Proporcjonalność prosta kartkówka LiczBit

4.1 Proporcjonalność prosta

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (2 pkt)

Zmienne \(x\) i \(y\) są wprost proporcjonalne. Wyznacz współczynnik proporcjonalności i uzupełnij puste miejsca. a) \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 1{,}5\sqrt{5} & & & \sqrt{80} \\ \hline y & 3 & 2 & 10 & \\ \hline \end{array} \] b) \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -8 & & 5 & 6{,}2 & \\ \hline y & & -2{,}4 & 2 & & 8 \\ \hline \end{array} \]

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zależność między zmiennymi wprost proporcjonalnymi $x$ oraz $y$ opisuje wzór:$$y = a \cdot x$$gdzie $a$ to współczynnik proporcjonalności. 2) Aby wyznaczyć współczynnik $a$, należy przekształcić powyższy wzór, dzieląc obie strony przez $x$:$$a = \frac{y}{x}$$Wybierz z tabeli kolumnę, w której znane są obie wartości ($x$ oraz $y$), aby obliczyć $a$. 3) Po wyznaczeniu współczynnika $a$, brakujące wartości $y$ obliczaj ze wzoru:$$y = a \cdot x$$Natomiast brakujące wartości $x$ obliczaj, przekształcając wzór do postaci:$$x = \frac{y}{a}$$4) Przy operacjach na pierwiastkach pamiętaj o wyłączaniu czynnika przed znak pierwiastka, np. $\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$, co ułatwi skracanie ułamków. ROZWIĄZANIE: a) Wyznaczanie współczynnika proporcjonalności i uzupełnianie tabeli. Krok 1: Wyznaczenie współczynnika $a$. Z tabeli odczytujemy pełną parę danych z pierwszej kolumny: $x = 1,5\sqrt{5}$ oraz $y = 3$. Korzystamy ze wzoru $a = \frac{y}{x}$:$$a = \frac{3}{1,5\sqrt{5}}$$Dzielimy liczbę $3$ przez $1,5$, co daje wynik $2$:$$a = \frac{2}{\sqrt{5}}$$Aby usunąć niewymierność z mianownika, mnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt{5}$:$$a = \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}$$$$a = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$Krok 2: Obliczenie brakującego $x$ dla $y = 2$. Korzystamy z przekształconego wzoru $x = \frac{y}{a}$:$$x = \frac{2}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$$Dzielenie przez ułamek zastępujemy mnożeniem przez jego odwrotność, czyli przez $\frac{5}{2\sqrt{5}}$:$$x = 2 \cdot \frac{5}{2\sqrt{5}}$$Liczba $2$ w liczniku i mianowniku skraca się:$$x = \frac{5}{\sqrt{5}}$$Usuwamy niewymierność, mnożąc przez $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$:$$x = \frac{5 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}$$Krok 3: Obliczenie brakującego $x$ dla $y = 10$. Podstawiamy dane do wzoru $x = \frac{y}{a}$:$$x = \frac{10}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$$Mnożymy przez odwrotność współczynnika $a$:$$x = 10 \cdot \frac{5}{2\sqrt{5}}$$Skracamy liczbę $10$ z liczbą $2$ w mianowniku, co daje $5$ w liczniku:$$x = \frac{5 \cdot 5}{\sqrt{5}} = \frac{25}{\sqrt{5}}$$Usuwamy niewymierność:$$x = \frac{25 \cdot \sqrt{5}}{5} = 5\sqrt{5}$$Krok 4: Obliczenie brakującego $y$ dla $x = \sqrt{80}$. Najpierw upraszczamy pierwiastek: $\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$. Korzystamy ze wzoru $y = a \cdot x$:$$y = \frac{2\sqrt{5}}{5} \cdot 4\sqrt{5}$$Mnożymy liczby przed pierwiastkami oraz same pierwiastki:$$y = \frac{2 \cdot 4 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}{5}$$Ponieważ $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$, otrzymujemy:$$y = \frac{8 \cdot 5}{5}$$Skracamy liczbę $5$ w liczniku i mianowniku:$$y = 8$$b) Wyznaczanie współczynnika proporcjonalności i uzupełnianie tabeli. Krok 1: Wyznaczenie współczynnika $a$. Z tabeli wybieramy kolumnę, w której $x = 5$ i $y = 2$.$$a = \frac{y}{x} = \frac{2}{5} = 0,4$$Krok 2: Obliczenie brakującego $y$ dla $x = -8$. Korzystamy ze wzoru $y = a \cdot x$:$$y = 0,4 \cdot (-8)$$Dodatnia liczba pomnożona przez ujemną daje wynik ujemny:$$y = -3,2$$Krok 3: Obliczenie brakującego $x$ dla $y = -2,4$. Korzystamy ze wzoru $x = \frac{y}{a}$:$$x = \frac{-2,4}{0,4}$$Przesuwamy przecinek w obu liczbach o jedno miejsce w prawo, co jest równoważne mnożeniu licznika i mianownika przez $10$:$$x = \frac{-24}{4} = -6$$Krok 4: Obliczenie brakującego $y$ dla $x = 6,2$. Podstawiamy do wzoru $y = a \cdot x$:$$y = 0,4 \cdot 6,2$$Wykonujemy mnożenie pisemne lub w pamięci:$$y = 2,48$$Krok 5: Obliczenie brakującego $x$ dla $y = 8$. Korzystamy ze wzoru $x = \frac{y}{a}$:$$x = \frac{8}{0,4}$$Pozbywamy się przecinka w mianowniku, mnożąc licznik i mianownik przez $10$:$$x = \frac{80}{4} = 20$$

Zadanie 2 (3 pkt)

Kilogram jabłek kosztuje $3,20$ zł. a) Napisz wzór proporcjonalności prostej, określający koszt zakupów w zależności od liczby $x$ zakupionych kilogramów. b) Pani Anna kupiła $15$ kg jabłek na przetwory. Ile zapłaciła? c) Ile kilogramów jabłek można kupić za $128$ zł?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) W tym zadaniu koszt zakupu $y$ jest wprost proporcjonalny do liczby kilogramów $x$. Wykorzystaj wzór:$$y = a \cdot x$$gdzie $a$ to cena za jeden kilogram podana w treści zadania. 2) W punkcie b) musisz po prostu podstawić podaną wagę ($15$ kg) w miejsce zmiennej $x$ we wzorze, który wyznaczysz w punkcie a). 3) W punkcie c) znasz ostateczny koszt ($128$ zł), czyli wartość $y$. Twoim zadaniem jest przekształcenie wzoru tak, aby obliczyć niewiadomą $x$:$$x = \frac{y}{a}$$ROZWIĄZANIE: a) Napisanie wzoru proporcjonalności prostej. Przyjmijmy oznaczenia zgodnie z treścią zadania: $x$ to liczba kilogramów jabłek, a $y$ to całkowity koszt zakupu w złotych. Skoro jeden kilogram kosztuje $3,20$ zł, to za $x$ kilogramów zapłacimy $x$ razy więcej. Wzór przyjmuje postać:$$y = 3,20 \cdot x$$Jest to wzór proporcjonalności prostej, gdzie współczynnikiem proporcjonalności jest cena jednostkowa $3,20$. b) Obliczanie kosztu zakupu $15$ kg jabłek. Mamy daną liczbę kilogramów $x = 15$. Podstawiamy tę wartość do wzoru wyznaczonego w punkcie a):$$y = 3,20 \cdot 15$$Aby ułatwić sobie mnożenie, możemy zapisać $3,20$ jako ułamek zwykły niewłaściwy:$$3,20 = 3 \frac{20}{100} = 3 \frac{1}{5} = \frac{16}{5}$$Teraz wykonujemy mnożenie:$$y = \frac{16}{5} \cdot 15$$Skracamy liczbę $15$ z mianownikiem $5$ przez $5$ ($15 = 3 \cdot 5$):$$y = 16 \cdot 3$$$$y = 48$$Pani Anna za $15$ kg jabłek zapłaciła $48$ zł. c) Obliczanie liczby kilogramów, jakie można kupić za $128$ zł. Znamy całkowity koszt $y = 128$ zł oraz cenę za kilogram $a = 3,20$ zł. Szukamy liczby kilogramów $x$. Podstawiamy dane do wzoru:$$128 = 3,20 \cdot x$$Aby wyznaczyć $x$, musimy podzielić obie strony równania przez $3,20$:$$x = \frac{128}{3,20}$$Aby pozbyć się przecinka w mianowniku, mnożymy licznik i mianownik przez $10$ (rozszerzamy ułamek):$$x = \frac{1280}{32}$$Teraz wykonujemy dzielenie. Możemy to zrobić skracając ułamek stopniowo. Najpierw podzielmy obie liczby przez $8$:$$1280 : 8 = 160$$$$32 : 8 = 4$$Zatem:$$x = \frac{160}{4}$$Wykonujemy końcowe dzielenie:$$x = 40$$Za kwotę $128$ zł można kupić $40$ kg jabłek.

Zadanie 3 (3 pkt)

Rozważmy trójkąty, których podstawa ma długość $10$ cm. Czy pole trójkąta jest wprost proporcjonalne do wysokości opuszczonej na tę podstawę? Jeśli tak, to napisz wzór tej proporcjonalności prostej.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Motocyklista porusza się ze stałą prędkością $80$ km/h. a) Napisz wzór proporcjonalności prostej określający długość drogi $s$ (w kilometrach), jaką przebył motocyklista jadąc z tą samą stałą prędkością w czasie $t$ (w godzinach). b) Ile kilometrów przejedzie motocyklista w ciągu $45$ minut? c) W jakim czasie, jadąc z tą samą prędkością, motocyklista przebędzie drogę $220$ km?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) W ruchu jednostajnym droga $s$ jest wprost proporcjonalna do czasu $t$. Wykorzystaj podstawowy wzór na drogę:$$s = v \cdot t$$gdzie $v$ to stała prędkość podana w treści zadania. 2) Zwróć uwagę na jednostki czasu. W punkcie b) czas podany jest w minutach, a prędkość w kilometrach na godzinę. Aby móc wykonać obliczenia, musisz zamienić minuty na godziny, wiedząc, że:$$1 \text{ godzina} = 60 \text{ minut}$$3) W punkcie c) musisz przekształcić wzór na drogę tak, aby wyznaczyć z niego czas $t$. Jeśli $s = v \cdot t$, to aby otrzymać samo $t$, należy obie strony równania podzielić przez prędkość $v$:$$t = \frac{s}{v}$$ROZWIĄZANIE: a) Napisanie wzoru proporcjonalności prostej. Z treści zadania wiemy, że prędkość motocyklisty jest stała i wynosi $v = 80$ $km/h$. Wzór na drogę $s$ w ruchu jednostajnym to iloczyn prędkości $v$ i czasu $t$:$$s = v \cdot t$$Podstawiamy daną wartość prędkości $v = 80$ do powyższego równania:$$s = 80 \cdot t$$To jest szukany wzór proporcjonalności prostej, gdzie droga $s$ zależy od czasu $t$. b) Obliczanie drogi przebytej w ciągu $45$ minut. Krok 1: Zamiana jednostek czasu. Prędkość mamy podaną w kilometrach na godzinę ($km/h$), więc czas również musi być wyrażony w godzinach. Wiemy, że $1$ godzina to $60$ minut. Zatem $45$ minut stanowi następującą część godziny:$$t = \frac{45}{60} \text{ h}$$Skracamy ułamek $\frac{45}{60}$ przez $15$, ponieważ obie liczby są przez nią podzielne ($45 = 3 \cdot 15$ oraz $60 = 4 \cdot 15$):$$t = \frac{3}{4} \text{ h}$$Możemy to zapisać w postaci ułamka dziesiętnego:$$t = 0,75 \text{ h}$$Krok 2: Podstawienie do wzoru. Korzystamy ze wzoru wyznaczonego w punkcie a):$$s = 80 \cdot t$$Podstawiamy wartość czasu $t = \frac{3}{4}$:$$s = 80 \cdot \frac{3}{4}$$Aby pomnożyć liczbę całkowitą przez ułamek, mnożymy tę liczbę przez licznik ułamka i dzielimy przez mianownik. Najpierw jednak wygodniej jest skrócić liczbę $80$ z mianownikiem $4$:$$s = \frac{80}{1} \cdot \frac{3}{4}$$$$s = 20 \cdot 3$$$$s = 60$$Motocyklista w ciągu $45$ minut przejedzie $60$ $km$. c) Obliczanie czasu potrzebnego na przebycie drogi $220$ km. Mamy daną drogę $s = 220$ $km$ oraz stałą prędkość $v = 80$ $km/h$. Szukamy czasu $t$. Wychodzimy ze wzoru:$$s = 80 \cdot t$$Aby wyznaczyć $t$, musimy przenieść liczbę $80$ na drugą stronę równania. Ponieważ $80$ stoi przy $t$ w operacji mnożenia, wykonujemy działanie przeciwne, czyli dzielimy obie strony równania przez $80$:$$220 = 80 \cdot t$$$$t = \frac{220}{80}$$Najpierw skracamy ułamek przez $10$, usuwając zera na końcach liczb:$$t = \frac{22}{8}$$Teraz skracamy licznik i mianownik przez $2$:$$t = \frac{11}{4}$$Wyłączamy całości z ułamka niewłaściwego. W liczbie $11$ mieszczą się dwie czwórki ($2 \cdot 4 = 8$), a reszta wynosi $11 - 8 = 3$:$$t = 2 \frac{3}{4} \text{ h}$$Możemy zamienić to na godziny i minuty. Skoro $\frac{1}{4}$ godziny to $15$ minut, to $\frac{3}{4}$ godziny to $3 \cdot 15 = 45$ minut:$$t = 2 \text{ h } 45 \text{ min}$$W postaci dziesiętnej wynik to:$$t = 2,75 \text{ h}$$Motocyklista przebędzie drogę $220$ $km$ w czasie $2$ godzin i $45$ minut.

Zadanie 5 (3 pkt)

Z $80 \text{ kg}$ świeżych jagód można uzyskać $12 \text{ kg}$ jagód suszonych. a) Napisz wzór proporcjonalności prostej określający liczbę kilogramów otrzymanych suszonych jagód w zależności od liczby $x$ kilogramów świeżych jagód. b) Ile kilogramów suszonych jagód otrzyma się z $20,4 \text{ kg}$ świeżych owoców? c) Ile kilogramów świeżych jagód potrzeba, aby uzyskać $15 \text{ kg}$ suszonych?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Proporcjonalność prostą między dwiema wielkościami $x$ oraz $y$ opisuje wzór:$$y = a \cdot x$$gdzie $y$ to liczba kilogramów suszonych jagód, $x$ to liczba kilogramów świeżych jagód, a $a$ to stały współczynnik proporcjonalności. 2) Współczynnik $a$ wyznaczysz, dzieląc masę produktu końcowego (suszone jagody) przez masę produktu początkowego (świeże jagody):$$a = \frac{y}{x}$$3) W podpunkcie b) należy podstawić daną wartość $x$ do wyznaczonego wcześniej wzoru. 4) W podpunkcie c) należy podstawić daną wartość $y$ do wzoru i wyznaczyć z niego niewiadomą $x$, przekształcając równanie:$$x = \frac{y}{a}$$ROZWIĄZANIE: a) Wyznaczanie wzoru proporcjonalności prostej. Przyjmijmy oznaczenia: $x$ – masa świeżych jagód w $kg$ $y$ – masa suszonych jagód w $kg$ Z treści zadania wiemy, że dla $x = 80$ mamy $y = 12$. Aby wyznaczyć współczynnik $a$, dzielimy $y$ przez $x$:$$a = \frac{12}{80}$$Skracamy ułamek przez $4$:$$a = \frac{3}{20}$$Możemy zapisać ten ułamek w postaci dziesiętnej, rozszerzając go do mianownika $100$ (mnożąc licznik i mianownik przez $5$):$$a = \frac{15}{100} = 0,15$$Zatem wzór proporcjonalności prostej ma postać:$$y = 0,15 \cdot x$$b) Obliczanie ilości suszonych jagód z $20,4$ $kg$ świeżych owoców. Podstawiamy $x = 20,4$ do wzoru wyznaczonego w punkcie a):$$y = 0,15 \cdot 20,4$$Wykonujemy mnożenie:$$y = 3,06$$Z $20,4$ $kg$ świeżych owoców otrzyma się $3,06$ $kg$ suszonych jagód. c) Obliczanie ilości świeżych jagód potrzebnych do uzyskania $15$ $kg$ suszonych. Podstawiamy $y = 15$ do wzoru $y = 0,15 \cdot x$:$$15 = 0,15 \cdot x$$Aby wyznaczyć $x$, dzielimy obie strony równania przez $0,15$:$$x = \frac{15}{0,15}$$Aby ułatwić dzielenie, przesuwamy przecinek w liczniku i mianowniku o dwa miejsca w prawo (mnożymy przez $100$):$$x = \frac{1500}{15}$$Wykonujemy dzielenie:$$x = 100$$Aby uzyskać $15$ $kg$ suszonych jagód, potrzeba $100$ $kg$ świeżych jagód.

Grupa B

Zadanie 1 (2 pkt)

Wielkości \(x\) i \(y\) są wprost proporcjonalne. Podaj współczynnik proporcjonalności i uzupełnij tabelki. a) \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0{,}5\sqrt{3} & & & \sqrt{27} \\ \hline y & \frac{3}{4} & 1 & 6 & \\ \hline \end{array} \] b) \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -20 & & 4 & 5\frac{1}{4} & \\ \hline y & & -1{,}5 & 1 & & 10 \\ \hline \end{array} \]

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Jeden litr benzyny kosztuje $6,50$ zł. a) Napisz wzór proporcjonalności prostej, określający koszt paliwa w zależności od liczby $x$ zatankowanych litrów. b) Kierowca zatankował do pełna $42$ litry paliwa. Ile zapłacił? c) Ile litrów paliwa można zatankować za kwotę $520$ zł?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Rozważmy równoległoboki, których podstawa ma długość $7$ cm. Czy pole równoległoboku jest wprost proporcjonalne do wysokości opuszczonej na tę podstawę? Jeśli tak, to napisz wzór tej proporcjonalności prostej.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Rowerzysta jedzie ze stałą prędkością $18$ km/h. a) Napisz wzór proporcjonalności prostej określający długość drogi $s$ (w kilometrach), jaką przebył rowerzysta jadąc z tą samą stałą prędkością w czasie $t$ (w godzinach). b) Ile kilometrów przejedzie ten rowerzysta w ciągu $40$ minut? c) W jakim czasie, jadąc z tą samą prędkością, rowerzysta przebędzie drogę $22,5$ km?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

Wiadomo, że ze $150 \text{ kg}$ rudy żelaza można wytopić $90 \text{ kg}$ czystego metalu. a) Napisz wzór proporcjonalności prostej określający masę otrzymanego metalu w zależności od masy użytej rudy $x$. b) Ile metalu otrzyma się z $25,5 \text{ kg}$ rudy? c) Ile rudy potrzeba, aby otrzymać dokładnie $120 \text{ kg}$ metalu?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi