Twierdzenie Talesa kartkówka 2 LiczBit

7.5 Twierdzenie Talesa

Kartkówka 2

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$, przekątne przecinają się w punkcie $S$. Prosta przechodząca przez $S$ i równoległa do podstaw przecina ramię $AD$ w punkcie $P$ i ramię $BC$ w punkcie $Q$. Wiadomo, że $AB = 10 \text{ cm}$, $CD = 4 \text{ cm}$. Oblicz długość odcinka $PS$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Przekątne trapezu dzielą go na dwa trójkąty podobne, których podstawami są podstawy trapezu. Zidentyfikuj trójkąty $\triangle ABS$ oraz $\triangle CDS$. 2) Wykorzystaj podobieństwo tych trójkątów, aby wyznaczyć stosunek długości odcinków, na jakie punkt $S$ dzieli przekątne (na przykład stosunek $AS$ do $SC$). 3) Zauważ, że odcinek $PS$ jest równoległy do podstawy $CD$. Dzięki temu możesz wskazać kolejną parę trójkątów podobnych: $\triangle APS$ oraz $\triangle ADC$. 4) Zapisz proporcję wynikającą z podobieństwa trójkątów $\triangle APS$ i $\triangle ADC$, a następnie podstaw do niej znane wartości, aby obliczyć długość $PS$. ROZWIĄZANIE: a) Wykazanie podobieństwa trójkątów $\triangle ABS$ i $\triangle CDS$. W trapezie $ABCD$ podstawy $AB$ i $CD$ są równoległe. Kąty $\angle SAB$ i $\angle SCD$ są kątami naprzemianległymi, więc ich miary są równe. Podobnie kąty $\angle SBA$ i $\angle SDC$ są równe jako naprzemianległe. Kąty przy wierzchołku $S$ ($\angle ASB$ i $\angle CSD$) są kątami wierzchołkowymi, więc również są równe. Na mocy cechy kąt-kąt-kąt (KKK):$$\triangle ABS \sim \triangle CDS$$Z podobieństwa tego wynika, że stosunki odpowiednich boków są równe:$$\frac{AS}{SC} = \frac{AB}{CD}$$Podstawiamy dane liczbowe $AB = 10$ $cm$ oraz $CD = 4$ $cm$:$$\frac{AS}{SC} = \frac{10}{4}$$Skracamy ułamek przez $2$:$$\frac{AS}{SC} = \frac{5}{2}$$b) Wyznaczenie stosunku odcinka $AS$ do całej przekątnej $AC$. Z powyższego stosunku wiemy, że na każde $5$ jednostek długości odcinka $AS$ przypadają $2$ jednostki długości odcinka $SC$. Możemy to zapisać jako:$$AS = 5k$$$$SC = 2k$$gdzie $k$ to pewna stała dodatnia. Cała przekątna $AC$ jest sumą tych dwóch odcinków:$$AC = AS + SC$$$$AC = 5k + 2k = 7k$$Teraz wyznaczamy stosunek $AS$ do $AC$, który będzie nam potrzebny w kolejnym kroku:$$\frac{AS}{AC} = \frac{5k}{7k} = \frac{5}{7}$$c) Wykorzystanie podobieństwa trójkątów $\triangle APS$ i $\triangle ADC$. W trójkącie $ADC$ odcinek $PS$ leży na prostej równoległej do boku $CD$. Zatem kąt $\angle APS$ jest równy kątowi $\angle ADC$ (kąty odpowiadające), a kąt $\angle ASP$ jest równy kątowi $\angle ACD$ (kąty odpowiadające). Kąt przy wierzchołku $A$ jest wspólny dla obu trójkątów. Zatem:$$\triangle APS \sim \triangle ADC$$Z podobieństwa tych trójkątów wynika proporcja boku $PS$ do boku $CD$:$$\frac{PS}{CD} = \frac{AS}{AC}$$d) Obliczenie długości odcinka $PS$. Do zapisanej proporcji podstawiamy wartość $CD = 4$ oraz wyliczony wcześniej stosunek $\frac{AS}{AC} = \frac{5}{7}$:$$\frac{PS}{4} = \frac{5}{7}$$Aby wyznaczyć $PS$, mnożymy obie strony równania przez $4$:$$PS = 4 \cdot \frac{5}{7}$$Wykonujemy mnożenie liczby przez licznik ułamka:$$PS = \frac{20}{7}$$Możemy wyłączyć całości z ułamka niewłaściwego. Liczba $7$ mieści się w $20$ dwa razy ($2 \cdot 7 = 14$), a reszta wynosi $6$:$$PS = 2 \frac{6}{7}$$$cm$ Odcinek $PS$ ma długość $\frac{20}{7}$ $cm$, co w przybliżeniu wynosi około $2,86$ $cm$.

Zadanie 2 (3 pkt)

W trójkącie $ABC$ bok $AB$ ma długość $10$ cm, a bok $AC$ ma długość $12$ cm. Punkt $D$ leży na boku $AB$ tak, że $AD = 4$ cm. Przez punkt $D$ poprowadzono prostą równoległą do boku $BC$, która przecina bok $AC$ w punkcie $E$. Oblicz długość odcinka $AE$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zauważ, że prosta $DE$ jest równoległa do boku $BC$. Taka sytuacja pozwala na skorzystanie z twierdzenia Talesa lub cechy podobieństwa trójkątów kąt-kąt-kąt. 2) Ponieważ proste są równoległe, trójkąt $ADE$ jest podobny do trójkąta $ABC$. Oznacza to, że stosunki odpowiednich boków w tych trójkątach są równe. 3) Ułóż proporcję, w której porównasz boki mniejszego trójkąta $ADE$ do odpowiadających im boków większego trójkąta $ABC$. Wykorzystaj dane długości $|AB|$, $|AC|$ oraz $|AD|$, aby wyznaczyć niewiadomą długość odcinka $|AE|$. ROZWIĄZANIE:1) Analiza danych i podobieństwa trójkątów. W trójkącie $ABC$ mamy dany bok $AB = 10$ $cm$ oraz bok $AC = 12$ $cm$. Punkt $D$ leży na boku $AB$ w odległości $AD = 4$ $cm$ od wierzchołka $A$. Przez punkt $D$ poprowadzono prostą równoległą do boku $BC$, która przecina bok $AC$ w punkcie $E$. Ponieważ odcinek $DE$ jest równoległy do odcinka $BC$, kąty odpowiadające przy tych prostych są równe. Kąt przy wierzchołku $A$ jest wspólny dla obu trójkątów. Zatem trójkąt $ADE$ jest podobny do trójkąta $ABC$ na podstawie cechy kąt-kąt-kąt. 2) Ułożenie proporcji wynikającej z podobieństwa. Z podobieństwa trójkątów wynika, że stosunek boku $AD$ do boku $AB$ musi być taki sam, jak stosunek boku $AE$ do boku $AC$. Zapisujemy to za pomocą ułamków:$$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$$Przyjmijmy oznaczenie $x$ dla szukanej długości odcinka $AE$, czyli $AE = x$. 3) Podstawienie wartości liczbowych do wzoru. Podstawiamy znane nam długości: $AD = 4$, $AB = 10$ oraz $AC = 12$:$$\frac{4}{10} = \frac{x}{12}$$4) Rozwiązanie równania. Aby wyznaczyć $x$, musimy pomnożyć obie strony równania przez liczbę $12$, która znajduje się w mianowniku po prawej stronie:$$10 \cdot x = 4 \cdot 12$$Wykonujemy mnożenie liczby $4$ przez $12$ po prawej stronie:$$10 \cdot x = 48$$Teraz, aby wyznaczyć samą wartość $x$, musimy podzielić obie strony równania przez liczbę $10$, która stoi przy niewiadomej:$$x = \frac{48}{10}$$Dzielenie przez $10$ polega na przesunięciu przecinka o jedno miejsce w lewo:$$x = 4,8$$Długość odcinka $AE$ wynosi $4,8$ $cm$.

Zadanie 3 (3 pkt)

Dwie proste $k$ i $l$ przecinają się w punkcie $P$. Proste $AB$ i $CD$ są równoległe, przy czym punkty $A$ i $C$ leżą na prostej $k$, a punkty $B$ i $D$ na prostej $l$. Wiadomo, że $PA = 6 \text{ cm}$, $AC = 9 \text{ cm}$ i $PB = 8 \text{ cm}$. Oblicz długość odcinka $PD$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zauważ, że w zadaniu występują dwie proste przecinające się w punkcie $P$ oraz dwie proste równoległe $AB$ i $CD$. Taka konfiguracja sugeruje wykorzystanie twierdzenia Talesa. 2) Twierdzenie Talesa mówi, że jeśli ramiona kąta o wierzchołku $P$ przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta. 3) Aby obliczyć długość $PD$, najpierw musisz znać długość całego odcinka $PC$. Ponieważ punkty $A$ i $C$ leżą na jednej prostej ($k$), a odcinek $AC$ łączy te punkty, długość $PC$ jest sumą odcinków $PA$ i $AC$:$$PC = PA + AC$$4) Ułóż odpowiednią proporcję, porównując stosunek odcinków wychodzących z punktu $P$ na prostej $k$ do analogicznych odcinków na prostej $l$:$$\frac{PA}{PC} = \frac{PB}{PD}$$ROZWIĄZANIE:1) Obliczanie długości odcinka $PC$. Punkty $P, A, C$ leżą na prostej $k$. Z treści zadania wiemy, że $PA = 6$ $cm$, a odcinek $AC$ ma długość $9$ $cm$. Aby wyznaczyć długość całego odcinka $PC$, musimy dodać do siebie te dwie wartości:$$PC = 6 + 9$$Wykonujemy dodawanie:$$PC = 15$$Długość odcinka $PC$ wynosi $15$ $cm$. 2) Zastosowanie twierdzenia Talesa i ułożenie proporcji. Ponieważ proste $AB$ i $CD$ są równoległe, stosunki długości odcinków na ramionach kąta o wierzchołku $P$ są równe. Stosunek krótszego odcinka $PA$ do dłuższego odcinka $PC$ (na prostej $k$) musi być taki sam jak stosunek krótszego odcinka $PB$ do szukanego odcinka $PD$ (na prostej $l$). Zapisujemy to za pomocą ułamków:$$\frac{PA}{PC} = \frac{PB}{PD}$$Teraz podstawiamy dane liczbowe: $PA = 6$, $PC = 15$ oraz $PB = 8$:$$\frac{6}{15} = \frac{8}{PD}$$3) Rozwiązywanie równania w celu obliczenia $PD$. Aby wyznaczyć niewiadomą $PD$, stosujemy metodę mnożenia na krzyż. Mnożymy licznik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego oraz mianownik pierwszego ułamka przez licznik drugiego:$$6 \cdot PD = 15 \cdot 8$$Najpierw obliczamy iloczyn po prawej stronie równania:$$15 \cdot 8 = 120$$Otrzymujemy równanie:$$6 \cdot PD = 120$$Teraz, aby odizolować niewiadomą $PD$, musimy podzielić obie strony równania przez liczbę $6$:$$PD = \frac{120}{6}$$Wykonujemy dzielenie liczby $120$ przez $6$:$$PD = 20$$Długość odcinka $PD$ wynosi $20$ $cm$.

Zadanie 4 (3 pkt)

Dwie proste $p$ i $q$ przecinają się w punkcie $S$. Na prostej $p$ leżą punkty $A, B, C$ w tej kolejności, a na prostej $q$ punkty $A', B', C'$ w tej samej kolejności. Proste $AA', BB'$ i $CC'$ są równoległe. Wiadomo, że $SA = 3$ cm, $AB = 4$ cm, $SA' = 4,5$ cm. Oblicz długość odcinka $B'C'$, jeśli $BC = 6$ cm.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zadanie to opiera się na twierdzeniu Talesa. Twierdzenie to mówi, że jeżeli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta. 2) Zauważ, że wierzchołkiem kąta jest punkt $S$. Ramionami kąta są proste $p$ oraz $q$. Proste równoległe $AA', BB'$ oraz $CC'$ przecinają te ramiona w punktach, tworząc pary odpowiadających sobie odcinków. 3) Pary odpowiadających sobie odcinków to: - Odcinek $SA$ na prostej $p$ odpowiada odcinkowi $SA'$ na prostej $q$. - Odcinek $BC$ na prostej $p$ odpowiada odcinkowi $B'C'$ na prostej $q$. 4) Zapisz proporcję wynikającą z twierdzenia Talesa:$$\frac{SA}{SA'} = \frac{BC}{B'C'}$$Następnie podstaw znane wartości liczbowe i rozwiąż równanie, aby wyznaczyć niewiadomą długość odcinka $B'C'$.ROZWIĄZANIE: a) Analiza danych i zastosowanie twierdzenia Talesa. Z treści zadania wiemy, że proste $p$ i $q$ przecinają się w punkcie $S$. Punkty $A, B, C$ leżą na prostej $p$, a punkty $A', B', C'$ leżą na prostej $q$. Ponieważ proste $AA', BB'$ i $CC'$ są równoległe, możemy skorzystać z twierdzenia Talesa. Twierdzenie to pozwala nam stwierdzić, że stosunki długości odcinków na jednej prostej są równe stosunkom długości odpowiednich odcinków na drugiej prostej. Wypisujemy dane z zadania: $SA = 3$ $cm$ $SA' = 4,5$ $cm$ $BC = 6$ $cm$ Nasz cel to obliczenie długości odcinka $B'C'$. b) Ułożenie i rozwiązanie proporcji. Zgodnie z twierdzeniem Talesa, stosunek odcinka $SA$ do odpowiadającego mu odcinka $SA'$ musi być taki sam, jak stosunek odcinka $BC$ do odpowiadającego mu odcinka $B'C'$. Zapisujemy to w formie równania z ułamkami:$$\frac{SA}{SA'} = \frac{BC}{B'C'}$$Podstawiamy do tego wzoru liczby podane w zadaniu. Za $SA$ podstawiamy $3$, za $SA'$ podstawiamy $4,5$, a za $BC$ podstawiamy $6$:$$\frac{3}{4,5} = \frac{6}{B'C'}$$Aby wyznaczyć niewiadomą $B'C'$, skorzystamy z zasady mnożenia "na krzyż". Oznacza to, że iloczyn licznika pierwszego ułamka i mianownika drugiego ułamka jest równy iloczynowi mianownika pierwszego ułamka i licznika drugiego ułamka:$$3 \cdot B'C' = 4,5 \cdot 6$$Teraz musimy wykonać mnożenie po prawej stronie równania. Mnożymy liczbę $4,5$ przez $6$. Możemy to zrobić, mnożąc $4 \cdot 6 = 24$ oraz $0,5 \cdot 6 = 3$, a następnie dodając wyniki: $24 + 3 = 27$:$$3 \cdot B'C' = 27$$Aby obliczyć wartość $B'C'$, musimy pozbyć się liczby $3$ stojącej przy niewiadomej. W tym celu dzielimy obie strony równania przez $3$:$$B'C' = \frac{27}{3}$$Wykonujemy dzielenie liczby $27$ przez $3$:$$B'C' = 9$$Długość odcinka $B'C'$ wynosi $9$ $cm$.

Zadanie 5 (3 pkt)

W trójkącie $XYZ$ poprowadzono odcinek $PQ$ równoległy do boku $YZ$, gdzie $P$ leży na $XY$, a $Q$ na $XZ$. Długości odcinków wynoszą $XP = 2x - 1, PY = x + 3, XQ = 4, QZ = 6$. Oblicz długość boku $XY$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zauważ, że odcinek $PQ$ jest równoległy do boku $YZ$. W takiej sytuacji, na mocy twierdzenia Talesa, stosunki długości odpowiednich odcinków na ramionach kąta są równe. Możesz zapisać następującą proporcję:$$\frac{XP}{PY} = \frac{XQ}{QZ}$$2) Podstaw dane z treści zadania ($XP = 2x - 1$, $PY = x + 3$, $XQ = 4$, $QZ = 6$) do powyższego równania. Otrzymasz równanie z jedną niewiadomą $x$. 3) Aby rozwiązać równanie z ułamkami, najlepiej pomnożyć obie strony na krzyż. Oznacza to pomnożenie licznika lewej strony przez mianownik prawej strony i przyrównanie tego do iloczynu mianownika lewej strony oraz licznika prawej strony. 4) Po wyznaczeniu wartości $x$, oblicz długość boku $XY$. Pamiętaj, że punkt $P$ leży na odcinku $XY$, zatem:$$XY = XP + PY$$ROZWIĄZANIE:a) Wyznaczenie wartości zmiennej $x$. Z treści zadania wiemy, że $PQ \parallel YZ$. Korzystając z twierdzenia Talesa, układamy proporcję:$$\frac{XP}{PY} = \frac{XQ}{QZ}$$Podstawiamy wartości podane w zadaniu: $XP = 2x - 1$, $PY = x + 3$, $XQ = 4$ oraz $QZ = 6$. Otrzymujemy równanie:$$\frac{2x - 1}{x + 3} = \frac{4}{6}$$Dla ułatwienia obliczeń możemy skrócić ułamek po prawej stronie przez $2$, ponieważ zarówno liczba $4$, jak i $6$ są podzielne przez $2$:$$\frac{2x - 1}{x + 3} = \frac{2}{3}$$Teraz mnożymy wyrażenia na krzyż. Mnożymy licznik lewego ułamka $\left( 2x - 1 \right)$ przez mianownik prawego ułamka $3$ oraz mianownik lewego ułamka $\left( x + 3 \right)$ przez licznik prawego ułamka $2$:$$3 \cdot \left( 2x - 1 \right) = 2 \cdot \left( x + 3 \right)$$Wykonujemy mnożenie liczby przez każdy wyraz w nawiasie. Po lewej stronie mnożymy $3$ przez $2x$, co daje $6x$, oraz $3$ przez $-1$, co daje $-3$. Po prawej stronie mnożymy $2$ przez $x$, co daje $2x$, oraz $2$ przez $3$, co daje $6$:$$6x - 3 = 2x + 6$$Teraz przenosimy wyrazy z niewiadomą $x$ na lewą stronę równania, a liczby na prawą stronę. Pamiętamy, że przy przenoszeniu na drugą stronę znaku równości należy zmienić znak liczby na przeciwny:$$6x - 2x = 6 + 3$$Wykonujemy odejmowanie po lewej stronie ($6x - 2x = 4x$) oraz dodawanie po prawej stronie ($6 + 3 = 9$):$$4x = 9$$Aby wyznaczyć $x$, musimy podzielić obie strony równania przez liczbę $4$:$$x = \frac{9}{4}$$Możemy zapisać ten wynik w postaci ułamka dziesiętnego:$$x = 2,25$$b) Obliczanie długości boku $XY$. Bok $XY$ składa się z dwóch połączonych odcinków: $XP$ oraz $PY$. Zatem całkowita długość tego boku jest sumą długości tych fragmentów:$$XY = XP + PY$$Podstawiamy wyrażenia opisujące te odcinki:$$XY = \left( 2x - 1 \right) + \left( x + 3 \right)$$Zdejmujemy nawiasy i porządkujemy wyrazy:$$XY = 2x - 1 + x + 3$$Łączymy wyrazy z niewiadomą ($2x + x = 3x$) oraz liczby ($-1 + 3 = 2$):$$XY = 3x + 2$$Teraz podstawiamy wyliczoną wcześniej wartość $x = 2,25$:$$XY = 3 \cdot 2,25 + 2$$Najpierw wykonujemy mnożenie $3$ przez $2,25$:$$XY = 6,75 + 2$$Na koniec dodajemy do siebie obie liczby:$$XY = 8,75$$Długość boku $XY$ wynosi $8,75$.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$, przekątne przecinają się w punkcie $S$. Prosta przechodząca przez $S$ i równoległa do podstaw przecina ramię $AD$ w punkcie $P$. Oblicz długość odcinka $PS$, wiedząc, że podstawa $AB = 12 \text{ cm}$, a podstawa $CD = 6 \text{ cm}$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

W trójkącie $ABC$ bok $AB$ ma długość $15$ cm, a bok $AC$ ma długość $12$ cm. Punkt $D$ leży na boku $AB$ tak, że $AD = 5$ cm. Przez punkt $D$ poprowadzono prostą równoległą do boku $BC$, która przecina bok $AC$ w punkcie $E$. Oblicz długość odcinka $AE$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Dwie proste przecinają się w punkcie $P$. Proste $AB$ i $CD$ są równoległe. Punkty $A$ i $C$ leżą na pierwszej prostej, a punkty $B$ i $D$ na drugiej prostej. Dane są długości odcinków: $PA = 4 \text{ cm}$, $AC = 6 \text{ cm}$ oraz $PB = 6 \text{ cm}$. Oblicz długość odcinka $PD$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Dwie proste $p$ i $q$ przecinają się w punkcie $S$. Na prostej $p$ leżą punkty $A, B, C$ w tej kolejności, a na prostej $q$ punkty $A', B', C'$ w tej samej kolejności. Proste $AA', BB'$ i $CC'$ są równoległe. Wiadomo, że $SA = 5$ cm, $AB = 2$ cm, $SA' = 10$ cm. Oblicz długość odcinka $B'C'$, jeśli $BC = 4$ cm.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

W trójkącie $XYZ$ poprowadzono odcinek $PQ$ równoległy do boku $YZ$. Punkt $P$ leży na $XY$, a $Q$ na $XZ$. Dane są długości: $XP = x + 1, PY = 3x - 1, XQ = 4, QZ = 8$. Oblicz długość boku $XY$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

7.5 Twierdzenie Talesa

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋