Rozwiązywanie równań metodą równań równoważnych kartkówka LiczBit

1.7 Rozwiązywanie równań metodą równań równoważnych

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Sprawdź, czy podane obok równania liczby są rozwiązaniami tego równania:
a) $4x + 9 = 7x - 6;\quad -5;\ 5$
b) $-2x + 6 = 2(4x + 0{,}5);\quad 1;\ \dfrac{1}{2}$
c) $-4{,}25x + 3(3x + 4) = 1{,}75x;\quad -4;\ 1\dfrac{1}{2}$
d) $-3(x - 5) - 4 = x + 3 - 4(x - 2);\quad 0;\ 3\dfrac{1}{4}$

Wskazówki:

Liczba jest rozwiązaniem równania, gdy po podstawieniu jej w miejsce niewiadomej $x$ wartość lewej strony równania ($L$) jest równa wartości prawej strony ($P$).
Obliczaj wartości obu stron osobno, pamiętając o kolejności wykonywania działań (najpierw działania w nawiasach, potem mnożenie, na końcu dodawanie i odejmowanie).
Alternatywnie możesz rozwiązać dane równanie algebraicznie i sprawdzić, czy otrzymany wynik zgadza się z którąś z podanych liczb.

Dane i szukane:

Dane: Cztery równania liniowe z niewiadomą $x$ oraz przypisane do nich pary liczb testowych.
Szukane: Rozstrzygnięcie, które z podanych liczb spełniają poszczególne równania.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Badamy równanie $4x + 9 = 7x - 6$ dla liczb $-5$ oraz $5$:
Sposób I – Sprawdzenie przez bezpośrednie podstawienie:
Dla liczby $x = -5$: $$\begin{aligned} L &= 4 \cdot (-5) + 9 = -20 + 9 = -11 \\ P &= 7 \cdot (-5) - 6 = -35 - 6 = -41 \end{aligned}$$ Ponieważ $L \neq P$ ($-11 \neq -41$), liczba $-5$ nie jest rozwiązaniem.

Dla liczby $x = 5$: $$\begin{aligned} L &= 4 \cdot 5 + 9 = 20 + 9 = 29 \\ P &= 7 \cdot 5 - 6 = 35 - 6 = 29 \end{aligned}$$ Ponieważ $L = P = 29$, liczba $5$ jest rozwiązaniem równania.

Sposób II – Rozwiązanie algebraiczne równania: $$\begin{aligned} 4x + 9 &= 7x - 6 \\ 4x - 7x &= -6 - 9 \\ -3x &= -15 \quad / :(-3) \\ x &= 5 \end{aligned}$$ Jedynym rozwiązaniem jest liczba $5$.
Podpunkt b) Badamy równanie $-2x + 6 = 2(4x + 0{,}5)$ dla liczb $1$ oraz $\dfrac{1}{2}$:
Sposób I – Sprawdzenie przez bezpośrednie podstawienie:
Dla liczby $x = 1$: $$\begin{aligned} L &= -2 \cdot 1 + 6 = -2 + 6 = 4 \\ P &= 2 \cdot (4 \cdot 1 + 0{,}5) = 2 \cdot 4{,}5 = 9 \end{aligned}$$ Ponieważ $L \neq P$ ($4 \neq 9$), liczba $1$ nie jest rozwiązaniem.

Dla liczby $x = \dfrac{1}{2}$: $$\begin{aligned} L &= -2 \cdot \dfrac{1}{2} + 6 = -1 + 6 = 5 \\ P &= 2 \cdot \left(4 \cdot \dfrac{1}{2} + 0{,}5\right) = 2 \cdot (2 + 0{,}5) = 2 \cdot 2{,}5 = 5 \end{aligned}$$ Ponieważ $L = P = 5$, liczba $\dfrac{1}{2}$ jest rozwiązaniem równania.

Sposób II – Rozwiązanie algebraiczne równania: $$\begin{aligned} -2x + 6 &= 8x + 1 \\ -2x - 8x &= 1 - 6 \\ -10x &= -5 \quad / :(-10) \\ x &= \dfrac{-5}{-10} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$$
Podpunkt c) Badamy równanie $-4{,}25x + 3(3x + 4) = 1{,}75x$ dla liczb $-4$ oraz $1\dfrac{1}{2}$:
Sposób I – Sprawdzenie przez bezpośrednie podstawienie:
Dla liczby $x = -4$: $$\begin{aligned} L &= -4{,}25 \cdot (-4) + 3 \cdot (3 \cdot (-4) + 4) \\ &= 17 + 3 \cdot (-12 + 4) = 17 + 3 \cdot (-8) \\ &= 17 - 24 = -7 \\ P &= 1{,}75 \cdot (-4) = -7 \end{aligned}$$ Ponieważ $L = P = -7$, liczba $-4$ jest rozwiązaniem równania.

Dla liczby $x = 1\dfrac{1}{2} = 1{,}5$: $$\begin{aligned} L &= -4{,}25 \cdot 1{,}5 + 3 \cdot (3 \cdot 1{,}5 + 4) \\ &= -6{,}375 + 3 \cdot (4{,}5 + 4) = -6{,}375 + 3 \cdot 8{,}5 \\ &= -6{,}375 + 25{,}5 = 19{,}125 \\ P &= 1{,}75 \cdot 1{,}5 = 2{,}625 \end{aligned}$$ Ponieważ $L \neq P$ ($19{,}125 \neq 2{,}625$), liczba $1\dfrac{1}{2}$ nie jest rozwiązaniem.

Sposób II – Rozwiązanie algebraiczne równania: $$\begin{aligned} -4{,}25x + 9x + 12 &= 1{,}75x \\ 4{,}75x + 12 &= 1{,}75x \\ 4{,}75x - 1{,}75x &= -12 \\ 3x &= -12 \quad / :3 \\ x &= -4 \end{aligned}$$
Podpunkt d) Badamy równanie $-3(x - 5) - 4 = x + 3 - 4(x - 2)$ dla liczb $0$ oraz $3\dfrac{1}{4}$:
Sposób I – Sprawdzenie przez bezpośrednie podstawienie:
Dla liczby $x = 0$: $$\begin{aligned} L &= -3 \cdot (0 - 5) - 4 = -3 \cdot (-5) - 4 = 15 - 4 = 11 \\ P &= 0 + 3 - 4 \cdot (0 - 2) = 3 - 4 \cdot (-2) = 3 + 8 = 11 \end{aligned}$$ Ponieważ $L = P = 11$, liczba $0$ jest rozwiązaniem.

Dla liczby $x = 3\dfrac{1}{4} = 3{,}25$: $$\begin{aligned} L &= -3 \cdot (3{,}25 - 5) - 4 = -3 \cdot (-1{,}75) - 4 = 5{,}25 - 4 = 1{,}25 \\ P &= 3{,}25 + 3 - 4 \cdot (3{,}25 - 2) = 6{,}25 - 4 \cdot 1{,}25 = 6{,}25 - 5 = 1{,}25 \end{aligned}$$ Ponieważ $L = P = 1{,}25$, liczba $3\dfrac{1}{4}$ również jest rozwiązaniem.

Sposób II – Uproszczenie obu stron równania: $$\begin{aligned} -3x + 15 - 4 &= x + 3 - 4x + 8 \\ -3x + 11 &= -3x + 11 \\ -3x + 3x &= 11 - 11 \\ 0 &= 0 \end{aligned}$$ Otrzymaliśmy tożsamość ($0 = 0$), co oznacza, że równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań i każda liczba rzeczywista je spełnia. Zatem obie liczby: $0$ oraz $3\dfrac{1}{4}$ są jego rozwiązaniami.

Odpowiedź:
a) Liczba $-5$ nie jest rozwiązaniem, liczba $5$ jest rozwiązaniem równania.

b) Liczba $1$ nie jest rozwiązaniem, liczba $\dfrac{1}{2}$ jest rozwiązaniem równania.

c) Liczba $-4$ jest rozwiązaniem równania, liczba $1\dfrac{1}{2}$ nie jest rozwiązaniem.

d) Obie liczby: $0$ oraz $3\dfrac{1}{4}$ są rozwiązaniami równania (równanie tożsamościowe).

Zadanie 2

Rozwiąż równania z niewiadomą $x$. Pamiętaj o określeniu dziedziny równania.

a) $3x - 2(x + 4) = 5x + 8$

b) $\dfrac{x - 4}{x + 3} = 0$

c) $\dfrac{2x - 3}{2} = \dfrac{3x + 1}{4}$

d) $\dfrac{1{,}5x - 4}{2} - \dfrac{3}{4}x = 0{,}5 + x$

e) $\dfrac{x + 5}{x - 2} = \dfrac{3}{2}$

f) $\dfrac{2}{5}(x + 10) = 0{,}4x + 4$

g) $\dfrac{x - 3}{x + 5} - \dfrac{3}{4} = 0$

h) $\dfrac{3}{x + 4} + \dfrac{1}{x} = 0$

Wskazówki:

Dziedzina równania określa zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wyrażenia występujące w równaniu mają sens liczbowy.
W równaniach wymiernych mianownik żadnego ułamka nie może być równy zero – wyznaczamy warunki wykluczające z dziedziny wartości zerujące mianowniki.
Ułamek jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy jego licznik jest równy zero, a mianownik jest różny od zera.
Równości ułamków można rozwiązywać poprzez sprowadzenie do wspólnego mianownika lub metodą mnożenia „na krzyż” (z własności proporcji).
Zawsze należy sprawdzić, czy otrzymane rozwiązanie algebraiczne należy do wyznaczonej na wstępie dziedziny $D$.

Dane i szukane:

Dane:
Równania z niewiadomą $x$ z podpunktów a)–h).
Szukane:
Dziedzina $D$ oraz zbiór rozwiązań każdego równania.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie liniowe $3x - 2(x + 4) = 5x + 8$:
W równaniu nie występują zmienne w mianowniku, zatem dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych: $$D = \mathbb{R}$$ Wymnażamy wyrażenie w nawiasie przez współczynnik $-2$: $$3x - 2x - 8 = 5x + 8$$ Redukujemy wyrazy podobne po lewej stronie: $$x - 8 = 5x + 8$$ Przenosimy wyrazy z niewiadomą na lewą stronę, a liczby na prawą stronę: $$\begin{aligned} x - 5x &= 8 + 8 \\ -4x &= 16 \\ x &= -4 \in D \end{aligned}$$
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie wymierne $\dfrac{x - 4}{x + 3} = 0$:
Określamy dziedzinę równania – mianownik musi być różny od zera: $$\begin{aligned} x + 3 &\neq 0 \\ x &\neq -3 \\ D &= \mathbb{R} \setminus \{-3\} \end{aligned}$$ Ułamek jest równy zero, gdy jego licznik wynosi zero: $$\begin{aligned} x - 4 &= 0 \\ x &= 4 \end{aligned}$$ Sprawdzamy przynależność do dziedziny: $4 \in D$, zatem rozwiązaniem jest $x = 4$.
Podpunkt c) Rozwiązujemy równanie $\dfrac{2x - 3}{2} = \dfrac{3x + 1}{4}$:
Mianowniki są liczbami stałymi (różnymi od zera), zatem: $$D = \mathbb{R}$$ Sposób I – Własność proporcji (mnożenie na krzyż):
$$\begin{aligned} 4 \cdot (2x - 3) &= 2 \cdot (3x + 1) \\ 8x - 12 &= 6x + 2 \\ 8x - 6x &= 2 + 12 \\ 2x &= 14 \\ x &= 7 \in D \end{aligned}$$
Sposób II – Mnożenie obu stron przez wspólny mianownik (równy 4):
$$\begin{aligned} 4 \cdot \dfrac{2x - 3}{2} &= 4 \cdot \dfrac{3x + 1}{4} \\ 2(2x - 3) &= 3x + 1 \\ 4x - 6 &= 3x + 1 \\ x &= 7 \in D \end{aligned}$$
Podpunkt d) Rozwiązujemy równanie $\dfrac{1{,}5x - 4}{2} - \dfrac{3}{4}x = 0{,}5 + x$:
Brak zmiennej w mianownikach oznacza, że: $$D = \mathbb{R}$$ Rozbijamy pierwszy ułamek na sumę wyrazów: $$\begin{aligned} \dfrac{1{,}5x}{2} - \dfrac{4}{2} - \dfrac{3}{4}x &= 0{,}5 + x \\ 0{,}75x - 2 - 0{,}75x &= 0{,}5 + x \end{aligned}$$ Wyrazy z $x$ po lewej stronie redukują się ($0{,}75x - 0{,}75x = 0$): $$\begin{aligned} -2 &= 0{,}5 + x \\ -x &= 0{,}5 + 2 \\ -x &= 2{,}5 \\ x &= -2{,}5 \in D \end{aligned}$$
Podpunkt e) Rozwiązujemy równanie wymierne $\dfrac{x + 5}{x - 2} = \dfrac{3}{2}$:
Mianownik po lewej stronie musi być różny od zera: $$\begin{aligned} x - 2 &\neq 0 \\ x &\neq 2 \\ D &= \mathbb{R} \setminus \{2\} \end{aligned}$$ Mnożymy wyrazy na krzyż: $$\begin{aligned} 2 \cdot (x + 5) &= 3 \cdot (x - 2) \\ 2x + 10 &= 3x - 6 \\ 2x - 3x &= -6 - 10 \\ -x &= -16 \\ x &= 16 \in D \end{aligned}$$
Podpunkt f) Rozwiązujemy równanie $\dfrac{2}{5}(x + 10) = 0{,}4x + 4$:
Wszystkie wyrażenia są określone dla dowolnej liczby rzeczywistej: $$D = \mathbb{R}$$ Zauważamy, że ułamek zwykły $\dfrac{2}{5}$ to w postaci dziesiętnej $0{,}4$. Wymnażamy lewą stronę: $$\begin{aligned} 0{,}4 \cdot x + 0{,}4 \cdot 10 &= 0{,}4x + 4 \\ 0{,}4x + 4 &= 0{,}4x + 4 \\ 0{,}4x - 0{,}4x &= 4 - 4 \\ 0 &= 0 \end{aligned}$$ Otrzymaliśmy tożsamość (równość prawdziwą dla każdego $x$). Równanie tożsamościowe posiada nieskończenie wiele rozwiązań: $$x \in \mathbb{R}$$
Podpunkt g) Rozwiązujemy równanie $\dfrac{x - 3}{x + 5} - \dfrac{3}{4} = 0$:
Wyznaczamy dziedzinę równania: $$\begin{aligned} x + 5 &\neq 0 \\ x &\neq -5 \\ D &= \mathbb{R} \setminus \{-5\} \end{aligned}$$ Sposób I – Przeniesienie liczby na prawą stronę:
$$\dfrac{x - 3}{x + 5} = \dfrac{3}{4}$$ Stosujemy mnożenie na krzyż: $$\begin{aligned} 4 \cdot (x - 3) &= 3 \cdot (x + 5) \\ 4x - 12 &= 3x + 15 \\ 4x - 3x &= 15 + 12 \\ x &= 27 \in D \end{aligned}$$
Sposób II – Sprowadzenie do wspólnego mianownika:
Wspólnym mianownikiem jest $4(x + 5)$: $$\begin{aligned} \dfrac{4(x - 3) - 3(x + 5)}{4(x + 5)} &= 0 \\ \dfrac{4x - 12 - 3x - 15}{4(x + 5)} &= 0 \\ \dfrac{x - 27}{4(x + 5)} &= 0 \end{aligned}$$ Przyrównujemy licznik do zera: $$x - 27 = 0 \implies x = 27 \in D$$
Podpunkt h) Rozwiązujemy równanie $\dfrac{3}{x + 4} + \dfrac{1}{x} = 0$:
Wyznaczamy dziedzinę – żaden z mianowników nie może być zerem: $$\begin{aligned} x + 4 \neq 0 &\implies x \neq -4 \\ x &\neq 0 \\ D &= \mathbb{R} \setminus \{-4, 0\} \end{aligned}$$ Przenosimy drugi ułamek na prawą stronę równania: $$\dfrac{3}{x + 4} = -\dfrac{1}{x}$$ Znak minus włączamy do licznika prawej strony: $$\dfrac{3}{x + 4} = \dfrac{-1}{x}$$ Mnożymy na krzyż: $$\begin{aligned} 3 \cdot x &= -1 \cdot (x + 4) \\ 3x &= -x - 4 \\ 3x + x &= -4 \\ 4x &= -4 \\ x &= -1 \end{aligned}$$ Ponieważ $-1 \neq -4$ oraz $-1 \neq 0$, to $x = -1 \in D$.

Odpowiedź:
a) $D = \mathbb{R}$, $x = -4$

b) $D = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$, $x = 4$

c) $D = \mathbb{R}$, $x = 7$

d) $D = \mathbb{R}$, $x = -2{,}5$

e) $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$, $x = 16$

f) $D = \mathbb{R}$, $x \in \mathbb{R}$ (równanie tożsamościowe – nieskończenie wiele rozwiązań)

g) $D = \mathbb{R} \setminus \{-5\}$, $x = 27$

h) $D = \mathbb{R} \setminus \{-4, 0\}$, $x = -1$

Zadanie 3

Rozwiąż równania:

a) $\dfrac{2x-3}{3} = \dfrac{3x-7}{5}$

b) $\dfrac{x}{3} = \dfrac{12}{x}$

c) $\dfrac{3}{x^2} = \dfrac{1}{2}$

d) $\dfrac{1}{x-3} + 2 = 0$

e) $\dfrac{2(x+1)}{3} - \dfrac{x-4}{2} = \dfrac{x+15}{6}$

f) $\dfrac{3(x-2)}{4} = \dfrac{2(x+3)}{5} - \dfrac{x-9}{10}$

g) $\dfrac{x(x-3)}{4} - \dfrac{3x^2+2}{2} = -\dfrac{5}{4}x^2 - 0{,}25(3x+4)$

h) $\dfrac{x + \dfrac{6-x}{2}}{4} = \dfrac{x - \dfrac{x-3}{4}}{3}$

Wskazówki:

Przed przystąpieniem do rozwiązywania równań z niewiadomą w mianowniku zawsze wyznacz dziedzinę równania ($D$), pamiętając, że mianownik ułamka musi być różny od zera.
Równania w postaci proporcji $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ najprościej rozwiązać, mnożąc wyrażenia „na krzyż”: $a \cdot d = b \cdot c$.
Równania z wieloma ułamkami liczbowymi sprowadzamy do postaci bez ułamków, mnożąc obie strony równania przez najmniejszy wspólny mianownik (NWW).

Dane i szukane:

Dane:
Równania z niewiadomą $x$ podane w podpunktach a)–h).

Szukane:
Wszystkie liczby rzeczywiste $x$ spełniające podane równania.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $\dfrac{2x-3}{3} = \dfrac{3x-7}{5}$:
W mianownikach znajdują się wyłącznie liczby, więc dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych: $D = \mathbb{R}$. Korzystamy z własności proporcji i mnożymy wyrażenia na krzyż: $$\begin{aligned} 5 \cdot (2x - 3) &= 3 \cdot (3x - 7) \\ 10x - 15 &= 9x - 21 \end{aligned}$$ Przenosimy wyrazy z niewiadomą na lewą stronę, a liczby na prawą stronę: $$\begin{aligned} 10x - 9x &= -21 + 15 \\ x &= -6 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $\dfrac{x}{3} = \dfrac{12}{x}$:
Mianownik nie może być zerem, dlatego ustalamy dziedzinę: $$x \neq 0 \implies D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$$ Mnożymy proporcję na krzyż: $$\begin{aligned} x \cdot x &= 3 \cdot 12 \\ x^2 &= 36 \end{aligned}$$ Równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania przeciwne: $$x = -6 \quad \lor \quad x = 6$$ Obie liczby należą do wyznaczonej dziedziny ($-6 \neq 0$ oraz $6 \neq 0$).
Podpunkt c) Rozwiązujemy równanie $\dfrac{3}{x^2} = \dfrac{1}{2}$:
Dziedzina równania wymaga, aby mianownik był różny od zera: $$x^2 \neq 0 \implies x \neq 0 \implies D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$$ Mnożymy wyrażenia na krzyż: $$\begin{aligned} x^2 \cdot 1 &= 3 \cdot 2 \\ x^2 &= 6 \end{aligned}$$ Wyznaczamy pierwiastki równania: $$x = -\sqrt{6} \quad \lor \quad x = \sqrt{6}$$ Obie wartości należą do dziedziny.
Podpunkt d) Rozwiązujemy równanie $\dfrac{1}{x-3} + 2 = 0$:
Ustalamy dziedzinę równania: $$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3 \implies D = \mathbb{R} \setminus \{3\}$$ Przenosimy liczbę 2 na prawą stronę ze zmianą znaku: $$\dfrac{1}{x-3} = -2$$ Mnożymy obie strony przez mianownik $(x-3)$: $$\begin{aligned} 1 &= -2(x - 3) \\ 1 &= -2x + 6 \end{aligned}$$ Porządkujemy równanie liniowe: $$\begin{aligned} 2x &= 6 - 1 \\ 2x &= 5 \\ x &= \dfrac{5}{2} = 2{,}5 \end{aligned}$$ Wartość $2{,}5$ należy do dziedziny ($2{,}5 \neq 3$).
Podpunkt e) Rozwiązujemy równanie $\dfrac{2(x+1)}{3} - \dfrac{x-4}{2} = \dfrac{x+15}{6}$:
Dziedziną równania jest $D = \mathbb{R}$. Najmniejszym wspólnym mianownikiem dla liczb 3, 2 i 6 jest 6. Mnożymy obie strony równania przez 6: $$\begin{aligned} 6 \cdot \dfrac{2(x+1)}{3} - 6 \cdot \dfrac{x-4}{2} &= 6 \cdot \dfrac{x+15}{6} \\ 2 \cdot 2(x+1) - 3(x-4) &= x + 15 \\ 4(x+1) - 3(x-4) &= x + 15 \end{aligned}$$ Wymnażamy nawiasy, pamiętając o zmianie znaku przy odejmowaniu: $$\begin{aligned} 4x + 4 - 3x + 12 &= x + 15 \\ x + 16 &= x + 15 \end{aligned}$$ Odejmujemy $x$ od obu stron równania: $$16 = 15$$ Otrzymaliśmy równość fałszywą (sprzeczność). Równanie nie posiada żadnych rozwiązań: $$x \in \emptyset$$
Podpunkt f) Rozwiązujemy równanie $\dfrac{3(x-2)}{4} = \dfrac{2(x+3)}{5} - \dfrac{x-9}{10}$:
Dziedziną równania jest $D = \mathbb{R}$. Wspólnym mianownikiem dla 4, 5 i 10 jest 20. Mnożymy obie strony przez 20: $$\begin{aligned} 20 \cdot \dfrac{3(x-2)}{4} &= 20 \cdot \dfrac{2(x+3)}{5} - 20 \cdot \dfrac{x-9}{10} \\ 5 \cdot 3(x-2) &= 4 \cdot 2(x+3) - 2(x-9) \\ 15(x-2) &= 8(x+3) - 2(x-9) \end{aligned}$$ Wymnażamy nawiasy i redukujemy wyrazy podobne: $$\begin{aligned} 15x - 30 &= 8x + 24 - 2x + 18 \\ 15x - 30 &= 6x + 42 \end{aligned}$$ Grupujemy niewiadome i liczby: $$\begin{aligned} 15x - 6x &= 42 + 30 \\ 9x &= 72 \\ x &= 8 \end{aligned}$$
Podpunkt g) Rozwiązujemy równanie $\dfrac{x(x-3)}{4} - \dfrac{3x^2+2}{2} = -\dfrac{5}{4}x^2 - 0{,}25(3x+4)$:
Zauważamy, że $0{,}25 = \dfrac{1}{4}$. Zapisujemy równanie z ułamkami zwykłymi: $$\dfrac{x(x-3)}{4} - \dfrac{3x^2+2}{2} = -\dfrac{5}{4}x^2 - \dfrac{1}{4}(3x+4)$$ Mnożymy całe równanie obustronnie przez 4: $$\begin{aligned} x(x-3) - 2(3x^2+2) &= -5x^2 - (3x+4) \\ x^2 - 3x - 6x^2 - 4 &= -5x^2 - 3x - 4 \\ -5x^2 - 3x - 4 &= -5x^2 - 3x - 4 \end{aligned}$$ Dodajemy $5x^2 + 3x + 4$ do obu stron: $$0 = 0$$ Otrzymana równość jest zawsze prawdziwa, niezależnie od wybranej liczby $x$. Jest to równanie tożsamościowe: $$x \in \mathbb{R}$$
Podpunkt h) Rozwiązujemy równanie $\dfrac{x + \dfrac{6-x}{2}}{4} = \dfrac{x - \dfrac{x-3}{4}}{3}$:
Sposób I – Uproszczenie liczników ułamków piętrowych:
Sprowadzamy wyrażenia w licznikach do wspólnego mianownika: $$\text{Licznik lewej strony: } x + \dfrac{6-x}{2} = \dfrac{2x + 6 - x}{2} = \dfrac{x+6}{2}$$ $$\text{Licznik prawej strony: } x - \dfrac{x-3}{4} = \dfrac{4x - (x-3)}{4} = \dfrac{3x+3}{4}$$ Podstawiamy uproszczone liczniki do wyjściowego równania: $$\begin{aligned} \dfrac{\dfrac{x+6}{2}}{4} &= \dfrac{\dfrac{3x+3}{4}}{3} \\ \dfrac{x+6}{8} &= \dfrac{3(x+1)}{12} \\ \dfrac{x+6}{8} &= \dfrac{x+1}{4} \end{aligned}$$ Mnożymy obie strony przez 8: $$\begin{aligned} x + 6 &= 2(x + 1) \\ x + 6 &= 2x + 2 \\ 6 - 2 &= 2x - x \\ x &= 4 \end{aligned}$$
Sposób II – Mnożenie ułamków na krzyż:
Mnożymy mianownik prawej strony przez licznik lewej oraz mianownik lewej przez licznik prawej: $$\begin{aligned} 3 \cdot \left(x + \dfrac{6-x}{2}\right) &= 4 \cdot \left(x - \dfrac{x-3}{4}\right) \\ 3x + \dfrac{3(6-x)}{2} &= 4x - (x - 3) \\ 3x + \dfrac{18-3x}{2} &= 3x + 3 \end{aligned}$$ Odejmujemy $3x$ od obu stron: $$\begin{aligned} \dfrac{18-3x}{2} &= 3 \\ 18 - 3x &= 6 \\ -3x &= -12 \\ x &= 4 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $x = -6$

b) $x = -6 \lor x = 6$

c) $x = -\sqrt{6} \lor x = \sqrt{6}$

d) $x = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$

e) Równanie sprzeczne: brak rozwiązań ($x \in \emptyset$)

f) $x = 8$

g) Równanie tożsamościowe: $x \in \mathbb{R}$

h) $x = 4$

Zadanie 4

Rozwiąż równania:
a) $\sqrt{3}x - 6 = 0$
b) $2 + \sqrt{2}x = x + 5$
c) $5 - \sqrt{5}x = x - 7$
d) $3x + 1 + x\sqrt{5} = 5$
e) $(x + 3\sqrt{3})\sqrt{3} = \sqrt{5}x - 1$
f) $\sqrt{3}(x - \sqrt{3}) = 5 - x$

Wskazówki:

Przenieś wszystkie wyrazy zawierające niewiadomą $x$ na jedną stronę równania, a wyrazy wolne (liczby) na drugą stronę.
Wyłącz niewiadomą $x$ przed nawias, aby doprowadzić równanie do postaci iloczynowej $A \cdot x = B$.
Podziel obie strony równania przez wyrażenie stojące przy $x$, otrzymując $x = \dfrac{B}{A}$.
Usuń niewymierność z mianownika – w przypadku pojedynczego pierwiastka pomnóż licznik i mianownik przez ten pierwiastek, a w przypadku sumy lub różnicy skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Dane i szukane:

Dane: Równania liniowe z niewiadomą $x \in \mathbb{R}$ w podpunktach a)–f).
Szukane: Wartość niewiadomej $x$ spełniająca równanie w każdym z podpunktów a)–f).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $\sqrt{3}x - 6 = 0$:
Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę równania ze zmianą znaku: $$\sqrt{3}x = 6$$ Dzielimy obie strony równania przez $\sqrt{3}$: $$x = \dfrac{6}{\sqrt{3}}$$ Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez $\sqrt{3}$: $$\begin{aligned} x &= \dfrac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} \\ &= \dfrac{6\sqrt{3}}{3} \\ &= 2\sqrt{3} \end{aligned}$$
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $2 + \sqrt{2}x = x + 5$:
Przenosimy wyrazy z niewiadomą $x$ na lewą stronę, a liczby na prawą stronę: $$\sqrt{2}x - x = 5 - 2$$ Wyłączamy $x$ przed nawias po lewej stronie: $$(\sqrt{2} - 1)x = 3$$ Dzielimy obustronnie przez wyrażenie $(\sqrt{2} - 1)$: $$x = \dfrac{3}{\sqrt{2} - 1}$$ Usuwamy niewymierność z mianownika za pomocą wzoru skróconego mnożenia $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, mnożąc licznik i mianownik przez $(\sqrt{2} + 1)$: $$\begin{aligned} x &= \dfrac{3(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} \\ &= \dfrac{3(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} \\ &= \dfrac{3(\sqrt{2} + 1)}{2 - 1} \\ &= 3(\sqrt{2} + 1) \\ &= 3\sqrt{2} + 3 \end{aligned}$$
Podpunkt c) Rozwiązujemy równanie $5 - \sqrt{5}x = x - 7$:
Przenosimy wyrazy z niewiadomą $x$ na lewą stronę, a liczby na prawą stronę: $$-\sqrt{5}x - x = -7 - 5$$ $$-(\sqrt{5} + 1)x = -12$$ Mnożymy obie strony równania przez $-1$: $$(\sqrt{5} + 1)x = 12$$ Dzielimy obustronnie przez $(\sqrt{5} + 1)$: $$x = \dfrac{12}{\sqrt{5} + 1}$$ Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez $(\sqrt{5} - 1)$: $$\begin{aligned} x &= \dfrac{12(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} \\ &= \dfrac{12(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} \\ &= \dfrac{12(\sqrt{5} - 1)}{5 - 1} \\ &= \dfrac{12(\sqrt{5} - 1)}{4} \\ &= 3(\sqrt{5} - 1) \\ &= 3\sqrt{5} - 3 \end{aligned}$$
Podpunkt d) Rozwiązujemy równanie $3x + 1 + x\sqrt{5} = 5$:
Przenosimy wyraz wolny $1$ na prawą stronę równania: $$\begin{aligned} 3x + x\sqrt{5} &= 5 - 1 \\ (3 + \sqrt{5})x &= 4 \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony równania przez $(3 + \sqrt{5})$: $$x = \dfrac{4}{3 + \sqrt{5}}$$ Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez $(3 - \sqrt{5})$: $$\begin{aligned} x &= \dfrac{4(3 - \sqrt{5})}{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})} \\ &= \dfrac{4(3 - \sqrt{5})}{3^2 - (\sqrt{5})^2} \\ &= \dfrac{4(3 - \sqrt{5})}{9 - 5} \\ &= \dfrac{4(3 - \sqrt{5})}{4} \\ &= 3 - \sqrt{5} \end{aligned}$$
Podpunkt e) Rozwiązujemy równanie $(x + 3\sqrt{3})\sqrt{3} = \sqrt{5}x - 1$:
Wymnażamy wyrażenie w nawiasie przez $\sqrt{3}$ po lewej stronie równania: $$\begin{aligned} x \cdot \sqrt{3} + 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} &= \sqrt{5}x - 1 \\ \sqrt{3}x + 3 \cdot 3 &= \sqrt{5}x - 1 \\ \sqrt{3}x + 9 &= \sqrt{5}x - 1 \end{aligned}$$ Przenosimy wyrazy z niewiadomą $x$ na prawą stronę, a liczby na lewą stronę: $$\begin{aligned} 9 + 1 &= \sqrt{5}x - \sqrt{3}x \\ 10 &= (\sqrt{5} - \sqrt{3})x \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony przez $(\sqrt{5} - \sqrt{3})$: $$x = \dfrac{10}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$$ Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez $(\sqrt{5} + \sqrt{3})$: $$\begin{aligned} x &= \dfrac{10(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} \\ &= \dfrac{10(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} \\ &= \dfrac{10(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 - 3} \\ &= \dfrac{10(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} \\ &= 5(\sqrt{5} + \sqrt{3}) \\ &= 5\sqrt{5} + 5\sqrt{3} \end{aligned}$$
Podpunkt f) Rozwiązujemy równanie $\sqrt{3}(x - \sqrt{3}) = 5 - x$:
Wymnażamy nawias po lewej stronie równania przez $\sqrt{3}$: $$\begin{aligned} \sqrt{3} \cdot x - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} &= 5 - x \\ \sqrt{3}x - 3 &= 5 - x \end{aligned}$$ Przenosimy wyrazy z niewiadomą $x$ na lewą stronę, a liczby na prawą stronę: $$\begin{aligned} \sqrt{3}x + x &= 5 + 3 \\ (\sqrt{3} + 1)x &= 8 \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony przez $(\sqrt{3} + 1)$: $$x = \dfrac{8}{\sqrt{3} + 1}$$ Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez $(\sqrt{3} - 1)$: $$\begin{aligned} x &= \dfrac{8(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} \\ &= \dfrac{8(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} \\ &= \dfrac{8(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} \\ &= \dfrac{8(\sqrt{3} - 1)}{2} \\ &= 4(\sqrt{3} - 1) \\ &= 4\sqrt{3} - 4 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $x = 2\sqrt{3}$

b) $x = 3(\sqrt{2} + 1) = 3\sqrt{2} + 3$

c) $x = 3(\sqrt{5} - 1) = 3\sqrt{5} - 3$

d) $x = 3 - \sqrt{5}$

e) $x = 5(\sqrt{5} + \sqrt{3}) = 5\sqrt{5} + 5\sqrt{3}$

f) $x = 4(\sqrt{3} - 1) = 4\sqrt{3} - 4$

Zadanie 5

Dane jest równanie z niewiadomą $x$. Wyznacz wartość liczby $a$, dla której podana obok równania liczba jest jego rozwiązaniem.

a) $2(x + 3) + a = 0,5x + 16;\quad 4$

b) $(2x - 3)(2x + a) = 4x^2 + 5;\quad 5$

c) $\dfrac{4x}{x^2 + 4} = \dfrac{4x + a}{16};\quad 2$

d) $4 - x^3 = \dfrac{x^2 + a}{2};\quad -1$

e) $(x - a)(2x + 5) = (2x - a)(x + 3);\quad -1$

f) $(2x + 1)(x + a) - 2(x - 1)(x - a) = 5,5;\quad 0,5$

Wskazówki:

Liczba jest rozwiązaniem równania wtedy, gdy po podstawieniu jej w miejsce niewiadomej $x$ lewa strona równania staje się równa prawej stronie ($L = P$).
W każdym podpunkcie wstaw podaną liczbę w miejsce zmiennej $x$, a następnie rozwiąż otrzymane równanie liniowe z jedną niewiadomą $a$.
Pamiętaj o regułach potęgowania liczb ujemnych: $(-1)^2 = 1$ oraz $(-1)^3 = -1$.

Dane i szukane:

Dane:
a) $2(x + 3) + a = 0,5x + 16$ oraz $x = 4$
b) $(2x - 3)(2x + a) = 4x^2 + 5$ oraz $x = 5$
c) $\dfrac{4x}{x^2 + 4} = \dfrac{4x + a}{16}$ oraz $x = 2$
d) $4 - x^3 = \dfrac{x^2 + a}{2}$ oraz $x = -1$
e) $(x - a)(2x + 5) = (2x - a)(x + 3)$ oraz $x = -1$
f) $(2x + 1)(x + a) - 2(x - 1)(x - a) = 5,5$ oraz $x = 0,5$

Szukane:
Wartość parametru $a$ w każdym z podpunktów: $a = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $2(x + 3) + a = 0,5x + 16$ dla $x = 4$:
Wstawiamy liczbę $4$ w miejsce zmiennej $x$: $$\begin{aligned} 2(4 + 3) + a &= 0,5 \cdot 4 + 16 \\ 2 \cdot 7 + a &= 2 + 16 \\ 14 + a &= 18 \\ a &= 18 - 14 \\ a &= 4 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $(2x - 3)(2x + a) = 4x^2 + 5$ dla $x = 5$:
Podstawiamy $x = 5$ do obu stron równania: $$\begin{aligned} (2 \cdot 5 - 3)(2 \cdot 5 + a) &= 4 \cdot 5^2 + 5 \\ (10 - 3)(10 + a) &= 4 \cdot 25 + 5 \\ 7(10 + a) &= 100 + 5 \\ 70 + 7a &= 105 \\ 7a &= 105 - 70 \\ 7a &= 35 \\ a &= 5 \end{aligned}$$
Podpunkt c) Rozwiązujemy równanie $\dfrac{4x}{x^2 + 4} = \dfrac{4x + a}{16}$ dla $x = 2$:
Wstawiamy $x = 2$ do równania wymiernego: $$\begin{aligned} \dfrac{4 \cdot 2}{2^2 + 4} &= \dfrac{4 \cdot 2 + a}{16} \\ \dfrac{8}{4 + 4} &= \dfrac{8 + a}{16} \\ \dfrac{8}{8} &= \dfrac{8 + a}{16} \\ 1 &= \dfrac{8 + a}{16} \end{aligned}$$ Mnożymy obustronnie przez mianownik równy $16$: $$\begin{aligned} 16 &= 8 + a \\ a &= 16 - 8 \\ a &= 8 \end{aligned}$$
Podpunkt d) Rozwiązujemy równanie $4 - x^3 = \dfrac{x^2 + a}{2}$ dla $x = -1$:
Podstawiamy $x = -1$, pamiętając, że $(-1)^3 = -1$ oraz $(-1)^2 = 1$: $$\begin{aligned} 4 - (-1)^3 &= \dfrac{(-1)^2 + a}{2} \\ 4 - (-1) &= \dfrac{1 + a}{2} \\ 4 + 1 &= \dfrac{1 + a}{2} \\ 5 &= \dfrac{1 + a}{2} \end{aligned}$$ Mnożymy obustronnie przez $2$: $$\begin{aligned} 10 &= 1 + a \\ a &= 10 - 1 \\ a &= 9 \end{aligned}$$
Podpunkt e) Rozwiązujemy równanie $(x - a)(2x + 5) = (2x - a)(x + 3)$ dla $x = -1$:
Wstawiamy $x = -1$ do równania: $$\begin{aligned} (-1 - a)(2 \cdot (-1) + 5) &= (2 \cdot (-1) - a)(-1 + 3) \\ (-1 - a)(-2 + 5) &= (-2 - a) \cdot 2 \\ (-1 - a) \cdot 3 &= -4 - 2a \\ -3 - 3a &= -4 - 2a \end{aligned}$$ Przenosimy wyrazy z niewiadomą $a$ na lewą stronę, a liczby na prawą: $$\begin{aligned} -3a + 2a &= -4 + 3 \\ -a &= -1 \\ a &= 1 \end{aligned}$$
Podpunkt f) Rozwiązujemy równanie $(2x + 1)(x + a) - 2(x - 1)(x - a) = 5,5$ dla $x = 0,5$:
Podstawiamy $x = 0,5$: $$\begin{aligned} (2 \cdot 0,5 + 1)(0,5 + a) - 2(0,5 - 1)(0,5 - a) &= 5,5 \\ (1 + 1)(0,5 + a) - 2(-0,5)(0,5 - a) &= 5,5 \\ 2(0,5 + a) - (-1)(0,5 - a) &= 5,5 \\ 2(0,5 + a) + (0,5 - a) &= 5,5 \\ 1 + 2a + 0,5 - a &= 5,5 \\ 1,5 + a &= 5,5 \\ a &= 5,5 - 1,5 \\ a &= 4 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $a = 4$

b) $a = 5$

c) $a = 8$

d) $a = 9$

e) $a = 1$

f) $a = 4$

Grupa B

Zadanie 1

Sprawdź, czy podane obok równania liczby są rozwiązaniami tego równania:
a) $3x + 14 = 8x - 6;\quad -4;\ 4$
b) $-3x + 8 = 2(3x - 0{,}5);\quad 1;\ \dfrac{1}{3}$
c) $-2{,}75x + 2(3x + 5) = 1{,}25x;\quad -5;\ 1\dfrac{1}{4}$
d) $-2(x - 7) - 6 = x + 5 - 3(x - 1);\quad 0;\ 1\dfrac{2}{3}$

Zadanie 2

Rozwiąż równania z niewiadomą $x$. Pamiętaj o określeniu dziedziny równania.

a) $4x - 2(x + 5) = 3x + 1$

b) $\dfrac{x - 7}{x + 1} = 0$

c) $\dfrac{4x - 2}{5} = \dfrac{2x + 6}{3}$

d) $\dfrac{2{,}5x - 3}{5} - \dfrac{1}{2}x = 1{,}4 + x$

e) $\dfrac{x + 4}{x - 3} = \dfrac{4}{3}$

f) $\dfrac{1}{4}(x + 8) = 0{,}25x + 2$

g) $\dfrac{x - 1}{x + 2} - \dfrac{2}{3} = 0$

h) $\dfrac{4}{x + 5} + \dfrac{1}{x} = 0$

Zadanie 3

Rozwiąż równania:

a) $\dfrac{4x-3}{3} = \dfrac{3x-1}{2}$

b) $\dfrac{x}{5} = \dfrac{5}{x}$

c) $\dfrac{3}{x^2} = \dfrac{1}{2}$

d) $\dfrac{1}{x+1} + 4 = 0$

e) $\dfrac{2(x-1)}{3} - \dfrac{x-2}{2} = \dfrac{x-5}{6}$

f) $\dfrac{2(x-4)}{3} = \dfrac{3(x+1)}{5} - \dfrac{x-7}{15}$

g) $\dfrac{x(x-2)}{4} - \dfrac{2x^2+3}{2} = -\dfrac{3}{4}x^2 - 0{,}5(x+3)$

h) $\dfrac{x + \dfrac{3-x}{2}}{3} = \dfrac{x - \dfrac{x-4}{3}}{2}$

Zadanie 4

Rozwiąż równania:
a) $\sqrt{5}x - 10 = 0$
b) $3 + \sqrt{3}x = x + 7$
c) $1 - \sqrt{2}x = x - 7$
d) $2x + 5 + x\sqrt{3} = 7$
e) $(x + 4\sqrt{2})\sqrt{2} = \sqrt{6}x - 4$
f) $\sqrt{2}(x - \sqrt{2}) = 7 - x$

Zadanie 5

Dane jest równanie z niewiadomą $x$. Wyznacz wartość liczby $a$, dla której podana obok równania liczba jest jego rozwiązaniem.

a) $3(x + 2) + a = 0,5x + 14,5;\quad 3$

b) $(4x - 3)(4x + a) = 16x^2 + 1;\quad 2$

c) $\dfrac{3x}{x^2 + 1} = \dfrac{3x + a}{10};\quad 2$

d) $2 - 3x^3 = \dfrac{x^2 + a}{5};\quad -1$

e) $(x - a)(2x + 7) = (2x - a)(x + 5);\quad -1$

f) $(4x + 1)(x + a) - 4(x - 1)(x - a) = 8,5;\quad 0,5$

1.7 Rozwiązywanie równań metodą równań równoważnych

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋