Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym kartkówka LiczBit

2.5 Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Oblicz:

a) $(0,2)^{-3} \qquad (0,6)^{-3} \qquad (-0,4)^{-2} \qquad (-0,5)^{-1}$

b) $\left(1\frac{1}{2}\right)^{-2} \qquad \left(-1\frac{1}{3}\right)^{-3} \qquad \left(-1\frac{1}{4}\right)^{-2} \qquad \left(2\frac{1}{2}\right)^{-1}$

Wskazówki:

Ułamki dziesiętne oraz liczby mieszane zamień w pierwszej kolejności na ułamki zwykłe (właściwe lub niewłaściwe) i skróć je do postaci nieskracalnej.
Zastosuj definicję potęgi o wykładniku ujemnym: dla dowolnej liczby $a \neq 0$ oraz ułamka $\frac{a}{b} \neq 0$ zachodzi $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n$.
Zwróć uwagę na znak podstawy potęgi: ujemna liczba podniesiona do potęgi parzystej daje wynik dodatni, a do nieparzystej — wynik ujemny.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczamy wartości potęg liczb dziesiętnych:
Dla wyrażenia $(0,2)^{-3}$: $$ \begin{aligned} (0,2)^{-3} &= \left(\dfrac{2}{10}\right)^{-3} \\[8pt] &= \left(\dfrac{1}{5}\right)^{-3} \\[8pt] &= 5^3 = 125 \end{aligned} $$ Dla wyrażenia $(0,6)^{-3}$: $$ \begin{aligned} (0,6)^{-3} &= \left(\dfrac{6}{10}\right)^{-3} \\[8pt] &= \left(\dfrac{3}{5}\right)^{-3} \\[8pt] &= \left(\dfrac{5}{3}\right)^3 \\[8pt] &= \dfrac{5^3}{3^3} = \dfrac{125}{27} = 4\dfrac{17}{27} \end{aligned} $$ Dla wyrażenia $(-0,4)^{-2}$: $$ \begin{aligned} (-0,4)^{-2} &= \left(-\dfrac{4}{10}\right)^{-2} \\[8pt] &= \left(-\dfrac{2}{5}\right)^{-2} \\[8pt] &= \left(-\dfrac{5}{2}\right)^2 \\[8pt] &= \dfrac{(-5)^2}{2^2} = \dfrac{25}{4} = 6\dfrac{1}{4} \end{aligned} $$ Dla wyrażenia $(-0,5)^{-1}$: $$ \begin{aligned} (-0,5)^{-1} &= \left(-\dfrac{5}{10}\right)^{-1} \\[8pt] &= \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{-1} \\[8pt] &= \left(-\dfrac{2}{1}\right)^1 = -2 \end{aligned} $$
Podpunkt b) Obliczamy wartości potęg liczb mieszanych:
Dla wyrażenia $\left(1\frac{1}{2}\right)^{-2}$: $$ \begin{aligned} \left(1\dfrac{1}{2}\right)^{-2} &= \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-2} \\[8pt] &= \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 \\[8pt] &= \dfrac{2^2}{3^2} = \dfrac{4}{9} \end{aligned} $$ Dla wyrażenia $\left(-1\frac{1}{3}\right)^{-3}$: $$ \begin{aligned} \left(-1\dfrac{1}{3}\right)^{-3} &= \left(-\dfrac{4}{3}\right)^{-3} \\[8pt] &= \left(-\dfrac{3}{4}\right)^3 \\[8pt] &= \dfrac{(-3)^3}{4^3} = -\dfrac{27}{64} \end{aligned} $$ Dla wyrażenia $\left(-1\frac{1}{4}\right)^{-2}$: $$ \begin{aligned} \left(-1\dfrac{1}{4}\right)^{-2} &= \left(-\dfrac{5}{4}\right)^{-2} \\[8pt] &= \left(-\dfrac{4}{5}\right)^2 \\[8pt] &= \dfrac{(-4)^2}{5^2} = \dfrac{16}{25} \end{aligned} $$ Dla wyrażenia $\left(2\frac{1}{2}\right)^{-1}$: $$ \begin{aligned} \left(2\dfrac{1}{2}\right)^{-1} &= \left(\dfrac{5}{2}\right)^{-1} \\[8pt] &= \left(\dfrac{2}{5}\right)^1 = \dfrac{2}{5} \end{aligned} $$

Odpowiedź:
a) $125$, $\;4\dfrac{17}{27}$, $\;6\dfrac{1}{4}$, $\;-2$

b) $\dfrac{4}{9}$, $\;-\dfrac{27}{64}$, $\;\dfrac{16}{25}$, $\;\dfrac{2}{5}$

Zadanie 2

Oblicz, stosując prawa działań na potęgach:

a) $(0,8)^{-6} \cdot \left(1\frac{1}{4}\right)^{-6}$

b) $\left(1\frac{3}{5}\right)^{-3} \cdot \left(\frac{5}{8}\right)^{-3}$

c) $(2,5)^{-3} \cdot (1,2)^{-3}$

d) $\left(1\frac{3}{7}\right)^{-2} \cdot (3,5)^{-2}$

e) $(4,5)^{-3} : (1,5)^{-3}$

f) $(0,4)^{-2} : (0,6)^{-2}$

g) $\left(1\frac{7}{8}\right)^{-2} : \left(\frac{5}{8}\right)^{-2}$

h) $(2,8)^{-3} : (0,7)^{-3}$

Wskazówki:

Wykorzystaj prawo mnożenia potęg o tych samych wykładnikach: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
Wykorzystaj prawo dzielenia potęg o tych samych wykładnikach: $a^n : b^n = (a : b)^n$.
Ułamki dziesiętne oraz liczby mieszane zamień na ułamki zwykłe (niewłaściwe), co ułatwi mnożenie, dzielenie i skracanie.
Pamiętaj o definicji potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ oraz $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczamy wartość wyrażenia $(0,8)^{-6} \cdot \left(1\frac{1}{4}\right)^{-6}$:
Zamieniamy ułamek dziesiętny $0,8 = \frac{4}{5}$ oraz liczbę mieszaną $1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ na ułamki zwykłe, a następnie mnożymy podstawy pod wspólnym wykładnikiem: $$\begin{aligned} (0,8)^{-6} \cdot \left(1\frac{1}{4}\right)^{-6} &= \left(\frac{4}{5}\right)^{-6} \cdot \left(\frac{5}{4}\right)^{-6} \\ &= \left(\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4}\right)^{-6} \\ &= 1^{-6} = 1 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Obliczamy wartość wyrażenia $\left(1\frac{3}{5}\right)^{-3} \cdot \left(\frac{5}{8}\right)^{-3}$:
Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy $1\frac{3}{5} = \frac{8}{5}$, po czym łączymy czynniki pod jednym wykładnikiem: $$\begin{aligned} \left(1\frac{3}{5}\right)^{-3} \cdot \left(\frac{5}{8}\right)^{-3} &= \left(\frac{8}{5}\right)^{-3} \cdot \left(\frac{5}{8}\right)^{-3} \\ &= \left(\frac{8}{5} \cdot \frac{5}{8}\right)^{-3} \\ &= 1^{-3} = 1 \end{aligned}$$
Podpunkt c) Obliczamy wartość wyrażenia $(2,5)^{-3} \cdot (1,2)^{-3}$:
Mnożymy podstawy potęg pod wspólnym wykładnikiem $-3$, a otrzymany wynik przekształcamy zgodnie z definicją ujemnego wykładnika: $$\begin{aligned} (2,5)^{-3} \cdot (1,2)^{-3} &= (2,5 \cdot 1,2)^{-3} \\ &= 3^{-3} \\ &= \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27} \end{aligned}$$
Podpunkt d) Obliczamy wartość wyrażenia $\left(1\frac{3}{7}\right)^{-2} \cdot (3,5)^{-2}$:
Zapisujemy obie liczby w postaci ułamków zwykłych: $1\frac{3}{7} = \frac{10}{7}$ oraz $3,5 = \frac{7}{2}$, a następnie wykonujemy mnożenie pod wspólnym wykładnikiem: $$\begin{aligned} \left(1\frac{3}{7}\right)^{-2} \cdot (3,5)^{-2} &= \left(\frac{10}{7}\right)^{-2} \cdot \left(\frac{7}{2}\right)^{-2} \\ &= \left(\frac{10}{7} \cdot \frac{7}{2}\right)^{-2} \\ &= 5^{-2} \\ &= \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} \end{aligned}$$
Podpunkt e) Obliczamy wartość wyrażenia $(4,5)^{-3} : (1,5)^{-3}$:
Stosujemy prawo dzielenia potęg o jednakowych wykładnikach $a^n : b^n = (a : b)^n$: $$\begin{aligned} (4,5)^{-3} : (1,5)^{-3} &= (4,5 : 1,5)^{-3} \\ &= 3^{-3} \\ &= \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27} \end{aligned}$$
Podpunkt f) Obliczamy wartość wyrażenia $(0,4)^{-2} : (0,6)^{-2}$:
Dzielimy podstawy pod wspólnym wykładnikiem, upraszczamy powstały ułamek i odwracamy go, likwidując minus w wykładniku: $$\begin{aligned} (0,4)^{-2} : (0,6)^{-2} &= (0,4 : 0,6)^{-2} \\ &= \left(\frac{4}{6}\right)^{-2} \\ &= \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} \\ &= \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} \end{aligned}$$
Podpunkt g) Obliczamy wartość wyrażenia $\left(1\frac{7}{8}\right)^{-2} : \left(\frac{5}{8}\right)^{-2}$:
Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy $1\frac{7}{8} = \frac{15}{8}$, a dzielenie ułamków pod wspólnym wykładnikiem zastępujemy mnożeniem przez odwrotność: $$\begin{aligned} \left(1\frac{7}{8}\right)^{-2} : \left(\frac{5}{8}\right)^{-2} &= \left(\frac{15}{8} : \frac{5}{8}\right)^{-2} \\ &= \left(\frac{15}{8} \cdot \frac{8}{5}\right)^{-2} \\ &= 3^{-2} \\ &= \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \end{aligned}$$
Podpunkt h) Obliczamy wartość wyrażenia $(2,8)^{-3} : (0,7)^{-3}$:
Dzielimy podstawy potęg pod wspólnym wykładnikiem $-3$: $$\begin{aligned} (2,8)^{-3} : (0,7)^{-3} &= (2,8 : 0,7)^{-3} \\ &= 4^{-3} \\ &= \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $1$

b) $1$

c) $\dfrac{1}{27}$

d) $\dfrac{1}{25}$

e) $\dfrac{1}{27}$

f) $2\frac{1}{4}$

g) $\dfrac{1}{9}$

h) $\dfrac{1}{64}$

Zadanie 3

Oblicz:

a) $\dfrac{3^{-2} + 7^0}{(0{,}5)^{-2} - 7 \cdot (-3)^{-2} + \left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2}} + 2\dfrac{7}{9}$

b) $\dfrac{(0{,}4)^0 - (0{,}125)^{-1}}{\left(5 : 2^2\right)^{-1} \cdot (2{,}5)^2 - \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{-1}}$

c) $\dfrac{\left[\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1} - (0{,}2)^{-1}\right]^{-2}}{(0{,}75)^{-1} - (1{,}2)^{-1}}$

d) $\dfrac{\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-2} \cdot \left(1\dfrac{1}{3}\right)^{-1} - (3^{-1} - 2^{-1})^{-2}}{\left(\dfrac{5}{24}\right)^{-1}}$

Wskazówki:

Dla dowolnej liczby $a \neq 0$ zachodzi $a^0 = 1$ oraz $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$.
W przypadku ułamków zwykłych podnoszenie do ujemnej potęgi oznacza odwrócenie ułamka: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n$.
Ułamki dziesiętne wygodnie jest najpierw zamienić na ułamki zwykłe nieskracalne, np. $0{,}5 = \dfrac{1}{2}$, $0{,}125 = \dfrac{1}{8}$, $0{,}75 = \dfrac{3}{4}$, $1{,}2 = \dfrac{6}{5}$.
Pamiętaj o kolejności wykonywania działań: najpierw potęgowanie, potem mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczamy wartość wyrażenia $\dfrac{3^{-2} + 7^0}{(0{,}5)^{-2} - 7 \cdot (-3)^{-2} + \left(\frac{3}{4}\right)^{-2}} + 2\dfrac{7}{9}$:
Wyznaczamy najpierw wartości poszczególnych potęg występujących w ułamku: $$\begin{aligned} 3^{-2} &= \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9} \\ 7^0 &= 1 \\ (0{,}5)^{-2} &= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4 \\ (-3)^{-2} &= \dfrac{1}{(-3)^2} = \dfrac{1}{9} \\ \left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2} &= \left(\dfrac{4}{3}\right)^2 = \dfrac{16}{9} \end{aligned}$$ Obliczamy wartość licznika oraz mianownika: $$\begin{aligned} \text{Licznik} &= \dfrac{1}{9} + 1 = \dfrac{10}{9} \\ \text{Mianownik} &= 4 - 7 \cdot \dfrac{1}{9} + \dfrac{16}{9} \\ &= 4 - \dfrac{7}{9} + \dfrac{16}{9} \\ &= 4 + \dfrac{9}{9} = 4 + 1 = 5 \end{aligned}$$ Dzielimy licznik przez mianownik i dodajemy pozostałą liczbę: $$\begin{aligned} \dfrac{\frac{10}{9}}{5} + 2\dfrac{7}{9} &= \dfrac{10}{9} \cdot \dfrac{1}{5} + \dfrac{25}{9} \\ &= \dfrac{2}{9} + \dfrac{25}{9} \\ &= \dfrac{27}{9} = 3 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Obliczamy wartość wyrażenia $\dfrac{(0{,}4)^0 - (0{,}125)^{-1}}{\left(5 : 2^2\right)^{-1} \cdot (2{,}5)^2 - \left(-\frac{1}{2}\right)^{-1}}$:
Obliczamy wartości potęg w liczniku i mianowniku: $$\begin{aligned} (0{,}4)^0 &= 1 \\ (0{,}125)^{-1} &= \left(\dfrac{1}{8}\right)^{-1} = 8 \\ \left(5 : 2^2\right)^{-1} &= \left(\dfrac{5}{4}\right)^{-1} = \dfrac{4}{5} \\ (2{,}5)^2 &= \left(\dfrac{5}{2}\right)^2 = \dfrac{25}{4} \\ \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{-1} &= -2 \end{aligned}$$ Wstawiamy otrzymane wyniki do wyrażenia: $$\begin{aligned} \text{Licznik} &= 1 - 8 = -7 \\ \text{Mianownik} &= \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{25}{4} - (-2) \\ &= 5 + 2 = 7 \end{aligned}$$ Dzielimy licznik przez mianownik: $$\dfrac{-7}{7} = -1$$
Podpunkt c) Obliczamy wartość wyrażenia $\dfrac{\left[\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} - (0{,}2)^{-1}\right]^{-2}}{(0{,}75)^{-1} - (1{,}2)^{-1}}$:
Wyznaczamy wartość wyrażenia w nawiasie kwadratowym w liczniku: $$\begin{aligned} \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1} &= 3 \\ (0{,}2)^{-1} &= \left(\dfrac{1}{5}\right)^{-1} = 5 \\ \left[\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1} - (0{,}2)^{-1}\right]^{-2} &= [3 - 5]^{-2} \\ &= (-2)^{-2} = \dfrac{1}{(-2)^2} = \dfrac{1}{4} \end{aligned}$$ Obliczamy mianownik, zamieniając ułamki dziesiętne na zwykłe: $$\begin{aligned} (0{,}75)^{-1} &= \left(\dfrac{3}{4}\right)^{-1} = \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{6} \\ (1{,}2)^{-1} &= \left(\dfrac{6}{5}\right)^{-1} = \dfrac{5}{6} \\ \text{Mianownik} &= \dfrac{8}{6} - \dfrac{5}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$$ Dzielimy licznik przez mianownik: $$\dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{4} \cdot 2 = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$$
Podpunkt d) Obliczamy wartość wyrażenia $\dfrac{\left(\frac{1}{4}\right)^{-2} \cdot \left(1\frac{1}{3}\right)^{-1} - (3^{-1} - 2^{-1})^{-2}}{\left(\frac{5}{24}\right)^{-1}}$:
Obliczamy pierwszy składnik licznika: $$\begin{aligned} \left(\dfrac{1}{4}\right)^{-2} \cdot \left(1\dfrac{1}{3}\right)^{-1} &= 4^2 \cdot \left(\dfrac{4}{3}\right)^{-1} \\ &= 16 \cdot \dfrac{3}{4} = 12 \end{aligned}$$ Obliczamy drugi składnik licznika: $$\begin{aligned} (3^{-1} - 2^{-1})^{-2} &= \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2}\right)^{-2} \\ &= \left(\dfrac{2}{6} - \dfrac{3}{6}\right)^{-2} \\ &= \left(-\dfrac{1}{6}\right)^{-2} = (-6)^2 = 36 \end{aligned}$$ Licznik wynosi zatem: $$12 - 36 = -24$$ Mianownik po odwróceniu ułamka wynosi: $$\left(\dfrac{5}{24}\right)^{-1} = \dfrac{24}{5}$$ Wyznaczamy ostateczną wartość ilorazu: $$\dfrac{-24}{\frac{24}{5}} = -24 \cdot \dfrac{5}{24} = -5$$

Odpowiedź:
a) $3$

b) $-1$

c) $\dfrac{1}{2}$ (lub $0{,}5$)

d) $-5$

Zadanie 4

Zapisz liczby w postaci $a \cdot 10^k$, gdzie $a \in \langle 1, 10)$ i $k \in \mathbf{Z}$:

a) $6300$

b) $2034000$

c) $481500000$

d) $70000000$

e) $0{,}08$

f) $0{,}457$

g) $0{,}00000382$

h) $0{,}00050702$

Wskazówki:

Notacja wykładnicza (postać naukowa) liczby to zapis $a \cdot 10^k$, gdzie mantysa $a$ spełnia warunek $1 \le a < 10$, natomiast wykładnik $k \in \mathbf{Z}$ jest liczbą całkowitą.
W przypadku liczb większych od $10$ przesuwamy domyślny przecinek w lewo o tyle miejsc, aby otrzymać liczbę z przedziału $\langle 1, 10)$. Liczba przesunięć wyznacza dodatni wykładnik $k$.
W przypadku liczb dodatnich mniejszych od $1$ przesuwamy przecinek w prawo, aż po jego lewej stronie znajdzie się pierwsza cyfra różna od zera. Liczba przesunięć wyznacza ujemny wykładnik $k$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Zapisujemy liczbę $6300$ w postaci $a \cdot 10^k$:
W liczbie całkowitej przecinek znajduje się na jej końcu ($6300{,}0$). Przesuwamy go w lewo o $3$ miejsca, aby uzyskać mantysę z przedziału $\langle 1, 10)$: $$6300 = 6{,}3 \cdot 10^3$$
Podpunkt b) Zapisujemy liczbę $2034000$ w postaci $a \cdot 10^k$:
Przesuwamy przecinek o $6$ miejsc w lewo, uzyskując liczbę $a = 2{,}034$: $$2034000 = 2{,}034 \cdot 10^6$$
Podpunkt c) Zapisujemy liczbę $481500000$ w postaci $a \cdot 10^k$:
Przesuwamy przecinek o $8$ miejsc w lewo, co daje mantysę $a = 4{,}815$: $$481500000 = 4{,}815 \cdot 10^8$$
Podpunkt d) Zapisujemy liczbę $70000000$ w postaci $a \cdot 10^k$:
Przesuwamy przecinek o $7$ miejsc w lewo, otrzymując pojedynczą cyfrę przed przecinkiem: $$70000000 = 7 \cdot 10^7$$
Podpunkt e) Zapisujemy liczbę $0{,}08$ w postaci $a \cdot 10^k$:
Liczba jest dodatnia i mniejsza od $1$. Przesuwamy przecinek o $2$ miejsca w prawo, aby za pierwszą niezerową cyfrą uzyskać $a = 8$. Ponieważ przesunięcie nastąpiło w prawo, wykładnik wynosi $-2$: $$0{,}08 = 8 \cdot 10^{-2}$$
Podpunkt f) Zapisujemy liczbę $0{,}457$ w postaci $a \cdot 10^k$:
Przesuwamy przecinek o $1$ miejsce w prawo, co daje mantysę $a = 4{,}57$: $$0{,}457 = 4{,}57 \cdot 10^{-1}$$
Podpunkt g) Zapisujemy liczbę $0{,}00000382$ w postaci $a \cdot 10^k$:
Przesuwamy przecinek o $6$ miejsc w prawo, aby po lewej stronie przecinka znalazła się pierwsza cyfra niezerowa ($3$), co daje $a = 3{,}82$: $$0{,}00000382 = 3{,}82 \cdot 10^{-6}$$
Podpunkt h) Zapisujemy liczbę $0{,}00050702$ w postaci $a \cdot 10^k$:
Przesuwamy przecinek o $4$ miejsca w prawo do cyfry $5$, otrzymując mantysę $a = 5{,}0702$: $$0{,}00050702 = 5{,}0702 \cdot 10^{-4}$$

Odpowiedź:
a) $6{,}3 \cdot 10^3$

b) $2{,}034 \cdot 10^6$

c) $4{,}815 \cdot 10^8$

d) $7 \cdot 10^7$

e) $8 \cdot 10^{-2}$

f) $4{,}57 \cdot 10^{-1}$

g) $3{,}82 \cdot 10^{-6}$

h) $5{,}0702 \cdot 10^{-4}$

Zadanie 5

Wykaż, że dane dwie liczby są równe:

a) $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ oraz $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^{-1}$

b) $5 - 2\sqrt{6}$ oraz $(5 + 2\sqrt{6})^{-1}$

c) $\sqrt{7} - \sqrt{6}$ oraz $(\sqrt{7} + \sqrt{6})^{-1}$

d) $6 + \sqrt{35}$ oraz $(6 - \sqrt{35})^{-1}$

Wskazówki:

Zastosuj definicję potęgi o wykładniku ujemnym: dla dowolnej liczby $a \neq 0$ zachodzi $a^{-1} = \dfrac{1}{a}$.
Usuń niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik ułamka przez wyrażenie sprzężone z wykorzystaniem wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Możesz także sprawdzić iloczyn obu liczb: jeśli $A \cdot B = 1$, to dzieląc obustronnie przez $B$, otrzymujemy $A = \dfrac{1}{B} = B^{-1}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wykazanie równości liczb $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ oraz $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^{-1}$:
Sposób I (przekształcenie potęgi o wykładniku $-1$):
Zgodnie z definicją potęgi o wykładniku $-1$ zapisujemy drugą liczbę w postaci ułamka: $$(\sqrt{3} - \sqrt{2})^{-1} = \dfrac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$$ Mnożymy licznik oraz mianownik przez sumę $\sqrt{3} + \sqrt{2}$, aby w mianowniku zastosować wzór $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$: $$\begin{aligned} \dfrac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} &= \dfrac{1 \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} \\ &= \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} \\ &= \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{3 - 2} \\ &= \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{1} \\ &= \sqrt{3} + \sqrt{2} \end{aligned}$$ Otrzymaliśmy wartość pierwszej liczby, co kończy dowód.

Sposób II (badanie iloczynu liczb):
Mnożymy pierwszą liczbę przez podstawę potęgi drugiej liczby: $$\begin{aligned} (\sqrt{3} + \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{2}) &= (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 \\ &= 3 - 2 \\ &= 1 \end{aligned}$$ Iloczyn liczb wynosi $1$, więc dzieląc obustronnie przez $(\sqrt{3} - \sqrt{2})$, otrzymujemy: $$\sqrt{3} + \sqrt{2} = \dfrac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^{-1}$$
Podpunkt b) Wykazanie równości liczb $5 - 2\sqrt{6}$ oraz $(5 + 2\sqrt{6})^{-1}$:
Zapisujemy drugą liczbę jako ułamek ze znakiem potęgi w mianowniku: $$(5 + 2\sqrt{6})^{-1} = \dfrac{1}{5 + 2\sqrt{6}}$$ Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez $5 - 2\sqrt{6}$: $$\begin{aligned} \dfrac{1}{5 + 2\sqrt{6}} &= \dfrac{1 \cdot (5 - 2\sqrt{6})}{(5 + 2\sqrt{6})(5 - 2\sqrt{6})} \\ &= \dfrac{5 - 2\sqrt{6}}{5^2 - (2\sqrt{6})^2} \\ &= \dfrac{5 - 2\sqrt{6}}{25 - 4 \cdot 6} \\ &= \dfrac{5 - 2\sqrt{6}}{25 - 24} \\ &= \dfrac{5 - 2\sqrt{6}}{1} \\ &= 5 - 2\sqrt{6} \end{aligned}$$ Wartość ta jest równa pierwszej liczbie, co dowodzi ich równości.
Podpunkt c) Wykazanie równości liczb $\sqrt{7} - \sqrt{6}$ oraz $(\sqrt{7} + \sqrt{6})^{-1}$:
Przekształcamy drugą liczbę, stosując regułę potęgowania z ujemnym wykładnikiem: $$(\sqrt{7} + \sqrt{6})^{-1} = \dfrac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}$$ Rozszerzamy ułamek przez różnicę $\sqrt{7} - \sqrt{6}$: $$\begin{aligned} \dfrac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} &= \dfrac{1 \cdot (\sqrt{7} - \sqrt{6})}{(\sqrt{7} + \sqrt{6})(\sqrt{7} - \sqrt{6})} \\ &= \dfrac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2} \\ &= \dfrac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{7 - 6} \\ &= \dfrac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{1} \\ &= \sqrt{7} - \sqrt{6} \end{aligned}$$ Otrzymany wynik jest identyczny z pierwszą liczbą.
Podpunkt d) Wykazanie równości liczb $6 + \sqrt{35}$ oraz $(6 - \sqrt{35})^{-1}$:
Zapisujemy liczbę z wykładnikiem $-1$ w postaci ilorazu: $$(6 - \sqrt{35})^{-1} = \dfrac{1}{6 - \sqrt{35}}$$ Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc górę i dół ułamka przez sumę $6 + \sqrt{35}$: $$\begin{aligned} \dfrac{1}{6 - \sqrt{35}} &= \dfrac{1 \cdot (6 + \sqrt{35})}{(6 - \sqrt{35})(6 + \sqrt{35})} \\ &= \dfrac{6 + \sqrt{35}}{6^2 - (\sqrt{35})^2} \\ &= \dfrac{6 + \sqrt{35}}{36 - 35} \\ &= \dfrac{6 + \sqrt{35}}{1} \\ &= 6 + \sqrt{35} \end{aligned}$$ Liczby są równe, co kończy rozwiązanie zadania.

Odpowiedź:
a) Obie liczby są równe: $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^{-1} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$.

b) Obie liczby są równe: $(5 + 2\sqrt{6})^{-1} = 5 - 2\sqrt{6}$.

c) Obie liczby są równe: $(\sqrt{7} + \sqrt{6})^{-1} = \sqrt{7} - \sqrt{6}$.

d) Obie liczby są równe: $(6 - \sqrt{35})^{-1} = 6 + \sqrt{35}$.

Zadanie 6

Oblicz, stosując prawa działań na potęgach:

e) $\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-2} \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^{-2}$

f) $\left(1\dfrac{1}{3}\right)^{-3} \cdot \left(\dfrac{3}{8}\right)^{-3}$

g) $(3{,}5)^{-4} \cdot \left(\dfrac{2}{7}\right)^{-4}$

h) $\left(3\dfrac{1}{3}\right)^{-3} \cdot (0{,}6)^{-3}$

Wskazówki:

Wykorzystaj prawo działań na potęgach o jednakowych wykładnikach: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
Przed pomnożeniem podstaw zamień liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, a ułamki dziesiętne na nieskracalne ułamki zwykłe.
Skorzystaj z definicji potęgi o wykładniku ujemnym: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n$ oraz $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt e) Obliczamy wartość wyrażenia $\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-2} \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^{-2}$:
Podstawy potęg mają ten sam wykładnik, więc możemy zapisać ich iloczyn pod wspólnym wykładnikiem: $$\begin{aligned} \left(\dfrac{3}{5}\right)^{-2} \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^{-2} &= \left(\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{5}{6}\right)^{-2} \\ &= \left(\dfrac{3}{6}\right)^{-2} \\ &= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2} \\ &= 2^2 = 4 \end{aligned}$$
Podpunkt f) Obliczamy wartość wyrażenia $\left(1\dfrac{1}{3}\right)^{-3} \cdot \left(\dfrac{3}{8}\right)^{-3}$:
Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy: $1\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3}$, a następnie stosujemy prawo mnożenia potęg o jednakowych wykładnikach: $$\begin{aligned} \left(1\dfrac{1}{3}\right)^{-3} \cdot \left(\dfrac{3}{8}\right)^{-3} &= \left(\dfrac{4}{3}\right)^{-3} \cdot \left(\dfrac{3}{8}\right)^{-3} \\ &= \left(\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3}{8}\right)^{-3} \\ &= \left(\dfrac{4}{8}\right)^{-3} \\ &= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3} \\ &= 2^3 = 8 \end{aligned}$$
Podpunkt g) Obliczamy wartość wyrażenia $(3{,}5)^{-4} \cdot \left(\dfrac{2}{7}\right)^{-4}$:
Zamieniamy ułamek dziesiętny na ułamek zwykły nieskracalny: $3{,}5 = \dfrac{35}{10} = \dfrac{7}{2}$. Mnożymy podstawy wewnątrz nawiasu: $$\begin{aligned} (3{,}5)^{-4} \cdot \left(\dfrac{2}{7}\right)^{-4} &= \left(\dfrac{7}{2}\right)^{-4} \cdot \left(\dfrac{2}{7}\right)^{-4} \\ &= \left(\dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{2}{7}\right)^{-4} \\ &= 1^{-4} = 1 \end{aligned}$$
Podpunkt h) Obliczamy wartość wyrażenia $\left(3\dfrac{1}{3}\right)^{-3} \cdot (0{,}6)^{-3}$:
Zamieniamy liczbę mieszaną oraz ułamek dziesiętny na ułamki zwykłe: $3\dfrac{1}{3} = \dfrac{10}{3}$ oraz $0{,}6 = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$: $$\begin{aligned} \left(3\dfrac{1}{3}\right)^{-3} \cdot (0{,}6)^{-3} &= \left(\dfrac{10}{3}\right)^{-3} \cdot \left(\dfrac{3}{5}\right)^{-3} \\ &= \left(\dfrac{10}{3} \cdot \dfrac{3}{5}\right)^{-3} \\ &= \left(\dfrac{10}{5}\right)^{-3} \\ &= 2^{-3} \\ &= \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
e) $4$

f) $8$

g) $1$

h) $\dfrac{1}{8}$

Grupa B

Zadanie 1

Oblicz:

a) $(0,5)^{-3} \qquad (0,8)^{-3} \qquad (-0,2)^{-2} \qquad (-0,6)^{-1}$

b) $\left(1\frac{1}{4}\right)^{-2} \qquad \left(-2\frac{1}{2}\right)^{-3} \qquad \left(-1\frac{1}{2}\right)^{-2} \qquad \left(1\frac{2}{3}\right)^{-1}$

Zadanie 2

Oblicz, stosując prawa działań na potęgach:

a) $(0,75)^{-5} \cdot \left(1\frac{1}{3}\right)^{-5}$

b) $\left(1\frac{3}{4}\right)^{-4} \cdot \left(\frac{4}{7}\right)^{-4}$

c) $(1,25)^{-3} \cdot (1,6)^{-3}$

d) $\left(1\frac{1}{5}\right)^{-2} \cdot (2,5)^{-2}$

e) $(3,6)^{-3} : (1,2)^{-3}$

f) $(0,3)^{-2} : (0,9)^{-2}$

g) $\left(1\frac{5}{7}\right)^{-2} : \left(\frac{6}{7}\right)^{-2}$

h) $(4,2)^{-3} : (0,7)^{-3}$

Zadanie 3

Oblicz:

a) $\dfrac{3^{-1} + 4^0}{(0{,}2)^{-1} - 5 \cdot (-2)^{-2} + \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}} + 1\dfrac{7}{9}$

b) $\dfrac{(0{,}9)^0 - (0{,}2)^{-1}}{\left(5 : 2^2\right)^{-1} \cdot (2{,}5)^2 - \left(-\dfrac{1}{3}\right)^{-1}}$

c) $\dfrac{\left[\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-1} - (0{,}2)^{-1}\right]^{-2}}{(0{,}375)^{-1} - (0{,}75)^{-1}}$

d) $\dfrac{\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2} \cdot \left(1\dfrac{1}{2}\right)^{-1} - (4^{-1} - 2^{-1})^{-2}}{\left(\dfrac{3}{10}\right)^{-1}}$

Zadanie 4

Zapisz liczby w postaci $a \cdot 10^k$, gdzie $a \in \langle 1, 10)$ i $k \in \mathbf{Z}$:

a) $5200$

b) $3027000$

c) $193500000$

d) $40000000$

e) $0{,}03$

f) $0{,}782$

g) $0{,}00000841$

h) $0{,}00060904$

Zadanie 5

Wykaż, że dane dwie liczby są równe:

a) $\sqrt{2} - 1$ oraz $(\sqrt{2} + 1)^{-1}$

b) $7 - 4\sqrt{3}$ oraz $(7 + 4\sqrt{3})^{-1}$

c) $\sqrt{11} + \sqrt{10}$ oraz $(\sqrt{11} - \sqrt{10})^{-1}$

d) $\sqrt{17} - 4$ oraz $(\sqrt{17} + 4)^{-1}$

Zadanie 6

Oblicz, stosując prawa działań na potęgach:

e) $\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-3} \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}$

f) $\left(1\dfrac{1}{2}\right)^{-3} \cdot \left(\dfrac{2}{9}\right)^{-3}$

g) $(2{,}5)^{-3} \cdot \left(\dfrac{2}{5}\right)^{-3}$

h) $\left(3\dfrac{3}{4}\right)^{-2} \cdot (0{,}8)^{-2}$

2.5 Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Zadanie 6

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Zadanie 6

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋