Przystawanie trójkątów kartkówka LiczBit

Przystawanie trójkątów kartkówka

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Wykaż, że dwa trójkąty prostokątne są przystające, jeżeli przyprostokątna i kąt ostry do niej przyległy jednego trójkąta są równe odpowiedniej przyprostokątnej i kątowi do niej przyległemu drugiego trójkąta.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zastanów się, jakie cechy przystawania trójkątów znasz, takie jak bok-bok-bok (BBB), bok-kąt-bok (BKB) oraz kąt-bok-kąt (KBK). 2) Pamiętaj, że w każdym trójkącie prostokątnym jeden z kątów ma miarę dokładnie $90^{\circ}$. Jest to kąt przyległy do obu przyprostokątnych. 3) Zwróć uwagę, że mając daną przyprostokątną oraz kąt ostry do niej przyległy, w rzeczywistości znasz miary dwóch kątów przyległych do tej przyprostokątnej (kąta ostrego oraz kąta prostego). ROZWIĄZANIE: a) Oznaczenie elementów w dwóch trójkątach prostokątnych. Rozważmy dwa trójkąty prostokątne: $\triangle ABC$ oraz $\triangle A'B'C'$. Załóżmy, że kąty przy wierzchołkach $C$ oraz $C'$ są kątami prostymi. Zapisujemy to następująco:$$\angle ACB = 90^{\circ}$$$$\angle A'C'B' = 90^{\circ}$$Z tego wynika bezpośrednio, że:$$\angle ACB = \angle A'C'B'$$b) Identyfikacja danych boków i kątów ostrych. Z treści zadania wiemy, że przyprostokątna jednego trójkąta jest równa odpowiedniej przyprostokątnej drugiego trójkąta. Przyjmijmy, że są to boki $AC$ oraz $A'C'$. Mamy więc:$$AC = A'C'$$Dodatkowo wiemy, że kąt ostry przyległy do tej przyprostokątnej jest w obu trójkątach taki sam. Niech to będzie kąt przy wierzchołku $A$ w pierwszym trójkącie i przy wierzchołku $A'$ w drugim trójkącie. Zapisujemy:$$\angle BAC = \angle B'A'C'$$c) Zastosowanie cechy przystawania kąt-bok-kąt (KBK). Przyjrzyjmy się teraz trójkątom $\triangle ABC$ i $\triangle A'B'C'$ pod kątem cechy przystawania KBK. Cecha ta mówi, że jeśli bok i dwa przyległe do niego kąty jednego trójkąta są równe odpowiedniemu bokowi i dwóm przyległym do niego kątom drugiego trójkąta, to trójkąty te są przystające. W naszych trójkątach bokami tymi są przyprostokątne $AC$ i $A'C'$. Kąty przyległe do boku $AC$ to: 1. Kąt ostry $\angle BAC$. 2. Kąt prosty $\angle ACB$. Analogicznie, kąty przyległe do boku $A'C'$ to: 1. Kąt ostry $\angle B'A'C'$. 2. Kąt prosty $\angle A'C'B'$. Porównujemy te wartości: - $\angle BAC = \angle B'A'C'$ (z założenia zadania) - $AC = A'C'$ (z założenia zadania) - $\angle ACB = \angle A'C'B'$ (ponieważ oba są proste, czyli mają po $90^{\circ}$) d) Wniosek końcowy. Ponieważ spełnione są wszystkie warunki cechy kąt-bok-kąt (KBK), możemy stwierdzić, że trójkąty są przystające:$$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$$To kończy dowód, ponieważ wykazaliśmy, że równość przyprostokątnej i przyległego kąta ostrego w trójkątach prostokątnych jest wystarczająca do stwierdzenia ich przystawania.

Zadanie 2 (3 pkt)

W trójkątach $PQR$ i $P_1Q_1R_1$ poprowadzono dwusieczne $QD$ i $Q_1D_1$. Wykaż, że jeśli $|PQ| = |P_1Q_1|$, $|\angle Q| = |\angle Q_1|$ i $|QD| = |Q_1D_1|$, to $\triangle PQR \equiv \triangle P_1Q_1R_1$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zauważ, że dwusieczna kąta dzieli go na dwa kąty o równej mierze. Skoro kąty przy wierzchołkach $Q$ oraz $Q_1$ są równe, to ich połowy również będą miały taką samą miarę. 2) Skup się najpierw na mniejszych trójkątach, które powstały po narysowaniu dwusiecznych, czyli na trójkącie $PQD$ oraz trójkącie $P_1Q_1D_1$. Porównaj ich boki oraz kąt między tymi bokami. 3) Wykorzystaj cechę przystawania trójkątów bok-kąt-bok ($BKB$), aby wykazać, że trójkąty $PQD$ i $P_1Q_1D_1$ są identyczne. Z tego faktu wyciągnij wniosek dotyczący miar kątów przy wierzchołkach $P$ i $P_1$. 4) Na samym końcu powróć do głównych trójkątów $PQR$ oraz $P_1Q_1R_1$. Skorzystaj z cechy kąt-bok-kąt ($KBK$), używając boku $PQ$ oraz kątów przy wierzchołkach $P$ i $Q$. ROZWIĄZANIE: a) Wykazanie równości kątów nachylenia dwusiecznych. Z treści zadania wiemy, że odcinek $QD$ jest dwusieczną kąta $PQR$, a odcinek $Q_1D_1$ jest dwusieczną kąta $P_1Q_1R_1$. Z definicji dwusiecznej wynika, że dzieli ona kąt na dwie równe części. Zapisujemy to matematycznie dla pierwszego trójkąta:$$|\angle PQD| = \frac{1}{2} \cdot |\angle Q|$$Analogicznie zapisujemy zależność dla drugiego trójkąta:$$|\angle P_1Q_1D_1| = \frac{1}{2} \cdot |\angle Q_1|$$W zadaniu podano informację, że kąty te są równe, czyli $|\angle Q| = |\angle Q_1|$. Skoro całe kąty są równe, to po pomnożeniu obu stron tej równości przez ułamek $\frac{1}{2}$ otrzymamy:$$\frac{1}{2} \cdot |\angle Q| = \frac{1}{2} \cdot |\angle Q_1|$$Z powyższych równań wynika bezpośrednio, że:$$|\angle PQD| = |\angle P_1Q_1D_1|$$b) Dowód przystawania mniejszych trójkątów $PQD$ i $P_1Q_1D_1$. Porównajmy teraz trójkąty $PQD$ oraz $P_1Q_1D_1$. Z treści zadania oraz z poprzedniego kroku mamy następujące dane: 1. Długość boku $PQ$ jest równa długości boku $P_1Q_1$: $|PQ| = |P_1Q_1|$. 2. Długość dwusiecznej $QD$ jest równa długości dwusiecznej $Q_1D_1$: $|QD| = |Q_1D_1|$. 3. Miara kąta zawartego między tymi bokami jest taka sama: $|\angle PQD| = |\angle P_1Q_1D_1|$. Na podstawie cechy bok-kąt-bok ($BKB$) stwierdzamy, że trójkąty te są przystające:$$\triangle PQD \equiv \triangle P_1Q_1D_1$$Z faktu, że trójkąty te są identyczne pod każdym względem, wynika, że wszystkie ich odpowiadające sobie elementy są równe. W szczególności kąty przy wierzchołkach $P$ oraz $P_1$ muszą mieć taką samą miarę:$$|\angle P| = |\angle P_1|$$c) Dowód przystawania trójkątów $PQR$ i $P_1Q_1R_1$. Teraz możemy rozważyć główne trójkąty $PQR$ oraz $P_1Q_1R_1$. Zbierzmy informacje, którymi dysponujemy: 1. Z treści zadania wiemy, że $|PQ| = |P_1Q_1|$. 2. Z treści zadania wiemy, że $|\angle Q| = |\angle Q_1|$. 3. Z dowodu w punkcie b) wiemy, że $|\angle P| = |\angle P_1|$. Mamy zatem parę trójkątów, w których bok jednego trójkąta ma taką samą długość jak odpowiadający mu bok drugiego trójkąta, a kąty leżące przy tym boku mają te same miary. Jest to warunek konieczny i wystarczający dla cechy kąt-bok-kąt ($KBK$). Zatem:$$\triangle PQR \equiv \triangle P_1Q_1R_1$$Co należało wykazać.

Zadanie 3 (3 pkt)

W trójkątach $KLM$ i $K_1L_1M_1$ poprowadzono dwusieczne $KN$ i $K_1N_1$ kątów przy wierzchołkach $K$ i $K_1$. Wykaż, że $\triangle KLM \equiv \triangle K_1L_1M_1$, wiedząc, że $|KN| = |K_1N_1|$, $|NM| = |N_1M_1|$ oraz $|\angle KNM| = |\angle K_1N_1M_1|$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Rozpocznij od udowodnienia przystawania mniejszych trójkątów, a mianowicie $\triangle KNM$ oraz $\triangle K_{1}N_{1}M_{1}$. Wykorzystaj do tego cechę bok-kąt-bok (BKB), opierając się na danych z treści zadania dotyczących długości odcinków $KN$, $NM$ oraz miary kąta między nimi. 2) Z faktu przystawania tych mniejszych trójkątów wyciągnij wnioski dotyczące równości pozostałych odpowiadających sobie elementów: boku $KM$ i boku $K_{1}M_{1}$ oraz kątów przy wierzchołkach $M$ i $K$. 3) Skorzystaj z definicji dwusiecznej kąta. Skoro wiesz, że połówki kątów przy wierzchołkach $K$ i $K_{1}$ są równe, możesz udowodnić, że całe kąty $\angle LKM$ i $\angle L_{1}K_{1}M_{1}$ również są sobie równe. 4) Na samym końcu zestaw ze sobą cechy całych trójkątów $KLM$ oraz $K_{1}L_{1}M_{1}$, stosując cechę kąt-bok-kąt (KBK). ROZWIĄZANIE: a) Udowodnienie przystawania trójkątów $\triangle KNM$ i $\triangle K_{1}N_{1}M_{1}$. Rozpatrzmy trójkąty $\triangle KNM$ oraz $\triangle K_{1}N_{1}M_{1}$. Z treści zadania otrzymujemy następujące informacje o ich bokach i kątach: Długość boku $|KN|$ jest równa długości boku $|K_{1}N_{1}|$:$$|KN| = |K_{1}N_{1}|$$Długość boku $|NM|$ jest równa długości boku $|N_{1}M_{1}|$:$$|NM| = |N_{1}M_{1}|$$Miara kąta zawartego między tymi bokami jest taka sama:$$|\angle KNM| = |\angle K_{1}N_{1}M_{1}|$$Posiadamy dwa boki oraz kąt między nimi, które są odpowiednio równe w obu trójkątach. Na podstawie cechy przystawania bok-kąt-bok (BKB) stwierdzamy, że:$$\triangle KNM \equiv \triangle K_{1}N_{1}M_{1}$$b) Wyznaczenie równych elementów na podstawie przystawania. Z udowodnionego powyżej przystawania $\triangle KNM \equiv \triangle K_{1}N_{1}M_{1}$ wynika, że wszystkie odpowiadające sobie boki i kąty tych trójkątów są równe. Zapisujemy kluczowe dla dalszego dowodu równości: Boki leżące naprzeciw kątów o wierzchołkach $N$ i $N_{1}$ są równe:$$|KM| = |K_{1}M_{1}|$$Kąty przy wierzchołkach $M$ i $M_{1}$ są równe:$$|\angle KMN| = |\angle K_{1}M_{1}N_{1}|$$Ponieważ punkt $N$ leży na boku $LM$, kąt $\angle KMN$ to ten sam kąt co $\angle KML$. Analogicznie $\angle K_{1}M_{1}N_{1}$ to ten sam kąt co $\angle K_{1}M_{1}L_{1}$. Zatem:$$|\angle KML| = |\angle K_{1}M_{1}L_{1}|$$Kąty przy wierzchołkach $K$ i $K_{1}$ (będące częściami większych kątów) są równe:$$|\angle MKN| = |\angle M_{1}K_{1}N_{1}|$$c) Wykazanie równości kątów przy wierzchołkach $K$ i $K_{1}$. Odcinki $KN$ i $K_{1}N_{1}$ są dwusiecznymi kątów odpowiednio $\angle LKM$ oraz $\angle L_{1}K_{1}M_{1}$. Z definicji dwusiecznej wynika, że dzieli ona kąt na dwie równe części, więc cały kąt jest dwa razy większy od swojej połowy:$$|\angle LKM| = 2 \cdot |\angle MKN|$$$$|\angle L_{1}K_{1}M_{1}| = 2 \cdot |\angle M_{1}K_{1}N_{1}|$$W punkcie b wykazaliśmy, że $|\angle MKN| = |\angle M_{1}K_{1}N_{1}|$. Podstawiając tę zależność do równania:$$|\angle LKM| = 2 \cdot |\angle M_{1}K_{1}N_{1}|$$Porównując obie strony, otrzymujemy:$$|\angle LKM| = |\angle L_{1}K_{1}M_{1}|$$d) Ostateczne udowodnienie przystawania trójkątów $KLM$ i $K_{1}L_{1}M_{1}$. Teraz zestawiamy wszystkie zebrane informacje dotyczące trójkątów $\triangle KLM$ oraz $\triangle K_{1}L_{1}M_{1}$: 1. Bok $|KM| = |K_{1}M_{1}|$ (udowodnione w punkcie b). 2. Kąt przy wierzchołku $K$: $|\angle LKM| = |\angle L_{1}K_{1}M_{1}|$ (udowodnione w punkcie c). 3. Kąt przy wierzchołku $M$: $|\angle KML| = |\angle K_{1}M_{1}L_{1}|$ (udowodnione w punkcie b). Mamy parę równych boków oraz równe miary kątów do tych boków przyległych. Na podstawie cechy kąt-bok-kąt (KBK) stwierdzamy, że:$$\triangle KLM \equiv \triangle K_{1}L_{1}M_{1}$$Co należało wykazać.

Zadanie 4 (3 pkt)

W trójkącie równobocznym o boku $a$ przedłużono bok $AC$ poza punkt $A$ o odcinek $AA_{1}$, $|AA_{1}| = 2$, bok $AB$ poza punkt $B$ o odcinek $BB_{1}$, $|BB_{1}| = 2$, bok $BC$ poza punkt $C$ o odcinek $CC_{1}$, $|CC_{1}| = 2$. Udowodnij, że trójkąt $A_{1}B_{1}C_{1}$ jest równoboczny.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zamiast skomplikowanych obliczeń algebraicznych, spróbuj wykorzystać cechy przystawania trójkątów. Skup się na trzech trójkątach, które "otaczają" trójkąt $ABC$: $\triangle A_{1}AB_{1}$, $\triangle B_{1}BC_{1}$ oraz $\triangle C_{1}CA_{1}$. 2) Wyznacz długości dwóch boków w każdym z tych trzech trójkątów. Zauważ, że jeden bok to odcinek o długości $2$, a drugi to suma boku pierwotnego trójkąta $a$ oraz przedłużenia o długości $2$. 3) Wyznacz miarę kąta między tymi bokami w każdym z trzech trójkątów. Skorzystaj z faktu, że kąt wewnętrzny trójkąta równobocznego ma $60^{\circ}$, a kąty przyległe dopełniają się do $180^{\circ}$. 4) Przypomnij sobie cechę przystawania bok-kąt-bok (BKB). Jeśli wykażesz, że te trzy trójkąty są przystające, to ich trzecie boki (czyli boki trójkąta $A_{1}B_{1}C_{1}$) muszą być równej długości. ROZWIĄZANIE: a) Analiza boków i kątów w trójkącie $\triangle A_{1}AB_{1}$. Pierwszy bok tego trójkąta to odcinek $AA_{1}$, którego długość została podana w treści zadania i wynosi $|AA_{1}| = 2$. Drugi bok to odcinek $AB_{1}$. Składa się on z boku trójkąta $AB$ (o długości $a$) oraz przedłużenia $BB_{1}$ (o długości $2$). Sumujemy te długości:$$|AB_{1}| = |AB| + |BB_{1}| = a + 2$$Kąt $\angle A_{1}AB_{1}$ jest kątem przyległym do kąta wewnętrznego $\angle CAB$ trójkąta równobocznego $ABC$. Ponieważ kąt wewnętrzny trójkąta równobocznego ma miarę $60^{\circ}$, obliczamy kąt przyległy poprzez odjęcie tej wartości od $180^{\circ}$:$$\angle A_{1}AB_{1} = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$$b) Analiza boków i kątów w trójkącie $\triangle B_{1}BC_{1}$. W tym trójkącie bok $BB_{1}$ ma długość $|BB_{1}| = 2$ zgodnie z treścią zadania. Bok $BC_{1}$ składa się z boku trójkąta $BC$ (o długości $a$) oraz przedłużenia $CC_{1}$ (o długości $2$):$$|BC_{1}| = |BC| + |CC_{1}| = a + 2$$Kąt $\angle B_{1}BC_{1}$ jest przyległy do kąta wewnętrznego $\angle ABC = 60^{\circ}$. Wykonujemy odejmowanie:$$\angle B_{1}BC_{1} = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$$c) Analiza boków i kątów w trójkącie $\triangle C_{1}CA_{1}$. Bok $CC_{1}$ ma długość $|CC_{1}| = 2$ z danych zadania. Bok $CA_{1}$ składa się z boku trójkąta $CA$ (o długości $a$) oraz przedłużenia $AA_{1}$ (o długości $2$):$$|CA_{1}| = |CA| + |AA_{1}| = a + 2$$Kąt $\angle C_{1}CA_{1}$ jest przyległy do kąta wewnętrznego $\angle BCA = 60^{\circ}$. Obliczamy:$$\angle C_{1}CA_{1} = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$$d) Zastosowanie cechy przystawania bok-kąt-bok (BKB). Porównajmy teraz wszystkie trzy trójkąty pomocnicze: $\triangle A_{1}AB_{1}$, $\triangle B_{1}BC_{1}$ oraz $\triangle C_{1}CA_{1}$. W każdym z nich: 1. Jeden z boków ma długość $2$. 2. Drugi z boków ma długość $a + 2$. 3. Kąt między tymi bokami ma miarę $120^{\circ}$. Zgodnie z cechą przystawania trójkątów bok-kąt-bok (BKB), jeśli dwa boki i kąt między nimi w jednym trójkącie są równe odpowiednim dwóm bokom i kątowi między nimi w drugim trójkącie, to trójkąty te są przystające. Zatem:$$\triangle A_{1}AB_{1} \equiv \triangle B_{1}BC_{1} \equiv \triangle C_{1}CA_{1}$$e) Wykazanie równoboczności trójkąta $A_{1}B_{1}C_{1}$. Z przystawania powyższych trójkątów wynika, że ich odpowiadające sobie boki mają te same długości. W szczególności, boki leżące naprzeciwko kąta $120^{\circ}$ muszą być równe. Są to boki tworzące trójkąt $A_{1}B_{1}C_{1}$:$$|A_{1}B_{1}| = |B_{1}C_{1}| = |C_{1}A_{1}|$$Ponieważ wszystkie trzy boki trójkąta $A_{1}B_{1}C_{1}$ mają tę samą długość, trójkąt ten jest z definicji trójkątem równobocznym. Dowód został zakończony.

Zadanie 5 (3 pkt)

Dany jest trójkąt równoboczny $ABC$ o boku długości $6\text{ cm}$. Na jego bokach zaznaczono punkty $E \in AB$, $F \in BC$ oraz $D \in CA$ takie, że $|AE| = |BF| = |CD| = 2\text{ cm}$. Udowodnij, że trójkąt $EFD$ jest równoboczny i oblicz jego obwód.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Skorzystaj z faktu, że trójkąt $ABC$ jest równoboczny. Oznacza to, że każdy jego kąt wewnętrzny ma miarę $60^{\circ}$. 2) Wyznacz długości odcinków $|EB|$, $|FC|$ oraz $|DA|$, odejmując dane wartości $2$ $cm$ od całkowitej długości boku równej $6$ $cm$. 3) Porównaj trójkąty $AED$, $BFE$ oraz $CDF$. Zauważ, że każdy z nich ma boki o długościach $2$ $cm$ i $4$ $cm$ oraz kąt $60^{\circ}$ między nimi. Zastosuj cechę przystawania Bok-Kąt-Bok (BKB), aby wykazać, że trzecie boki tych trójkątów są równe. 4) Aby obliczyć długość boku wewnętrznego trójkąta, dorysowując wysokość w trójkącie $AED$ opuszczoną z punktu $E$ na bok $AD$. Powstanie trójkąt o kątach $30^{\circ}$, $60^{\circ}$ i $90^{\circ}$. Skorzystaj z własności takiego trójkąta (jest on połową trójkąta równobocznego), aby znaleźć długości jego przyprostokątnych. 5) Na koniec użyj twierdzenia Pitagorasa w powstałym trójkącie prostokątnym, aby wyznaczyć długość boku $ED$. ROZWIĄZANIE: a) Obliczenie długości brakujących odcinków na bokach trójkąta $ABC$. Bok trójkąta równobocznego $ABC$ ma długość $6$ $cm$. Na każdym boku odcinamy fragment o długości $2$ $cm$. Obliczamy pozostałe części boku:$$|EB| = |AB| - |AE|$$$$|EB| = 6 - 2 = 4$$$cm$$$|FC| = |BC| - |BF|$$$$|FC| = 6 - 2 = 4$$$cm$$$|DA| = |AC| - |CD|$$$$|DA| = 6 - 2 = 4$$$cm$ Wszystkie trzy trójkąty narożne ($AED$, $BFE$, $CDF$) mają więc boki o długościach $2$ $cm$ oraz $4$ $cm$. b) Dowód równoboczności trójkąta $EFD$. W trójkącie $ABC$ kąty $\angle A$, $\angle B$ oraz $\angle C$ są równe i każdy wynosi $60^{\circ}$. Rozważmy trójkąty: 1. $AED$ o bokach $|AE| = 2$, $|AD| = 4$ i kącie $\angle A = 60^{\circ}$. 2. $BFE$ o bokach $|BF| = 2$, $|BE| = 4$ i kącie $\angle B = 60^{\circ}$. 3. $CDF$ o bokach $|CD| = 2$, $|CF| = 4$ i kącie $\angle C = 60^{\circ}$. Na podstawie cechy Bok-Kąt-Bok (BKB) stwierdzamy, że trójkąty te są przystające:$$\triangle AED \cong \triangle BFE \cong \triangle CDF$$Z przystawania wynika, że boki leżące naprzeciw kąta $60^{\circ}$ mają tę samą długość:$$|ED| = |FE| = |DF|$$Ponieważ wszystkie boki trójkąta $EFD$ są równe, trójkąt ten jest z definicji równoboczny. c) Obliczenie długości boku trójkąta $EFD$ bez trygonometrii. Skupmy się na trójkącie $AED$. Niech punkt $H$ będzie rzutem prostokątnym punktu $E$ na bok $AC$. Powstaje trójkąt prostokątny $AHE$. Ponieważ kąt $\angle EAH = 60^{\circ}$, trójkąt $AHE$ jest połową trójkąta równobocznego o boku $|AE| = 2$. Przyprostokątna $|AH|$ leży przy kącie $60^{\circ}$ (naprzeciw kąta $30^{\circ}$), więc jej długość to połowa przeciwprostokątnej:$$|AH| = \frac{1}{2} \cdot |AE|$$$$|AH| = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$$Przyprostokątna $|EH|$ jest wysokością trójkąta równobocznego o boku $2$, więc jej długość wynosi:$$|EH| = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$Teraz obliczamy długość odcinka $|HD|$. Wiedząc, że $|AD| = 4$ oraz $|AH| = 1$:$$|HD| = |AD| - |AH|$$$$|HD| = 4 - 1 = 3$$Stosujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego $EHD$, gdzie przeciwprostokątną jest szukany bok $|ED|$:$$|ED|^{2} = |EH|^{2} + |HD|^{2}$$$$|ED|^{2} = \left(\sqrt{3}\right)^{2} + 3^{2}$$Podnosimy do kwadratu:$$|ED|^{2} = 3 + 9$$$$|ED|^{2} = 12$$Wyciągamy pierwiastek kwadratowy:$$|ED| = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$$$cm$ d) Obliczenie obwodu trójkąta $EFD$. Obwód trójkąta równobocznego to suma trzech jego boków o długości $2\sqrt{3}$ $cm$:$$Obw = 3 \cdot 2\sqrt{3}$$$$Obw = 6\sqrt{3}$$$cm$ Obwód trójkąta $EFD$ wynosi $6\sqrt{3}$ $cm$.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Udowodnij, że dwa trójkąty prostokątne są przystające, jeżeli ich przeciwprostokątne są równe i jeden z kątów ostrych pierwszego trójkąta jest równy kątowi ostremu drugiego trójkąta.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

W trójkątach $XYZ$ i $X_1Y_1Z_1$ poprowadzono dwusieczne $ZK$ i $Z_1K_1$. Wykaż, że jeśli $|YZ| = |Y_1Z_1|$, $|\angle Z| = |\angle Z_1|$ i $|ZK| = |Z_1K_1|$, to $\triangle XYZ \equiv \triangle X_1Y_1Z_1$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

W trójkątach $PQR$ i $P_1Q_1R_1$ narysowano dwusieczne $QS$ i $Q_1S_1$. Wykaż przystawanie trójkątów $PQR$ i $P_1Q_1R_1$, jeśli wiadomo, że $|QS| = |Q_1S_1|$, $|SR| = |S_1R_1|$ oraz $|\angle QSR| = |\angle Q_1S_1R_1|$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

W trójkącie równobocznym o boku $a$ przedłużono bok $AC$ poza punkt $A$ o odcinek $AA_{1}$, $|AA_{1}| = 3$, bok $AB$ poza punkt $B$ o odcinek $BB_{1}$, $|BB_{1}| = 3$, bok $BC$ poza punkt $C$ o odcinek $CC_{1}$, $|CC_{1}| = 3$. Udowodnij, że trójkąt $A_{1}B_{1}C_{1}$ jest równoboczny

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

W trójkącie równobocznym $ABC$ o boku $12\text{ cm}$ punkty $E, F, D$ dzielą boki $AB, BC$ i $CA$ w stosunku $1:2$. Wykaż, że $ED \perp AB$ i oblicz pole trójkąta $EFD$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią