona dwa razy (raz dla pierwszego gracza i raz dla jego przeciwnika). Aby obliczyć rzeczywistą liczbę rozegranych partii, musimy podzielić ten wynik przez $2$:$$\frac{132}{2}$$d) Obliczenie ostatecznego wyniku. Wykonujemy dzielenie liczby $132$ przez $2$:$$\frac{132}{2} = 66$$W turnieju zostanie rozegranych łącznie $66$ partii szachowych. e) Alternatywny sposób poprzez sumowanie. Możemy również dodawać kolejno nowe partie, które dochodzą wraz z każdym zawodnikiem: Pierwszy gracz nie ma z kim grać. Drugi gracz gra z pierwszym ($1$ partia). Trzeci gracz gra z dwoma poprzednimi ($2$ partie). Proces ten kontynuujemy do dwunastego gracza:$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 66$$Wszystkie zaznaczone pary dają łącznie $66$ różnych partii szachowych.

Zadanie 3 (3 pkt)

Oblicz sumę miar kątów wewnętrznych: a) pięciokąta b) ośmiokąta c) dziesięciokąta.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Każdy wielokąt wypukły o $n$ bokach można podzielić na trójkąty, prowadząc wszystkie możliwe przekątne z jednego wybranego wierzchołka. Liczba takich trójkątów jest zawsze o $2$ mniejsza niż liczba boków wielokąta, co zapisujemy jako $n - 2$. 2) Wiemy, że suma miar kątów wewnętrznych w dowolnym trójkącie wynosi dokładnie $180^{\circ}$. Ponieważ wielokąt składa się z pewnej liczby takich trójkątów, suma jego kątów wewnętrznych jest iloczynem liczby trójkątów i miary $180^{\circ}$. 3) Skorzystaj z ogólnego wzoru na sumę miar kątów wewnętrznych wielokąta:$$S = \left( n - 2 \right) \cdot 180^{\circ}$$gdzie $S$ to szukana suma, a $n$ to liczba boków (lub wierzchołków) danej figury. ROZWIĄZANIE: a) Obliczanie sumy miar kątów wewnętrznych pięciokąta. W przypadku pięciokąta liczba boków wynosi $n = 5$. Aby obliczyć sumę miar jego kątów, podstawiamy tę wartość do wzoru $S = \left( n - 2 \right) \cdot 180^{\circ}$. Najpierw musimy ustalić, na ile trójkątów dzieli się ta figura. Wykonujemy odejmowanie w nawiasie:$$5 - 2 = 3$$Oznacza to, że pięciokąt można podzielić na $3$ trójkąty. Teraz mnożymy liczbę trójkątów przez sumę kątów jednego trójkąta, czyli przez $180^{\circ}$:$$S = 3 \cdot 180^{\circ}$$Aby ułatwić mnożenie, możemy pomnożyć $3 \cdot 18$, co daje $54$, a następnie dopisać zero na końcu:$$S = 540^{\circ}$$Suma miar kątów wewnętrznych pięciokąta wynosi $540^{\circ}$. b) Obliczanie sumy miar kątów wewnętrznych ośmiokąta. Dla ośmiokąta liczba boków wynosi $n = 8$. Ponownie korzystamy z tego samego wzoru i podstawiamy $8$ w miejsce $n$:$$S = \left( 8 - 2 \right) \cdot 180^{\circ}$$Najpierw obliczamy wartość w nawiasie, aby dowiedzieć się, ile trójkątów tworzy ośmiokąt:$$8 - 2 = 6$$Ośmiokąt dzieli się na $6$ trójkątów. Teraz wykonujemy mnożenie tej liczby przez $180^{\circ}$:$$S = 6 \cdot 180^{\circ}$$Rozbijamy mnożenie na prostsze etapy: $6 \cdot 100 = 600$ oraz $6 \cdot 80 = 480$. Dodajemy oba wyniki:$$600 + 480 = 1080$$Zatem:$$S = 1080^{\circ}$$Suma miar kątów wewnętrznych ośmiokąta wynosi $1080^{\circ}$. c) Obliczanie sumy miar kątów wewnętrznych dziesięciokąta. W dziesięciokącie liczba boków wynosi $n = 10$. Podstawiamy tę liczbę do wzoru na sumę kątów:$$S = \left( 10 - 2 \right) \cdot 180^{\circ}$$Obliczamy liczbę trójkątów, wykonując odejmowanie w nawiasie:$$10 - 2 = 8$$Dziesięciokąt składa się z $8$ trójkątów. Następnie mnożymy tę wartość przez $180^{\circ}$:$$S = 8 \cdot 180^{\circ}$$Wykonujemy mnożenie: $8 \cdot 100 = 800$ oraz $8 \cdot 80 = 640$. Sumujemy te wartości:$$800 + 640 = 1440$$Zatem:$$S = 1440^{\circ}$$Suma miar kątów wewnętrznych dziesięciokąta wynosi $1440^{\circ}$.

Zadanie 4 (3 pkt)

W pięciokącie kąty wewnętrzne mają się do siebie jak $2:3:4:4:5$. Oblicz miary tych kątów. Czy ten pięciokąt jest wypukły?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Każdy wielokąt o $n$ bokach ma określoną sumę kątów wewnętrznych. Aby ją obliczyć, należy skorzystać ze wzoru:$$S = (n - 2) \cdot 180^{\circ}$$W przypadku pięciokąta podstawiamy $n = 5$. 2) Stosunek miar kątów $2 : 3 : 4 : 4 : 5$ oznacza, że miary te można zapisać jako wielokrotności pewnej stałej wartości $x$. Przyjmij miary kątów jako $2x$, $3x$, $4x$, $4x$ oraz $5x$. 3) Suma tych wyrażeń musi być równa obliczonej wcześniej sumie kątów wewnętrznych pięciokąta. Rozwiązując proste równanie liniowe, wyznaczysz wartość $x$. 4) Aby sprawdzić, czy wielokąt jest wypukły, należy przyjrzeć się miarom wszystkich jego kątów wewnętrznych. Wielokąt jest wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego kąt wewnętrzny jest mniejszy niż $180^{\circ}$. Jeśli choć jeden kąt byłby większy od $180^{\circ}$, wielokąt byłby wklęsły. ROZWIĄZANIE: a) Obliczanie sumy kątów wewnętrznych pięciokąta. Pięciokąt posiada $n = 5$ boków i $5$ wierzchołków. Podstawiamy tę liczbę do wzoru na sumę kątów:$$S = (5 - 2) \cdot 180^{\circ}$$Najpierw wykonujemy odejmowanie w nawiasie:$$S = 3 \cdot 180^{\circ}$$Następnie mnożymy $3$ przez $180$:$$S = 540^{\circ}$$Suma wszystkich kątów w tym pięciokącie musi wynosić $540^{\circ}$. b) Wyznaczenie stałej proporcjonalności $x$. Z treści zadania wiemy, że kąty pozostają w stosunku $2 : 3 : 4 : 4 : 5$. Sumujemy części tego stosunku:$$2 + 3 + 4 + 4 + 5 = 18$$Zapisujemy równanie, w którym suma wszystkich części pomnożona przez niewiadomą $x$ daje całkowitą sumę kątów:$$18x = 540^{\circ}$$Aby obliczyć $x$, dzielimy obie strony równania przez liczbę $18$:$$x = \frac{540^{\circ}}{18}$$Wykonujemy dzielenie:$$x = 30^{\circ}$$c) Obliczanie miar poszczególnych kątów. Mając wartość $x = 30^{\circ}$, obliczamy miarę każdego z pięciu kątów: - Pierwszy kąt: $2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}$ - Drugi kąt: $3 \cdot 30^{\circ} = 90^{\circ}$ - Trzeci kąt: $4 \cdot 30^{\circ} = 120^{\circ}$ - Czwarty kąt: $4 \cdot 30^{\circ} = 120^{\circ}$ - Piąty kąt: $5 \cdot 30^{\circ} = 150^{\circ}$ Miary kątów tego pięciokąta to $60^{\circ}$, $90^{\circ}$, $120^{\circ}$, $120^{\circ}$ oraz $150^{\circ}$. d) Sprawdzenie wypukłości pięciokąta. Analizujemy otrzymane wyniki. Aby wielokąt był wypukły, każda z wyliczonych miar musi spełniać warunek bycia mniejszą od kąta półpełnego ($180^{\circ}$). Sprawdzamy największy z kątów, który wynosi $150^{\circ}$. Ponieważ zachodzi nierówność:$$150^{\circ} < 180^{\circ}$$to wszystkie pozostałe kąty (które są jeszcze mniejsze) również spełniają ten warunek. Zatem pięciokąt jest wypukły.

Zadanie 5 (3 pkt)

Różnica liczby boków dwóch wielokątów wynosi $1$. Wiedząc, że różnica liczby ich przekątnych jest równa $8$, wyznacz liczbę boków tych wielokątów.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Przypomnij sobie wzór na liczbę przekątnych wielokąta wypukłego o $n$ bokach:$$d = \frac{n \cdot (n - 3)}{2}$$gdzie $n$ to liczba boków wielokąta. Pamiętaj, że liczba boków musi być liczbą naturalną większą lub równą $3$. 2) Zapisz oznaczenia dla dwóch wielokątów. Jeśli liczba boków pierwszego wielokąta to $n$, to liczba boków drugiego wielokąta (który ma o jeden bok więcej) wynosi $n + 1$. 3) Ułóż równanie, korzystając z informacji o różnicy liczby przekątnych. Od wzoru na liczbę przekątnych wielokąta o $n + 1$ bokach odejmij wzór na liczbę przekątnych wielokąta o $n$ bokach i przyrównaj wynik do $8$. ROZWIĄZANIE: a) Wprowadzenie oznaczeń. Przyjmijmy, że: $n$ to liczba boków pierwszego (mniejszego) wielokąta. $n + 1$ to liczba boków drugiego (większego) wielokąta. Zgodnie z własnościami wielokątów, $n \ge 3$. b) Zapisanie wzorów na liczbę przekątnych dla obu wielokątów. Liczba przekątnych pierwszego wielokąta, oznaczona jako $d_{1}$, wynosi:$$d_{1} = \frac{n \cdot (n - 3)}{2}$$Liczba przekątnych drugiego wielokąta, oznaczona jako $d_{2}$, wynika z podstawienia $n + 1$ w miejsce $n$ do ogólnego wzoru:$$d_{2} = \frac{(n + 1) \cdot ((n + 1) - 3)}{2}$$Upraszczamy wyrażenie w drugim nawiasie:$$d_{2} = \frac{(n + 1) \cdot (n - 2)}{2}$$c) Ułożenie i rozwiązanie równania. Z treści zadania wiemy, że różnica liczby przekątnych wynosi $8$. Zapisujemy to jako:$$d_{2} - d_{1} = 8$$Podstawiamy nasze wyprowadzone wcześniej wyrażenia:$$\frac{(n + 1) \cdot (n - 2)}{2} - \frac{n \cdot (n - 3)}{2} = 8$$Aby pozbyć się ułamków, mnożymy obie strony równania przez $2$:$$(n + 1) \cdot (n - 2) - n \cdot (n - 3) = 16$$Teraz wykonujemy mnożenie nawiasów oraz mnożenie liczby przez nawias:$$(n^{2} - 2n + n - 2) - (n^{2} - 3n) = 16$$Upraszczamy wyrażenie w pierwszym nawiasie:$$(n^{2} - n - 2) - n^{2} + 3n = 16$$Redukujemy wyrazy podobne. Zauważamy, że $n^{2}$ oraz $-n^{2}$ znoszą się do zera:$$-n + 3n - 2 = 16$$$$2n - 2 = 16$$Przenosimy liczbę $-2$ na prawą stronę równania, zmieniając jej znak na przeciwny:$$2n = 16 + 2$$$$2n = 18$$Dzielimy obie strony równania przez $2$, aby wyznaczyć $n$:$$n = 9$$d) Wyznaczenie liczby boków obu wielokątów. Pierwszy wielokąt ma $n = 9$ boków. Drugi wielokąt ma $n + 1 = 9 + 1 = 10$ boków. e) Sprawdzenie poprawności rozwiązania. Obliczamy liczbę przekątnych dla dziewięciokąta:$$\frac{9 \cdot (9 - 3)}{2} = \frac{9 \cdot 6}{2} = 27$$Obliczamy liczbę przekątnych dla dziesięciokąta:$$\frac{10 \cdot (10 - 3)}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = 35$$Różnica wynosi $35 - 27 = 8$, co jest zgodne z treścią zadania. Liczba boków tych wielokątów to $9$ i $10$.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Wyznacz liczbę przekątnych: a) pięciokąta b) dwunastokąta c) trzydziestokąta.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Na spotkanie klasowe po latach przyszło 20 osób. Na powitanie każdy uczestnik uścisnął dłoń każdemu z pozostałych obecnych dokładnie jeden raz. Ile łącznie uścisków dłoni wymieniono podczas tego powitania?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Oblicz sumę miar kątów wewnętrznych: a) czworokąta b) dziewięciokąta c) piętnastokąta.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

W pięciokącie kąty wewnętrzne mają się do siebie jak $1:2:2:5:8$. Oblicz miary tych kątów. Czy ten pięciokąt jest wypukły?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

Wykaż, jakie to wielokąty, jeśli wiadomo, że jeden z nich ma o jeden bok więcej od drugiego, a liczba przekątnych większego z nich jest o $12$ większa od liczby przekątnych mniejszego.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

7.4 Wielokąt. Wielokąt foremny. Suma kątów w wielokącie

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋