Podobieństwo trójkątów – zastosowanie w zadaniach kartkówka 2 LiczBit

7.11 Podobieństwo trójkątów – zastosowanie w zadaniach

Kartkówka 2

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Trójkąt $ABC$ ma boki $AB = 12$ cm, $BC = 15$ cm, $AC = 10$ cm. Punkt $D$ leży na boku $AB$ i punkt $E$ leży na boku $AC$ tak, że $DE \parallel BC$. Obwód trójkąta $ADE$ jest równy $18$ cm. Oblicz długości odcinków $BD$ i $CE$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Ponieważ odcinek $DE$ jest równoległy do boku $BC$, trójkąt $ADE$ jest podobny do trójkąta $ABC$ na mocy cechy kąt-kąt-kąt. Kąt przy wierzchołku $A$ jest wspólny dla obu trójkątów, a pozostałe kąty są kątami odpowiadającymi. 2) Wyznacz obwód dużego trójkąta $ABC$, sumując długości jego wszystkich trzech boków. 3) Skorzystaj z własności trójkątów podobnych, która mówi, że stosunek obwodów dwóch trójkątów podobnych jest równy skali podobieństwa $k$. Wyznacz tę skalę, dzieląc obwód mniejszego trójkąta przez obwód większego. 4) Wykorzystaj skalę podobieństwa $k$ do obliczenia długości boków $AD$ oraz $AE$. Pamiętaj, że:$$AD = k \cdot AB$$$$AE = k \cdot AC$$5) Szukane odcinki $BD$ oraz $CE$ obliczysz, wykonując odejmowanie:$$BD = AB - AD$$$$CE = AC - AE$$ROZWIĄZANIE: a) Obliczanie obwodu trójkąta $ABC$. Znamy długości wszystkich boków trójkąta $ABC$. Obwód, który oznaczamy jako $Obw_{ABC}$, to suma długości boków $AB$, $BC$ oraz $AC$. Podstawiamy dane:$$Obw_{ABC} = 12 + 15 + 10$$Najpierw wykonujemy dodawanie $12$ oraz $15$:$$Obw_{ABC} = 27 + 10$$Teraz dodajemy ostatnią liczbę:$$Obw_{ABC} = 37$$Obwód trójkąta $ABC$ wynosi $37$ $cm$. b) Wyznaczanie skali podobieństwa trójkątów. Odcinek $DE$ jest równoległy do $BC$, zatem trójkąt $ADE$ jest podobny do trójkąta $ABC$. Skalę podobieństwa $k$ wyznaczamy jako stosunek obwodu trójkąta $ADE$ do obwodu trójkąta $ABC$. Z treści zadania wiemy, że $Obw_{ADE} = 18$ $cm$. Podstawiamy wartości:$$k = \frac{18}{37}$$c) Obliczanie długości odcinka $AD$. Bok $AD$ w mniejszym trójkącie odpowiada bokowi $AB$ w większym trójkącie. Aby obliczyć $AD$, mnożymy długość boku $AB$ przez skalę podobieństwa $k$:$$AD = 12 \cdot \frac{18}{37}$$Zapisujemy liczbę $12$ w formie ułamka $\frac{12}{1}$, aby ułatwić mnożenie:$$AD = \frac{12}{1} \cdot \frac{18}{37}$$Mnożymy liczniki ($12 \cdot 18 = 216$) oraz mianowniki ($1 \cdot 37 = 37$):$$AD = \frac{216}{37}$$d) Obliczanie długości szukanego odcinka $BD$. Punkt $D$ leży na boku $AB$, więc cały odcinek $AB$ składa się z fragmentów $AD$ oraz $BD$. Aby wyznaczyć $BD$, odejmujemy długość $AD$ od długości całego boku $AB$:$$BD = 12 - \frac{216}{37}$$Sprowadzamy liczbę $12$ do wspólnego mianownika $37$. Mnożymy $12$ przez $37$:$$12 \cdot 37 = 444$$Zatem:$$BD = \frac{444}{37} - \frac{216}{37}$$Odejmujemy liczniki:$$BD = \frac{228}{37}$$Możemy wyłączyć całości:$$BD = 6 \frac{6}{37}$$Długość odcinka $BD$ wynosi $6 \frac{6}{37}$ $cm$. e) Obliczanie długości odcinka $AE$. Bok $AE$ w mniejszym trójkącie odpowiada bokowi $AC$ w większym trójkącie. Korzystamy ze skali podobieństwa:$$AE = 10 \cdot \frac{18}{37}$$Mnożymy liczbę $10$ przez licznik ułamka:$$AE = \frac{180}{37}$$f) Obliczanie długości szukanego odcinka $CE$. Punkt $E$ leży na boku $AC$, zatem odcinek $CE$ to różnica między długością boku $AC$ a długością odcinka $AE$:$$CE = 10 - \frac{180}{37}$$Sprowadzamy liczbę $10$ do wspólnego mianownika $37$:$$10 = \frac{370}{37}$$Odejmujemy ułamki:$$CE = \frac{370}{37} - \frac{180}{37}$$$$CE = \frac{190}{37}$$Wyłączamy całości:$$CE = 5 \frac{5}{37}$$Długość odcinka $CE$ wynosi $5 \frac{5}{37}$ $cm$.

Zadanie 2 (3 pkt)

Trójkąty $ABC$ i $DEF$ są podobne. Stosunek obwodów tych trójkątów wynosi $3 : 5$. Pole trójkąta $ABC$ jest równe $36 \text{ cm}^2$. Oblicz pole trójkąta $DEF$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Przypomnij sobie, że jeśli dwa trójkąty są podobne w skali $k$, to stosunek ich obwodów jest równy właśnie tej skali:$$\frac{Obw_{ABC}}{Obw_{DEF}} = k$$2) Kluczową własnością pól figur podobnych jest to, że stosunek ich pól nie jest równy skali $k$, lecz kwadratowi tej skali:$$\frac{P_{ABC}}{P_{DEF}} = k^{2}$$3) W pierwszej kolejności wyznacz wartość $k$ na podstawie danych obwodów, a następnie podnieś ten ułamek do kwadratu. 4) Podstaw znane pole trójkąta $ABC$ do wzoru na stosunek pól i rozwiąż równanie, aby wyznaczyć niewiadome pole trójkąta $DEF$. ROZWIĄZANIE: a) Wyznaczenie skali podobieństwa $k$. Trójkąty $ABC$ i $DEF$ są podobne. Z treści zadania wiemy, że stosunek obwodów tych trójkątów wynosi $3 : 5$. Zapisujemy to w postaci ułamka, który definiuje naszą skalę podobieństwa $k$:$$k = \frac{3}{5}$$b) Wyznaczenie kwadratu skali podobieństwa. Wiemy, że stosunek pól trójkątów podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa $k$. Musimy zatem podnieść wyznaczoną wcześniej skalę $k = \frac{3}{5}$ do potęgi drugiej. Podnosimy oddzielnie licznik i mianownik ułamka:$$k^{2} = \left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$$$k^{2} = \frac{3^{2}}{5^{2}}$$$$k^{2} = \frac{9}{25}$$Oznacza to, że pole mniejszego trójkąta stanowi $\frac{9}{25}$ pola większego trójkąta. c) Obliczenie pola trójkąta $DEF$. Znamy pole trójkąta $ABC$, które wynosi $36$ $cm^{2}$. Oznaczmy szukane pole trójkąta $DEF$ jako $P_{DEF}$. Układamy proporcję korzystając z zależności na stosunek pól:$$\frac{36}{P_{DEF}} = \frac{9}{25}$$Aby rozwiązać to równanie, mnożymy wyrażenia na krzyż. Mnożymy liczbę $9$ przez $P_{DEF}$ oraz liczbę $36$ przez $25$:$$9 \cdot P_{DEF} = 36 \cdot 25$$Najpierw wykonujemy mnożenie po prawej stronie równania:$$9 \cdot P_{DEF} = 900$$Teraz musimy wyznaczyć $P_{DEF}$, więc dzielimy obie strony równania przez liczbę $9$:$$P_{DEF} = \frac{900}{9}$$Wykonujemy dzielenie:$$P_{DEF} = 100$$Pole trójkąta $DEF$ jest równe $100$ $cm^{2}$.

Zadanie 3 (3 pkt)

W trójkącie prostokątnym $ABC$ z kątem prostym przy wierzchołku $C$ poprowadzono wysokość $CD$ na przeciwprostokątną $AB$. Wiadomo, że $AD = 4 \text{ cm}$ i $BD = 9 \text{ cm}$. Oblicz długość wysokości $CD$ oraz długości przyprostokątnych $AC$ i $BC$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Skorzystaj z twierdzenia o wysokości w trójkącie prostokątnym opuszczonej na przeciwprostokątną. Mówi ono, że kwadrat długości tej wysokości jest równy iloczynowi długości odcinków, na które ta wysokość podzieliła przeciwprostokątną:$$CD^{2} = AD \cdot BD$$gdzie $AD$ oraz $BD$ to dane długości odcinków przeciwprostokątnej. 2) Zauważ, że wysokość $CD$ dzieli trójkąt $ABC$ na dwa mniejsze trójkąty prostokątne: $ADC$ oraz $BDC$. W każdym z nich możesz zastosować twierdzenie Pitagorasa, aby obliczyć długości przyprostokątnych $AC$ i $BC$:$$a^{2} + b^{2} = c^{2}$$3) Pamiętaj o upraszczaniu pierwiastków poprzez wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka, jeśli to możliwe (np. $\sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13}$). ROZWIĄZANIE: a) Obliczanie długości wysokości $CD$. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną dzieli ją na dwa odcinki $AD$ oraz $BD$. Zgodnie z twierdzeniem o wysokości zachodzi zależność:$$CD^{2} = AD \cdot BD$$Podstawiamy dane z treści zadania, czyli $AD = 4$ oraz $BD = 9$:$$CD^{2} = 4 \cdot 9$$Wykonujemy mnożenie po prawej stronie równania:$$CD^{2} = 36$$Aby obliczyć $CD$, musimy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z liczby $36$:$$CD = \sqrt{36}$$$$CD = 6$$Wysokość $CD$ ma długość $6$ cm. b) Obliczanie długości przyprostokątnej $AC$. Przyglądamy się trójkątowi $ADC$. Jest to trójkąt prostokątny, ponieważ odcinek $CD$ jest wysokością, a więc jest prostopadły do boku $AB$. Kąt przy wierzchołku $D$ wynosi $90^{\circ}$. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa dla tego trójkąta:$$AC^{2} = AD^{2} + CD^{2}$$Podstawiamy wartości $AD = 4$ oraz obliczone wcześniej $CD = 6$:$$AC^{2} = 4^{2} + 6^{2}$$Podnosimy liczby do kwadratu:$$AC^{2} = 16 + 36$$Sumujemy liczby po prawej stronie:$$AC^{2} = 52$$Wyciągamy pierwiastek kwadratowy:$$AC = \sqrt{52}$$Liczbę $52$ możemy zapisać jako iloczyn $4 \cdot 13$, co pozwala nam wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka:$$AC = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$$Długość przyprostokątnej $AC$ wynosi $2\sqrt{13}$ cm. c) Obliczanie długości przyprostokątnej $BC$. Teraz rozpatrujemy trójkąt $BDC$. On również jest trójkątem prostokątnym z kątem prostym przy wierzchołku $D$. Ponownie stosujemy twierdzenie Pitagorasa:$$BC^{2} = BD^{2} + CD^{2}$$Podstawiamy dane $BD = 9$ oraz $CD = 6$:$$BC^{2} = 9^{2} + 6^{2}$$Wykonujemy potęgowanie:$$BC^{2} = 81 + 36$$Dodajemy liczby:$$BC^{2} = 117$$Wyciągamy pierwiastek kwadratowy:$$BC = \sqrt{117}$$Zauważamy, że liczbę $117$ można zapisać jako $9 \cdot 13$. Wyciągamy pierwiastek z liczby $9$:$$BC = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13}$$Długość przyprostokątnej $BC$ wynosi $3\sqrt{13}$ cm.

Zadanie 4 (3 pkt)

Człowiek o wzroście $1.8$ m stoi w odległości $10$ m od latarni. Długość cienia człowieka wynosi $2.5$ m. Oblicz wysokość latarni.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zauważ, że promienie słoneczne (lub światło latarni) padające na człowieka i tworzące cień tworzą dwa trójkąty prostokątne. Ponieważ kąt padania światła jest taki sam dla obu obiektów, trójkąty te są podobne na mocy cechy kąt-kąt-kąt. 2) Zidentyfikuj długości boków w obu trójkątach podobnych. Mniejszy trójkąt jest tworzony przez człowieka i jego cień. Przyprostokątne tego trójkąta to wysokość człowieka oraz długość jego cienia. 3) Większy trójkąt jest tworzony przez latarnię oraz całkowitą odległość od podstawy latarni do końca cienia człowieka. Pamiętaj, że podstawa większego trójkąta to suma odległości człowieka od latarni i długości jego cienia. 4) Skorzystaj z proporcji wynikającej z podobieństwa trójkątów: stosunek wysokości latarni do jej całkowitego cienia jest równy stosunkowi wysokości człowieka do jego cienia. ROZWIĄZANIE: 1) Wypisanie danych i ustalenie oznaczeń. Wysokość człowieka: $h = 1,8$ m. Odległość człowieka od latarni: $d = 10$ m. Długość cienia człowieka: $s = 2,5$ m. Wysokość latarni: $H$. 2) Wyznaczenie długości podstawy dużego trójkąta prostokątnego. Podstawa dużego trójkąta rozciąga się od podstawy latarni do samego końca cienia człowieka. Składa się ona z odległości człowieka od latarni oraz długości jego cienia:$$L = d + s$$Podstawiamy wartości:$$L = 10 + 2,5$$$$L = 12,5 \text{ m}$$3) Ułożenie proporcji wynikającej z podobieństwa trójkątów. Stosunek wysokości latarni $H$ do całkowitej długości $L$ musi być taki sam, jak stosunek wysokości człowieka $h$ do długości jego cienia $s$:$$\frac{H}{L} = \frac{h}{s}$$Podstawiamy znane nam liczby do równania:$$\frac{H}{12,5} = \frac{1,8}{2,5}$$4) Przekształcenie równania w celu obliczenia wysokości latarni. Aby wyznaczyć niewiadomą $H$, musimy pomnożyć obie strony równania przez liczbę znajdującą się w mianowniku pod $H$, czyli przez $12,5$:$$H = \frac{1,8}{2,5} \cdot 12,5$$5) Wykonanie obliczeń pomocniczych. Najpierw możemy uprościć działanie, dzieląc $12,5$ przez $2,5$. Zauważamy, że:$$\frac{12,5}{2,5} = 5$$Ponieważ $5 \cdot 2,5 = 12,5$. Teraz podstawiamy ten wynik do naszego głównego równania:$$H = 1,8 \cdot 5$$6) Obliczenie końcowego wyniku. Mnożymy $1,8$ przez $5$:$$1 \cdot 5 = 5$$$$0,8 \cdot 5 = 4$$$$H = 5 + 4 = 9$$Wysokość latarni wynosi $9$ m.

Zadanie 5 (3 pkt)

Dany jest trójkąt $ABC$. Na boku $AB$ wybrano punkt $D$, a na boku $AC$ punkt $E$ tak, że $AD = 2DB$ i $AE = 3EC$. Odcinek $CD$ przecina odcinek $BE$ w punkcie $P$. Oblicz stosunek $BP : PE$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zauważ, że stosunek pól dwóch trójkątów o wspólnej wysokości jest równy stosunkowi długości ich podstaw. Trójkąty $BPC$ oraz $CPE$ mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka $C$ na prostą $BE$. Stąd szukany stosunek odcinków jest równy stosunkowi pól tych trójkątów:$$\frac{BP}{PE} = \frac{P_{BPC}}{P_{CPE}}$$2) Wyznacz pola trójkątów $ADP$ oraz $APE$ w zależności od pól mniejszych trójkątów $BDP$ oraz $CPE$, korzystając z danych z treści zadania: $AD = 2 \cdot DB$ oraz $AE = 3 \cdot EC$. 3) Porównaj pole trójkąta $ADC$ z polem trójkąta $BDC$. Zauważ, że zachodzi między nimi relacja $P_{ADC} = 2 \cdot P_{BDC}$. Wyraź obie strony tej równości za pomocą pól mniejszych trójkątów i wyznacz relację między $P_{BPC}$ a $P_{CPE}$. ROZWIĄZANIE: a) Zależność między stosunkiem odcinków a stosunkiem pól trójkątów. Rozważmy trójkąty o wspólnej wysokości. Jeśli dwa trójkąty leżą na jednej prostej i mają wspólny wierzchołek naprzeciwko tej prostej, to wysokość opuszczona z tego wierzchołka na prostą jest dla nich jednakowa. Stosunek pól takich dwóch trójkątów jest równy stosunkowi długości ich podstaw. Zauważmy, że punkty $B$, $P$, $E$ leżą na jednej prostej. Trójkąt $BPC$ oraz trójkąt $CPE$ mają wspólny wierzchołek $C$. Wysokość opuszczona z wierzchołka $C$ na prostą $BE$ jest jednakowa dla obu tych trójkątów. Stąd stosunek pól tych trójkątów wynosi:$$\frac{P_{BPC}}{P_{CPE}} = \frac{BP}{PE}$$Oznacza to, że aby obliczyć stosunek $\frac{BP}{PE}$, wystarczy wyznaczyć stosunek pola trójkąta $BPC$ do pola trójkąta $CPE$. b) Wprowadzenie oznaczeń pól i wyznaczenie zależności z warunków zadania. Oznaczmy pole trójkąta $BDP$ jako $S_{1}$:$$P_{BDP} = S_{1}$$Oznaczmy pole trójkąta $BPC$ jako $S_{2}$:$$P_{BPC} = S_{2}$$Oznaczmy pole trójkąta $CPE$ jako $S_{3}$:$$P_{CPE} = S_{3}$$Z treści zadania wiemy, że punkt $D$ leży na boku $AB$ oraz zachodzi równość $AD = 2 \cdot DB$. Liczba $2$ oznacza, że odcinek $AD$ jest dwa razy dłuższy od odcinka $DB$. Rozważmy trójkąt $ABP$. Odcinek $DP$ dzieli go na dwa trójkąty: $ADP$ oraz $BDP$. Trójkąty te mają wspólny wierzchołek $P$ oraz podstawy $AD$ i $DB$ leżące na prostej $AB$. Zatem stosunek ich pól jest równy stosunkowi podstaw:$$\frac{P_{ADP}}{P_{BDP}} = \frac{AD}{DB}$$Podstawiamy daną z treści zadania $AD = 2 \cdot DB$:$$\frac{P_{ADP}}{P_{BDP}} = \frac{2 \cdot DB}{DB}$$Skracamy $DB$ w liczniku i mianowniku:$$\frac{P_{ADP}}{P_{BDP}} = 2$$Mnożymy obie strony tego równania przez $P_{BDP}$:$$P_{ADP} = 2 \cdot P_{BDP}$$Podstawiamy przyjęte wcześniej oznaczenie $P_{BDP} = S_{1}$:$$P_{ADP} = 2 \cdot S_{1}$$Teraz rozważmy trójkąt $APC$. Z treści zadania wiemy, że punkt $E$ leży na boku $AC$ oraz zachodzi równość $AE = 3 \cdot EC$. Liczba $3$ oznacza, że odcinek $AE$ jest trzy razy dłuższy od odcinka $EC$. Odcinek $PE$ dzieli trójkąt $APC$ na dwa trójkąty: $APE$ oraz $CPE$. Trójkąty te mają wspólny wierzchołek $P$ oraz podstawy $AE$ i $EC$ leżące na prostej $AC$. Zatem stosunek ich pól jest równy stosunkowi podstaw:$$\frac{P_{APE}}{P_{CPE}} = \frac{AE}{EC}$$Podstawiamy daną z treści zadania $AE = 3 \cdot EC$:$$\frac{P_{APE}}{P_{CPE}} = \frac{3 \cdot EC}{EC}$$Skracamy $EC$ w liczniku i mianowniku:$$\frac{P_{APE}}{P_{CPE}} = 3$$Mnożymy obie strony tego równania przez $P_{CPE}$:$$P_{APE} = 3 \cdot P_{CPE}$$Podstawiamy przyjęte wcześniej oznaczenie $P_{CPE} = S_{3}$:$$P_{APE} = 3 \cdot S_{3}$$c) Ułożenie i rozwiązanie równania pól dla trójkątów $ADC$ oraz $BDC$. Prosta $CD$ dzieli cały trójkąt $ABC$ na dwa trójkąty: $ADC$ oraz $BDC$. Oba te trójkąty mają wspólny wierzchołek $C$, a ich podstawy $AD$ oraz $DB$ leżą na prostej $AB$. Ponownie korzystamy ze stosunku $AD = 2 \cdot DB$:$$\frac{P_{ADC}}{P_{BDC}} = \frac{AD}{DB} = \frac{2 \cdot DB}{DB} = 2$$Mnożymy obie strony równania przez $P_{BDC}$:$$P_{ADC} = 2 \cdot P_{BDC}$$Wyraźmy pola trójkątów $BDC$ oraz $ADC$ za pomocą naszych oznaczonych pól $S_{1}$, $S_{2}$ oraz $S_{3}$. Trójkąt $BDC$ składa się z dwóch trójkątów: $BDP$ oraz $BPC$. Zatem jego pole jest sumą pól tych dwóch trójkątów:$$P_{BDC} = P_{BDP} + P_{BPC}$$Podstawiamy $P_{BDP} = S_{1}$ oraz $P_{BPC} = S_{2}$:$$P_{BDC} = S_{1} + S_{2}$$Trójkąt $ADC$ składa się z trzech części: trójkąta $ADP$, trójkąta $APE$ oraz trójkąta $CPE$. Zatem jego pole jest sumą pól tych trzech części:$$P_{ADC} = P_{ADP} + P_{APE} + P_{CPE}$$Podstawiamy wyznaczone wcześniej pola $P_{ADP} = 2 \cdot S_{1}$, $P_{APE} = 3 \cdot S_{3}$ oraz $P_{CPE} = S_{3}$:$$P_{ADC} = 2 \cdot S_{1} + 3 \cdot S_{3} + S_{3}$$Dodajemy do siebie wyrazy podobne $3 \cdot S_{3}$ oraz $S_{3}$, gdzie $S_{3} = 1 \cdot S_{3}$. Liczby $3$ oraz $1$ dodajemy do siebie, co daje $3 + 1 = 4$:$$3 \cdot S_{3} + 1 \cdot S_{3} = \left(3 + 1\right) \cdot S_{3} = 4 \cdot S_{3}$$Otrzymujemy zatem:$$P_{ADC} = 2 \cdot S_{1} + 4 \cdot S_{3}$$Teraz podstawiamy wyznaczone wzory na $P_{ADC}$ oraz $P_{BDC}$ do równania $P_{ADC} = 2 \cdot P_{BDC}$:$$2 \cdot S_{1} + 4 \cdot S_{3} = 2 \cdot \left(S_{1} + S_{2}\right)$$Mnożymy każdy wyraz w nawiasie po prawej stronie przez liczbę $2$:$$2 \cdot S_{1} + 4 \cdot S_{3} = 2 \cdot S_{1} + 2 \cdot S_{2}$$Odejmujemy wyrażenie $2 \cdot S_{1}$ od obu stron równania:$$2 \cdot S_{1} + 4 \cdot S_{3} - 2 \cdot S_{1} = 2 \cdot S_{1} + 2 \cdot S_{2} - 2 \cdot S_{1}$$Po redukcji wyrazów $2 \cdot S_{1} - 2 \cdot S_{1} = 0$ otrzymujemy:$$4 \cdot S_{3} = 2 \cdot S_{2}$$Aby wyznaczyć $S_{2}$, dzielimy obie strony równania przez liczbę $2$:$$\frac{4 \cdot S_{3}}{2} = \frac{2 \cdot S_{2}}{2}$$Po wykonaniu dzielenia $4 : 2 = 2$ oraz $2 : 2 = 1$ po prawej stronie mamy:$$2 \cdot S_{3} = S_{2}$$Zamieniamy strony równania:$$S_{2} = 2 \cdot S_{3}$$d) Obliczenie końcowego stosunku $BP : PE$. Powracamy do równości wyznaczonej w punkcie a):$$\frac{BP}{PE} = \frac{P_{BPC}}{P_{CPE}}$$Podstawiamy $P_{BPC} = S_{2}$ oraz $P_{CPE} = S_{3}$:$$\frac{BP}{PE} = \frac{S_{2}}{S_{3}}$$Podstawiamy wyznaczoną wartość $S_{2} = 2 \cdot S_{3}$:$$\frac{BP}{PE} = \frac{2 \cdot S_{3}}{S_{3}}$$Skracamy $S_{3}$ w liczniku i mianowniku (dzielimy licznik i mianownik przez $S_{3}$):$$\frac{BP}{PE} = 2$$Szukany stosunek $BP : PE$ wynosi $2$ (czyli $2 : 1$).

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

W trójkącie $ABC$ dane są długości boków: $AB = 15$ cm, $BC = 20$ cm i $AC = 25$ cm. Na bokach $AB$ i $AC$ wybrano odpowiednio punkty $D$ i $E$ tak, że odcinek $DE$ jest równoległy do boku $BC$. Obwód trójkąta $ADE$ jest równy $12$ cm. Oblicz długości odcinków $BD$ i $CE$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Trójkąty $KLM$ i $PRS$ są podobne. Stosunek obwodów tych trójkątów wynosi $2 : 3$. Pole trójkąta $KLM$ jest równe $20 \text{ cm}^2$. Oblicz pole trójkąta $PRS$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

W trójkącie prostokątnym $ABC$ z kątem prostym przy wierzchołku $C$ poprowadzono wysokość $CD$ na przeciwprostokątną $AB$. Wiadomo, że wysokość ta dzieli przeciwprostokątną na odcinki długości $AD = 2 \text{ cm}$ i $BD = 8 \text{ cm}$. Oblicz długość wysokości $CD$ oraz długości przyprostokątnych $AC$ i $BC$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Dziecko o wzroście $1.6$ m stoi w odległości $6$ m od latarni ulicznej. Okazało się, że cień dziecka rzucany na ziemię ma długość $2$ m. Oblicz, na jakiej wysokości znajduje się źródło światła w latarni.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

Dany jest trójkąt $ABC$. Na boku $AB$ wybrano punkt $D$, a na boku $AC$ punkt $E$ tak, że $AD = 3DB$ i $AE = 2EC$. Odcinek $CD$ przecina odcinek $BE$ w punkcie $P$. Oblicz stosunek $BP : PE$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

7.11 Podobieństwo trójkątów – zastosowanie w zadaniach

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋