Przypomnienie i uzupełnienie informacji o równaniach LiczBit

1.6 Przypomnienie i uzupełnienie informacji o równaniach

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 1. Dziedziną równania jest zbiór $\mathbb{R}$. Sprawdź, czy podane obok liczby spełniają dane równanie:

a) $3 - x^2 = 4x + 3 \quad \quad -4, \, -1, \, 0$

b) $16 + x^3 = 2 - 3x \quad \quad -2, \, 0, \, 1$

c) $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 3} = 0 \quad \quad -2, \, 0, \, 2$

d) $\sqrt{\dfrac{x^4 + 2}{18}} = 0{,}5x \quad \quad -2, \, 0, \, 2$

Wskazówki:

Aby sprawdzić, czy dana liczba spełnia równanie, podstawiamy ją w miejsce zmiennej $x$ osobno do lewej strony ($L$) i osobno do prawej strony ($P$) równania.
Jeśli po wykonaniu obliczeń otrzymamy prawdziwą równość $L = P$, to liczba spełnia równanie. W przeciwnym razie ($L \neq P$) liczba nie spełnia równania.
Pamiętaj o prawidłowej kolejności wykonywania działań (najpierw potęgowanie i pierwiastkowanie, potem mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie).

Rozwiązanie krok po kroku:

Sprawdzanie liczb dla podpunktu a):
Podstawiamy kolejno liczby do lewej ($L$) i prawej ($P$) strony równania $3 - x^2 = 4x + 3$:

• Dla $x = -4$: $$ \begin{aligned} L &= 3 - (-4)^2 = 3 - 16 = -13 \\ P &= 4 \cdot (-4) + 3 = -16 + 3 = -13 \end{aligned} $$ Ponieważ $L = P = -13$, liczba $-4$ spełnia równanie.

• Dla $x = -1$: $$ \begin{aligned} L &= 3 - (-1)^2 = 3 - 1 = 2 \\ P &= 4 \cdot (-1) + 3 = -4 + 3 = -1 \end{aligned} $$ Ponieważ $L \neq P$ ($2 \neq -1$), liczba $-1$ nie spełnia równania.

• Dla $x = 0$: $$ \begin{aligned} L &= 3 - 0^2 = 3 - 0 = 3 \\ P &= 4 \cdot 0 + 3 = 0 + 3 = 3 \end{aligned} $$ Ponieważ $L = P = 3$, liczba $0$ spełnia równanie.
Sprawdzanie liczb dla podpunktu b):
Podstawiamy liczby do lewej i prawej strony równania $16 + x^3 = 2 - 3x$:

• Dla $x = -2$: $$ \begin{aligned} L &= 16 + (-2)^3 = 16 + (-8) = 8 \\ P &= 2 - 3 \cdot (-2) = 2 + 6 = 8 \end{aligned} $$ Ponieważ $L = P = 8$, liczba $-2$ spełnia równanie.

• Dla $x = 0$: $$ \begin{aligned} L &= 16 + 0^3 = 16 + 0 = 16 \\ P &= 2 - 3 \cdot 0 = 2 - 0 = 2 \end{aligned} $$ Ponieważ $L \neq P$ ($16 \neq 2$), liczba $0$ nie spełnia równania.

• Dla $x = 1$: $$ \begin{aligned} L &= 16 + 1^3 = 16 + 1 = 17 \\ P &= 2 - 3 \cdot 1 = 2 - 3 = -1 \end{aligned} $$ Ponieważ $L \neq P$ ($17 \neq -1$), liczba $1$ nie spełnia równania.
Sprawdzanie liczb dla podpunktu c):
Podstawiamy liczby do lewej strony ułamka $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 3} = 0$ (prawa strona to stała wartośc $P = 0$):

• Dla $x = -2$: $$ L = \frac{(-2)^2 - 4}{(-2)^2 + 3} = \frac{4 - 4}{4 + 3} = \frac{0}{7} = 0 $$ Ponieważ $L = P = 0$, liczba $-2$ spełnia równanie.

• Dla $x = 0$: $$ L = \frac{0^2 - 4}{0^2 + 3} = \frac{0 - 4}{0 + 3} = -\frac{4}{3} $$ Ponieważ $L \neq P$ ($-\frac{4}{3} \neq 0$), liczba $0$ nie spełnia równania.

• Dla $x = 2$: $$ L = \frac{2^2 - 4}{2^2 + 3} = \frac{4 - 4}{4 + 3} = \frac{0}{7} = 0 $$ Ponieważ $L = P = 0$, liczba $2$ spełnia równanie.
Sprawdzanie liczb dla podpunktu d):
Podstawiamy liczby do równania z pierwiastkiem $\sqrt{\dfrac{x^4 + 2}{18}} = 0{,}5x$:

• Dla $x = -2$: $$ \begin{aligned} L &= \sqrt{\frac{(-2)^4 + 2}{18}} = \sqrt{\frac{16 + 2}{18}} = \sqrt{\frac{18}{18}} = \sqrt{1} = 1 \\ P &= 0{,}5 \cdot (-2) = -1 \end{aligned} $$ Ponieważ $L \neq P$ ($1 \neq -1$), liczba $-2$ nie spełnia równania.

• Dla $x = 0$: $$ \begin{aligned} L &= \sqrt{\frac{0^4 + 2}{18}} = \sqrt{\frac{2}{18}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} \\ P &= 0{,}5 \cdot 0 = 0 \end{aligned} $$ Ponieważ $L \neq P$ ($\frac{1}{3} \neq 0$), liczba $0$ nie spełnia równania.

• Dla $x = 2$: $$ \begin{aligned} L &= \sqrt{\frac{2^4 + 2}{18}} = \sqrt{\frac{16 + 2}{18}} = \sqrt{\frac{18}{18}} = \sqrt{1} = 1 \\ P &= 0{,}5 \cdot 2 = 1 \end{aligned} $$ Ponieważ $L = P = 1$, liczba $2$ spełnia równanie.

Odpowiedź:
a) Równanie spełniają liczby $-4$ oraz $0$;
b) Równanie spełnia liczba $-2$;
c) Równanie spełniają liczby $-2$ oraz $2$;
d) Równanie spełnia liczba $2$.

Zadanie 2 (3 pkt)

Dziedziną równania jest zbiór $\mathbb{R}$. Wyznacz zbiór rozwiązań tego równania:

a) $3x = 7x$
b) $6(x - 2) = 0$
c) $(x - 5)^2 = 0$
d) $x^2 = -25$
e) $(x + 4)(x + 4) = 0$
f) $x^2 + 9 = 0$
g) $(x + 7)^2 = 0$
h) $x^2 = 5$
i) $x^2 = 0{,}09$

Wskazówki:

Przenosząc wyrażenia z niewiadomą na jedną stronę, porządkujemy równanie liniowe.
Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny ($x^2 \ge 0$), stąd równanie postaci $x^2 = -a$ (dla $a > 0$) jest sprzeczne i nie posiada rozwiązań.
Równanie postaci $x^2 = a$ dla $a > 0$ posiada dwa rozwiązania przeciwnych znaków: $x = \sqrt{a}$ oraz $x = -\sqrt{a}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $3x = 7x$:
Przenosimy wszystkie wyrażenia zawierające niewiadomą na lewą stronę równania: $$ \begin{aligned} 3x - 7x &= 0 \\ -4x &= 0 \quad / : (-4) \\ x &= 0 \end{aligned} $$ Zbiór rozwiązań: $x \in \{0\}$.
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $6(x - 2) = 0$:
Dzielimy obie strony równania przez 6 (lub przyrównujemy czynnik w nawiasie do zera): $$ \begin{aligned} x - 2 &= 0 \\ x &= 2 \end{aligned} $$ Zbiór rozwiązań: $x \in \{2\}$.
Podpunkt c) Rozwiązujemy równanie $(x - 5)^2 = 0$:
Kwadrat dowolnego wyrażenia jest równy zero tylko wtedy, gdy podstawa tego wyrażenia równa się zero: $$ \begin{aligned} x - 5 &= 0 \\ x &= 5 \end{aligned} $$ Zbiór rozwiązań: $x \in \{5\}$.
Podpunkt d) Rozwiązujemy równanie $x^2 = -25$:
Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej spełnia warunek $x^2 \ge 0$, potęga druga nie może przyjmować wartości ujemnej $-25$. Równanie nie posiada rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Zbiór rozwiązań: $x \in \emptyset$.
Podpunkt e) Rozwiązujemy równanie $(x + 4)(x + 4) = 0$:
Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zero. Ponieważ oba czynniki są identyczne, wystarczy przyrównać nawias do zera: $$ \begin{aligned} x + 4 &= 0 \\ x &= -4 \end{aligned} $$ Zbiór rozwiązań: $x \in \{-4\}$.
Podpunkt f) Rozwiązujemy równanie $x^2 + 9 = 0$:
Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę równania: $$x^2 = -9$$ Kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny, co oznacza, że równanie jest sprzeczne.
Zbiór rozwiązań: $x \in \emptyset$.
Podpunkt g) Rozwiązujemy równanie $(x + 7)^2 = 0$:
Przyrównujemy wyrażenie w nawiasie do zera: $$ \begin{aligned} x + 7 &= 0 \\ x &= -7 \end{aligned} $$ Zbiór rozwiązań: $x \in \{-7\}$.
Podpunkt h) Rozwiązujemy równanie $x^2 = 5$:
Liczba 5 jest dodatnia, dlatego istnieją dwie liczby rzeczywiste, których kwadrat daje wartość 5: $$x = -\sqrt{5} \quad \text{lub} \quad x = \sqrt{5}$$ Zbiór rozwiązań: $x \in \{-\sqrt{5}, \sqrt{5}\}$.
Podpunkt i) Rozwiązujemy równanie $x^2 = 0{,}09$:
Szukamy liczb, których kwadrat wynosi $0{,}09$. Ponieważ $\sqrt{0{,}09} = 0{,}3$, otrzymujemy dwa rozwiązania: $$x = -0{,}3 \quad \text{lub} \quad x = 0{,}3$$ Zbiór rozwiązań: $x \in \{-0{,}3; 0{,}3\}$.

Odpowiedź:
a) $x \in \{0\}$
b) $x \in \{2\}$
c) $x \in \{5\}$
d) $x \in \emptyset$
e) $x \in \{-4\}$
f) $x \in \emptyset$
g) $x \in \{-7\}$
h) $x \in \{-\sqrt{5}, \sqrt{5}\}$
i) $x \in \{-0{,}3; 0{,}3\}$

Zadanie 3 (3 pkt)

Dziedziną równania jest zbiór $\mathbb{R}$. Wyznacz zbiór rozwiązań tego równania.
a) $x(x - 6) = 0$
b) $(x + 8)(x - 5) = 0$
c) $(x + 4)(x - 7) = 0$
d) $3x^2(x^2 - 25) = 0$
e) $(x^2 - 5)(x^2 + 49) = 0$
f) $(x + 3)(x - 4)x = 0$

Wskazówki:

Iloczyn kilku czynników jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z tych czynników jest równy zero.
Jeśli w równaniu występuje wyrażenie typu $x^2 - a$ dla $a > 0$, rozłóż je na czynniki, stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Zapamiętaj, że wyrażenie $x^2 + k$ dla $k > 0$ przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej $x$, zatem równanie $x^2 + k = 0$ nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rozwiązanie podpunktu a) $x(x - 6) = 0$:
Przyrównujemy każdy z czynników iloczynu do zera: $$ \begin{aligned} x = 0 \quad &\text{lub} \quad x - 6 = 0 \\ &\phantom{\text{lub}} \quad x = 6 \end{aligned} $$ Zbiór rozwiązań wynosi: $x \in \{0, 6\}$.
Rozwiązanie podpunktu b) $(x + 8)(x - 5) = 0$:
Przyrównujemy oba nawiasy do zera: $$ \begin{aligned} x + 8 = 0 \quad &\text{lub} \quad x - 5 = 0 \\ x = -8 \quad &\phantom{\text{lub}} \quad x = 5 \end{aligned} $$ Zbiór rozwiązań wynosi: $x \in \{-8, 5\}$.
Rozwiązanie podpunktu c) $(x + 4)(x - 7) = 0$:
Przyrównujemy poszczególne czynniki liniowe do zera: $$ \begin{aligned} x + 4 = 0 \quad &\text{lub} \quad x - 7 = 0 \\ x = -4 \quad &\phantom{\text{lub}} \quad x = 7 \end{aligned} $$ Zbiór rozwiązań wynosi: $x \in \{-4, 7\}$.
Rozwiązanie podpunktu d) $3x^2(x^2 - 25) = 0$:
Rozkładamy dwumian $x^2 - 25$ ze wzoru na różnicę kwadratów na $(x - 5)(x + 5)$: $$ 3x^2(x - 5)(x + 5) = 0 $$ Dzielimy równanie przez 3 i przyrównujemy każdy czynnik do zera: $$ \begin{aligned} x^2 = 0 \quad &\text{lub} \quad x - 5 = 0 \quad \text{lub} \quad x + 5 = 0 \\ x = 0 \quad &\phantom{\text{lub}} \quad x = 5 \quad \phantom{\text{lub}} \quad x = -5 \end{aligned} $$ Zbiór rozwiązań wynosi: $x \in \{-5, 0, 5\}$.
Rozwiązanie podpunktu e) $(x^2 - 5)(x^2 + 49) = 0$:
Przyrównujemy czynniki do zera: $$ x^2 - 5 = 0 \quad \text{lub} \quad x^2 + 49 = 0 $$ Rozważamy pierwsze równanie: $$ x^2 = 5 \implies x = -\sqrt{5} \quad \text{lub} \quad x = \sqrt{5} $$ Drugie równanie $x^2 = -49$ nie posiada rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny.
Zbiór rozwiązań wynosi: $x \in \{-\sqrt{5}, \sqrt{5}\}$.
Rozwiązanie podpunktu f) $(x + 3)(x - 4)x = 0$:
Przyrównujemy trzy czynniki iloczynu do zera: $$ \begin{aligned} x + 3 = 0 \quad &\text{lub} \quad x - 4 = 0 \quad \text{lub} \quad x = 0 \\ x = -3 \quad &\phantom{\text{lub}} \quad x = 4 \quad \phantom{\text{lub}} \quad x = 0 \end{aligned} $$ Zbiór rozwiązań wynosi: $x \in \{-3, 0, 4\}$.

Odpowiedź:
a) $x \in \{0, 6\}$
b) $x \in \{-8, 5\}$
c) $x \in \{-4, 7\}$
d) $x \in \{-5, 0, 5\}$
e) $x \in \{-\sqrt{5}, \sqrt{5}\}$
f) $x \in \{-3, 0, 4\}$

Zadanie 4 (3 pkt)

Wyznacz dziedzinę równania:

a) $\dfrac{3x}{x-5} = 0$

b) $\dfrac{2x-3}{5} = \dfrac{2}{x^2-4}$

c) $\dfrac{5}{2x^2} = 10$

d) $\dfrac{4-x}{x+3} = x-1$

e) $\dfrac{x+2}{x^2-16} = 2x-1$

f) $\dfrac{3}{5-x^2} = \dfrac{1}{x}$

Wskazówki:

Dziedzina równania wymiernego to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wyrażenia w mianownikach mają sens liczbowy (mianownik nie może być równy zeru).
Aby wyznaczyć dziedzinę, znajdź wartości argumentu $x$, dla których jakikolwiek mianownik zeruje się, a następnie wyklucz je ze zbioru $\mathbb{R}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie dziedziny dla podpunktu a):
W równaniu występuje jeden ułamek z mianownikiem $x-5$. Przyrównujemy mianownik do zera, aby wyznaczyć wartości wykluczone z dziedziny: $$ \begin{aligned} x - 5 &\neq 0 \\ x &\neq 5 \end{aligned} $$ Stąd dziedzina wynosi: $D = \mathbb{R} \setminus \{5\}$.
Wyznaczenie dziedziny dla podpunktu b):
Mianownik po prawej stronie równania wynosi $x^2 - 4$. Zapisujemy zastrzeżenie o niezerowaniu się mianownika: $$ \begin{aligned} x^2 - 4 &\neq 0 \\ (x - 2)(x + 2) &\neq 0 \\ x &\neq 2 \quad \text{oraz} \quad x \neq -2 \end{aligned} $$ Stąd dziedzina wynosi: $D = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$.
Wyznaczenie dziedziny dla podpunktu c):
Mianownik ułamka po lewej stronie równania to $2x^2$: $$ \begin{aligned} 2x^2 &\neq 0 \\ x^2 &\neq 0 \\ x &\neq 0 \end{aligned} $$ Stąd dziedzina wynosi: $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
Wyznaczenie dziedziny dla podpunktu d):
Mianownik po lewej stronie równania to $x+3$: $$ \begin{aligned} x + 3 &\neq 0 \\ x &\neq -3 \end{aligned} $$ Stąd dziedzina wynosi: $D = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$.
Wyznaczenie dziedziny dla podpunktu e):
Mianownik ułamka to $x^2 - 16$: $$ \begin{aligned} x^2 - 16 &\neq 0 \\ (x - 4)(x + 4) &\neq 0 \\ x &\neq 4 \quad \text{oraz} \quad x \neq -4 \end{aligned} $$ Stąd dziedzina wynosi: $D = \mathbb{R} \setminus \{-4, 4\}$.
Wyznaczenie dziedziny dla podpunktu f):
W tym równaniu występują dwa ułamki zawierające zmienną w mianowniku: $5 - x^2$ oraz $x$. Żaden z nich nie może być równy zeru: $$ \begin{aligned} 5 - x^2 &\neq 0 \implies x^2 \neq 5 \implies x \neq \sqrt{5} \quad \text{oraz} \quad x \neq -\sqrt{5} \\ x &\neq 0 \end{aligned} $$ Stąd dziedzina wynosi: $D = \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{5}, 0, \sqrt{5}\}$.

Odpowiedź:
a) $D = \mathbb{R} \setminus \{5\}$
b) $D = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$
c) $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$
d) $D = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$
e) $D = \mathbb{R} \setminus \{-4, 4\}$
f) $D = \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{5}, 0, \sqrt{5}\}$

Zadanie 5 (3 pkt)

Wyznacz dziedzinę równania:

a) $\dfrac{x}{x^2 + 4} = x + 2$

b) $\dfrac{3x}{x(x - 2)} = 0$

c) $\dfrac{2x - 4}{16 - x^2} = \dfrac{x^2}{x}$

d) $\dfrac{x}{(x - 3)^2} = \dfrac{5}{x^2 - 16}$

e) $\dfrac{\sqrt{x}}{x - 4} = 0$

f) $\dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{2}{9 - x^2}$

Wskazówki:

Dziedzina równania to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wszystkie wyrażenia występujące w równaniu mają sens matematyczny.
Mianownik dowolnego ułamka nie może być równy zero ($\text{mianownik} \neq 0$).
Wyrażenie znajdujące się pod pierwiastkiem kwadratowym musi być nieujemne ($\text{wnętrze} \ge 0$). Jeśli pierwiastek znajduje się dodatkowo w mianowniku, jego wnętrze musi być ściśle dodatnie ($\text{wnętrze} > 0$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczamy dziedzinę równania $\dfrac{x}{x^2 + 4} = x + 2$:
Jedynym ograniczeniem jest mianownik ułamka po lewej stronie. Musi być on różny od zera: $$x^2 + 4 \neq 0$$ Ponieważ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi $x^2 \ge 0$, to $x^2 + 4 \ge 4 > 0$. Wyrażenie $x^2 + 4$ jest zawsze dodatnie i nigdy nie równa się zero. Brak wykluczeń.
Dziedzina: $D = \mathbb{R}$
Podpunkt b) Wyznaczamy dziedzinę równania $\dfrac{3x}{x(x - 2)} = 0$:
Mianownik ułamka nie może być równy zero: $$x(x - 2) \neq 0$$ Iloczyn jest równy zero, gdy którykolwiek z czynników jest równy zero, zatem wykluczamy wartości: $$ \begin{aligned} x &\neq 0 \\ x - 2 &\neq 0 \implies x \neq 2 \end{aligned} $$ Dziedzina: $D = \mathbb{R} \setminus \{0, 2\}$
Podpunkt c) Wyznaczamy dziedzinę równania $\dfrac{2x - 4}{16 - x^2} = \dfrac{x^2}{x}$:
Oba mianowniki w równaniu muszą być różne od zera: $$16 - x^2 \neq 0 \quad \text{oraz} \quad x \neq 0$$ Rozkładamy pierwszy mianownik ze wzoru skróconego mnożenia: $$(4 - x)(4 + x) \neq 0 \implies x \neq 4 \quad \text{oraz} \quad x \neq -4$$ Uwzględniając również warunek $x \neq 0$, wykluczamy trzy liczby.
Dziedzina: $D = \mathbb{R} \setminus \{-4, 0, 4\}$
Podpunkt d) Wyznaczamy dziedzinę równania $\dfrac{x}{(x - 3)^2} = \dfrac{5}{x^2 - 16}$:
Sprawdzamy warunki dla obu mianowników: 1. $(x - 3)^2 \neq 0 \implies x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$
2. $x^2 - 16 \neq 0 \implies (x - 4)(x + 4) \neq 0 \implies x \neq 4 \quad \text{oraz} \quad x \neq -4$
Łączymy wykluczone wartości.
Dziedzina: $D = \mathbb{R} \setminus \{-4, 3, 4\}$
Podpunkt e) Wyznaczamy dziedzinę równania $\dfrac{\sqrt{x}}{x - 4} = 0$:
W tym podpunkcie występują dwa ograniczenia:
1. Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne: $x \ge 0$.
2. Mianownik musi być różny od zera: $x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$.
Łącząc warunek $x \in \langle 0, +\infty)$ oraz $x \neq 4$, otrzymujemy przedziały.
Dziedzina: $D = \langle 0, 4) \cup (4, +\infty)$
Podpunkt f) Wyznaczamy dziedzinę równania $\dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{2}{9 - x^2}$:
Mamy trzy warunki wynikające z obecności pierwiastka i mianowników:
1. Wyrażenie pod pierwiastkiem w mianowniku musi być ściśle dodatnie: $x > 0$.
2. Mianownik po prawej stronie musi być różny od zera: $9 - x^2 \neq 0 \implies (3 - x)(3 + x) \neq 0 \implies x \neq 3 \quad \text{oraz} \quad x \neq -3$.
Biorąc pod uwagę warunek $x > 0$, wykluczenie $x = -3$ jest automatycznie spełnione. Musimy jedynie wykluczyć $x = 3$ z przedziału $(0, +\infty)$.
Dziedzina: $D = (0, 3) \cup (3, +\infty)$

Odpowiedź:
a) $D = \mathbb{R}$
b) $D = \mathbb{R} \setminus \{0, 2\}$
c) $D = \mathbb{R} \setminus \{-4, 0, 4\}$
d) $D = \mathbb{R} \setminus \{-4, 3, 4\}$
e) $D = \langle 0, 4) \cup (4, +\infty)$
f) $D = (0, 3) \cup (3, +\infty)$

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2. Dziedziną równania jest zbiór $\mathbb{R}$. Sprawdź, czy podane obok liczby spełniają dane równanie:

a) $5 - x^2 = 2x + 2 \quad \quad -3, \, 0, \, 1$

b) $10 + x^3 = 4 - 5x \quad \quad -2, \, -1, \, 1$

c) $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 4} = 0 \quad \quad -3, \, 0, \, 3$

d) $\sqrt{\dfrac{x^4 + 8}{24}} = 0{,}5x \quad \quad -2, \, 0, \, 2$

Zadanie 2 (3 pkt)

Dziedziną równania jest zbiór $\mathbb{R}$. Wyznacz zbiór rozwiązań tego równania.

a) $7x = 2x$
b) $5(x - 1) = 0$
c) $(x - 5)^2 = 0$
d) $x^2 = -25$
e) $(x + 3)(x + 3) = 0$
f) $x^2 + 9 = 0$
g) $(x + 2)^2 = 0$
h) $x^2 = 5$
i) $x^2 = 0{,}09$

Zadanie 3 (3 pkt)

Dziedziną równania jest zbiór $\mathbb{R}$. Wyznacz zbiór rozwiązań tego równania.
a) $x(x + 7) = 0$
b) $(x - 12)(x + 3) = 0$
c) $(x - 2)(x + 6) = 0$
d) $5x^2(x^2 - 36) = 0$
e) $(x^2 - 3)(x^2 + 100) = 0$
f) $(x - 5)(x + 2)x = 0$

Zadanie 4 (3 pkt)

Wyznacz dziedzinę równania:

a) $\dfrac{5x}{x-7} = 0$

b) $\dfrac{x+4}{2} = \dfrac{3}{x^2-25}$

c) $\dfrac{7}{4x^2} = 2$

d) $\dfrac{8-x}{x+6} = x+2$

e) $\dfrac{x-1}{x^2-36} = 3x$

f) $\dfrac{2}{7-x^2} = \dfrac{5}{x}$

Zadanie 5 (3 pkt)

Wyznacz dziedzinę równania:

a) $\dfrac{2x}{x^2+9} = x - 4$

b) $\dfrac{5x}{x(x+3)} = 0$

c) $\dfrac{2x-1}{36-x^2} = \dfrac{x^3}{x}$

d) $\dfrac{x}{(x+2)^2} = \dfrac{1}{x^2-16}$

e) $\dfrac{\sqrt{x}}{x-4} = 0$

f) $\dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{2}{25-x^2}$

1.6 Przypomnienie i uzupełnienie informacji o równaniach

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋