WSKAZÓWKI: 1) Aby określić rodzaj trójkąta na podstawie długości jego boków $a$, $b$ oraz $c$, musisz najpierw wskazać najdłuższy bok. Przyjmijmy, że jest to bok $c$. 2) Skorzystaj z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa oraz jego uogólnień: - Jeśli $a^{2} + b^{2} = c^{2}$, trójkąt jest prostokątny. - Jeśli $a^{2} + b^{2} < c^{2}$, trójkąt jest rozwartokątny (suma kwadratów krótszych boków jest mniejsza niż kwadrat najdłuższego boku). - Jeśli $a^{2} + b^{2} > c^{2}$, trójkąt jest ostrokątny (suma kwadratów krótszych boków jest większa niż kwadrat najdłuższego boku). 3) Ponieważ boki podane są w stosunku, możesz do obliczeń przyjąć te liczby jako bezpośrednie długości boków. Stała proporcjonalności $k$ i tak uległaby skróceniu podczas porównywania wartości. ROZWIĄZANIE: a) Badanie trójkąta o bokach w stosunku $8 : 15 : 17$. 1) Najpierw ustalamy, który z boków jest najdłuższy. Porównujemy liczby $8$, $15$ oraz $17$. Największą z nich jest $17$, więc przyjmujemy $c = 17$, natomiast pozostałe boki to $a = 8$ i $b = 15$. 2) Obliczamy sumę kwadratów dwóch krótszych boków:$$a^{2} + b^{2} = 8^{2} + 15^{2}$$Podnosimy liczby do kwadratu:$$a^{2} + b^{2} = 64 + 225$$Dodajemy te wartości do siebie:$$a^{2} + b^{2} = 289$$3) Obliczamy kwadrat najdłuższego boku:$$c^{2} = 17^{2}$$Wykonujemy potęgowanie:$$c^{2} = 289$$4) Porównujemy obie otrzymane wartości. Zauważamy, że:$$289 = 289$$czyli zachodzi równość:$$a^{2} + b^{2} = c^{2}$$Ponieważ suma kwadratów dwóch boków jest równa kwadratowi trzeciego boku, trójkąt jest prostokątny. b) Badanie trójkąta o bokach w stosunku $4 : 5 : 8$. 1) Wskazujemy najdłuższy bok. Liczba $8$ jest największa, zatem $c = 8$, a $a = 4$ i $b = 5$. 2) Obliczamy sumę kwadratów krótszych boków:$$a^{2} + b^{2} = 4^{2} + 5^{2}$$$$a^{2} + b^{2} = 16 + 25$$$$a^{2} + b^{2} = 41$$3) Obliczamy kwadrat najdłuższego boku:$$c^{2} = 8^{2}$$$$c^{2} = 64$$4) Porównujemy wyniki:$$41 < 64$$Zatem zachodzi relacja:$$a^{2} + b^{2} < c^{2}$$Suma kwadratów dwóch boków jest mniejsza od kwadratu najdłuższego boku, co oznacza, że trójkąt jest rozwartokątny. c) Badanie trójkąta o bokach w stosunku $3 : 1 : \sqrt{10}$. 1) Musimy ustalić, która liczba jest największa. Wiemy, że $3 = \sqrt{9}$ oraz $1 = \sqrt{1}$. Ponieważ $\sqrt{10}$ jest większe od $\sqrt{9}$, to $\sqrt{10}$ jest najdłuższym bokiem. Przyjmujemy $c = \sqrt{10}$, $a = 3$ oraz $b = 1$. 2) Obliczamy sumę kwadratów krótszych boków:$$a^{2} + b^{2} = 3^{2} + 1^{2}$$$$a^{2} + b^{2} = 9 + 1$$$$a^{2} + b^{2} = 10$$3) Obliczamy kwadrat najdłuższego boku:$$c^{2} = \left(\sqrt{10}\right)^{2}$$Pierwiastek kwadratowy podniesiony do potęgi drugiej daje liczbę podpierwiastkową:$$c^{2} = 10$$4) Porównujemy wyniki:$$10 = 10$$Skoro $a^{2} + b^{2} = c^{2}$, trójkąt o takich bokach jest prostokątny. d) Badanie trójkąta o bokach w stosunku $\sqrt{11} : \sqrt{5} : \sqrt{13}$. 1) Największą liczbą pod pierwiastkiem jest $13$, więc najdłuższym bokiem jest $c = \sqrt{13}$. Pozostałe boki to $a = \sqrt{11}$ oraz $b = \sqrt{5}$. 2) Obliczamy sumę kwadratów dwóch krótszych boków:$$a^{2} + b^{2} = \left(\sqrt{11}\right)^{2} + \left(\sqrt{5}\right)^{2}$$Pozbywamy się pierwiastków poprzez potęgowanie:$$a^{2} + b^{2} = 11 + 5$$$$a^{2} + b^{2} = 16$$3) Obliczamy kwadrat najdłuższego boku:$$c^{2} = \left(\sqrt{13}\right)^{2}$$$$c^{2} = 13$$4) Porównujemy wyniki:$$16 > 13$$Otrzymaliśmy relację:$$a^{2} + b^{2} > c^{2}$$Suma kwadratów mniejszych boków przewyższa kwadrat najdłuższego boku, zatem dany trójkąt jest ostrokątny.