WSKAZÓWKI: 1) Dwie zmienne $x$ oraz $y$ są odwrotnie proporcjonalne, gdy ich iloczyn jest stały. Oznacza to, że dla każdej pary argumentów zachodzi równość:$$x \cdot y = a$$gdzie $a$ jest stałą proporcjonalności. 2) Aby uzupełnić tabelę, najpierw znajdź kolumnę, w której podane są obie wartości ($x$ oraz $y$). Pomnóż je przez siebie, aby wyznaczyć wartość $a$. 3) Gdy znasz już stałą $a$, brakujące wartości obliczaj przekształcając wzór: - Jeśli brakuje $y$, użyj wzoru:$$y = \frac{a}{x}$$- Jeśli brakuje $x$, użyj wzoru:$$x = \frac{a}{y}$$4) W przykładzie b) operuj na potęgach liczby $3$, korzystając z praw działań na potęgach:$$3^{m} \cdot 3^{n} = 3^{m+n}$$$$\frac{3^{m}}{3^{n}} = 3^{m-n}$$ROZWIĄZANIE: a) Wyznaczanie brakujących wartości dla pierwszej tabeli. 1) Najpierw wyznaczamy stałą proporcjonalności $a$. Szukamy kolumny, w której znamy obie liczby. Są to $x = 15$ oraz $y = 4$. Mnożymy te liczby:$$a = 15 \cdot 4 = 60$$Dla każdej pary w tej tabeli iloczyn $x \cdot y$ musi wynosić $60$. 2) Obliczamy $y$ dla $x = -60$. Podstawiamy dane do wzoru $y = \frac{a}{x}$:$$y = \frac{60}{-60}$$Dzielimy liczbę dodatnią przez ujemną, więc wynik będzie ujemny. $60$ podzielone przez $60$ to $1$:$$y = -1$$3) Obliczamy $x$ dla $y = -0,5$. Przekształcamy wzór do postaci $x = \frac{a}{y}$:$$x = \frac{60}{-0,5}$$Dzielenie przez $0,5$ jest tym samym, co mnożenie przez $2$. Ponieważ dzielimy przez liczbę ujemną, wynik to:$$x = -120$$4) Obliczamy $y$ dla $x = 0,5$. Korzystamy ze wzoru $y = \frac{a}{x}$:$$y = \frac{60}{0,5}$$Podobnie jak wcześniej, dzielenie przez połowę ($0,5$) oznacza podwojenie liczby:$$y = 120$$5) Obliczamy $x$ dla $y = 10\sqrt{3}$. Podstawiamy do wzoru $x = \frac{a}{y}$:$$x = \frac{60}{10\sqrt{3}}$$Najpierw skracamy liczby $60$ i $10$ przez $10$:$$x = \frac{6}{\sqrt{3}}$$Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez $\sqrt{3}$:$$x = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}$$$$x = \frac{6\sqrt{3}}{3}$$Dzielimy $6$ przez $3$:$$x = 2\sqrt{3}$$6) Obliczamy $y$ dla $x = 6 - 3\sqrt{2}$. Podstawiamy do wzoru $y = \frac{a}{x}$:$$y = \frac{60}{6 - 3\sqrt{2}}$$Możemy wyłączyć $3$ przed nawias w mianowniku:$$y = \frac{60}{3 \cdot (2 - \sqrt{2})}$$Skracamy $60$ oraz $3$ przez $3$:$$y = \frac{20}{2 - \sqrt{2}}$$Usuwamy niewymierność, mnożąc przez sprzężenie mianownika, czyli $(2 + \sqrt{2})$:$$y = \frac{20 \cdot (2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2}) \cdot (2 + \sqrt{2})}$$W mianowniku stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:$$y = \frac{20 \cdot (2 + \sqrt{2})}{2^{2} - (\sqrt{2})^{2}}$$$$y = \frac{20 \cdot (2 + \sqrt{2})}{4 - 2}$$$$y = \frac{20 \cdot (2 + \sqrt{2})}{2}$$Skracamy $20$ i $2$ przez $2$:$$y = 10 \cdot (2 + \sqrt{2})$$$$y = 20 + 10\sqrt{2}$$b) Wyznaczanie brakujących wartości dla drugiej tabeli (potęgi liczby $3$). 1) Wyznaczamy stałą $a$. Znamy parę $x = 3^{3}$ oraz $y = 3^{2}$. Mnożymy je, dodając wykładniki:$$a = 3^{3} \cdot 3^{2} = 3^{3+2} = 3^{5}$$Wartość $3^{5}$ to inaczej $243$. Wszystkie iloczyny w tej tabeli muszą wynosić $3^{5}$. 2) Obliczamy $y$ dla $x = 3^{-2}$:$$y = \frac{3^{5}}{3^{-2}}$$Przy dzieleniu potęg o tych samych podstawach odejmujemy wykładniki:$$y = 3^{5 - (-2)}$$$$y = 3^{5 + 2} = 3^{7}$$3) Obliczamy $y$ dla $x = 9\sqrt{3}$. Najpierw zapisujemy $x$ jako potęgę trójki. Wiemy, że $9 = 3^{2}$ oraz $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$:$$x = 3^{2} \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{2 + 0,5} = 3^{2,5}$$Teraz obliczamy $y$:$$y = \frac{3^{5}}{3^{2,5}}$$Odejmujemy wykładniki:$$y = 3^{5 - 2,5} = 3^{2,5}$$Zauważamy, że $3^{2,5}$ to ta sama wartość co $x$, czyli $9\sqrt{3}$. 4) Obliczamy $x$ dla $y = 81$. Zapisujemy $81$ jako potęgę trójki: $81 = 3^{4}$.$$x = \frac{3^{5}}{3^{4}}$$Odejmujemy wykładniki $5 - 4 = 1$:$$x = 3^{1} = 3$$5) Obliczamy $x$ dla $y = 3\sqrt[3]{3}$. Zapisujemy $y$ jako potęgę trójki. Wiemy, że $\sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}}$:$$y = 3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{3}} = 3^{1 + \frac{1}{3}} = 3^{\frac{4}{3}}$$Teraz obliczamy $x$:$$x = \frac{3^{5}}{3^{\frac{4}{3}}}$$Sprowadzamy wykładnik $5$ do ułamka o mianowniku $3$, czyli $5 = \frac{15}{3}$:$$x = 3^{\frac{15}{3} - \frac{4}{3}} = 3^{\frac{11}{3}}$$6) Obliczamy $y$ dla $x = 3^{8}$:$$y = \frac{3^{5}}{3^{8}}$$Odejmujemy wykładniki $5 - 8 = -3$:$$y = 3^{-3}$$Co można zapisać jako $\frac{1}{3^{3}}$, czyli $\frac{1}{27}$. 7) Obliczamy $x$ dla $y = 243$. Zapisujemy $243$ jako potęgę trójki: $243 = 3^{5}$.$$x = \frac{3^{5}}{3^{5}}$$Dowolna liczba (różna od zera) podzielona przez samą siebie daje $1$:$$x = 3^{0} = 1$$