Podobieństwo trójkątów – zastosowanie w zadaniach kartkówka LiczBit

7.11 Podobieństwo trójkątów – zastosowanie w zadaniach

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Boki trojkata $ABC$ maja dlugosc: $|AB| = 12$ cm, $|BC| = 15$ cm, $|AC| = 18$ cm. Trojkat $A_1B_1C_1$ jest podobny do trojkata $ABC$ i jego obwod jest rowny $15$ cm. Oblicz: a) skale podobienstwa trojkata $A_1B_1C_1$ do trojkata $ABC$ b) dlugosci bokow trojkata $A_1B_1C_1$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Przypomnij sobie, że dwa trójkąty są podobne, jeśli stosunki ich odpowiadających sobie boków są równe. Ten stały stosunek nazywamy skalą podobieństwa i oznaczamy literą $k$. 2) Bardzo ważną własnością trójkątów podobnych jest to, że stosunek ich obwodów jest równy skali podobieństwa tych trójkątów:$$k = \frac{Obw_{1}}{Obw}$$gdzie $Obw_{1}$ to obwód trójkąta podobnego (w tym przypadku $A_{1}B_{1}C_{1}$), a $Obw$ to obwód trójkąta wyjściowego ($ABC$). 3) Aby wyznaczyć długości poszczególnych boków trójkąta $A_{1}B_{1}C_{1}$, musisz pomnożyć długości boków trójkąta $ABC$ przez wyliczoną skalę podobieństwa $k$:$$a_{1} = k \cdot a$$$$b_{1} = k \cdot b$$$$c_{1} = k \cdot c$$ROZWIĄZANIE: a) Obliczanie skali podobieństwa trójkąta $A_{1}B_{1}C_{1}$ do trójkąta $ABC$. Najpierw musimy wyznaczyć obwód trójkąta $ABC$, który oznaczmy jako $Obw$. Obwód to suma długości wszystkich boków figury. Podstawiamy dane z treści zadania: $|AB| = 12$ $cm$, $|BC| = 15$ $cm$ oraz $|AC| = 18$ $cm$:$$Obw = 12 + 15 + 18$$Wykonujemy dodawanie dwóch pierwszych liczb:$$Obw = 27 + 18$$Teraz dodajemy ostatnią liczbę:$$Obw = 45$$Obwód trójkąta $ABC$ wynosi $45$ $cm$. Z treści zadania wiemy, że obwód trójkąta podobnego $A_{1}B_{1}C_{1}$ wynosi $15$ $cm$. Oznaczmy go jako $Obw_{1} = 15$ $cm$. Skala podobieństwa $k$ trójkąta $A_{1}B_{1}C_{1}$ do trójkąta $ABC$ jest równa stosunkowi ich obwodów:$$k = \frac{Obw_{1}}{Obw}$$Podstawiamy nasze wartości do ułamka:$$k = \frac{15}{45}$$Zauważamy, że zarówno licznik, jak i mianownik dzielą się przez $15$. Wykonujemy skracanie ułamka:$$k = \frac{1}{3}$$Skala podobieństwa wynosi $\frac{1}{3}$. Oznacza to, że każdy bok trójkąta $A_{1}B_{1}C_{1}$ jest trzy razy krótszy od odpowiadającego mu boku trójkąta $ABC$. b) Obliczanie długości boków trójkąta $A_{1}B_{1}C_{1}$. Mając wyliczoną skalę podobieństwa $k = \frac{1}{3}$, możemy obliczyć długości wszystkich boków trójkąta $A_{1}B_{1}C_{1}$. Oznaczmy je odpowiednio jako $a_{1}$, $b_{1}$ oraz $c_{1}$. Obliczamy długość boku $a_{1}$, który odpowiada bokowi $|AB| = 12$ $cm$:$$a_{1} = \frac{1}{3} \cdot 12$$Mnożenie liczby przez ułamek $\frac{1}{3}$ jest równoważne dzieleniu tej liczby przez $3$:$$a_{1} = 4$$Długość boku $a_{1}$ wynosi $4$ $cm$. Obliczamy długość boku $b_{1}$, który odpowiada bokowi $|BC| = 15$ $cm$:$$b_{1} = \frac{1}{3} \cdot 15$$Wykonujemy dzielenie liczby $15$ przez $3$:$$b_{1} = 5$$Długość boku $b_{1}$ wynosi $5$ $cm$. Obliczamy długość boku $c_{1}$, który odpowiada bokowi $|AC| = 18$ $cm$:$$c_{1} = \frac{1}{3} \cdot 18$$Wykonujemy dzielenie liczby $18$ przez $3$:$$c_{1} = 6$$Długość boku $c_{1}$ wynosi $6$ $cm$.

Zadanie 2 (3 pkt)

Trójkąt $A_{1}B_{1}C_{1}$ jest podobny do trójkąta $ABC$ w skali $s$. Wiedząc, że obwód trójkąta $ABC$ jest o $20\%$ krótszy od obwodu trójkąta $A_{1}B_{1}C_{1}$, oblicz: a) skalę $s$ b) o ile procent obwód trójkąta $A_{1}B_{1}C_{1}$ jest dłuższy od obwodu trójkąta $ABC$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Skala podobieństwa $s$ trójkąta $A_{1}B_{1}C_{1}$ do trójkąta $ABC$ to stosunek odpowiadających sobie długości w tych trójkątach, w tym stosunek ich obwodów:$$s = \frac{Obw_{A_{1}B_{1}C_{1}}}{Obw_{ABC}}$$2) Aby wyrazić zależność między obwodami, przyjmij obwód trójkąta $A_{1}B_{1}C_{1}$ jako $100\%$. Skoro obwód trójkąta $ABC$ jest o $20\%$ krótszy, to stanowi on $80\%$ obwodu trójkąta $A_{1}B_{1}C_{1}$. Zapisz to za pomocą ułamka dziesiętnego. 3) W podpunkcie b) musisz obliczyć różnicę procentową, biorąc za podstawę (czyli $100\%$) obwód trójkąta $ABC$. Skorzystaj ze wzoru na błąd względny lub po prostu oblicz, o ile wzrosła wartość w stosunku do obwodu $ABC$:$$\frac{Obw_{A_{1}B_{1}C_{1}} - Obw_{ABC}}{Obw_{ABC}} \cdot 100\%$$ROZWIĄZANIE: a) Obliczanie skali podobieństwa $s$. Przyjmijmy oznaczenia dla obwodów obu trójkątów: niech $Obw_{1}$ oznacza obwód trójkąta $A_{1}B_{1}C_{1}$, a $Obw$ oznacza obwód trójkąta $ABC$. Z treści zadania wiemy, że obwód trójkąta $ABC$ jest o $20\%$ krótszy od obwodu trójkąta $A_{1}B_{1}C_{1}$. Zapisujemy to równaniem:$$Obw = Obw_{1} - 20\% \cdot Obw_{1}$$Zamieniamy procent na ułamek dziesiętny:$$Obw = Obw_{1} - 0,2 \cdot Obw_{1}$$Odejmujemy wartości:$$Obw = 0,8 \cdot Obw_{1}$$Z definicji skali podobieństwa $s$ trójkąta $A_{1}B_{1}C_{1}$ do trójkąta $ABC$ mamy:$$s = \frac{Obw_{1}}{Obw}$$Podstawiamy wyznaczoną wcześniej zależność $Obw = 0,8 \cdot Obw_{1}$ do mianownika:$$s = \frac{Obw_{1}}{0,8 \cdot Obw_{1}}$$Skracamy ułamek przez wartość $Obw_{1}$:$$s = \frac{1}{0,8}$$Zamieniamy ułamek dziesiętny na zwykły, aby ułatwić dzielenie:$$s = \frac{1}{\frac{8}{10}} = \frac{1}{\frac{4}{5}}$$Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność:$$s = 1 \cdot \frac{5}{4}$$$$s = 1,25$$Skala podobieństwa wynosi $1,25$. b) Obliczanie o ile procent obwód trójkąta $A_{1}B_{1}C_{1}$ jest dłuższy od obwodu trójkąta $ABC$. Chcemy sprawdzić, o ile procent $Obw_{1}$ jest większy od $Obw$. W tym przypadku naszą bazą odniesienia (mianownikiem) jest $Obw$. Z poprzedniego punktu wiemy, że:$$s = \frac{Obw_{1}}{Obw} = 1,25$$Mnożymy obie strony przez $Obw$, aby wyznaczyć $Obw_{1}$:$$Obw_{1} = 1,25 \cdot Obw$$Aby dowiedzieć się, o ile procent jedna wartość jest większa od drugiej, sprawdzamy różnicę. Liczbę $1$ przed $Obw$ możemy traktować jako $100\%$:$$Obw_{1} = 125\% \cdot Obw$$Odejmujemy od tego bazowe $100\%$:$$125\% - 100\% = 25\%$$Możemy to również obliczyć podstawiając dane do wzoru:$$\frac{Obw_{1} - Obw}{Obw} \cdot 100\% = \frac{1,25 \cdot Obw - Obw}{Obw} \cdot 100\%$$Wykonujemy odejmowanie w liczniku:$$\frac{0,25 \cdot Obw}{Obw} \cdot 100\%$$Skracamy $Obw$:$$0,25 \cdot 100\% = 25\%$$Obwód trójkąta $A_{1}B_{1}C_{1}$ jest o $25\%$ dłuższy od obwodu trójkąta $ABC$.

Zadanie 3 (3 pkt)

W trójkącie prostokątnym $ABC$ o kącie prostym przy wierzchołku $C$ dane są długości boków: przeciwprostokątna $\left| AB \right| = 25 \text{ cm}$ oraz przyprostokątna $\left| BC \right| = 15 \text{ cm}$. Na bokach $AB$ i $BC$ wyznaczono odpowiednio punkty $D$ i $E$ tak, że odcinek $DE$ o długości $12 \text{ cm}$ jest równoległy do boku $AC$. Oblicz długości odcinków $CE$ i $AD$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Na początku skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $ABC$, aby wyznaczyć długość przyprostokątnej $AC$. Pamiętaj, że kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych:$$|AC|^{2} + |BC|^{2} = |AB|^{2}$$2) Ponieważ odcinek $DE$ jest równoległy do boku $AC$, trójkąty $DBE$ oraz $ABC$ są do siebie podobne na mocy cechy kąt-kąt-kąt. Oba posiadają kąt prosty oraz wspólny kąt przy wierzchołku $B$. 3) Wyznacz skalę podobieństwa $k$, porównując długości boków $DE$ oraz $AC$. Skalę tę wykorzystaj do obliczenia pozostałych boków małego trójkąta $DBE$. 4) Szukane odcinki $CE$ oraz $AD$ stanowią różnice między bokami dużego i małego trójkąta. Skorzystaj z zależności:$$|CE| = |BC| - |BE|$$$$|AD| = |AB| - |BD|$$ROZWIĄZANIE: a) Obliczanie długości przyprostokątnej $AC$. W trójkącie prostokątnym $ABC$ znamy długość przeciwprostokątnej $|AB| = 25$ $cm$ oraz przyprostokątnej $|BC| = 15$ $cm$. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:$$|AC|^{2} + 15^{2} = 25^{2}$$Najpierw podnosimy liczby do kwadratu:$$|AC|^{2} + 225 = 625$$Teraz musimy przenieść liczbę $225$ na prawą stronę równania, co wiąże się ze zmianą jej znaku na przeciwny:$$|AC|^{2} = 625 - 225$$Wykonujemy odejmowanie:$$|AC|^{2} = 400$$Aby otrzymać długość boku, musimy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z liczby $400$:$$|AC| = \sqrt{400} = 20$$Długość przyprostokątnej $AC$ wynosi $20$ $cm$. b) Wyznaczanie skali podobieństwa trójkątów $DBE$ i $ABC$. Trójkąty $DBE$ oraz $ABC$ są podobne, ponieważ boki $DE$ i $AC$ są równoległe. Odpowiadające sobie boki to $DE$ i $AC$, $BE$ i $BC$ oraz $BD$ i $AB$. Skalę podobieństwa $k$ obliczamy dzieląc długość boku małego trójkąta przez długość odpowiadającego mu boku dużego trójkąta:$$k = \frac{|DE|}{|AC|}$$Podstawiamy znane wartości:$$k = \frac{12}{20}$$Zauważamy, że obie liczby dzielą się przez $4$, więc wykonujemy skracanie ułamka:$$k = \frac{3}{5}$$c) Obliczanie długości boków $|BE|$ oraz $|BD|$. Korzystając ze skali podobieństwa $k = \frac{3}{5}$, możemy wyznaczyć długości boków małego trójkąta $DBE$. Długość boku $|BE|$ jest równa iloczynowi boku $|BC|$ i skali $k$:$$|BE| = k \cdot |BC|$$$$|BE| = \frac{3}{5} \cdot 15$$Dzielimy liczbę $15$ przez mianownik $5$, co daje $3$, a następnie mnożymy przez licznik $3$:$$|BE| = 9$$Długość odcinka $BE$ wynosi $9$ $cm$. Podobnie obliczamy długość boku $|BD|$, korzystając z boku $|AB|$ i skali $k$:$$|BD| = k \cdot |AB|$$$$|BD| = \frac{3}{5} \cdot 25$$Dzielimy liczbę $25$ przez mianownik $5$, co daje $5$, a następnie mnożymy przez licznik $3$:$$|BD| = 15$$Długość odcinka $BD$ wynosi $15$ $cm$. d) Obliczanie szukanych długości $|CE|$ oraz $|AD|$. Odcinek $CE$ leży na boku $BC$. Jego długość to różnica między długością całego boku a długością jego części $|BE|$:$$|CE| = |BC| - |BE|$$Podstawiamy wyliczone dane:$$|CE| = 15 - 9 = 6$$Długość odcinka $CE$ wynosi $6$ $cm$. Odcinek $AD$ leży na przeciwprostokątnej $AB$. Jego długość obliczamy, odejmując odcinek $|BD|$ od całego boku $|AB|$:$$|AD| = |AB| - |BD|$$Podstawiamy dane:$$|AD| = 25 - 15 = 10$$Długość odcinka $AD$ wynosi $10$ $cm$.

Zadanie 4 (3 pkt)

W trapezie podstawy mają długość $12$ cm i $8$ cm, natomiast wysokość trapezu wynosi $10$ cm. Oblicz odległości, w jakich punkt przecięcia się przekątnych tego trapezu znajduje się od jego podstaw.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zauważ, że przekątne trapezu dzielą go na cztery trójkąty. Dwa z nich, te oparte na podstawach trapezu (oznaczmy je jako $\triangle ASB$ oraz $\triangle CSD$), są trójkątami podobnymi. Wynika to z cechy kąt-kąt-kąt: kąty przy punkcie $S$ są wierzchołkowe, a kąty przy podstawach są naprzemianległe (ponieważ podstawy trapezu są równoległe). 2) Skala podobieństwa $k$ tych trójkątów jest równa stosunkowi długości ich podstaw:$$k = \frac{a}{b}$$gdzie $a$ to podstawa dolna, a $b$ to podstawa górna. 3) W trójkątach podobnych stosunek odpowiadających sobie wysokości jest równy skali podobieństwa. Jeśli oznaczymy odległość punktu $S$ od dolnej podstawy jako $h_{1}$, a od górnej podstawy jako $h_{2}$, to:$$\frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{a}{b}$$4) Pamiętaj, że suma tych dwóch odległości musi być równa całkowitej wysokości trapezu $H$:$$h_{1} + h_{2} = H$$ROZWIĄZANIE: 1) Analiza danych i podobieństwa trójkątów. Dany jest trapez o podstawach $a = 12$ cm i $b = 8$ cm oraz wysokości $H = 10$ cm. Punkt $S$ to punkt przecięcia przekątnych. Trójkąt oparty na dolnej podstawie ($\triangle ASB$) jest podobny do trójkąta opartego na górnej podstawie ($\triangle CSD$) na mocy cechy kąt-kąt-kąt. 2) Wyznaczenie stosunku odległości punktu $S$ od podstaw. Przyjmijmy, że $h_{1}$ to odległość od podstawy $a = 12$, a $h_{2}$ to odległość od podstawy $b = 8$. Z podobieństwa trójkątów wynika, że stosunek tych odległości jest taki sam jak stosunek podstaw:$$\frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{12}{8}$$Skracamy ułamek $\frac{12}{8}$ przez wspólny dzielnik, którym jest liczba $4$:$$\frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{3}{2}$$3) Wyznaczenie zależności między $h_{1}$ a $h_{2}$. Z powyższego ułamka wyznaczamy $h_{1}$, mnożąc obie strony równania przez $h_{2}$:$$h_{1} = \frac{3}{2} \cdot h_{2}$$4) Ułożenie równania dla sumy odległości. Wiemy, że suma odległości $h_{1}$ oraz $h_{2}$ tworzy całkowitą wysokość trapezu, która wynosi $10$ cm:$$h_{1} + h_{2} = 10$$5) Podstawienie zależności do równania i obliczenie $h_{2}$. Podstawiamy wyznaczone wcześniej wyrażenie $h_{1} = \frac{3}{2} \cdot h_{2}$ do równania sumy:$$\frac{3}{2} \cdot h_{2} + h_{2} = 10$$Zauważamy, że $h_{2}$ to to samo co $\frac{2}{2} \cdot h_{2}$. Dodajemy ułamki:$$\frac{3}{2} \cdot h_{2} + \frac{2}{2} \cdot h_{2} = 10$$$$\frac{5}{2} \cdot h_{2} = 10$$Aby wyznaczyć $h_{2}$, musimy podzielić obie strony przez ułamek $\frac{5}{2}$, co jest równoważne mnożeniu przez jego odwrotność, czyli $\frac{2}{5}$:$$h_{2} = 10 \cdot \frac{2}{5}$$Wykonujemy mnożenie liczby $10$ przez licznik $2$:$$h_{2} = \frac{20}{5}$$Dzielimy licznik przez mianownik:$$h_{2} = 4$$Odległość punktu $S$ od górnej podstawy wynosi $4$ cm. 6) Obliczenie odległości $h_{1}$. Korzystamy z równania sumy wysokości:$$h_{1} + 4 = 10$$Przenosimy liczbę $4$ na drugą stronę ze zmianą znaku na przeciwny:$$h_{1} = 10 - 4$$$$h_{1} = 6$$Odległość punktu $S$ od dolnej podstawy wynosi $6$ cm. 7) Wynik końcowy. Punkt przecięcia przekątnych znajduje się w odległości $6$ cm od dolnej podstawy oraz $4$ cm od górnej podstawy.

Zadanie 5 (3 pkt)

W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość $10$ cm, a wysokość opuszczona na tę podstawę ma $15$ cm. W trójkąt ten wpisano kwadrat w taki sposób, że jeden z jego boków zawiera się w podstawie trójkąta, a dwa pozostałe wierzchołki leżą na ramionach trójkąta. Oblicz długość boku tego kwadratu.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zacznij od narysowania trójkąta równoramiennego wraz z wpisanym w niego kwadratem. Oznacz wierzchołki trójkąta (np. $A, B, C$) oraz wierzchołki kwadratu leżące na ramionach trójkąta. 2) Zauważ, że bok kwadratu równoległy do podstawy trójkąta odcina od niego mniejszy trójkąt. Ten mniejszy trójkąt jest podobny do dużego trójkąta wyjściowego, ponieważ ich odpowiednie kąty są równe (wynika to z równoległości boku kwadratu i podstawy). 3) Wykorzystaj cechę podobieństwa trójkątów. Stosunek wysokości małego trójkąta do wysokości dużego trójkąta jest taki sam, jak stosunek ich podstaw. - Podstawą dużego trójkąta jest dana w zadaniu liczba $10$ $cm$. - Podstawą małego trójkąta jest bok kwadratu (oznacz go jako $x$). - Wysokość małego trójkąta to wysokość dużego trójkąta ($15$ $cm$) pomniejszona o wysokość kwadratu, czyli o bok $x$. 4) Ułóż odpowiednią proporcję i rozwiąż równanie, aby wyznaczyć niewiadomą $x$. ROZWIĄZANIE: a) Wprowadzenie oznaczeń i analiza podobieństwa. Przyjmijmy, że długość boku kwadratu wpisanego w trójkąt wynosi $x$ $cm$. Wysokość całego trójkąta opuszczona na podstawę wynosi $H = 15$ $cm$, a sama podstawa ma długość $B = 10$ $cm$. Kwadrat jest umieszczony tak, że jego dolny bok leży na podstawie trójkąta, a górne wierzchołki stykają się z ramionami trójkąta. Górny bok kwadratu (o długości $x$) jest równoległy do podstawy trójkąta. Ten bok tworzy podstawę małego trójkąta, który znajduje się nad kwadratem. b) Wyznaczenie wymiarów małego trójkąta. Podstawa małego trójkąta jest równa bokowi kwadratu, czyli wynosi $x$. Wysokość małego trójkąta (oznaczmy ją jako $h$) to odcinek od wierzchołka głównego do górnego boku kwadratu. Skoro całkowita wysokość trójkąta wynosi $15$, a wysokość kwadratu to $x$, to wysokość małego trójkąta wynosi:$$h = 15 - x$$c) Ułożenie i rozwiązanie proporcji. Ponieważ mały trójkąt jest podobny do dużego trójkąta, stosunek ich wysokości jest równy stosunkowi ich podstaw. Zapisujemy to równanie:$$\frac{h}{H} = \frac{x}{B}$$Podstawiamy znane wartości: $h = 15 - x$, $H = 15$ oraz $B = 10$:$$\frac{15 - x}{15} = \frac{x}{10}$$Aby rozwiązać to równanie, mnożymy obie strony "na krzyż". Oznacza to, że licznik lewej strony mnożymy przez mianownik prawej strony, a mianownik lewej strony przez licznik prawej strony:$$10 \cdot \left(15 - x\right) = 15 \cdot x$$Teraz wykonujemy mnożenie liczby $10$ przez każdy wyraz w nawiasie:$$150 - 10x = 15x$$Przenosimy wyraz $-10x$ na prawą stronę równania, zmieniając jego znak na dodatni:$$150 = 15x + 10x$$Sumujemy wyrazy z niewiadomą $x$ po prawej stronie:$$150 = 25x$$Aby wyznaczyć wartość $x$, musimy podzielić obie strony równania przez liczbę $25$:$$x = \frac{150}{25}$$Wykonujemy dzielenie:$$x = 6$$Długość boku kwadratu wynosi $6$ $cm$.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Boki trojkata $ABC$ maja dlugosc: $|AB| = 10$ cm, $|BC| = 20$ cm, $|AC| = 20$ cm. Trojkat $A_1B_1C_1$ jest podobny do trojkata $ABC$ i jego obwod jest rowny $10$ cm. Oblicz: a) skale podobienstwa trojkata $A_1B_1C_1$ do trojkata $ABC$ b) dlugosci bokow trojkata $A_1B_1C_1$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Trójkąt $A_{1}B_{1}C_{1}$ jest podobny do trójkąta $ABC$ w skali $s$. Wiedząc, że obwód trójkąta $ABC$ jest o $80\%$ krótszy od obwodu trójkąta $A_{1}B_{1}C_{1}$, oblicz: a) skalę $s$ b) o ile procent obwód trójkąta $A_{1}B_{1}C_{1}$ jest dłuższy od obwodu trójkąta $ABC$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

W trójkącie prostokątnym $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) przeciwprostokątna $AB$ ma długość $39 \text{ cm}$, a przyprostokątna $BC$ ma długość $15 \text{ cm}$. Poprowadzono odcinek $DE$ równoległy do przyprostokątnej $AC$, gdzie punkt $D$ leży na boku $AB$, a punkt $E$ na boku $BC$. Wiedząc, że $\left| DE \right| = 24 \text{ cm}$, oblicz długości odcinków $CE$ i $AD$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Podstawy trapezu mają długości $15$ cm i $5$ cm. Wysokość tego trapezu jest równa $12$ cm. Wyznacz odległości punktu przecięcia się przekątnych od obu podstaw.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość $12$ cm, a wysokość opuszczona na tę podstawę jest równa $6$ cm. W ten trójkąt wpisano kwadrat tak, że dwa jego wierzchołki leżą na podstawie, a dwa pozostałe na ramionach trójkąta. Wyznacz długość boku kwadratu.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

7.11 Podobieństwo trójkątów – zastosowanie w zadaniach

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋