Procenty kartkówka LiczBit

1.9 Procenty

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Wykonaj poniższe polecenia:

1. Oblicz
a) $20\%$ liczby $1{,}5$
b) $15\%$ liczby $360$
c) $1{,}2\%$ liczby $2000$
d) $140\%$ liczby $35$

2. Wyznacz liczbę, której
a) $30\%$ jest równe $9$
b) $4\%$ jest równe $18$
c) $1{,}5\%$ jest równe $450$
d) $250\%$ jest równe $35$

3. Jakim procentem liczby $x$ jest liczba $y$, jeśli
a) $x = 45;\ y = 18$
b) $x = 12{,}5;\ y = 7{,}5$
c) $x = 1650;\ y = 99$
d) $x = 8\dfrac{1}{3};\ y = 3\dfrac{1}{8}$

Wskazówki:

Jeden procent to jedna setna część całości: $1\% = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$.
Aby obliczyć procent danej liczby, zamień procent na ułamek dziesiętny lub zwykły i pomnóż go przez tę liczbę.
Aby wyznaczyć liczbę na podstawie jej procentu, podziel daną wartość przez odpowiadający jej procent zapisany w postaci ułamka (lub ułóż proste równanie $p\% \cdot c = b$).
Aby obliczyć, jakim procentem liczby $x$ jest liczba $y$, utwórz iloraz tych liczb i pomnóż go przez $100\%$: $P = \dfrac{y}{x} \cdot 100\%$.

Dane i szukane:

Dane:
Część 1: pary procentów i liczb bazowych.
Część 2: pary procentów i odpowiadających im wartości liczbowych.
Część 3: pary liczb $x$ (baza odniesienia) oraz $y$ (badana część).
Szukane:
Część 1: wartości wskazanych procentów danych liczb.
Część 2: szukane liczby całkowite/wyjściowe $c$.
Część 3: procentowy stosunek liczby $y$ do liczby $x$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Część 1 – Obliczanie procentu z danej liczby:
Zamieniamy procent na ułamek według reguły $p\% = \dfrac{p}{100}$, a następnie mnożymy przez daną liczbę:

Podpunkt a) Obliczamy $20\%$ liczby $1{,}5$:
Sposób I (zapis dziesiętny): $$\begin{aligned} 20\% &= 0{,}2 \\ 0{,}2 \cdot 1{,}5 &= 0{,}3 \end{aligned}$$ Sposób II (ułamki zwykłe): $$\begin{aligned} \dfrac{20}{100} \cdot 1{,}5 &= \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{3}{2} \\ &= \dfrac{3}{10} = 0{,}3 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Obliczamy $15\%$ liczby $360$:
$$\begin{aligned} 15\% \cdot 360 &= 0{,}15 \cdot 360 \\ &= 54 \end{aligned}$$
Podpunkt c) Obliczamy $1{,}2\%$ liczby $2000$:
$$\begin{aligned} 1{,}2\% \cdot 2000 &= \dfrac{1{,}2}{100} \cdot 2000 \\ &= 1{,}2 \cdot 20 = 24 \end{aligned}$$
Podpunkt d) Obliczamy $140\%$ liczby $35$:
$$\begin{aligned} 140\% \cdot 35 &= 1{,}4 \cdot 35 \\ &= 49 \end{aligned}$$
Część 2 – Wyznaczanie liczby na podstawie jej procentu:
Niech szukana liczba wynosi $c$. Jeżeli $p\%$ tej liczby to $b$, to zachodzi równość $p\% \cdot c = b \implies c = \dfrac{b}{p\%}$:

Podpunkt a) Wyznaczamy liczbę, której $30\%$ jest równe $9$:
Sposób I (równanie algebraiczne): $$\begin{aligned} 0{,}30 \cdot c &= 9 \\ c &= \dfrac{9}{0{,}3} = \dfrac{90}{3} = 30 \end{aligned}$$ Sposób II (dzielenie przez ułamek zwykły): $$\begin{aligned} c &= 9 : \dfrac{30}{100} = 9 \cdot \dfrac{10}{3} \\ &= 3 \cdot 10 = 30 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Wyznaczamy liczbę, której $4\%$ jest równe $18$:
$$\begin{aligned} 0{,}04 \cdot c &= 18 \\ c &= \dfrac{18}{0{,}04} = \dfrac{1800}{4} = 450 \end{aligned}$$
Podpunkt c) Wyznaczamy liczbę, której $1{,}5\%$ jest równe $450$:
$$\begin{aligned} 0{,}015 \cdot c &= 450 \\ c &= \dfrac{450}{0{,}015} = \dfrac{450\,000}{15} = 30\,000 \end{aligned}$$
Podpunkt d) Wyznaczamy liczbę, której $250\%$ jest równe $35$:
$$\begin{aligned} 2{,}5 \cdot c &= 35 \\ c &= \dfrac{35}{2{,}5} = \dfrac{70}{5} = 14 \end{aligned}$$
Część 3 – Obliczanie jakim procentem liczby $x$ jest liczba $y$:
Stosujemy wzór na procentowy udział wielkości $y$ w całości $x$: $P = \dfrac{y}{x} \cdot 100\%$:

Podpunkt a) Obliczamy dla $x = 45$ oraz $y = 18$:
$$\begin{aligned} P &= \dfrac{18}{45} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{2}{5} \cdot 100\% = 40\% \end{aligned}$$
Podpunkt b) Obliczamy dla $x = 12{,}5$ oraz $y = 7{,}5$:
$$\begin{aligned} P &= \dfrac{7{,}5}{12{,}5} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{75}{125} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{3}{5} \cdot 100\% = 60\% \end{aligned}$$
Podpunkt c) Obliczamy dla $x = 1650$ oraz $y = 99$:
$$\begin{aligned} P &= \dfrac{99}{1650} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{9}{150} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{3}{50} \cdot 100\% = 6\% \end{aligned}$$
Podpunkt d) Obliczamy dla $x = 8\dfrac{1}{3}$ oraz $y = 3\dfrac{1}{8}$:
Zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe: $$\begin{aligned} x &= 8\dfrac{1}{3} = \dfrac{8 \cdot 3 + 1}{3} = \dfrac{25}{3} \\ y &= 3\dfrac{1}{8} = \dfrac{3 \cdot 8 + 1}{8} = \dfrac{25}{8} \end{aligned}$$ Obliczamy stosunek i mnożymy przez $100\%$: $$\begin{aligned} P &= \dfrac{\frac{25}{8}}{\frac{25}{3}} \cdot 100\% \\ &= \left(\dfrac{25}{8} \cdot \dfrac{3}{25}\right) \cdot 100\% \\ &= \dfrac{3}{8} \cdot 100\% = \dfrac{300\%}{8} = 37{,}5\% = 37\dfrac{1}{2}\% \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Część 1.
a) $0{,}3$

b) $54$

c) $24$

d) $49$

Część 2.
a) $30$

b) $450$

c) $30\,000$

d) $14$

Część 3.
a) $40\%$

b) $60\%$

c) $6\%$

d) $37{,}5\%\quad \left(37\dfrac{1}{2}\%\right)$

Zadanie 2

Ekipa Marcina ułożyła 250 m światłowodu. W tym samym czasie ekipa Pawła ułożyła 200 m światłowodu.

a) O ile procent światłowód ułożony przez ekipę Marcina jest dłuższy od światłowodu ułożonego przez ekipę Pawła?
b) O ile procent światłowód ułożony przez ekipę Pawła jest krótszy od światłowodu ułożonego przez ekipę Marcina?

Wskazówki:

Kluczem w zadaniach na porównywanie procentowe jest poprawne zidentyfikowanie podstawy odniesienia (wielkości stanowiącej $100\%$), która zawsze występuje po słowie „od”.
W podpunkcie a) wielkością bazową ($100\%$) jest długość światłowodu ułożonego przez ekipę Pawła.
W podpunkcie b) wielkością bazową ($100\%$) jest długość światłowodu ułożonego przez ekipę Marcina.
Zadanie można rozwiązać dwoma równoważnymi metodami: bezpośrednio ze wzoru na względną zmianę wartości lub za pomocą proporcji.

Dane i szukane:

Dane:
Długość światłowodu ekipy Marcina: $d_M = 250\text{ m}$
Długość światłowodu ekipy Pawła: $d_P = 200\text{ m}$
Szukane:
Względna różnica długości w odniesieniu do ekipy Pawła: $p_a = ?$
Względna różnica długości w odniesieniu do ekipy Marcina: $p_b = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Obliczenie bezwzględnej różnicy długości ułożonych światłowodów:
W pierwszej kolejności wyznaczamy, o ile metrów więcej ułożyła ekipa Marcina w porównaniu do ekipy Pawła: $$\begin{aligned} \Delta d &= d_M - d_P \\ &= 250\text{ m} - 200\text{ m} \\ &= 50\text{ m} \end{aligned}$$ Światłowód Marcina jest bezwzględnie dłuższy od światłowodu Pawła o $50\text{ m}$.
Podpunkt a) Obliczenie, o ile procent światłowód Marcina jest dłuższy od światłowodu Pawła:
Punktem odniesienia jest długość światłowodu ekipy Pawła ($d_P = 200\text{ m}$).

Sposób I – Wykorzystanie wzoru na różnicę względną:
Dzielimy różnicę długości przez wartość bazową $d_P$ i mnożymy przez $100\%$: $$\begin{aligned} p_a &= \dfrac{d_M - d_P}{d_P} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{50}{200} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{1}{4} \cdot 100\% \\ &= 25\% \end{aligned}$$
Sposób II – Ułożenie proporcji:
Przyjmujemy długość światłowodu Pawła za $100\%$: $$\begin{aligned} 200\text{ m} &\longrightarrow 100\% \\ 50\text{ m} &\longrightarrow p_a \end{aligned}$$ Mnożąc na krzyż, otrzymujemy: $$\begin{aligned} p_a &= \dfrac{50\text{ m} \cdot 100\%}{200\text{ m}} \\ &= \dfrac{5000\%}{200} \\ &= 25\% \end{aligned}$$
Podpunkt b) Obliczenie, o ile procent światłowód Pawła jest krótszy od światłowodu Marcina:
Punktem odniesienia jest długość światłowodu ekipy Marcina ($d_M = 250\text{ m}$).

Sposób I – Wykorzystanie wzoru na różnicę względną:
Dzielimy tę samą różnicę długości przez nową wartość bazową $d_M$: $$\begin{aligned} p_b &= \dfrac{d_M - d_P}{d_M} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{50}{250} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{1}{5} \cdot 100\% \\ &= 20\% \end{aligned}$$
Sposób II – Ułożenie proporcji:
Przyjmujemy długość światłowodu Marcina za $100\%$: $$\begin{aligned} 250\text{ m} &\longrightarrow 100\% \\ 50\text{ m} &\longrightarrow p_b \end{aligned}$$ Mnożąc na krzyż, otrzymujemy: $$\begin{aligned} p_b &= \dfrac{50\text{ m} \cdot 100\%}{250\text{ m}} \\ &= \dfrac{5000\%}{250} \\ &= 20\% \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) O $25\%$

b) O $20\%$

Zadanie 3

Za wykonanie 1 m przyłącza wodociągowego do budynku trzeba zapłacić 150 zł plus 8% podatku VAT. Oblicz, ile złotych zapłaci inwestor za wykonanie 25 m tego przyłącza.

Wskazówki:

Cena podana w treści bez podatku to wartość netto. Kwota, którą ostatecznie płaci inwestor, to wartość brutto uwzględniająca podatek VAT.
Zadanie można rozwiązać na dwa sposoby: najpierw obliczyć łączną kwotę netto za całą długość przyłącza i doliczyć do niej 8% VAT, lub najpierw wyznaczyć cenę brutto za 1 m i pomnożyć ją przez liczbę metrów.
Pamiętaj, że dodanie 8% podatku VAT do kwoty oznacza pomnożenie jej przez $1 + 0{,}08 = 1{,}08$.

Dane i szukane:

Dane:
Cena netto za $1\text{ m}$ przyłącza: $c_n = 150\text{ zł}$
Stawka podatku VAT: $p = 8\% = 0{,}08$
Łączna długość przyłącza: $L = 25\text{ m}$

Szukane:
Łączna kwota do zapłaty (cena brutto): $K_b = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Obliczenie łącznej wartości netto i doliczenie podatku VAT:
W pierwszej kolejności wyznaczamy całkowity koszt netto wykonania $25\text{ m}$ przyłącza: $$\begin{aligned} K_n &= 25 \cdot 150\text{ zł} \\ &= 3750\text{ zł} \end{aligned}$$ Następnie obliczamy kwotę podatku VAT stanowiącą $8\%$ z kwoty netto: $$\begin{aligned} V &= 0{,}08 \cdot 3750\text{ zł} \\ &= 300\text{ zł} \end{aligned}$$ Łączna kwota brutto, którą musi zapłacić inwestor, to suma kwoty netto i podatku VAT: $$\begin{aligned} K_b &= K_n + V \\ &= 3750\text{ zł} + 300\text{ zł} \\ &= 4050\text{ zł} \end{aligned}$$ Możemy również od razu pomnożyć kwotę netto przez współczynnik $1{,}08$: $$\begin{aligned} K_b &= 3750\text{ zł} \cdot 1{,}08 \\ &= 4050\text{ zł} \end{aligned}$$
Sposób II – Wyznaczenie ceny brutto za 1 m i pomnożenie przez łączną długość:
Najpierw obliczamy koszt brutto wykonania $1\text{ m}$ przyłącza: $$\begin{aligned} c_b &= 150\text{ zł} \cdot (1 + 0{,}08) \\ &= 150\text{ zł} \cdot 1{,}08 \\ &= 162\text{ zł} \end{aligned}$$ Mając cenę brutto za jeden metr, mnożymy ją przez całkowitą długość przyłącza ($25\text{ m}$): $$\begin{aligned} K_b &= 25 \cdot 162\text{ zł} \\ &= 4050\text{ zł} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Inwestor za wykonanie 25 m przyłącza zapłaci $4050\text{ zł}$.

Zadanie 4

Cenę pewnego towaru dwukrotnie podnoszono o $20\%$. O ile procent należałoby jednorazowo podnieść cenę towaru, aby uzyskać ten sam efekt?

Wskazówki:

Kolejne podwyżki procentowe nie sumują się bezpośrednio (tzn. $20\% + 20\% \neq 40\%$), ponieważ druga podwyżka jest naliczana od ceny już powiększonej po pierwszej zmianie.
Podwyższenie wielkości o $20\%$ oznacza pomnożenie jej dotychczasowej wartości przez współczynnik $1 + 0{,}20 = 1{,}20$.
Zadanie można rozwiązać w sposób ogólny na zmiennych algebraicznych lub przyjmując wygodną cenę wyjściową, np. $100\text{ zł}$.

Dane i szukane:

Dane:
$c_1$ – początkowa cena towaru ($c_1 > 0$)
$p_1 = 20\%$ – pierwsza podwyżka ceny
$p_2 = 20\%$ – druga podwyżka ceny

Szukane:
$P = ?$ – jednorazowa podwyżka procentowa dająca ten sam efekt końcowy

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Wyznaczenie ceny końcowej za pomocą wyrażeń algebraicznych:
Niech $c_1$ oznacza początkową cenę towaru. Po pierwszej podwyżce o $20\%$ nowa cena wynosi: $$\begin{aligned} c_2 &= c_1 + 0{,}20 \cdot c_1 \\ &= 1{,}20 \cdot c_1 \end{aligned}$$ Druga podwyżka o $20\%$ jest naliczana od nowej ceny $c_2$. Zatem końcowa cena $c_3$ jest równa: $$\begin{aligned} c_3 &= 1{,}20 \cdot c_2 \\ &= 1{,}20 \cdot (1{,}20 \cdot c_1) \\ &= 1{,}44 \cdot c_1 \end{aligned}$$
Obliczenie równoważnej jednorazowej podwyżki procentowej:
Chcemy ustalić, o jaki procent $P$ należałoby jednorazowo podnieść cenę początkową $c_1$, aby otrzymać cenę końcową $c_3 = 1{,}44 \cdot c_1$: $$\begin{aligned} P &= \dfrac{c_3 - c_1}{c_1} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{1{,}44 \cdot c_1 - c_1}{c_1} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{0{,}44 \cdot c_1}{c_1} \cdot 100\% \\ &= 0{,}44 \cdot 100\% = 44\% \end{aligned}$$
Sposób II – Zastosowanie konkretnej ceny wyjściowej 100 zł:
Przyjmijmy dla ułatwienia, że cena początkowa wynosi: $$c_1 = 100\text{ zł}$$ Obliczamy cenę po pierwszej podwyżce o $20\%$: $$\begin{aligned} c_2 &= 100\text{ zł} + 0{,}20 \cdot 100\text{ zł} \\ &= 100\text{ zł} + 20\text{ zł} = 120\text{ zł} \end{aligned}$$ Obliczamy cenę po drugiej podwyżce o $20\%$ (liczonej od kwoty $120\text{ zł}$): $$\begin{aligned} c_3 &= 120\text{ zł} + 0{,}20 \cdot 120\text{ zł} \\ &= 120\text{ zł} + 24\text{ zł} = 144\text{ zł} \end{aligned}$$ Porównujemy cenę końcową z ceną wyjściową: $$\begin{aligned} \Delta c &= 144\text{ zł} - 100\text{ zł} = 44\text{ zł} \\ P &= \dfrac{44\text{ zł}}{100\text{ zł}} \cdot 100\% = 44\% \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Cenę towaru należałoby jednorazowo podnieść o $44\%$.

Zadanie 5

Cena biletu na spektakl w teatrze wynosiła 120 zł. Gdy cenę obniżono, okazało się, że na widownię przychodziło o 60% widzów więcej, a dochód uzyskany ze sprzedaży biletów na jeden spektakl wzrósł o 20%. O ile złotych obniżono cenę biletu?

Wskazówki:

Dochód (przychód) ze sprzedaży biletów jest iloczynem ceny jednego biletu oraz liczby sprzedanych biletów (liczby widzów): $D = c \cdot l$.
Nową liczbę widzów oraz nowy dochód zapisz za pomocą początkowych wielkości powiększonych o odpowiednie wartości procentowe: $l_2 = 1,60 l_1$ oraz $D_2 = 1,20 D_1$.
Podstaw te zależności do wzoru na nowy dochód, wyznacz nową cenę biletu $c_2$, a na końcu oblicz różnicę $\Delta c = c_1 - c_2$.

Dane i szukane:

Dane:
Początkowa cena jednego biletu: $c_1 = 120\text{ zł}$
Początkowa liczba widzów: $l_1$
Początkowy dochód ze sprzedaży: $D_1 = c_1 \cdot l_1$
Nowa liczba widzów: $l_2 = l_1 + 0,60 l_1 = 1,60 l_1$
Nowy dochód ze sprzedaży: $D_2 = D_1 + 0,20 D_1 = 1,20 D_1$

Szukane:
Nowa cena biletu: $c_2 = ?$
Wielkość obniżki ceny biletu: $\Delta c = c_1 - c_2 = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Zapisanie zależności między ceną, liczbą widzów oraz uzyskanym dochodem:
Początkowy dochód uzyskany ze spektaklu wyraża się wzorem: $$D_1 = c_1 \cdot l_1$$ Po obniżeniu ceny do wartości $c_2$, nowa liczba widzów wynosi: $$l_2 = 1,60 l_1$$ Zatem nowy dochód ze spektaklu wynosi: $$D_2 = c_2 \cdot l_2 = c_2 \cdot 1,60 l_1$$
Sposób I – Wyznaczenie nowej ceny biletu z równania dochodu:
Z treści zadania wynika, że dochód po zmianie ceny wzrósł o $20\%$, czyli: $$D_2 = 1,20 D_1$$ Wstawiamy wyrażenia na dochody: $$\begin{aligned} c_2 \cdot 1,60 l_1 &= 1,20 \cdot (c_1 \cdot l_1) \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony równania przez liczbę widzów $l_1$ (przy założeniu $l_1 > 0$): $$\begin{aligned} 1,60 c_2 &= 1,20 c_1 \\ c_2 &= \dfrac{1,20}{1,60} c_1 \\ c_2 &= \dfrac{3}{4} c_1 \end{aligned}$$ Podstawiamy wartość początkowej ceny $c_1 = 120\text{ zł}$: $$\begin{aligned} c_2 &= \dfrac{3}{4} \cdot 120\text{ zł} \\ c_2 &= 90\text{ zł} \end{aligned}$$ Obliczamy kwotę, o jaką obniżono cenę biletu: $$\begin{aligned} \Delta c &= c_1 - c_2 \\ \Delta c &= 120\text{ zł} - 90\text{ zł} \\ \Delta c &= 30\text{ zł} \end{aligned}$$
Sposób II – Wykorzystanie wskaźników procentowych (mnożników zmian):
Niech wielkości początkowe stanowią wartości bazowe ($100\%$). Dochód jest wprost proporcjonalny do ceny i do liczby widzów: $$D = c \cdot l$$ Wskaźnik zmiany dochodu wynosi $W_D = 1,20$, a wskaźnik zmiany liczby widzów wynosi $W_l = 1,60$. Wskaźnik nowej ceny $W_c$ spełnia relację: $$\begin{aligned} W_D &= W_c \cdot W_l \\ W_c &= \dfrac{W_D}{W_l} \\ W_c &= \dfrac{1,20}{1,60} = 0,75 = 75\% \end{aligned}$$ Nowa cena biletu stanowi $75\%$ ceny wyjściowej, co oznacza, że obniżono ją o: $$100\% - 75\% = 25\%$$ Obliczamy kwotę obniżki: $$\begin{aligned} \Delta c &= 25\% \cdot 120\text{ zł} \\ &= 0,25 \cdot 120\text{ zł} \\ &= 30\text{ zł} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Cenę biletu obniżono o $30\text{ zł}$.

Grupa B

Zadanie 1

Wykonaj poniższe polecenia:

1. Oblicz
a) $40\%$ liczby $2{,}5$
b) $16\%$ liczby $250$
c) $1{,}5\%$ liczby $3000$
d) $120\%$ liczby $45$

2. Wyznacz liczbę, której
a) $20\%$ jest równe $8$
b) $3\%$ jest równe $21$
c) $1{,}6\%$ jest równe $320$
d) $240\%$ jest równe $36$

3. Jakim procentem liczby $x$ jest liczba $y$, jeśli
a) $x = 50;\ y = 35$
b) $x = 17{,}5;\ y = 5{,}25$
c) $x = 1250;\ y = 75$
d) $x = 7\dfrac{1}{2};\ y = 2\dfrac{1}{4}$

Zadanie 2

Ekipa Krzysztofa ułożyła 400 m światłowodu. W tym samym czasie ekipa Damiana ułożyła 250 m światłowodu.

a) O ile procent światłowód ułożony przez ekipę Krzysztofa jest dłuższy od światłowodu ułożonego przez ekipę Damiana?
b) O ile procent światłowód ułożony przez ekipę Damiana jest krótszy od światłowodu ułożonego przez ekipę Krzysztofa?

Zadanie 3

Za montaż 1 m bieżącego ogrodzenia panelowego wokół posesji trzeba zapłacić 140 zł plus 23% podatku VAT. Oblicz, ile złotych zapłaci właściciel działki za montaż 30 m bieżących takiego ogrodzenia.

Zadanie 4

Cenę pewnego towaru dwukrotnie podnoszono o $30\%$. O ile procent należałoby jednorazowo podnieść cenę towaru, aby uzyskać ten sam efekt?

Zadanie 5

Cena biletu do kina na seans filmowy wynosiła 40 zł. Gdy cenę obniżono, okazało się, że na seans przychodziło o 50% widzów więcej, a przychód uzyskany ze sprzedaży biletów wzrósł o 20%. O ile złotych obniżono cenę biletu?

1.9 Procenty

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋