Przedziały LiczBit

1.4 Przedziały

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zaznacz na osi liczbowej zbiory $A$ i $B$, a następnie wyznacz zbiory $A \cup B$ oraz $A \cap B$:

a) $A = \langle -3, 2), \quad B = (1, 5\rangle$
b) $A = (-\infty, 3\rangle, \quad B = \langle 3, 7\rangle$
c) $A = (\sqrt{5}, +\infty), \quad B = (-2, 3)$
d) $A = (-\infty, \pi), \quad B = \left(-\infty, 3\dfrac{1}{4}\right\rangle$

Wskazówki:

Suma przedziałów $A \cup B$: zbiór wszystkich liczb, które należą do przedziału $A$ lub do przedziału $B$ (łączymy oba zakresy w jeden ciągły obszar lub sumę obszarów).
Iloczyn (część wspólna) przedziałów $A \cap B$: zbiór tych liczb, które należą jednocześnie do zbioru $A$ i do zbioru $B$ (obszar, w którym oba przedziały na osi zachodzą na siebie).
Zwracaj uwagę na nawiasy: nawias ostry $\langle$ lub $\rangle$ oznacza koniec domknięty (kółko zamalowane – liczba należy do zbioru), a nawias okrągły $($ lub $)$ oznacza koniec otwarty (kółko puste – liczba nie należy do zbioru).
Przed zaznaczeniem liczb niewymiernych oszacuj ich wartość dziesiętną, np. $\sqrt{5} \approx 2{,}24$ oraz $\pi \approx 3{,}14$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Analiza przedziałów $A = \langle -3, 2)$ oraz $B = (1, 5\rangle$:
Zaznaczamy zbiór $A$ na osi liczbowej od liczby $-3$ (kółko zamalowane) do liczby $2$ (kółko puste). Następnie zaznaczamy zbiór $B$ od liczby $1$ (kółko puste) do liczby $5$ (kółko zamalowane).

Suma zbiorów $A \cup B$ obejmuje wszystkie liczby od najmniejszego lewego końca do największego prawego: $$A \cup B = \langle -3, 5\rangle$$ Część wspólna $A \cap B$ to odcinek nakładania się obu przedziałów, czyli liczby większe od $1$ i mniejsze od $2$: $$A \cap B = (1, 2)$$
Podpunkt b) Analiza przedziałów $A = (-\infty, 3\rangle$ oraz $B = \langle 3, 7\rangle$:
Zbiór $A$ to półprosta biegnąca od $-\infty$ do liczby $3$ włącznie (kółko zamalowane). Zbiór $B$ to przedział od liczby $3$ włącznie (kółko zamalowane) do $7$ włącznie (kółko zamalowane).

Ponieważ oba przedziały łączą się dokładnie w punkcie $3$ i oba go zawierają, ich suma tworzy jedną spójną półprostą: $$A \cup B = (-\infty, 7\rangle$$ Jedyną liczbą należącą jednocześnie do obu zbiorów jest liczba $3$, zatem iloczyn składa się z jednego elementu: $$A \cap B = \{3\}$$
Podpunkt c) Analiza przedziałów $A = (\sqrt{5}, +\infty)$ oraz $B = (-2, 3)$:
Szacujemy wartość pierwiastka: ponieważ $4 < 5 < 9$, to $2 < \sqrt{5} < 3$ (dokładniej $\sqrt{5} \approx 2{,}24$). Oznacza to, że punkt $\sqrt{5}$ leży wewnątrz przedziału $(-2, 3)$. Oba końce zbiorów są otwarte (kółka puste).

Suma zbiorów rozpoczyna się od lewego krańca zbioru $B$, czyli $-2$, i biegnie w nieskończoność w prawo dzięki zbiorowi $A$: $$A \cup B = (-2, +\infty)$$ Część wspólna to zakres od $\sqrt{5}$ do $3$: $$A \cap B = (\sqrt{5}, 3)$$
Podpunkt d) Analiza przedziałów $A = (-\infty, \pi)$ oraz $B = \left(-\infty, 3\dfrac{1}{4}\right\rangle$:
Porównujemy wartości prawych krańców: liczba $\pi \approx 3{,}1416$, natomiast ułamek $3\dfrac{1}{4} = 3{,}25$. Ponieważ $3{,}1416 < 3{,}25$, punkt $\pi$ leży na osi liczbowej na lewo od punktu $3\dfrac{1}{4}$. Zbiór $A$ jest więc właściwym podzbiorem zbioru $B$ ($A \subset B$).

Suma przedziałów to zbiór szerszy, czyli $B$: $$A \cup B = \left(-\infty, 3\dfrac{1}{4}\right\rangle$$ Część wspólna to zbiór węższy, czyli $A$: $$A \cap B = (-\infty, \pi)$$

Odpowiedź:
a) $A \cup B = \langle -3, 5\rangle, \quad A \cap B = (1, 2)$
b) $A \cup B = (-\infty, 7\rangle, \quad A \cap B = \{3\}$
c) $A \cup B = (-2, +\infty), \quad A \cap B = (\sqrt{5}, 3)$
d) $A \cup B = \left(-\infty, 3\dfrac{1}{4}\right\rangle, \quad A \cap B = (-\infty, \pi)$

Zadanie 2 (3 pkt)

Zaznacz na osi liczbowej zbiory $A$ i $B$, a następnie wyznacz zbiory $A \setminus B$ oraz $B \setminus A$, jeśli:

a) $A = \langle -4, 2\rangle, \quad B = (-1, 5)$
b) $A = (2, 8\rangle, \quad B = \langle 2, 6\rangle$
c) $A = (-\infty, 3), \quad B = \langle \sqrt{5}, +\infty)$
d) $A = (-3, 7), \quad B = (0, 4\rangle$

Wskazówki:

Różnica zbiorów $A \setminus B$ to zbiór wszystkich elementów, które należą do zbioru $A$ i jednocześnie nie należą do zbioru $B$. Powstaje przez usunięcie ze zbioru $A$ jego części wspólnej ze zbiorem $B$.
Szczególną uwagę zwracaj na punkty brzegowe przedziałów: jeśli liczba brzegowa należy do odejmowanego zbioru, to zostaje usunięta i brzeg w różnicy staje się otwarty; jeśli nie należała do odejmowanego zbioru (nawias był przy niej otwarty), to pozostaje w różnicy i brzeg jest domknięty (o ile należała do zbioru wyjściowego).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) – analiza zbiorów $A = \langle -4, 2\rangle$ oraz $B = (-1, 5)$:
Zaznaczamy oba przedziały na osi liczbowej. Zbiór $A$ jest obustronnie domknięty (końce $-4$ i $2$ należą do zbioru, zaznaczamy je pełnymi kropkami). Zbiór $B$ jest obustronnie otwarty (końce $-1$ i $5$ nie należą do zbioru, zaznaczamy je kółkami pustymi).

Wyznaczamy $A \setminus B$: usuwamy ze zbioru $A$ liczby wchodzące do $B$. Zbiór $B$ zaczyna się tuż za liczbą $-1$ (ponieważ jest otwarty, liczba $-1 \notin B$). Oznacza to, że $-1$ nie zostaje odjęta i pozostaje w zbiorze $A$. Otrzymujemy przedział od $-4$ do $-1$ włącznie: $$A \setminus B = \langle -4, -1\rangle$$ Wyznaczamy $B \setminus A$: usuwamy ze zbioru $B$ liczby należące do $A$. Zbiór $A$ kończy się na liczbie $2$ włącznie ($2 \in A$), zatem liczba $2$ zostaje zabrana ze zbioru $B$. W rezultacie brzeg przy liczbie $2$ staje się otwarty: $$B \setminus A = (2, 5)$$
Podpunkt b) – analiza zbiorów $A = (2, 8\rangle$ oraz $B = \langle 2, 6\rangle$:
Zbiór $A$ jest lewostronnie otwarty przy liczbie $2$ i prawostronnie domknięty przy $8$. Zbiór $B$ jest obustronnie domknięty przy $2$ oraz $6$.

Wyznaczamy $A \setminus B$: ze zbioru $A$ odcinamy część wspólną $(2, 6\rangle$. Ponieważ liczba $6 \in B$, zostaje usunięta z $A$, co czyni przedział przy liczbie $6$ otwartym: $$A \setminus B = (6, 8\rangle$$ Wyznaczamy $B \setminus A$: szukamy liczb, które należą do $B$, a nie należą do $A$. Zauważmy, że liczba $2 \in B$ (brzeg domknięty), natomiast $2 \notin A$ (brzeg otwarty). Każda inna liczba ze zbioru $B$ leży w przedziale $(2, 6\rangle$ i należy do $A$. Zatem jedynym elementem różnicy jest pojedyncza liczba $2$: $$B \setminus A = \{2\}$$
Podpunkt c) – analiza zbiorów $A = (-\infty, 3)$ oraz $B = \langle \sqrt{5}, +\infty)$:
Szacujemy wartość pierwiastka: $2 < \sqrt{5} < 3$ (dokładniej $\sqrt{5} \approx 2{,}24$), zatem liczba $\sqrt{5}$ leży na lewo od $3$. Przedziały częściowo na siebie nachodzą.

Wyznaczamy $A \setminus B$: odrzucamy ze zbioru $A$ liczby większe bądź równe $\sqrt{5}$. Ponieważ $\sqrt{5} \in B$, zostaje zabrana ze zbioru $A$, więc w różnicy prawy koniec przedziału staje się otwarty: $$A \setminus B = (-\infty, \sqrt{5})$$ Wyznaczamy $B \setminus A$: ze zbioru $B$ usuwamy liczby mniejsze od $3$. Ponieważ liczba $3$ nie należała do $A$ (przedział w $A$ był otwarty), nie zostaje usunięta z $B$ i pozostaje w różnicy jako element domknięty: $$B \setminus A = \langle 3, +\infty)$$
Podpunkt d) – analiza zbiorów $A = (-3, 7)$ oraz $B = (0, 4\rangle$:
Zauważmy, że przedział $B = (0, 4\rangle$ leży w całości wewnątrz przedziału $A = (-3, 7)$, czyli zachodzi zawieranie $B \subset A$.

Wyznaczamy $A \setminus B$: „wycięcie” zbioru $B$ ze środka zbioru $A$ dzieli go na dwa rozłączne przedziały. Liczba $0 \notin B$ (brzeg otwarty), więc nie zostaje usunięta z $A$ i zamyka lewą część. Liczba $4 \in B$ (brzeg domknięty), więc zostaje usunięta z $A$ i otwiera prawą część: $$A \setminus B = (-3, 0\rangle \cup (4, 7)$$ Wyznaczamy $B \setminus A$: ponieważ każdy element zbioru $B$ jest jednocześnie elementem zbioru $A$, po usunięciu ze zbioru $B$ wszystkich liczb należących do $A$ nie pozostaje żaden element: $$B \setminus A = \emptyset$$

Odpowiedź:
a) $A \setminus B = \langle -4, -1\rangle, \quad B \setminus A = (2, 5)$
b) $A \setminus B = (6, 8\rangle, \quad B \setminus A = \{2\}$
c) $A \setminus B = (-\infty, \sqrt{5}), \quad B \setminus A = \langle 3, +\infty)$
d) $A \setminus B = (-3, 0\rangle \cup (4, 7), \quad B \setminus A = \emptyset$

Zadanie 3 (3 pkt)

Zaznacz na osi liczbowej zbiory $A$ i $B$, a następnie wyznacz zbiory: $A \cup B$, $A \cap B$, $A \setminus B$, $B \setminus A$, jeśli:

a) $A = (-2, 3\rangle, \quad B = \langle 1, 5\rangle$
b) $A = (-3, 2), \quad B = \langle 2, 6)$
c) $A = (-\infty, 5\rangle, \quad B = (2, 8\rangle$
d) $A = (1, +\infty), \quad B = (-\infty, 4\rangle$

Wskazówki:

Suma ($A \cup B$): zbiór wszystkich elementów, które należą do zbioru $A$ lub do zbioru $B$ (łączymy oba zakresy w jeden).
Iloczyn ($A \cap B$): część wspólna, czyli elementy należące jednocześnie do obu zbiorów.
Różnica ($A \setminus B$): elementy zbioru $A$, które nie należą do $B$. Jeśli kraniec odejmowanego zbioru $B$ do niego należał, to w różnicy ten punkt znika (przedział staje się otwarty); jeśli do $B$ nie należał, to pozostaje w $A$ (przedział staje się domknięty).
Różnica ($B \setminus A$): elementy zbioru $B$, które nie należą do $A$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) – wyznaczenie działań dla $A = (-2, 3\rangle$ oraz $B = \langle 1, 5\rangle$:
Rysujemy oba zbiory na osi liczbowej. Zbiór $A$ ma lewy kraniec otwarty w liczbie $-2$ i prawy domknięty w liczbie $3$. Zbiór $B$ jest obustronnie domknięty w liczbach $1$ i $5$.

Odczytujemy wyniki poszczególnych działań: $$A \cup B = (-2, 5\rangle$$ $$A \cap B = \langle 1, 3\rangle$$ Dla różnicy $A \setminus B$: odrzucamy ze zbioru $A$ liczby należące do $B$. Ponieważ $1 \in B$, liczba $1$ zostaje odjęta, więc prawy kraniec staje się otwarty: $$A \setminus B = (-2, 1)$$ Dla różnicy $B \setminus A$: odrzucamy ze zbioru $B$ liczby należące do $A$. Ponieważ $3 \in A$, liczba $3$ zostaje odjęta, więc lewy kraniec staje się otwarty: $$B \setminus A = (3, 5\rangle$$
Podpunkt b) – wyznaczenie działań dla $A = (-3, 2)$ oraz $B = \langle 2, 6)$:
Zbiory stykają się w punkcie $2$. W zbiorze $A$ punkt $2$ jest otwarty ($2 \notin A$), a w zbiorze $B$ jest domknięty ($2 \in B$).

Ponieważ liczba $2$ należy do zbioru $B$, suma tworzy ciągły przedział otwarty: $$A \cup B = (-3, 6)$$ Zbiory nie mają żadnego wspólnego elementu (liczba $2$ nie należy do $A$): $$A \cap B = \emptyset$$ Odejmując zbiór rozłączny, nic nie usuwamy: $$A \setminus B = (-3, 2)$$ $$B \setminus A = \langle 2, 6)$$
Podpunkt c) – wyznaczenie działań dla $A = (-\infty, 5\rangle$ oraz $B = (2, 8\rangle$:
Zbiór $A$ to półprosta lewostronnie nieograniczona zakończona domkniętym punktem $5$. Zbiór $B$ to przedział lewostronnie otwarty w $2$ i prawostronnie domknięty w $8$.

Suma obejmuje wszystkie liczby od $-\infty$ aż do $8$ włącznie: $$A \cup B = (-\infty, 8\rangle$$ Część wspólna to nakładający się odcinek od $2$ do $5$: $$A \cap B = (2, 5\rangle$$ W różnicy $A \setminus B$ usuwamy liczby ze zbioru $B$. Ponieważ liczba $2 \notin B$, nie zostaje usunięta ze zbioru $A$, zamykając przedział: $$A \setminus B = (-\infty, 2\rangle$$ W różnicy $B \setminus A$ usuwamy liczby ze zbioru $A$. Liczba $5 \in A$, więc zostaje usunięta ze zbioru $B$, otwierając przedział: $$B \setminus A = (5, 8\rangle$$
Podpunkt d) – wyznaczenie działań dla $A = (1, +\infty)$ oraz $B = (-\infty, 4\rangle$:
Zbiór $A$ to półprosta skierowana w prawo od liczby $1$ (otwarta), a zbiór $B$ to półprosta skierowana w lewo od liczby $4$ (domknięta).

Ponieważ półproste zachodzą na siebie, ich suma pokrywa cały zbiór liczb rzeczywistych: $$A \cup B = \mathbb{R} \quad (\text{czyli } (-\infty, +\infty))$$ Część wspólna to odcinek, w którym obie linie się pokrywają: $$A \cap B = (1, 4\rangle$$ Różnica $A \setminus B$: odrzucamy ze zbioru $A$ liczby należące do $B$. Ponieważ $4 \in B$, punkt $4$ zostaje odrzucony: $$A \setminus B = (4, +\infty)$$ Różnica $B \setminus A$: odrzucamy ze zbioru $B$ liczby należące do $A$. Ponieważ $1 \notin A$, punkt $1$ pozostaje w różnicy: $$B \setminus A = (-\infty, 1\rangle$$

Odpowiedź:
a) $A \cup B = (-2, 5\rangle, \quad A \cap B = \langle 1, 3\rangle, \quad A \setminus B = (-2, 1), \quad B \setminus A = (3, 5\rangle$
b) $A \cup B = (-3, 6), \quad A \cap B = \emptyset, \quad A \setminus B = (-3, 2), \quad B \setminus A = \langle 2, 6)$
c) $A \cup B = (-\infty, 8\rangle, \quad A \cap B = (2, 5\rangle, \quad A \setminus B = (-\infty, 2\rangle, \quad B \setminus A = (5, 8\rangle$
d) $A \cup B = \mathbb{R}, \quad A \cap B = (1, 4\rangle, \quad A \setminus B = (4, +\infty), \quad B \setminus A = (-\infty, 1\rangle$

Zadanie 4 (3 pkt)

Zaznacz na osi liczbowej zbiory $A$ i $B$, a następnie wyznacz zbiory $A \cup B$, $A \cap B$, $A \setminus B$ oraz $B \setminus A$, jeśli:
a) $A = (-2, 2\rangle \cup \langle 4, 7\rangle$, $B = \langle 0, 5)$
b) $A = \langle -3, 2)$, $B = (-5, -1\rangle \cup \langle 1, 4)$

Wskazówki:

Zwróć szczególną uwagę na nawiasy: nawias okrągły oznacza przedział otwarty (punkt nie należy do zbioru – kółko niezamalowane), a nawias ostrokątny $\langle$ lub $\rangle$ oznacza przedział domknięty (punkt należy do zbioru – kółko zamalowane).
Suma ($A \cup B$) to wszystkie liczby, które należą do przynajmniej jednego ze zbiorów.
Iloczyn ($A \cap B$) to część wspólna, czyli liczby należące jednocześnie do obu zbiorów.
Różnica ($A \setminus B$) to zbiór tych liczb z $A$, które nie należą do $B$. Uważaj na krańce: jeśli punkt graniczny należy do odcinanego zbioru $B$, to w różnicy powstaje nawias otwarty. Jeśli nie należy do $B$, to pozostaje w $A \setminus B$ (nawias domknięty).

Rozwiązanie krok po kroku:

Zaznaczenie zbiorów z podpunktu a) na osi liczbowej:
Zbiór $A = (-2, 2\rangle \cup \langle 4, 7\rangle$ składa się z dwóch przedziałów: w punkcie $-2$ kółko otwarte, w $2$ domknięte, w $4$ domknięte oraz w $7$ domknięte. Zbiór $B = \langle 0, 5)$ to pojedynczy przedział: w punkcie $0$ kółko domknięte, a w $5$ otwarte.
Wyznaczenie działań na zbiorach dla podpunktu a):
Odczytujemy poszczególne zbiory bezpośrednio ze sporządzonego rysunku:
* Suma $A \cup B$: Przedział $(-2, 2\rangle$ łączy się ze zbiorem $B = \langle 0, 5)$ w jeden spójny przedział $(-2, 5)$. Z kolei przedział $\langle 4, 7\rangle$ zachodzi na przedział $(-2, 5)$ w części $\langle 4, 5)$, przedłużając go aż do liczby $7$. Otrzymujemy zatem jeden ciągły przedział: $$A \cup B = (-2, 7\rangle$$ * Iloczyn $A \cap B$: Część wspólna występuje na dwóch odcinkach osi: tam, gdzie $(-2, 2\rangle$ nakłada się z $\langle 0, 5)$ (odcinek od $0$ do $2$, obustronnie domknięty) oraz gdzie $\langle 4, 7\rangle$ nakłada się z $\langle 0, 5)$ (odcinek od $4$ domkniętego do $5$ otwartego, gdyż $5 \notin B$): $$A \cap B = \langle 0, 2\rangle \cup \langle 4, 5)$$ * Różnica $A \setminus B$: Ze zbioru $A$ odcinamy liczby należące do $B = \langle 0, 5)$. Z przedziału $(-2, 2\rangle$ po usunięciu $\langle 0, 2\rangle$ zostaje $(-2, 0)$ – punkt $0$ wyleciał ze względu na przynależność do $B$. Z przedziału $\langle 4, 7\rangle$ usunięto $\langle 4, 5)$, więc pozostaje przedział od $5$ do $7$. Ponieważ liczba $5$ nie należała do $B$, pozostaje w różnicy z nawiasem domkniętym: $$A \setminus B = (-2, 0) \cup \langle 5, 7\rangle$$ * Różnica $B \setminus A$: Ze zbioru $B = \langle 0, 5)$ usuwamy punkty należące do $A$. Usuwamy odcinek $\langle 0, 2\rangle$ oraz odcinek $\langle 4, 5)$. Pozostaje odcinek między $2$ a $4$. Punkty $2$ i $4$ należą do $A$, więc zostają odcięte, co daje przedział otwarty: $$B \setminus A = (2, 4)$$
Zaznaczenie zbiorów z podpunktu b) na osi liczbowej:
Zbiór $A = \langle -3, 2)$ to przedział od $-3$ (domknięty) do $2$ (otwarty). Zbiór $B = (-5, -1\rangle \cup \langle 1, 4)$ składa się z dwóch przedziałów: w $-5$ otwarty, w $-1$ domknięty, w $1$ domknięty i w $4$ otwarty.
Wyznaczenie działań na zbiorach dla podpunktu b):
Odczytujemy zbiory ze sporządzonego wykresu:
* Suma $A \cup B$: Przedział $(-5, -1\rangle$ łączy się ze zbiorem $A = \langle -3, 2)$ w przedział $(-5, 2)$. Ten z kolei łączy się z przedziałem $\langle 1, 4)$ w jeden spójny przedział od $-5$ do $4$: $$A \cup B = (-5, 4)$$ * Iloczyn $A \cap B$: Zbiory nakładają się na siebie w dwóch miejscach: od $-3$ do $-1$ (obustronnie domknięty, gdyż oba końce należą do obu zbiorów) oraz od $1$ (domknięty w obu zbiorach) do $2$ (otwarty, bo $2 \notin A$): $$A \cap B = \langle -3, -1\rangle \cup \langle 1, 2)$$ * Różnica $A \setminus B$: Ze zbioru $\langle -3, 2)$ odejmujemy punkty należące do $B$. Odcinamy część lewą $\langle -3, -1\rangle$ oraz prawą $\langle 1, 2)$. Pozostaje odcinek pomiędzy $-1$ a $1$. Ponieważ $-1 \in B$ oraz $1 \in B$, oba punkty zostają wykluczone z różnicy: $$A \setminus B = (-1, 1)$$ * Różnica $B \setminus A$: Ze zbioru $B$ usuwamy liczby należące do $A = \langle -3, 2)$. Z pierwszego kawałka $B$ pozostaje odcinek od $-5$ do $-3$ (ponieważ $-3 \in A$, wypada z różnicy). Z drugiego kawałka pozostaje odcinek od $2$ do $4$ (ponieważ $2 \notin A$, pozostaje w różnicy z nawiasem domkniętym): $$B \setminus A = (-5, -3) \cup \langle 2, 4)$$

Odpowiedź:
a) $A \cup B = (-2, 7\rangle$, $A \cap B = \langle 0, 2\rangle \cup \langle 4, 5)$, $A \setminus B = (-2, 0) \cup \langle 5, 7\rangle$, $B \setminus A = (2, 4)$
b) $A \cup B = (-5, 4)$, $A \cap B = \langle -3, -1\rangle \cup \langle 1, 2)$, $A \setminus B = (-1, 1)$, $B \setminus A = (-5, -3) \cup \langle 2, 4)$

Zadanie 5 (3 pkt)

Dane są przedziały $A = \langle -3, 4 \rangle$, $B = (1, +\infty)$ oraz zbiory $\mathbb{N}$ (liczb naturalnych: $0, 1, 2, \dots$) i $\mathbb{Z}$ (liczb całkowitych). Wyznacz zbiory:

a) $(A \cup B) \cap \mathbb{Z}$

b) $(A \cap \mathbb{N}) \cup B$

c) $(A \cap B) \setminus \mathbb{Z}$

d) $(\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}) \cap (A \cup B)$

e) $(A \setminus B) \cap \mathbb{N}$

f) $(B \setminus A) \cup (\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N})$

Wskazówki:

Zbiór $\mathbb{N}$ to liczby naturalne: $\{0, 1, 2, 3, \dots\}$, a zbiór $\mathbb{Z}$ to wszystkie liczby całkowite: $\{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$.
Różnica zbiorów $\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}$ oznacza liczby całkowite, które nie są naturalne – czyli ujemne liczby całkowite: $\{-1, -2, -3, \dots\}$.
Przekrój ($\cap$) to część wspólna zbiorów, suma ($\cup$) to połączenie wszystkich ich elementów, a różnica ($\setminus$) to elementy należące do pierwszego zbioru z pominięciem elementów drugiego.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie podstawowych przedziałów na osi liczbowej:
Przedział $A = \langle -3, 4 \rangle$ jest obustronnie domknięty (końce $-3$ oraz $4$ należą do zbioru). Przedział $B = (1, +\infty)$ jest lewostronnie otwarty (liczba $1$ nie należy do zbioru).
Podpunkt a) – wyznaczenie $(A \cup B) \cap \mathbb{Z}$:
Najpierw wyznaczamy sumę przedziałów $A \cup B$. Zaczyna się ona w punkcie $-3$ (z domknięciem) i ciągnie bez przerwy w prawo do $+\infty$: $$A \cup B = \langle -3, +\infty)$$ Następnie wyznaczamy część wspólną tej sumy ze zbiorem liczb całkowitych $\mathbb{Z}$. Szukamy wszystkich liczb całkowitych większych bądź równych $-3$: $$(A \cup B) \cap \mathbb{Z} = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$$
Podpunkt b) – wyznaczenie $(A \cap \mathbb{N}) \cup B$:
Najpierw wyznaczamy liczby naturalne należące do przedziału $A = \langle -3, 4 \rangle$: $$A \cap \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4\}$$ Teraz tworzymy sumę tego zbioru ze zbiorem $B = (1, +\infty)$. Zauważmy, że liczby $2, 3, 4$ już zawierają się w przedziale $(1, +\infty)$. Liczba $1$ nie należała do $B$, ale należy do $A \cap \mathbb{N}$, więc domyka ten przedział z lewej strony, tworząc $\langle 1, +\infty)$. Liczba $0$ pozostaje elementem dyskretnym: $$(A \cap \mathbb{N}) \cup B = \{0\} \cup \langle 1, +\infty)$$
Podpunkt c) – wyznaczenie $(A \cap B) \setminus \mathbb{Z}$:
Część wspólna przedziałów $A$ i $B$ to: $$A \cap B = \langle -3, 4 \rangle \cap (1, +\infty) = (1, 4\rangle$$ Liczby całkowite należące do tego przedziału to $2, 3$ oraz $4$. Po ich usunięciu z przedziału $(1, 4\rangle$ otrzymujemy sumę trzech przedziałów otwartych: $$(A \cap B) \setminus \mathbb{Z} = (1, 2) \cup (2, 3) \cup (3, 4)$$
Podpunkt d) – wyznaczenie $(\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}) \cap (A \cup B)$:
Różnica zbiorów $\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}$ to ujemne liczby całkowite: $$\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} = \{-1, -2, -3, -4, -5, \dots\}$$ Z kolei suma przedziałów z podpunktu a) to $A \cup B = \langle -3, +\infty)$. Część wspólna obu zbiorów to ujemne liczby całkowite nie mniejsze niż $-3$: $$(\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}) \cap (A \cup B) = \{-3, -2, -1\}$$
Podpunkt e) – wyznaczenie $(A \setminus B) \cap \mathbb{N}$:
Wyznaczamy różnicę przedziałów $A \setminus B$. Od przedziału $\langle -3, 4 \rangle$ odejmujemy liczby większe od $1$. Ponieważ liczba $1$ nie należała do odejmowanego zbioru $B$, pozostaje w przedziale: $$A \setminus B = \langle -3, 1 \rangle$$ Wybieramy ze zbioru $\langle -3, 1 \rangle$ tylko liczby naturalne: $$(A \setminus B) \cap \mathbb{N} = \{0, 1\}$$
Podpunkt f) – wyznaczenie $(B \setminus A) \cup (\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N})$:
Wyznaczamy różnicę $B \setminus A$. Ze zbioru $(1, +\infty)$ odejmujemy przedział $\langle -3, 4 \rangle$. Liczba $4$ zostaje odjęta, stąd przedział staje się lewostronnie otwarty: $$B \setminus A = (4, +\infty)$$ Dodajemy do tego zbioru ujemne liczby całkowite $\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} = \{-1, -2, -3, \dots\}$: $$(B \setminus A) \cup (\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}) = \{-1, -2, -3, \dots\} \cup (4, +\infty)$$

Odpowiedź:
a) $\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$
b) $\{0\} \cup \langle 1, +\infty)$
c) $(1, 2) \cup (2, 3) \cup (3, 4)$
d) $\{-3, -2, -1\}$
e) $\{0, 1\}$
f) $\{-1, -2, -3, \dots\} \cup (4, +\infty)$

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zaznacz na osi liczbowej zbiory $A$ i $B$, a następnie wyznacz zbiory $A \cup B$ oraz $A \cap B$:

a) $A = (-4, 1\rangle, \quad B = \langle -1, 4)$
b) $A = \langle -1, 4\rangle, \quad B = \langle 4, +\infty)$
c) $A = (-\infty, \sqrt{7}), \quad B = \langle 2, 6)$
d) $A = \left\langle 2\dfrac{2}{3}, +\infty\right), \quad B = (\pi, +\infty)$

Zadanie 2 (3 pkt)

Zaznacz na osi liczbowej zbiory $A$ i $B$, a następnie wyznacz zbiory $A \setminus B$ oraz $B \setminus A$, jeśli:

a) $A = \langle -5, 2\rangle, \quad B = (0, 6)$
b) $A = (4, 10\rangle, \quad B = \langle 4, 7\rangle$
c) $A = (-\infty, 4), \quad B = \langle \sqrt{7}, +\infty)$
d) $A = (-4, 8), \quad B = (1, 5\rangle$

Zadanie 3 (3 pkt)

Zaznacz na osi liczbowej zbiory $A$ i $B$, a następnie wyznacz zbiory: $A \cup B$, $A \cap B$, $A \setminus B$, $B \setminus A$, jeśli:

a) $A = (-3, 2\rangle, \quad B = \langle 0, 4\rangle$
b) $A = (-1, 3), \quad B = \langle 3, 7)$
c) $A = (-\infty, 4\rangle, \quad B = (1, 6\rangle$
d) $A = (3, +\infty), \quad B = (-\infty, 5\rangle$

Zadanie 4 (3 pkt)

Zaznacz na osi liczbowej zbiory $A$ i $B$, a następnie wyznacz zbiory $A \cup B$, $A \cap B$, $A \setminus B$ oraz $B \setminus A$, jeśli:
a) $A = \langle -2, 1\rangle \cup (4, 7)$, $B = \langle -3, -1) \cup (2, 6\rangle$
b) $A = (-3, 0) \cup (2, 5\rangle$, $B = \langle -4, -1\rangle \cup (3, 6)$

Zadanie 5 (3 pkt)

Dane są przedziały $A = \langle -4, 5 \rangle$, $B = (2, +\infty)$ oraz zbiory $\mathbb{N}$ (liczb naturalnych: $0, 1, 2, \dots$) i $\mathbb{Z}$ (liczb całkowitych). Wyznacz zbiory:

a) $(A \cup B) \cap \mathbb{Z}$

b) $(A \cap \mathbb{N}) \cup B$

c) $(A \cap B) \setminus \mathbb{Z}$

d) $(\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}) \cap (A \cup B)$

e) $(A \setminus B) \cap \mathbb{N}$

f) $(B \setminus A) \cup (\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N})$

1.4 Przedziały

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋