Wektor na płaszczyźnie kartkówka LiczBit

7.12 Wektor na płaszczyźnie

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Między wektorami $\vec{a}$ i $\vec{b}$ prawdziwa jest zależność $\vec{a} = -3 \cdot \vec{b}$. Czy prawdziwa jest równość: a) $|\vec{a}| = 3|\vec{b}|$ b) $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Skorzystaj z podstawowej własności długości wektora pomnożonego przez liczbę (skalar). Jeśli mamy wektor $\vec{u}$ oraz liczbę rzeczywistą $k$, to długość wektora $k \cdot \vec{u}$ obliczamy ze wzoru:$$\left| k \cdot \vec{u} \right| = \left| k \right| \cdot \left| \vec{u} \right|$$Pamiętaj, że wartość bezwzględna liczby ujemnej jest dodatnia. 2) Zauważ, że zależność $\vec{a} = -3 \cdot \vec{b}$ informuje nas o kierunku i zwrocie wektorów. Ponieważ współczynnik $-3$ jest ujemny, wektory $\vec{a}$ oraz $\vec{b}$ są kolinearne (leżą na prostych równoległych), ale mają przeciwne zwroty. 3) Aby sprawdzić prawdziwość równości w podpunkcie b), podstaw wyrażenie $-3 \cdot \vec{b}$ w miejsce wektora $\vec{a}$. Wykonaj działania na wektorach wewnątrz symbolu długości, a następnie wyciągnij skalar przed znak długości, stosując zasadę z punktu 1). Porównaj wynik z sumą długości poszczególnych wektorów. ROZWIĄZANIE: a) Badanie prawdziwości równości $\left| \vec{a} \right| = 3 \left| \vec{b} \right|$. Mamy daną zależność między wektorami:$$\vec{a} = -3 \cdot \vec{b}$$Obliczamy długość wektora $\vec{a}$, nakładając symbol długości na obie strony równania:$$\left| \vec{a} \right| = \left| -3 \cdot \vec{b} \right|$$Zgodnie z własnościami działań na wektorach, długość iloczynu wektora przez skalar jest równa iloczynowi wartości bezwzględnej tego skalara i długości wektora:$$\left| \vec{a} \right| = \left| -3 \right| \cdot \left| \vec{b} \right|$$Wartość bezwzględna z liczby $-3$ wynosi $3$, ponieważ odległość tej liczby od zera na osi liczbowej jest równa $3$:$$\left| \vec{a} \right| = 3 \cdot \left| \vec{b} \right|$$Otrzymany wynik jest identyczny z zapytaniem w podpunkcie a). Zatem równość jest prawdziwa. b) Badanie prawdziwości równości $\left| \vec{a} + \vec{b} \right| = \left| \vec{a} \right| + \left| \vec{b} \right|$. Najpierw obliczymy lewą stronę równania. Podstawiamy zależność $\vec{a} = -3 \cdot \vec{b}$ do wyrażenia pod znakiem długości:$$L = \left| -3 \cdot \vec{b} + \vec{b} \right|$$Możemy wyłączyć wspólny wektor $\vec{b}$ przed nawias wewnątrz znaku długości:$$L = \left| \vec{b} \cdot \left( -3 + 1 \right) \right|$$Wykonujemy dodawanie liczb w nawiasie:$$L = \left| \vec{b} \cdot \left( -2 \right) \right|$$Co zapisujemy standardowo jako:$$L = \left| -2 \cdot \vec{b} \right|$$Stosujemy własność wyciągania skalara przed znak długości:$$L = \left| -2 \right| \cdot \left| \vec{b} \right|$$$$L = 2 \cdot \left| \vec{b} \right|$$Teraz obliczymy prawą stronę równania. Wiemy już z podpunktu a), że $\left| \vec{a} \right| = 3 \cdot \left| \vec{b} \right|$. Podstawiamy to do wyrażenia:$$P = \left| \vec{a} \right| + \left| \vec{b} \right|$$$$P = 3 \cdot \left| \vec{b} \right| + \left| \vec{b} \right|$$Dodajemy do siebie te same wyrażenia (traktujemy to jak $3x + x = 4x$):$$P = 4 \cdot \left| \vec{b} \right|$$Porównujemy lewą stronę ($2 \cdot \left| \vec{b} \right|$) z prawą stroną ($4 \cdot \left| \vec{b} \right|$). Zauważamy, że:$$2 \cdot \left| \vec{b} \right| \neq 4 \cdot \left| \vec{b} \right|$$Równość byłaby prawdziwa tylko w przypadku, gdyby wektor $\vec{b}$ był wektorem zerowym (miał długość $0$). W ogólnym przypadku równość ta jest fałszywa. Wynika to z faktu, że wektory mają przeciwne zwroty, więc przy dodawaniu ich wartości częściowo się "znoszą", a nie sumują.

Zadanie 2 (3 pkt)

W prostokącie $ABCD$ punkt $E$ jest środkiem boku $DC$, zaś punkt $F$ jest środkiem boku $BC$. Wiedząc, że $\vec{AB} = 8\vec{a}$ i $\vec{AD} = 4\vec{b}$, wyznacz wektory $\vec{AE}$, $\vec{AF}$ oraz $\vec{FE}$ w zależności od wektorów $\vec{a}$ i $\vec{b}$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Wektory w prostokącie mają tę własność, że boki równoległe są równe co do długości i mają ten sam zwrot, jeśli poruszamy się w tę samą stronę. Zatem $\vec{DC} = \vec{AB}$ oraz $\vec{BC} = \vec{AD}$. 2) Aby wyznaczyć dowolny wektor, możesz skorzystać z zasady dodawania wektorów (metoda trójkąta lub wieloboku). Na przykład, aby wyznaczyć wektor $\vec{AE}$, możesz przejść z punktu $A$ do $E$ drogą przez punkt $D$, czyli:$$\vec{AE} = \vec{AD} + \vec{DE}$$3) Pamiętaj o definicji środka odcinka. Jeśli punkt $E$ jest środkiem boku $DC$, to wektor $\vec{DE}$ stanowi dokładnie połowę wektora $\vec{DC}$. Podobnie, jeśli punkt $F$ jest środkiem boku $BC$, to wektor $\vec{BF}$ jest połową wektora $\vec{BC}$. 4) Wektor $\vec{FE}$ najłatwiej wyznaczyć, korzystając z różnicy wektorów lub sumy wektorów o znanym początku i końcu, na przykład:$$\vec{FE} = \vec{FA} + \vec{AE}$$Pamiętaj, że wektor przeciwny $\vec{FA}$ to $-\vec{AF}$. ROZWIĄZANIE: a) Wyznaczanie wektora $\vec{AE}$. Rozpoczynamy od znalezienia drogi z punktu $A$ do punktu $E$. Możemy zapisać, że:$$\vec{AE} = \vec{AD} + \vec{DE}$$Z treści zadania wiemy, że $\vec{AD} = 4\vec{b}$. Musimy teraz wyznaczyć wektor $\vec{DE}$. Punkt $E$ jest środkiem boku $DC$, zatem wektor $\vec{DE}$ to połowa wektora $\vec{DC}$:$$\vec{DE} = \frac{1}{2} \cdot \vec{DC}$$W prostokącie $ABCD$ bok $DC$ jest równoległy i równy bokowi $AB$, a wektory $\vec{DC}$ i $\vec{AB}$ mają ten sam zwrot. Zatem $\vec{DC} = \vec{AB} = 8\vec{a}$. Podstawiamy to do wzoru na $\vec{DE}$:$$\vec{DE} = \frac{1}{2} \cdot 8\vec{a}$$Wykonujemy mnożenie liczby przez wektor:$$\vec{DE} = 4\vec{a}$$Teraz możemy wrócić do głównego równania na wektor $\vec{AE}$:$$\vec{AE} = 4\vec{b} + 4\vec{a}$$Zapisujemy wynik w standardowej kolejności alfabetycznej:$$\vec{AE} = 4\vec{a} + 4\vec{b}$$b) Wyznaczanie wektora $\vec{AF}$. Aby wyznaczyć wektor $\vec{AF}$, wybieramy drogę z $A$ do $F$ przez punkt $B$:$$\vec{AF} = \vec{AB} + \vec{BF}$$Z treści zadania mamy $\vec{AB} = 8\vec{a}$. Punkt $F$ jest środkiem boku $BC$, więc wektor $\vec{BF}$ to połowa wektora $\vec{BC}$:$$\vec{BF} = \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}$$W prostokącie zachodzi równość $\vec{BC} = \vec{AD}$. Ponieważ $\vec{AD} = 4\vec{b}$, to $\vec{BC} = 4\vec{b}$. Obliczamy $\vec{BF}$:$$\vec{BF} = \frac{1}{2} \cdot 4\vec{b}$$$$\vec{BF} = 2\vec{b}$$Podstawiamy składniki do wzoru na wektor $\vec{AF}$:$$\vec{AF} = 8\vec{a} + 2\vec{b}$$c) Wyznaczanie wektora $\vec{FE}$. Wektor $\vec{FE}$ wyznaczymy, korzystając z wektorów obliczonych w poprzednich krokach. Zgodnie z zasadą odejmowania wektorów (koniec minus początek):$$\vec{FE} = \vec{AE} - \vec{AF}$$Podstawiamy wyznaczone wcześniej wyrażenia. Pamiętamy o użyciu nawiasu przy odejmowaniu całego wektora $\vec{AF}$:$$\vec{FE} = \left( 4\vec{a} + 4\vec{b} \right) - \left( 8\vec{a} + 2\vec{b} \right)$$Opuszczamy nawiasy, zmieniając znaki wszystkich wyrazów w drugim nawiasie na przeciwne:$$\vec{FE} = 4\vec{a} + 4\vec{b} - 8\vec{a} - 2\vec{b}$$Teraz redukujemy wyrazy podobne. Najpierw wektory przy $\vec{a}$:$$4\vec{a} - 8\vec{a} = -4\vec{a}$$Następnie wektory przy $\vec{b}$:$$4\vec{b} - 2\vec{b} = 2\vec{b}$$Ostateczny wynik to:$$\vec{FE} = -4\vec{a} + 2\vec{b}$$

Zadanie 3 (3 pkt)

W sześciokącie foremnym $ABCDEF$ wektory boków to $\vec{AB} = \vec{u}$ oraz $\vec{AF} = \vec{v}$. Wyraź za pomocą wektorów $\vec{u}$ i $\vec{v}$ następujące wektory: $\vec{BD}$, $\vec{BE}$, $\vec{FB}$, $\vec{FD}$ oraz $\vec{EC}$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) W sześciokącie foremnym $ABCDEF$ o środku $O$, wektor łączący wierzchołek $A$ ze środkiem $O$ można zapisać jako sumę wektorów dwóch przyległych boków wychodzących z tego wierzchołka. W tym przypadku:$$\vec{AO} = \vec{u} + \vec{v}$$2) Wykorzystaj fakt, że w sześciokącie foremnym przeciwległe boki są równoległe i równej długości. Oznacza to, że:$$\vec{BC} = \vec{AO} = \vec{u} + \vec{v}$$$$\vec{CD} = \vec{BO} = \vec{AF} = \vec{v}$$$$\vec{DE} = \vec{CO} = \vec{BA} = -\vec{u}$$3) Dowolny wektor między dwoma wierzchołkami możesz wyznaczyć, znajdując drogę wzdłuż znanych wektorów boków (metoda łamanej). Na przykład:$$\vec{BD} = \vec{BC} + \vec{CD}$$4) Pamiętaj, że główna przekątna przechodząca przez środek (np. $\vec{AD}$) jest równa dwukrotności wektora boku równoległego do niej:$$\vec{AD} = 2 \cdot \vec{AO} = 2 \cdot \left(\vec{u} + \vec{v}\right)$$ROZWIĄZANIE: a) Wyrażenie wektora $\vec{BD}$. Wektor $\vec{BD}$ wyznaczamy, sumując wektory boków $\vec{BC}$ oraz $\vec{CD}$. Z własności sześciokąta wiemy, że $\vec{BC} = \vec{u} + \vec{v}$ oraz $\vec{CD} = \vec{v}$. Podstawiamy:$$\vec{BD} = \vec{BC} + \vec{CD}$$$$\vec{BD} = \left(\vec{u} + \vec{v}\right) + \vec{v}$$$$\vec{BD} = \vec{u} + 2\vec{v}$$b) Wyrażenie wektora $\vec{BE}$. Wektor $\vec{BE}$ prowadzi od wierzchołka $B$ do $E$. Możemy go zapisać jako sumę wektorów $\vec{BC}$, $\vec{CD}$ oraz $\vec{DE}$. Wiemy, że $\vec{DE}$ jest przeciwny do $\vec{AB}$, zatem $\vec{DE} = -\vec{u}$:$$\vec{BE} = \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE}$$$$\vec{BE} = \left(\vec{u} + \vec{v}\right) + \vec{v} + \left(-\vec{u}\right)$$Redukujemy wektory $\vec{u}$ oraz $-\vec{u}$:$$\vec{BE} = 2\vec{v}$$c) Wyrażenie wektora $\vec{FB}$. Wektor $\vec{FB}$ wyznaczamy, idąc z punktu $F$ do $A$, a następnie z $A$ do $B$. Wektor $\vec{FA}$ jest przeciwny do $\vec{AF} = \vec{v}$:$$\vec{FB} = \vec{FA} + \vec{AB}$$$$\vec{FB} = -\vec{v} + \vec{u}$$$$\vec{FB} = \vec{u} - \vec{v}$$d) Wyrażenie wektora $\vec{FD}$. Wektor $\vec{FD}$ można wyznaczyć najszybciej, korzystając z drogi przez wierzchołek $A$ i $D$. Wiemy, że $\vec{FA} = -\vec{v}$ oraz $\vec{AD} = 2\vec{u} + 2\vec{v}$:$$\vec{FD} = \vec{FA} + \vec{AD}$$$$\vec{FD} = -\vec{v} + 2\vec{u} + 2\vec{v}$$$$\vec{FD} = 2\vec{u} + \vec{v}$$e) Wyrażenie wektora $\vec{EC}$. Wektor $\vec{EC}$ jest przeciwny do wektora $\vec{CE}$, czyli możemy zapisać go jako sumę $\vec{ED}$ oraz $\vec{DC}$. Wiemy, że $\vec{ED} = \vec{AB} = \vec{u}$ oraz $\vec{DC} = -\vec{CD} = -\vec{v}$:$$\vec{EC} = \vec{ED} + \vec{DC}$$$$\vec{EC} = \vec{u} + \left(-\vec{v}\right)$$$$\vec{EC} = \vec{u} - \vec{v}$$

Zadanie 4 (3 pkt)

Punkt $K$ leży na boku $AC$ trójkąta $ABC$ i dzieli go w stosunku $|AK| : |KC| = 1 : 4$. Punkt $L$ leży na boku $BC$ i dzieli go w stosunku $|BL| : |LC| = 1 : 4$. Wykaż, używając wektorów, że odcinek $KL$ jest równoległy do podstawy $AB$ i oblicz jego długość w stosunku do $AB$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Przypomnij sobie definicję wektora zaczepionego w punkcie. Dowolny wektor $\vec{XY}$ można zapisać jako różnicę wektorów wodzących o wspólnym początku $O$:$$\vec{XY} = \vec{OY} - \vec{OX}$$W tym zadaniu najwygodniej będzie przyjąć wierzchołek $C$ jako punkt odniesienia dla wszystkich wektorów. 2) Wykorzystaj podane stosunki podziału boków, aby wyrazić wektory $\vec{CK}$ oraz $\vec{CL}$ jako odpowiednie ułamki wektorów bocznych trójkąta, czyli $\vec{CA}$ oraz $\vec{CB}$. Jeśli punkt $K$ dzieli bok $AC$ w stosunku $1:4$ (licząc od $A$), to zastanów się, jaką częścią całego boku jest odcinek $KC$. 3) Zapisz wektor $\vec{KL}$ za pomocą wektorów wychodzących z punktu $C$:$$\vec{KL} = \vec{CL} - \vec{CK}$$Następnie podstaw do tego wzoru zależności wyznaczone w poprzednim kroku. 4) Pamiętaj o warunku równoległości wektorów. Dwa wektory są równoległe (kolinearne), jeżeli jeden z nich można zapisać jako iloczyn drugiego i pewnej liczby rzeczywistej $k$:$$\vec{v} = k \cdot \vec{u}$$Wartość bezwzględna liczby $k$ będzie jednocześnie stosunkiem długości tych odcinków. ROZWIĄZANIE: a) Wyznaczenie wektorów $\vec{CK}$ oraz $\vec{CL}$. Z treści zadania wiemy, że punkt $K$ leży na boku $AC$ i dzieli go w stosunku $|AK| : |KC| = 1 : 4$. Oznacza to, że cały bok $AC$ składa się z $1 + 4 = 5$ jednakowych części. Odcinek $KC$ stanowi $4$ z tych $5$ części. Ponieważ punkty $C, K, A$ leżą na jednej prostej, możemy zapisać zależność wektorową:$$\vec{CK} = \frac{4}{5} \cdot \vec{CA}$$Liczba $\frac{4}{5}$ wzięła się z podzielenia długości części $KC$ przez sumę części $AK + KC$. Analogicznie analizujemy bok $BC$. Punkt $L$ dzieli go w stosunku $|BL| : |LC| = 1 : 4$, więc odcinek $LC$ stanowi $\frac{4}{5}$ długości boku $BC$. Zatem:$$\vec{CL} = \frac{4}{5} \cdot \vec{CB}$$b) Wyrażenie wektora $\vec{KL}$ za pomocą wektorów bocznych. Zgodnie z zasadą odejmowania wektorów, wektor łączący dwa punkty można zapisać jako różnicę ich wektorów wodzących względem wspólnego początku. Przyjmując punkt $C$ jako początek, otrzymujemy:$$\vec{KL} = \vec{CL} - \vec{CK}$$Teraz podstawiamy wyznaczone w punkcie a) wyrażenia do tego równania:$$\vec{KL} = \frac{4}{5} \cdot \vec{CB} - \frac{4}{5} \cdot \vec{CA}$$Wyciągamy wspólny czynnik $\frac{4}{5}$ przed nawias, korzystając z prawa rozdzielności mnożenia względem odejmowania:$$\vec{KL} = \frac{4}{5} \cdot \left(\vec{CB} - \vec{CA}\right)$$c) Wykazanie równoległości i obliczenie stosunku długości. Zauważmy, że różnica wektorów $\vec{CB} - \vec{CA}$ to nic innego jak wektor $\vec{AB}$, co wynika z definicji odejmowania wektorów o wspólnym początku $C$:$$\vec{CB} - \vec{CA} = \vec{AB}$$Podstawiamy to do naszego równania na wektor $\vec{KL}$:$$\vec{KL} = \frac{4}{5} \cdot \vec{AB}$$Ponieważ wektor $\vec{KL}$ jest iloczynem wektora $\vec{AB}$ i liczby rzeczywistej $\frac{4}{5}$, to na mocy definicji wektory te są równoległe:$$KL \parallel AB$$Stosunek długości tych odcinków odpowiada wartości współczynnika stojącego przy wektorze $\vec{AB}$:$$\frac{|KL|}{|AB|} = \frac{4}{5}$$Długość odcinka $KL$ stanowi $\frac{4}{5}$ długości podstawy $AB$.

Zadanie 5 (3 pkt)

W trójkącie $ABC$ punkty $M$ i $N$ są odpowiednio środkami boków $AB$ i $AC$. Wykaż za pomocą wektorów, że $MN \parallel BC$ oraz $MN = \frac{1}{2} BC$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zapisz wektor $\vec{MN}$ jako sumę wektorów prowadzących od punktu $M$ do punktu $N$ przez wierzchołek $A$. Wykorzystaj do tego regułę dodawania wektorów: $\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AN}$. 2) Skorzystaj z definicji środka odcinka. Jeśli $M$ jest środkiem $AB$, to wektor $\vec{AM}$ jest połową wektora $\vec{AB}$. Podobnie zrób dla punktu $N$ na boku $AC$. 3) Pamiętaj, że wektor przeciwny ma przeciwny zwrot, czyli $\vec{MA} = -\vec{AM}$. 4) Wyznacz wektor $\vec{BC}$ za pomocą wektorów $\vec{AB}$ i $\vec{AC}$, a następnie porównaj go z wyliczonym wcześniej wyrażeniem na $\vec{MN}$. 5) Jeśli dwa wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$ spełniają zależność $\vec{u} = k \cdot \vec{v}$, to proste zawierające te wektory są równoległe, a ich długości pozostają w stosunku $\left| k \right|$. ROZWIĄZANIE: a) Wyznaczenie wektorów $\vec{AM}$ oraz $\vec{AN}$. Z treści zadania wiemy, że punkt $M$ jest środkiem boku $AB$. Oznacza to, że wektor łączący wierzchołek $A$ z punktem $M$ ma ten sam kierunek i zwrot co wektor łączący $A$ z $B$, ale jego długość jest o połowę mniejsza. Zapisujemy to jako:$$\vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AB}$$Analogicznie, skoro punkt $N$ jest środkiem boku $AC$, wektor łączący wierzchołek $A$ z punktem $N$ jest połową wektora łączącego $A$ z $C$:$$\vec{AN} = \frac{1}{2} \vec{AC}$$b) Wyznaczenie wektora $\vec{MN}$. Chcemy opisać wektor $\vec{MN}$ za pomocą wektorów boków trójkąta wychodzących z wierzchołka $A$. Zgodnie z zasadą dodawania wektorów, możemy przejść z punktu $M$ do $N$ przez punkt $A$:$$\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AN}$$Wektor $\vec{MA}$ to wektor przeciwny do wektora $\vec{AM}$, więc zmieniamy jego znak na przeciwny:$$\vec{MA} = -\vec{AM}$$Podstawiamy wyznaczone wcześniej zależności do wzoru na $\vec{MN}$:$$\vec{MN} = -\vec{AM} + \vec{AN}$$$$\vec{MN} = -\frac{1}{2} \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AC}$$Teraz wyłączamy wspólny czynnik $\frac{1}{2}$ przed nawias:$$\vec{MN} = \frac{1}{2} \cdot \left( -\vec{AB} + \vec{AC} \right)$$Zmieniamy kolejność składników w nawiasie dla większej przejrzystości:$$\vec{MN} = \frac{1}{2} \cdot \left( \vec{AC} - \vec{AB} \right)$$c) Powiązanie z wektorem boku $BC$. Rozważmy teraz wektor boku $BC$. Zgodnie z definicją odejmowania wektorów (lub przechodzenia przez wierzchołek $A$):$$\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC}$$$$\vec{BC} = -\vec{AB} + \vec{AC}$$$$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$$Zauważamy, że wyrażenie w nawiasie z poprzedniego punktu jest dokładnie równe wektorowi $\vec{BC}$. Podstawiamy to do wzoru na $\vec{MN}$:$$\vec{MN} = \frac{1}{2} \vec{BC}$$d) Wyciągnięcie wniosków geometrycznych. Otrzymaliśmy równość wektorową $\vec{MN} = \frac{1}{2} \vec{BC}$. Z tej równości wynikają bezpośrednio dwie cechy: 1) Skoro jeden wektor jest iloczynem drugiego wektora i liczby rzeczywistej (skalara), to wektory te są współliniowe. Ponieważ leżą na różnych liniach (bokach trójkąta), oznacza to, że odcinki $MN$ i $BC$ są równoległe:$$MN \parallel BC$$2) Długość wektora $\vec{MN}$ jest równa wartości bezwzględnej skalara pomnożonej przez długość wektora $\vec{BC}$:$$\left| \vec{MN} \right| = \left| \frac{1}{2} \right| \cdot \left| \vec{BC} \right|$$Stąd otrzymujemy bezpośrednio:$$MN = \frac{1}{2} BC$$Co kończy dowód.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Między wektorami $\vec{u}$ i $\vec{v}$ prawdziwa jest zależność $\vec{u} = -0,2 \cdot \vec{v}$. Czy prawdziwa jest równość: a) $|\vec{v}| = 5|\vec{u}|$ b) $|\vec{u} + \vec{v}| = |\vec{v}| - |\vec{u}|$?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

W prostokącie $ABCD$ punkt $E$ jest środkiem boku $DC$, zaś punkt $F$ jest środkiem boku $BC$. Wiedząc, że $\vec{AB} = 4\vec{a}$ i $\vec{AD} = 10\vec{b}$, wyznacz wektory $\vec{AE}$, $\vec{AF}$ oraz $\vec{FE}$ w zależności od wektorów $\vec{a}$ i $\vec{b}$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

W sześciokącie foremnym $KLMNOP$ dane są wektory podstawowe: $\vec{KL} = \vec{m}$ oraz $\vec{KP} = \vec{n}$. Wyraź w zależności od $\vec{m}$ i $\vec{n}$ następujące wektory: $\vec{KM}$, $\vec{KN}$, $\vec{KO}$, $\vec{LM}$ oraz $\vec{MP}$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

W trójkącie $ABC$ punkty $K$ i $L$ dzielą odpowiednio boki $AC$ i $BC$ w stosunku $1:2$ (licząc od wierzchołków $A$ i $B$). Wykaż wektorowo, że $KL$ jest równoległy do $AB$ i znajdź zależność między długościami tych odcinków.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

W trapezie $ABCD$ ($AB \parallel CD$) punkty $E$ i $F$ są środkami ramion $AD$ i $BC$. Wykaż, że $\vec{EF} = \frac{1}{2} \left( \vec{AB} + \vec{DC} \right)$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

7.12 Wektor na płaszczyźnie

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋