• Pojazd, który dotrze do celu jako pierwszy, musi uzyskać krótszy całkowity czas przejazdu \(t\) lub wyższą prędkość średnią \(v_{\text{śr}} = \dfrac{s}{t}\) na tej samej trasie \(s\).
• Zwróć uwagę na zasadniczą różnicę: dla pierwszego pojazdu równy jest podział czasu trwania ruchu, natomiast dla drugiego pojazdu równy jest podział przebytej drogi.
• Prędkość średnia przy równym podziale czasu to średnia arytmetyczna prędkości etapowych, a przy równym podziale drogi – średnia harmoniczna.

Dane:
Dla pierwszego samochodu: czas I etapu \(t_{1} = \dfrac{1}{2}t_{I}\), prędkość \(v_{1} = 60\text{ km/h}\); czas II etapu \(t_{2} = \dfrac{1}{2}t_{I}\), prędkość \(v_{2} = 40\text{ km/h}\).
Dla drugiego samochodu: droga I etapu \(s_{1} = \dfrac{1}{2}s\), prędkość \(v_{1} = 40\text{ km/h}\); droga II etapu \(s_{2} = \dfrac{1}{2}s\), prędkość \(v_{2} = 60\text{ km/h}\).
Całkowita droga między miejscowościami \(A\) i \(B\): \(s\).

Szukane:
Porównanie całkowitych czasów przejazdu: \(t_{I}\) oraz \(t_{II}\) (lub odpowiadających im prędkości średnich \(v_{\text{śr}1}\) oraz \(v_{\text{śr}2}\)).

1. Rysunek pomocniczy i analiza podziału etapów ruchu dla obu pojazdów:
   W pierwszym pojeździe czas ruchu dzieli się na dwie równe części (\(t_{1} = t_{2}\)), co oznacza, że w pierwszym etapie pokonuje on dłuższą drogę niż w drugim, ponieważ porusza się z większą prędkością. W drugim pojeździe trasa dzieli się na dwa równe odcinki drogi (\(s_{1} = s_{2}\)), ale czas przejazdu pierwszego odcinka jest dłuższy z powodu mniejszej prędkości.
2. Sposób I – Wyznaczenie i porównanie prędkości średnich obu pojazdów:
   Dla pierwszego samochodu oznaczmy całkowity czas trwania podróży jako \(t_{I}\). Czas jazdy z poszczególnymi prędkościami wynosi odpowiednio \(t_{1} = \dfrac{1}{2}t_{I}\) oraz \(t_{2} = \dfrac{1}{2}t_{I}\). Całkowita przebyta droga \(s\) jest sumą dróg przebytych w obu etapach: $$ \begin{aligned} s &= s_{1} + s_{2} \\[8pt] &= v_{1} \cdot t_{1} + v_{2} \cdot t_{2} \\[8pt] &= v_{1} \cdot \frac{t_{I}}{2} + v_{2} \cdot \frac{t_{I}}{2} \\[8pt] &= \frac{v_{1} + v_{2}}{2} \cdot t_{I} \end{aligned} $$ Prędkość średnia pierwszego samochodu \(v_{\text{śr}1}\) jest więc klasyczną średnią arytmetyczną obu prędkości: $$ \begin{aligned} v_{\text{śr}1} &= \frac{s}{t_{I}} \\[8pt] &= \frac{v_{1} + v_{2}}{2} \\[8pt] &= \frac{60 + 40}{2} = 50\text{ km/h} \end{aligned} $$ Dla drugiego samochodu trasa została podzielona na dwa równe odcinki drogi: \(s_{1} = \dfrac{1}{2}s\) oraz \(s_{2} = \dfrac{1}{2}s\). Całkowity czas podróży \(t_{II}\) to suma czasów potrzebnych na pokonanie obu połówek: $$ \begin{aligned} t_{II} &= t_{1} + t_{2} \\[8pt] &= \frac{s_{1}}{v_{1}} + \frac{s_{2}}{v_{2}} \\[8pt] &= \frac{\frac{1}{2}s}{v_{1}} + \frac{\frac{1}{2}s}{v_{2}} \\[8pt] &= \frac{s}{2} \left( \frac{1}{v_{1}} + \frac{1}{v_{2}} \right) \\[8pt] &= \frac{s}{2} \cdot \frac{v_{1} + v_{2}}{v_{1} \cdot v_{2}} \end{aligned} $$ Prędkość średnia drugiego samochodu \(v_{\text{śr}2}\) jest średnią harmoniczną obu prędkości: $$ \begin{aligned} v_{\text{śr}2} &= \frac{s}{t_{II}} \\[8pt] &= \frac{2 \cdot v_{1} \cdot v_{2}}{v_{1} + v_{2}} \\[8pt] &= \frac{2 \cdot 40 \cdot 60}{40 + 60} \\[8pt] &= \frac{4800}{100} = 48\text{ km/h} \end{aligned} $$ Porównując wyznaczone wartości prędkości średnich: $$v_{\text{śr}1} = 50\text{ km/h} > v_{\text{śr}2} = 48\text{ km/h}$$ Ponieważ pierwszy samochód poruszał się z większą prędkością średnią na tym samym dystansie \(s\), pokonał trasę w krótszym czasie i przyjechał do miejscowości \(B\) jako pierwszy.
3. Sposób II – Bezpośrednie porównanie czasów przejazdu \(t_{I}\) oraz \(t_{II}\):
   Możemy bezpośrednio wyznaczyć całkowite czasy przejazdu obu samochodów w zależności od długości trasy \(s\).
   
   Czas jazdy pierwszego samochodu: $$ \begin{aligned} t_{I} &= \frac{s}{v_{\text{śr}1}} \\[8pt] &= \frac{s}{50} = \frac{24s}{1200} \end{aligned} $$ Czas jazdy drugiego samochodu obliczamy jako sumę czasów na obu połowach drogi: $$ \begin{aligned} t_{II} &= \frac{\frac{1}{2}s}{40} + \frac{\frac{1}{2}s}{60} \\[8pt] &= \frac{s}{80} + \frac{s}{120} \\[8pt] &= \frac{3s}{240} + \frac{2s}{240} \\[8pt] &= \frac{5s}{240} = \frac{s}{48} = \frac{25s}{1200} \end{aligned} $$ Porównując oba czasy: $$\frac{24s}{1200} < \frac{25s}{1200} \implies t_{I} < t_{II}$$ Czas jazdy pierwszego samochodu jest jednoznacznie mniejszy niż drugiego, co potwierdza, że dotarł on na miejsce wcześniej.
4. Interpretacja graficzna zależności drogi od czasu \(s(t)\):
   Poniższy wykres przedstawia zależność przebytej drogi od czasu dla obu pojazdów. Widać wyraźnie, że linia reprezentująca pierwszy samochód osiąga poziom całej trasy \(s\) wcześniej (w chwili \(t_{I}\)) niż linia drugiego samochodu (w chwili \(t_{II}\)).