Przekształcanie wzorów kartkówka LiczBit

2.13 Przekształcanie wzorów

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Z podanych wzorów wyznacz wskazane wielkości:

a) $v = \dfrac{s}{t}$; $s, t$

b) $P = U \cdot I$; $I$

c) $P \cdot t = m \cdot c \cdot T$; $P, T$

d) $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$; $k, m$

Wskazówki:

Aby wyznaczyć wielkość znajdującą się w liczniku ułamka, pomnóż obie strony równania przez mianownik.
Gdy szukana wielkość znajduje się w mianowniku, najpierw pomnóż obie strony przez ten mianownik, aby pozbyć się ułamka, a następnie podziel obie strony przez czynnik stojący przy szukanej.
W równaniach będących iloczynami wielkości wyizoluj poszukiwaną zmienną, dzieląc obie strony przez pozostałe czynniki.
Gdy szukana znajduje się pod znakiem pierwiastka kwadratowego, w pierwszej kolejności podnieś obie strony równania do kwadratu.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczamy wielkości $s$ oraz $t$ ze wzoru $v = \dfrac{s}{t}$:
W celu wyznaczenia drogi $s$ mnożymy obie strony równania przez mianownik $t$ (zakładając $t \neq 0$): $$v = \dfrac{s}{t} \quad \Big/ \cdot t$$ $$s = v \cdot t$$ Aby wyznaczyć czas $t$, przekształcamy otrzymaną zależność $s = v \cdot t$, dzieląc obie strony przez $v$ (zakładając $v \neq 0$): $$v \cdot t = s \quad \Big/ : v$$ $$t = \dfrac{s}{v}$$
Podpunkt b) Wyznaczamy wielkość $I$ ze wzoru $P = U \cdot I$:
Natężenie prądu $I$ jest jednym z czynników iloczynu po prawej stronie. Dzielimy obie strony równania przez napięcie $U$ (zakładając $U \neq 0$): $$P = U \cdot I \quad \Big/ : U$$ $$I = \dfrac{P}{U}$$
Podpunkt c) Wyznaczamy wielkości $P$ oraz $T$ ze wzoru $P \cdot t = m \cdot c \cdot T$:
W celu wyznaczenia mocy $P$ dzielimy obie strony równania przez czas $t$ (zakładając $t \neq 0$): $$P \cdot t = m \cdot c \cdot T \quad \Big/ : t$$ $$P = \dfrac{m \cdot c \cdot T}{t}$$ W celu wyznaczenia temperatury $T$ dzielimy wyjściowe równanie obustronnie przez iloczyn pozostałych czynników stojących przy $T$, czyli przez wyrażenie $m \cdot c$ (zakładając $m \cdot c \neq 0$): $$P \cdot t = m \cdot c \cdot T \quad \Big/ : (m \cdot c)$$ $$T = \dfrac{P \cdot t}{m \cdot c}$$
Podpunkt d) Wyznaczamy wielkości $k$ oraz $m$ ze wzoru $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$:
W pierwszym kroku podnosimy obie strony równania do kwadratu (przy założeniach $\omega > 0$ oraz $\dfrac{k}{m} \ge 0$), aby usunąć pierwiastek kwadratowy: $$\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} \quad \Big/ ()^2$$ $$\omega^2 = \dfrac{k}{m}$$ Aby wyznaczyć współczynnik $k$, mnożymy obie strony przez mianownik $m$ (zakładając $m \neq 0$): $$\omega^2 = \dfrac{k}{m} \quad \Big/ \cdot m$$ $$k = \omega^2 \cdot m$$ Aby wyznaczyć masę $m$, przekształcamy postać $\omega^2 \cdot m = k$, dzieląc obie strony przez $\omega^2$ (zakładając $\omega \neq 0$): $$\omega^2 \cdot m = k \quad \Big/ : \omega^2$$ $$m = \dfrac{k}{\omega^2}$$

Odpowiedź:
a) $s = v \cdot t$, $t = \dfrac{s}{v}$

b) $I = \dfrac{P}{U}$

c) $P = \dfrac{m \cdot c \cdot T}{t}$, $T = \dfrac{P \cdot t}{m \cdot c}$

d) $k = \omega^2 \cdot m$, $m = \dfrac{k}{\omega^2}$

Zadanie 2

Z podanych wzorów wyznacz wskazane wielkości:

a) $s = s_0 + v \cdot t$; $\quad s_0, t$

b) $v = v_0 - g \cdot t$; $\quad v_0, g$

c) $\eta = \dfrac{W_u}{W_u + W_s} \cdot 100\%$; $\quad W_s, W_u$

d) $I_1 \cdot \omega_1 + I_2 \cdot \omega_2 = (I_1 + I_2) \cdot \omega_3$; $\quad \omega_1, \omega_3, I_1$

Wskazówki:

Szukaną wielkość traktuj jak niewiadomą w standardowym równaniu, a wszystkie pozostałe litery jak wiadome stałe.
Wykonuj równoważne przekształcenia algebraiczne: dodawanie, odejmowanie, mnożenie lub dzielenie obu stron równania przez to samo wyrażenie (różne od zera).
Jeśli szukana zmienna znajduje się w mianowniku ułamka, pomnóż obie strony równania przez cały mianownik, aby pozbyć się kreski ułamkowej.
Gdy szukana zmienna występuje w więcej niż jednym wyrazie, przenieś wszystkie wyrazy z tą zmienną na jedną stronę równania, pozostałe wyrazy na drugą stronę, a następnie wyłącz szukaną wielkość przed nawias.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie wielkości $s_0$ oraz $t$ ze wzoru wyjściowego $s = s_0 + v \cdot t$:
W celu wyznaczenia $s_0$ odejmujemy od obu stron równania iloczyn $v \cdot t$: $$ \begin{aligned} s &= s_0 + v \cdot t \quad \Big/ - v \cdot t \\[8pt] s - v \cdot t &= s_0 \end{aligned} $$ Otrzymujemy: $$s_0 = s - v \cdot t$$ Aby z równania wyjściowego wyznaczyć $t$, najpierw odejmujemy obustronnie $s_0$, izolując wyraz z czasem $t$: $$ \begin{aligned} s &= s_0 + v \cdot t \quad \Big/ - s_0 \\[8pt] s - s_0 &= v \cdot t \end{aligned} $$ Następnie dzielimy obie strony równania przez $v$ (przy założeniu $v \neq 0$): $$t = \dfrac{s - s_0}{v}$$
Podpunkt b) Wyznaczenie wielkości $v_0$ oraz $g$ ze wzoru wyjściowego $v = v_0 - g \cdot t$:
Aby wyznaczyć $v_0$, dodajemy do obu stron równania iloczyn $g \cdot t$: $$ \begin{aligned} v &= v_0 - g \cdot t \quad \Big/ + g \cdot t \\[8pt] v + g \cdot t &= v_0 \end{aligned} $$ Czyli: $$v_0 = v + g \cdot t$$ W celu wyznaczenia $g$ przenosimy wyraz $g \cdot t$ na lewą stronę ze znakiem dodatnim, a prędkość $v$ na prawą stronę: $$ \begin{aligned} v + g \cdot t &= v_0 \quad \Big/ - v \\[8pt] g \cdot t &= v_0 - v \end{aligned} $$ Dzielimy obie strony przez czas $t$ (dla $t \neq 0$): $$g = \dfrac{v_0 - v}{t}$$
Podpunkt c) Wyznaczenie wielkości $W_s$ oraz $W_u$ ze wzoru wyjściowego $\eta = \dfrac{W_u}{W_u + W_s} \cdot 100\%$:
Aby wyznaczyć $W_s$, najpierw dzielimy obie strony równania przez $100\%$: $$\dfrac{\eta}{100\%} = \dfrac{W_u}{W_u + W_s}$$ Mnożymy obie strony równania przez mianownik $(W_u + W_s)$: $$\dfrac{\eta}{100\%} \cdot (W_u + W_s) = W_u$$ Wymnażamy nawias: $$\dfrac{\eta}{100\%} \cdot W_u + \dfrac{\eta}{100\%} \cdot W_s = W_u$$ Przenosimy wyraz zawierający $W_u$ na prawą stronę: $$\dfrac{\eta}{100\%} \cdot W_s = W_u - \dfrac{\eta}{100\%} \cdot W_u$$ Wyłączamy $W_u$ przed nawias i sprowadzamy do wspólnego mianownika: $$ \begin{aligned} \dfrac{\eta}{100\%} \cdot W_s &= W_u \left(1 - \dfrac{\eta}{100\%}\right) \\[8pt] \dfrac{\eta}{100\%} \cdot W_s &= W_u \cdot \dfrac{100\% - \eta}{100\%} \end{aligned} $$ Mnożymy obie strony przez $100\%$, a następnie dzielimy przez $\eta$ (dla $\eta \neq 0$): $$ \begin{aligned} \eta \cdot W_s &= W_u (100\% - \eta) \\[8pt] W_s &= \dfrac{W_u (100\% - \eta)}{\eta} \end{aligned} $$ W celu wyznaczenia $W_u$ wracamy do postaci po wymnożeniu przez mianownik i pomnożeniu przez $100\%$: $$\eta \cdot (W_u + W_s) = 100\% \cdot W_u$$ Rozwijamy nawias po lewej stronie: $$\eta \cdot W_u + \eta \cdot W_s = 100\% \cdot W_u$$ Grupujemy wszystkie wyrazy z $W_u$ po prawej stronie: $$ \begin{aligned} \eta \cdot W_s &= 100\% \cdot W_u - \eta \cdot W_u \\[8pt] \eta \cdot W_s &= W_u (100\% - \eta) \end{aligned} $$ Dzielimy obie strony przez nawias $(100\% - \eta)$ (zakładając $\eta \neq 100\%$): $$W_u = \dfrac{\eta \cdot W_s}{100\% - \eta}$$
Podpunkt d) Wyznaczenie wielkości $\omega_1$, $\omega_3$ oraz $I_1$ ze wzoru wyjściowego $I_1 \cdot \omega_1 + I_2 \cdot \omega_2 = (I_1 + I_2) \cdot \omega_3$:
W celu wyznaczenia $\omega_1$ odejmujemy od obu stron równania wyraz $I_2 \cdot \omega_2$: $$I_1 \cdot \omega_1 = (I_1 + I_2) \cdot \omega_3 - I_2 \cdot \omega_2$$ Dzielimy obie strony przez $I_1$ (zakładając $I_1 \neq 0$): $$\omega_1 = \dfrac{(I_1 + I_2) \cdot \omega_3 - I_2 \cdot \omega_2}{I_1}$$ Aby wyznaczyć $\omega_3$, dzielimy wyjściowe równanie obustronnie przez całą sumę $(I_1 + I_2)$: $$\omega_3 = \dfrac{I_1 \cdot \omega_1 + I_2 \cdot \omega_2}{I_1 + I_2}$$ Aby wyznaczyć $I_1$, najpierw wymnażamy nawias po prawej stronie równania wyjściowego: $$I_1 \cdot \omega_1 + I_2 \cdot \omega_2 = I_1 \cdot \omega_3 + I_2 \cdot \omega_3$$ Przenosimy wszystkie wyrazy zawierające $I_1$ na lewą stronę, a pozostałe na prawą: $$I_1 \cdot \omega_1 - I_1 \cdot \omega_3 = I_2 \cdot \omega_3 - I_2 \cdot \omega_2$$ Wyłączamy $I_1$ po lewej oraz $I_2$ po prawej stronie przed nawias: $$I_1 (\omega_1 - \omega_3) = I_2 (\omega_3 - \omega_2)$$ Dzielimy obie strony przez dwumian $(\omega_1 - \omega_3)$ (zakładając $\omega_1 \neq \omega_3$): $$I_1 = \dfrac{I_2 (\omega_3 - \omega_2)}{\omega_1 - \omega_3}$$

Odpowiedź:
a) $s_0 = s - v \cdot t$, $\quad t = \dfrac{s - s_0}{v}$

b) $v_0 = v + g \cdot t$, $\quad g = \dfrac{v_0 - v}{t}$

c) $W_s = \dfrac{W_u (100\% - \eta)}{\eta}$, $\quad W_u = \dfrac{\eta \cdot W_s}{100\% - \eta}$

d) $\omega_1 = \dfrac{(I_1 + I_2) \cdot \omega_3 - I_2 \cdot \omega_2}{I_1}$, $\quad \omega_3 = \dfrac{I_1 \cdot \omega_1 + I_2 \cdot \omega_2}{I_1 + I_2}$, $\quad I_1 = \dfrac{I_2 (\omega_3 - \omega_2)}{\omega_1 - \omega_3}$

Zadanie 3

Z podanych wzorów wyznacz wskazane wielkości:

a) $P = \dfrac{a \cdot h}{2}; \quad h$

b) $P = a^2 \cdot \sqrt{3}; \quad a \ (a > 0)$

c) $H = \dfrac{a \cdot \sqrt{6}}{3}; \quad a$

d) $V = \dfrac{a^3 \cdot \sqrt{2}}{3}; \quad a$

Wskazówki:

Aby wyznaczyć wskazaną wielkość, wykonuj obustronne operacje algebraiczne (mnożenie lub dzielenie), dążąc do wyizolowania szukanej zmiennej po jednej stronie równości.
Jeśli w mianowniku ułamka pojawia się pierwiastek, usuń niewymierność, mnożąc licznik i mianownik przez odpowiedni czynnik.
Gdy szukana zmienna występuje w potędze (np. $a^2$ lub $a^3$), wyciągnij z obu stron równania pierwiastek odpowiedniego stopnia, uwzględniając podane w zadaniu założenia (np. $a > 0$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczamy wielkość $h$ ze wzoru $P = \dfrac{a \cdot h}{2}$:
Mnożymy obie strony równania przez $2$, aby pozbyć się mianownika: $$2P = a \cdot h$$ Dzielimy obie strony równania przez $a$ (przy założeniu $a \neq 0$): $$h = \dfrac{2P}{a}$$
Podpunkt b) Wyznaczamy wielkość $a$ ze wzoru $P = a^2 \cdot \sqrt{3}$ przy założeniu $a > 0$:
Dzielimy obie strony równania przez $\sqrt{3}$: $$a^2 = \dfrac{P}{\sqrt{3}}$$ Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez $\sqrt{3}$: $$a^2 = \dfrac{P \cdot \sqrt{3}}{3}$$ Ponieważ z treści zadania wynika, że $a > 0$, pierwiastkujemy obie strony równania pierwiastkiem kwadratowym: $$a = \sqrt{\dfrac{P\sqrt{3}}{3}}$$
Podpunkt c) Wyznaczamy wielkość $a$ ze wzoru $H = \dfrac{a \cdot \sqrt{6}}{3}$:
Mnożymy obie strony równania przez $3$: $$3H = a \cdot \sqrt{6}$$ Dzielimy obie strony równania przez $\sqrt{6}$: $$a = \dfrac{3H}{\sqrt{6}}$$ Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik oraz mianownik ułamka przez $\sqrt{6}$: $$\begin{aligned} a &= \dfrac{3H \cdot \sqrt{6}}{6} \\[8pt] &= \dfrac{H\sqrt{6}}{2} \end{aligned}$$
Podpunkt d) Wyznaczamy wielkość $a$ ze wzoru $V = \dfrac{a^3 \cdot \sqrt{2}}{3}$:
Mnożymy obie strony równania przez $3$: $$3V = a^3 \cdot \sqrt{2}$$ Dzielimy obie strony równania przez $\sqrt{2}$: $$a^3 = \dfrac{3V}{\sqrt{2}}$$ Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez $\sqrt{2}$: $$a^3 = \dfrac{3V \cdot \sqrt{2}}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}V}{2}$$ Wyciągamy pierwiastek sześcienny (trzeciego stopnia) z obu stron równania: $$a = \sqrt[3]{\dfrac{3\sqrt{2}V}{2}}$$

Odpowiedź:
a) $h = \dfrac{2P}{a}$

b) $a = \sqrt{\dfrac{P\sqrt{3}}{3}}$

c) $a = \dfrac{H\sqrt{6}}{2}$

d) $a = \sqrt[3]{\dfrac{3\sqrt{2}V}{2}}$

Zadanie 4

Z podanych wzorów wyznacz wskazane wielkości:

a) $S = \dfrac{u + v}{2} \cdot t$; $u, t$

b) $P = \pi \cdot r \cdot (r + l)$; $l$

c) $K = 2 \cdot (x \cdot y + y \cdot z + x \cdot z)$; $x$

d) $W = \dfrac{(p + q + r)}{2} \cdot \dfrac{(p + q - r)}{2}$; $p, r \ (p, q, r > 0)$

Wskazówki:

Aby wyznaczyć zmienną uwięzioną w ułamku, najpierw pomnóż obie strony równania przez mianownik.
Jeśli szukana zmienna występuje w kilku składnikach, pogrupuj je po jednej stronie równania i wyłącz szukaną przed nawias.
W iloczynie sumy i różnicy tych samych wyrażeń zastosuj wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$.
Gdy pierwiastkujesz obustronnie równanie zawierające kwadrat szukanej wielkości, zwróć uwagę na założenia o dodatniości zmiennych.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie wielkości $u$ oraz $t$ ze wzoru $S = \dfrac{u + v}{2} \cdot t$:
W pierwszym kroku mnożymy obie strony równania przez $2$, aby pozbyć się ułamka: $$2S = (u + v) \cdot t$$ Aby wyznaczyć $t$, dzielimy obie strony przez sumę $(u + v)$ (przy założeniu $u + v \neq 0$): $$t = \dfrac{2S}{u + v}$$ Aby wyznaczyć $u$, wracamy do postaci po pomnożeniu przez $2$ i dzielimy obie strony przez $t$ (przy założeniu $t \neq 0$): $$\dfrac{2S}{t} = u + v$$ Odejmujemy $v$ od obu stron i sprowadzamy wyrażenie do wspólnego mianownika: $$\begin{aligned} u &= \dfrac{2S}{t} - v \\[8pt] &= \dfrac{2S - v \cdot t}{t} \end{aligned}$$
Podpunkt b) Wyznaczenie wielkości $l$ ze wzoru $P = \pi \cdot r \cdot (r + l)$:
Dzielimy obie strony równania przez iloczyn stojący przed nawiasem, czyli $\pi \cdot r$ (przy założeniu $r \neq 0$): $$\dfrac{P}{\pi \cdot r} = r + l$$ Odejmujemy obustronnie $r$, aby wyizolować $l$: $$l = \dfrac{P}{\pi \cdot r} - r$$ Sprowadzamy prawą stronę do wspólnego mianownika: $$\begin{aligned} l &= \dfrac{P}{\pi \cdot r} - \dfrac{\pi \cdot r^2}{\pi \cdot r} \\[8pt] &= \dfrac{P - \pi \cdot r^2}{\pi \cdot r} \end{aligned}$$
Podpunkt c) Wyznaczenie wielkości $x$ ze wzoru $K = 2 \cdot (x \cdot y + y \cdot z + x \cdot z)$:
Dzielimy obie strony równania przez $2$: $$\dfrac{K}{2} = x \cdot y + y \cdot z + x \cdot z$$ Przenosimy składnik niezawierający $x$ (czyli $y \cdot z$) na lewą stronę równania: $$\dfrac{K}{2} - y \cdot z = x \cdot y + x \cdot z$$ Wyłączamy $x$ przed nawias po prawej stronie: $$\dfrac{K}{2} - y \cdot z = x \cdot (y + z)$$ Sprowadzamy lewą stronę do wspólnego mianownika: $$\dfrac{K - 2 \cdot y \cdot z}{2} = x \cdot (y + z)$$ Dzielimy obie strony przez sumę $(y + z)$ (przy założeniu $y + z \neq 0$): $$x = \dfrac{K - 2 \cdot y \cdot z}{2(y + z)}$$
Podpunkt d) Wyznaczenie wielkości $p$ oraz $r$ ze wzoru $W = \dfrac{(p + q + r)}{2} \cdot \dfrac{(p + q - r)}{2}$:
Wymnażamy ułamki, zauważając w liczniku postać iloczynu sumy i różnicy dla wyrażeń $(p + q)$ oraz $r$: $$\begin{aligned} W &= \dfrac{[(p + q) + r] \cdot [(p + q) - r]}{4} \\[8pt] W &= \dfrac{(p + q)^2 - r^2}{4} \end{aligned}$$ Mnożymy obie strony przez $4$: $$4W = (p + q)^2 - r^2$$ Aby wyznaczyć $r$, przenosimy $r^2$ na lewą stronę, a $4W$ na prawą stronę: $$r^2 = (p + q)^2 - 4W$$ Z treści zadania wiemy, że $r > 0$, więc po spierwiastkowaniu obu stron bierzemy wyłącznie pierwiastek dodatni: $$r = \sqrt{(p + q)^2 - 4W}$$ Aby wyznaczyć $p$, wracamy do równania $4W = (p + q)^2 - r^2$ i izolujemy kwadrat sumy: $$(p + q)^2 = 4W + r^2$$ Ponieważ $p, q > 0$, zachodzi $p + q > 0$. Pierwiastkujemy obustronnie: $$p + q = \sqrt{4W + r^2}$$ Odejmujemy $q$ od obu stron: $$p = \sqrt{4W + r^2} - q$$

Odpowiedź:
a) $t = \dfrac{2S}{u + v}$, $u = \dfrac{2S - v \cdot t}{t}$

b) $l = \dfrac{P - \pi \cdot r^2}{\pi \cdot r}$

c) $x = \dfrac{K - 2 \cdot y \cdot z}{2(y + z)}$

d) $r = \sqrt{(p + q)^2 - 4W}$, $p = \sqrt{4W + r^2} - q$

Grupa B

Zadanie 1

Z podanych wzorów wyznacz wskazane wielkości:

a) $\rho = \dfrac{m}{V}$; $m, V$

b) $W = F \cdot s$; $F$

c) $F \cdot s = m \cdot g \cdot h$; $s, h$

d) $T = \sqrt{\dfrac{l}{g}}$; $l, g$

Zadanie 2

Z podanych wzorów wyznacz wskazane wielkości:

a) $x = x_0 + v_x \cdot t$; $\quad x_0, v_x$

b) $\omega = \omega_0 - \varepsilon \cdot t$; $\quad \omega_0, t$

c) $w = \dfrac{m_A}{m_A + m_B} \cdot 100\%$; $\quad m_B, m_A$

d) $m_A \cdot v_A + m_B \cdot v_B = (m_A + m_B) \cdot v_k$; $\quad v_A, v_k, m_A$

Zadanie 3

Z podanych wzorów wyznacz wskazane wielkości:

a) $P = \dfrac{e \cdot f}{2}; \quad f$

b) $P = \dfrac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{6}; \quad a \ (a > 0)$

c) $r = \dfrac{a \cdot \sqrt{6}}{12}; \quad a$

d) $V = \dfrac{1}{6} \cdot a^3 \cdot \sqrt{2}; \quad a$

Zadanie 4

Z podanych wzorów wyznacz wskazane wielkości:

a) $V = \dfrac{k + m}{2} \cdot h$; $k, h$

b) $P = 2 \cdot \pi \cdot R \cdot (R + H)$; $H$

c) $M = 2 \cdot (a \cdot b + b \cdot c + a \cdot c)$; $c$

d) $F = \dfrac{(x + y + z)}{2} \cdot \dfrac{(x + y - z)}{2}$; $x, z \ (x, y, z > 0)$

2.13 Przekształcanie wzorów

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋