Określenie logarytmu kartkówka LiczBit

2.8 Określenie logarytmu

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Oblicz:

a) $\log_2 128$

b) $\log_{\frac{1}{3}} 81$

c) $\log 10000$

d) $\log_{\frac{2}{5}} \dfrac{125}{8}$

e) $\log_2 \dfrac{1}{256}$

f) $\log_{\frac{1}{4}} 64$

g) $\log_6 216$

h) $\log_{\frac{1}{8}} 1$

Wskazówki:

Korzystaj z definicji logarytmu: $\log_a b = c \iff a^c = b$ dla $a > 0$, $a \neq 1$ oraz $b > 0$. Szukamy wykładnika potęgi, do którego należy podnieść podstawę $a$, aby otrzymać liczbę logarytmowaną $b$.
Zapis $\log x$ bez wskazanej podstawy oznacza logarytm dziesiętny, czyli $\log_{10} x$.
Stosuj prawa potęgowania o ujemnym wykładniku: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ oraz $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n$.
Pamiętaj, że dla dowolnej poprawnej podstawy $a$ zachodzi $\log_a 1 = 0$, ponieważ $a^0 = 1$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_2 128$:
Zgodnie z definicją logarytmu szukamy liczby $c$, która spełnia warunek $2^c = 128$.
Zapisujemy liczbę $128$ w postaci potęgi liczby $2$: $$128 = 2^7$$ Przyrównujemy potęgi o tej samej podstawie: $$2^c = 2^7 \implies c = 7$$ Zatem: $$\log_2 128 = 7$$
Podpunkt b) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_{\frac{1}{3}} 81$:
Niech $\log_{\frac{1}{3}} 81 = c$. Na mocy definicji logarytmu otrzymujemy równanie: $$\left(\dfrac{1}{3}\right)^c = 81$$ Przedstawiamy obie strony za pomocą potęgi o podstawie $3$: $$ \begin{aligned} \left(3^{-1}\right)^c &= 3^4 \\[8pt] 3^{-c} &= 3^4 \\[8pt] -c &= 4 \implies c = -4 \end{aligned} $$ Zatem: $$\log_{\frac{1}{3}} 81 = -4$$
Podpunkt c) Obliczamy wartość wyrażenia $\log 10000$:
Logarytm bez zapisanej podstawy to logarytm dziesiętny o podstawie $10$, czyli $\log_{10} 10000 = c$: $$10^c = 10000$$ Zapisujemy liczbę $10000$ w postaci potęgi liczby $10$: $$10000 = 10^4$$ Otrzymujemy: $$10^c = 10^4 \implies c = 4$$ Zatem: $$\log 10000 = 4$$
Podpunkt d) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_{\frac{2}{5}} \dfrac{125}{8}$:
Zgodnie z definicją logarytmu poszukujemy wykładnika $c$, takiego że: $$\left(\dfrac{2}{5}\right)^c = \dfrac{125}{8}$$ Zauważamy, że liczby w ułamku są sześcianami liczb $5$ i $2$: $$ \begin{aligned} \dfrac{125}{8} &= \dfrac{5^3}{2^3} = \left(\dfrac{5}{2}\right)^3 \\[8pt] &= \left(\dfrac{2}{5}\right)^{-3} \end{aligned} $$ Przyrównujemy wykładniki potęg o podstawie $\dfrac{2}{5}$: $$\left(\dfrac{2}{5}\right)^c = \left(\dfrac{2}{5}\right)^{-3} \implies c = -3$$ Zatem: $$\log_{\frac{2}{5}} \dfrac{125}{8} = -3$$
Podpunkt e) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_2 \dfrac{1}{256}$:
Zgodnie z definicją logarytmu szukamy liczby $c$ spełniającej zależność: $$2^c = \dfrac{1}{256}$$ Zapisujemy ułamek po prawej stronie jako potęgę o podstawie $2$: $$ \begin{aligned} 256 &= 2^8 \\[8pt] \dfrac{1}{256} &= 2^{-8} \end{aligned} $$ Przyrównujemy potęgi: $$2^c = 2^{-8} \implies c = -8$$ Zatem: $$\log_2 \dfrac{1}{256} = -8$$
Podpunkt f) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_{\frac{1}{4}} 64$:
Zgodnie z definicją logarytmu zapisujemy równanie wykładnicze: $$\left(\dfrac{1}{4}\right)^c = 64$$ Sprowadzamy obie strony do wspólnej podstawy $4$: $$ \begin{aligned} \left(4^{-1}\right)^c &= 4^3 \\[8pt] 4^{-c} &= 4^3 \\[8pt] -c &= 3 \implies c = -3 \end{aligned} $$ Zatem: $$\log_{\frac{1}{4}} 64 = -3$$
Podpunkt g) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_6 216$:
Zgodnie z definicją logarytmu: $$6^c = 216$$ Zapisujemy liczbę $216$ jako potęgę liczby $6$: $$216 = 6^3$$ Przyrównujemy wykładniki: $$6^c = 6^3 \implies c = 3$$ Zatem: $$\log_6 216 = 3$$
Podpunkt h) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_{\frac{1}{8}} 1$:
Zgodnie z definicją logarytmu: $$\left(\dfrac{1}{8}\right)^c = 1$$ Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej wynosi $1$: $$1 = \left(\dfrac{1}{8}\right)^0$$ Stąd: $$\left(\dfrac{1}{8}\right)^c = \left(\dfrac{1}{8}\right)^0 \implies c = 0$$ Zatem: $$\log_{\frac{1}{8}} 1 = 0$$

Odpowiedź:
a) $7$

b) $-4$

c) $4$

d) $-3$

e) $-8$

f) $-3$

g) $3$

h) $0$

Zadanie 2

Oblicz $x$, jeśli:

a) $\log_2 x = -1$

b) $\log_4 x = 3$

c) $\log_{\frac{1}{3}} x = -2$

d) $\log_{\frac{1}{4}} x = -\frac{1}{2}$

e) $\log_8 x = -\frac{2}{3}$

f) $\log_5 x = 0$

g) $\log_2 x = 8$

h) $\log_{3\sqrt{3}} x = -2$

Wskazówki:

Skorzystaj z podstawowej definicji logarytmu: dla $a > 0$, $a \neq 1$ oraz $x > 0$ równość $\log_a x = c$ jest równoważna równości $x = a^c$.
Pamiętaj o działaniach na potęgach: ujemny wykładnik oznacza odwrotność podstawy ($a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$, $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n$), a wykładnik ułamkowy oznacza pierwiastek ($a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$).
Każdą wyznaczoną wartość sprawdź z warunkiem dziedziny logarytmu ($x > 0$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczamy wartość $x$ z równania $\log_2 x = -1$:
Z definicji logarytmu wynika, że podstawa $2$ podniesiona do wykładnika $-1$ daje liczbę logarytmowaną $x$: $$ \begin{aligned} x &= 2^{-1} \\[8pt] &= \dfrac{1}{2^1} = \dfrac{1}{2} \end{aligned} $$ Wartość $x = \dfrac{1}{2}$ spełnia warunek dziedziny ($x > 0$).
Podpunkt b) Wyznaczamy wartość $x$ z równania $\log_4 x = 3$:
Stosując definicję logarytmu, podnosimy podstawę $4$ do potęgi trzeciej: $$ \begin{aligned} x &= 4^3 \\[8pt] &= 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 \end{aligned} $$ Liczba $x = 64$ jest dodatnia, zatem stanowi rozwiązanie równania.
Podpunkt c) Wyznaczamy wartość $x$ z równania $\log_{\frac{1}{3}} x = -2$:
Zgodnie z definicją logarytmu zapisujemy liczbę $x$ jako ułamek $\dfrac{1}{3}$ podniesiony do potęgi $-2$: $$ \begin{aligned} x &= \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2} \\[8pt] &= 3^2 = 9 \end{aligned} $$ Wartość $x = 9$ jest większa od zera i należy do dziedziny.
Podpunkt d) Wyznaczamy wartość $x$ z równania $\log_{\frac{1}{4}} x = -\frac{1}{2}$:
Przekształcamy równanie logarytmiczne na postać potęgową: $$ \begin{aligned} x &= \left(\dfrac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} \\[8pt] &= 4^{\frac{1}{2}} \\[8pt] &= \sqrt{4} = 2 \end{aligned} $$ Liczba $x = 2$ spełnia warunek $x > 0$.
Podpunkt e) Wyznaczamy wartość $x$ z równania $\log_8 x = -\frac{2}{3}$:
Z definicji logarytmu otrzymujemy: $$ \begin{aligned} x &= 8^{-\frac{2}{3}} \\[8pt] &= \left(2^3\right)^{-\frac{2}{3}} \\[8pt] &= 2^{3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)} \\[8pt] &= 2^{-2} \\[8pt] &= \dfrac{1}{2^2} = \dfrac{1}{4} \end{aligned} $$ Otrzymana wartość $x = \dfrac{1}{4}$ jest dodatnia.
Podpunkt f) Wyznaczamy wartość $x$ z równania $\log_5 x = 0$:
Dowolna liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej wynosi $1$: $$ \begin{aligned} x &= 5^0 = 1 \end{aligned} $$ Liczba $x = 1$ jest dodatnia i spełnia równanie.
Podpunkt g) Wyznaczamy wartość $x$ z równania $\log_2 x = 8$:
Podnosimy podstawę $2$ do potęgi ósmej: $$ \begin{aligned} x &= 2^8 = 256 \end{aligned} $$ Wartość $x = 256$ jest większa od zera.
Podpunkt h) Wyznaczamy wartość $x$ z równania $\log_{3\sqrt{3}} x = -2$:
Zapisujemy podstawę logarytmu jako potęgę liczby $3$, zauważając, że $3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$: $$ \begin{aligned} x &= \left(3\sqrt{3}\right)^{-2} \\[8pt] &= \left(3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}}\right)^{-2} \\[8pt] &= \left(3^{\frac{3}{2}}\right)^{-2} \\[8pt] &= 3^{\frac{3}{2} \cdot (-2)} \\[8pt] &= 3^{-3} \\[8pt] &= \dfrac{1}{3^3} = \dfrac{1}{27} \end{aligned} $$ Liczba $x = \dfrac{1}{27}$ spełnia warunek dziedziny ($x > 0$).

Odpowiedź:
a) $x = \dfrac{1}{2}$

b) $x = 64$

c) $x = 9$

d) $x = 2$

e) $x = \dfrac{1}{4}$

f) $x = 1$

g) $x = 256$

h) $x = \dfrac{1}{27}$

Zadanie 3

Oblicz $x$, jeśli:

a) $ \log_x 49 = 2 $

b) $ \log_x 16 = 4 $

c) $ \log_x 5 = \frac{1}{2} $

d) $ \log_x 3 = \frac{1}{3} $

e) $ \log_x \frac{1}{16} = -2 $

f) $ \log_x 125 = -3 $

g) $ \log_x 64 = 3 $

h) $ \log_x 100 = -2 $

Wskazówki:

Korzystaj bezpośrednio z definicji logarytmu: równość $ \log_a b = c $ oznacza, że $ a^c = b $.
Pamiętaj o założeniach dotyczących podstawy logarytmu: podstawa musi być liczbą dodatnią oraz różną od jedności ($ x > 0 $ i $ x \neq 1 $).
Przy potęgach o wykładniku ujemnym stosuj zależność: $ a^{-n} = \left(\frac{1}{a}\right)^n $.
Przy potęgach o wykładniku ułamkowym pamiętaj, że: $ a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} $.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $ \log_x 49 = 2 $:
Z definicji logarytmu zapisujemy równanie w postaci potęgowej z zastrzeżeniem, że $ x > 0 $ oraz $ x \neq 1 $: $$ x^2 = 49 $$ Równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania: $ x = 7 $ oraz $ x = -7 $. Ze względu na założenie $ x > 0 $ odrzucamy wartość ujemną: $$ x = 7 $$
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $ \log_x 16 = 4 $:
Z definicji logarytmu zapisujemy równanie w postaci wykładniczej: $$ x^4 = 16 $$ Zauważamy, że $ 16 = 2^4 $. Ponieważ poszukujemy rozwiązania spełniającego warunek $ x > 0 $, otrzymujemy: $$ x = 2 $$
Podpunkt c) Rozwiązujemy równanie $ \log_x 5 = \frac{1}{2} $:
Zapisujemy równanie za pomocą potęgi: $$ \begin{aligned} x^{\frac{1}{2}} &= 5 \\[8pt] \sqrt{x} &= 5 \end{aligned} $$ Podnosimy obie strony równania do kwadratu: $$ \begin{aligned} (\sqrt{x})^2 &= 5^2 \\[8pt] x &= 25 \end{aligned} $$ Liczba $ 25 $ spełnia warunki $ x > 0 $ oraz $ x \neq 1 $.
Podpunkt d) Rozwiązujemy równanie $ \log_x 3 = \frac{1}{3} $:
Przekształcamy równanie zgodnie z definicją logarytmu: $$ \begin{aligned} x^{\frac{1}{3}} &= 3 \\[8pt] \sqrt[3]{x} &= 3 \end{aligned} $$ Podnosimy obie strony do potęgi trzeciej: $$ \begin{aligned} (\sqrt[3]{x})^3 &= 3^3 \\[8pt] x &= 27 \end{aligned} $$ Wartość $ x = 27 $ jest poprawną podstawą logarytmu.
Podpunkt e) Rozwiązujemy równanie $ \log_x \frac{1}{16} = -2 $:
Z definicji logarytmu otrzymujemy: $$ x^{-2} = \frac{1}{16} $$ Stosujemy własność potęgi o wykładniku ujemnym: $$ \begin{aligned} \frac{1}{x^2} &= \frac{1}{16} \\[8pt] x^2 &= 16 \end{aligned} $$ Uwzględniając założenie $ x > 0 $, wybieramy wyłącznie wartość dodatnią: $$ x = 4 $$
Podpunkt f) Rozwiązujemy równanie $ \log_x 125 = -3 $:
Zapisujemy równanie w postaci potęgowej: $$ x^{-3} = 125 $$ Przekształcamy lewą stronę do postaci ułamka zwykłego: $$ \begin{aligned} \frac{1}{x^3} &= 125 \\[8pt] x^3 &= \frac{1}{125} \\[8pt] x^3 &= \left(\frac{1}{5}\right)^3 \\[8pt] x &= \frac{1}{5} \end{aligned} $$ Otrzymana liczba spełnia założenia dla podstawy logarytmu.
Podpunkt g) Rozwiązujemy równanie $ \log_x 64 = 3 $:
Stosujemy definicję logarytmu: $$ x^3 = 64 $$ Zauważamy, że $ 64 = 4^3 $: $$ x = 4 $$ Wartość ta spełnia warunki $ x > 0 $ oraz $ x \neq 1 $.
Podpunkt h) Rozwiązujemy równanie $ \log_x 100 = -2 $:
Przekształcamy równanie do postaci wykładniczej: $$ x^{-2} = 100 $$ Zamieniamy potęgę o ujemnym wykładniku na ułamek: $$ \begin{aligned} \frac{1}{x^2} &= 100 \\[8pt] x^2 &= \frac{1}{100} \end{aligned} $$ Pamiętając o warunku $ x > 0 $, pierwiastkujemy obustronnie: $$ x = \frac{1}{10} $$

Odpowiedź:
a) $ x = 7 $

b) $ x = 2 $

c) $ x = 25 $

d) $ x = 27 $

e) $ x = 4 $

f) $ x = \dfrac{1}{5} $

g) $ x = 4 $

h) $ x = \dfrac{1}{10} $

Zadanie 4

Oblicz:

a) $\log_{0,2} 0,04$

b) $\log_{1,2} 1,728$

c) $\log_{0,49} 0,7$

d) $\log_{0,027} 0,3$

e) $\log_{0,25} 0,125$

f) $\log_{0,5} 64$

g) $\log_{0,04} 5$

h) $\log_5 0,008$

Wskazówki:

Korzystamy z definicji logarytmu: $\log_a b = c \iff a^c = b$, gdzie $a > 0$, $a \neq 1$ oraz $b > 0$.
Ułamki dziesiętne warto przekształcić na potęgi tej samej liczby lub zamienić na nieskracalne ułamki zwykłe.
Gdy obie strony równania wykładniczego $a^x = a^y$ mają tę samą podstawę $a > 0$ i $a \neq 1$, to ich wykładniki są równe: $x = y$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_{0,2} 0,04$:
Niech $\log_{0,2} 0,04 = c$. Z definicji logarytmu wynika równość: $$ (0,2)^c = 0,04 $$ Ponieważ $0,04 = (0,2)^2$, otrzymujemy: $$ \begin{aligned} (0,2)^c &= (0,2)^2 \\[8pt] c &= 2 \end{aligned} $$
Podpunkt b) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_{1,2} 1,728$:
Niech $\log_{1,2} 1,728 = c$. Z definicji logarytmu zapisujemy równanie: $$ (1,2)^c = 1,728 $$ Zauważamy, że $12^3 = 1728$, co oznacza, że $(1,2)^3 = 1,728$: $$ \begin{aligned} (1,2)^c &= (1,2)^3 \\[8pt] c &= 3 \end{aligned} $$
Podpunkt c) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_{0,49} 0,7$:
Niech $\log_{0,49} 0,7 = c$. Z definicji logarytmu mamy: $$ (0,49)^c = 0,7 $$ Przedstawiamy liczbę $0,49$ jako potęgę liczby $0,7$, czyli $0,49 = (0,7)^2$: $$ \begin{aligned} \left((0,7)^2\right)^c &= (0,7)^1 \\[8pt] (0,7)^{2c} &= (0,7)^1 \\[8pt] 2c &= 1 \\[8pt] c &= \dfrac{1}{2} \end{aligned} $$
Podpunkt d) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_{0,027} 0,3$:
Niech $\log_{0,027} 0,3 = c$. Z definicji logarytmu zapisujemy: $$ (0,027)^c = 0,3 $$ Liczbę $0,027$ zapisujemy jako $(0,3)^3$: $$ \begin{aligned} \left((0,3)^3\right)^c &= (0,3)^1 \\[8pt] (0,3)^{3c} &= (0,3)^1 \\[8pt] 3c &= 1 \\[8pt] c &= \dfrac{1}{3} \end{aligned} $$
Podpunkt e) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_{0,25} 0,125$:
Niech $\log_{0,25} 0,125 = c$. Z definicji logarytmu otrzymujemy: $$ (0,25)^c = 0,125 $$ Obie liczby możemy wyrazić jako potęgi liczby $0,5$, ponieważ $0,25 = (0,5)^2$ oraz $0,125 = (0,5)^3$: $$ \begin{aligned} \left((0,5)^2\right)^c &= (0,5)^3 \\[8pt] (0,5)^{2c} &= (0,5)^3 \\[8pt] 2c &= 3 \\[8pt] c &= \dfrac{3}{2} \end{aligned} $$
Podpunkt f) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_{0,5} 64$:
Niech $\log_{0,5} 64 = c$. Z definicji logarytmu mamy: $$ (0,5)^c = 64 $$ Sprowadzamy obie strony do wspólnej podstawy równej $2$, wiedząc, że $0,5 = \dfrac{1}{2} = 2^{-1}$ oraz $64 = 2^6$: $$ \begin{aligned} \left(2^{-1}\right)^c &= 2^6 \\[8pt] 2^{-c} &= 2^6 \\[8pt] -c &= 6 \\[8pt] c &= -6 \end{aligned} $$
Podpunkt g) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_{0,04} 5$:
Niech $\log_{0,04} 5 = c$. Z definicji logarytmu zapisujemy: $$ (0,04)^c = 5 $$ Zamieniamy ułamek dziesiętny na ułamek zwykły nieskracalny: $0,04 = \dfrac{4}{100} = \dfrac{1}{25} = 5^{-2}$: $$ \begin{aligned} \left(5^{-2}\right)^c &= 5^1 \\[8pt] 5^{-2c} &= 5^1 \\[8pt] -2c &= 1 \\[8pt] c &= -\dfrac{1}{2} \end{aligned} $$
Podpunkt h) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_5 0,008$:
Niech $\log_5 0,008 = c$. Z definicji logarytmu mamy: $$ 5^c = 0,008 $$ Przedstawiamy ułamek dziesiętny w postaci ułamka zwykłego: $0,008 = \dfrac{8}{1000} = \dfrac{1}{125} = 5^{-3}$: $$ \begin{aligned} 5^c &= 5^{-3} \\[8pt] c &= -3 \end{aligned} $$

Odpowiedź:
a) $2$

b) $3$

c) $\dfrac{1}{2}$

d) $\dfrac{1}{3}$

e) $\dfrac{3}{2}$

f) $-6$

g) $-\dfrac{1}{2}$

h) $-3$

Zadanie 5

Oblicz:

a) $\log_{\sqrt{3}} 3\sqrt[4]{3}$

b) $\log_{\sqrt[4]{2}} 16$

c) $\log_3 9\sqrt{3}$

d) $\log_{\frac{1}{2}} 16\sqrt{2}$

e) $\log_9 27\sqrt[3]{3}$

f) $\log_{\frac{1}{7}} 49\sqrt{7}$

g) $\log_{\sqrt{2}} \sqrt[3]{4}$

h) $\log_{3\sqrt{3}} 9\sqrt{27}$

Wskazówki:

Skorzystaj z definicji logarytmu: równość $\log_a b = c$ jest równoważna równaniu potęgowemu $a^c = b$ dla $a > 0$, $a \neq 1$ oraz $b > 0$.
Zapisz zarówno podstawę logarytmu $a$, jak i liczbę logarytmowaną $b$ w postaci potęgi o tej samej podstawie, wykorzystując własności potęg i pierwiastków: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$ oraz $\left(a^x\right)^y = a^{x \cdot y}$.
Po uzyskaniu równania postaci $a^{k \cdot c} = a^m$ przyrównaj wykładniki: $k \cdot c = m$ i wyznacz niewiadomą $c$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_{\sqrt{3}} 3\sqrt[4]{3}$:
Niech $\log_{\sqrt{3}} 3\sqrt[4]{3} = c$. Z definicji logarytmu otrzymujemy równanie: $$(\sqrt{3})^c = 3\sqrt[4]{3}$$ Sprowadzamy obie strony równania do potęgi o podstawie $3$: $$ \begin{aligned} (\sqrt{3})^c &= \left(3^{\frac{1}{2}}\right)^c = 3^{\frac{1}{2}c} \\[8pt] 3\sqrt[4]{3} &= 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{4}} = 3^{1 + \frac{1}{4}} = 3^{\frac{5}{4}} \end{aligned} $$ Przyrównujemy wykładniki: $$ \begin{aligned} \frac{1}{2}c &= \frac{5}{4} \\[8pt] c &= \frac{5}{4} \cdot 2 = \frac{5}{2} \end{aligned} $$ Zatem $\log_{\sqrt{3}} 3\sqrt[4]{3} = \dfrac{5}{2}$.
Podpunkt b) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_{\sqrt[4]{2}} 16$:
Przyjmujemy $\log_{\sqrt[4]{2}} 16 = c$. Z definicji logarytmu: $$\left(\sqrt[4]{2}\right)^c = 16$$ Zapisujemy obie strony jako potęgi o podstawie $2$: $$ \begin{aligned} \left(\sqrt[4]{2}\right)^c &= \left(2^{\frac{1}{4}}\right)^c = 2^{\frac{1}{4}c} \\[8pt] 16 &= 2^4 \end{aligned} $$ Przyrównujemy wykładniki: $$ \begin{aligned} \frac{1}{4}c &= 4 \\[8pt] c &= 4 \cdot 4 = 16 \end{aligned} $$ Zatem $\log_{\sqrt[4]{2}} 16 = 16$.
Podpunkt c) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_3 9\sqrt{3}$:
Niech $\log_3 9\sqrt{3} = c$, co oznacza: $$3^c = 9\sqrt{3}$$ Przekształcamy prawą stronę do potęgi liczby $3$: $$9\sqrt{3} = 3^2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{2 + \frac{1}{2}} = 3^{\frac{5}{2}}$$ Otrzymujemy: $$3^c = 3^{\frac{5}{2}} \implies c = \frac{5}{2}$$ Zatem $\log_3 9\sqrt{3} = \dfrac{5}{2}$.
Podpunkt d) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_{\frac{1}{2}} 16\sqrt{2}$:
Niech $\log_{\frac{1}{2}} 16\sqrt{2} = c$. Z definicji logarytmu mamy: $$\left(\frac{1}{2}\right)^c = 16\sqrt{2}$$ Zapisujemy obie strony jako potęgi o podstawie $2$: $$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{2}\right)^c &= \left(2^{-1}\right)^c = 2^{-c} \\[8pt] 16\sqrt{2} &= 2^4 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{4 + \frac{1}{2}} = 2^{\frac{9}{2}} \end{aligned} $$ Przyrównujemy wykładniki: $$-c = \frac{9}{2} \implies c = -\frac{9}{2}$$ Zatem $\log_{\frac{1}{2}} 16\sqrt{2} = -\dfrac{9}{2}$.
Podpunkt e) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_9 27\sqrt[3]{3}$:
Przyjmujemy $\log_9 27\sqrt[3]{3} = c$, co daje: $$9^c = 27\sqrt[3]{3}$$ Sprowadzamy obie strony do wspólnej podstawy $3$: $$ \begin{aligned} 9^c &= \left(3^2\right)^c = 3^{2c} \\[8pt] 27\sqrt[3]{3} &= 3^3 \cdot 3^{\frac{1}{3}} = 3^{3 + \frac{1}{3}} = 3^{\frac{10}{3}} \end{aligned} $$ Przyrównujemy wykładniki: $$ \begin{aligned} 2c &= \frac{10}{3} \\[8pt] c &= \frac{10}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{3} \end{aligned} $$ Zatem $\log_9 27\sqrt[3]{3} = \dfrac{5}{3}$.
Podpunkt f) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_{\frac{1}{7}} 49\sqrt{7}$:
Niech $\log_{\frac{1}{7}} 49\sqrt{7} = c$, co jest równoważne: $$\left(\frac{1}{7}\right)^c = 49\sqrt{7}$$ Zapisujemy obie strony jako potęgi o podstawie $7$: $$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{7}\right)^c &= \left(7^{-1}\right)^c = 7^{-c} \\[8pt] 49\sqrt{7} &= 7^2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} = 7^{2 + \frac{1}{2}} = 7^{\frac{5}{2}} \end{aligned} $$ Przyrównujemy wykładniki: $$-c = \frac{5}{2} \implies c = -\frac{5}{2}$$ Zatem $\log_{\frac{1}{7}} 49\sqrt{7} = -\dfrac{5}{2}$.
Podpunkt g) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_{\sqrt{2}} \sqrt[3]{4}$:
Przyjmujemy $\log_{\sqrt{2}} \sqrt[3]{4} = c$, stąd: $$(\sqrt{2})^c = \sqrt[3]{4}$$ Zapisujemy obie strony w postaci potęg liczby $2$: $$ \begin{aligned} (\sqrt{2})^c &= \left(2^{\frac{1}{2}}\right)^c = 2^{\frac{1}{2}c} \\[8pt] \sqrt[3]{4} &= \sqrt[3]{2^2} = 2^{\frac{2}{3}} \end{aligned} $$ Przyrównujemy wykładniki: $$ \begin{aligned} \frac{1}{2}c &= \frac{2}{3} \\[8pt] c &= \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3} \end{aligned} $$ Zatem $\log_{\sqrt{2}} \sqrt[3]{4} = \dfrac{4}{3}$.
Podpunkt h) Obliczamy wartość wyrażenia $\log_{3\sqrt{3}} 9\sqrt{27}$:
Niech $\log_{3\sqrt{3}} 9\sqrt{27} = c$, co oznacza: $$(3\sqrt{3})^c = 9\sqrt{27}$$ Przedstawiamy podstawę oraz liczbę logarytmowaną w postaci potęg o podstawie $3$: $$ \begin{aligned} 3\sqrt{3} &= 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}} \implies (3\sqrt{3})^c = \left(3^{\frac{3}{2}}\right)^c = 3^{\frac{3}{2}c} \\[8pt] 9\sqrt{27} &= 3^2 \cdot \sqrt{3^3} = 3^2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} = 3^{2 + \frac{3}{2}} = 3^{\frac{7}{2}} \end{aligned} $$ Przyrównujemy wykładniki: $$ \begin{aligned} \frac{3}{2}c &= \frac{7}{2} \\[8pt] c &= \frac{7}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{7}{3} \end{aligned} $$ Zatem $\log_{3\sqrt{3}} 9\sqrt{27} = \dfrac{7}{3}$.

Odpowiedź:
a) $\dfrac{5}{2}$

b) $16$

c) $\dfrac{5}{2}$

d) $-\dfrac{9}{2}$

e) $\dfrac{5}{3}$

f) $-\dfrac{5}{2}$

g) $\dfrac{4}{3}$

h) $\dfrac{7}{3}$

Grupa B

Zadanie 1

Oblicz:

a) $\log_4 256$

b) $\log_{\frac{1}{5}} 125$

c) $\log 100000$

d) $\log_{\frac{3}{4}} \dfrac{64}{27}$

e) $\log_3 \dfrac{1}{729}$

f) $\log_{\frac{1}{3}} 243$

g) $\log_7 343$

h) $\log_{\frac{1}{4}} 1$

Zadanie 2

Oblicz $x$, jeśli:

a) $\log_5 x = -1$

b) $\log_2 x = 6$

c) $\log_{\frac{1}{4}} x = -2$

d) $\log_{\frac{1}{9}} x = -\frac{1}{2}$

e) $\log_{27} x = -\frac{2}{3}$

f) $\log_7 x = 0$

g) $\log_3 x = 5$

h) $\log_{2\sqrt{2}} x = -2$

Zadanie 3

Oblicz $x$, jeśli:

a) $ \log_x 36 = 2 $

b) $ \log_x 625 = 4 $

c) $ \log_x 4 = \frac{1}{2} $

d) $ \log_x 4 = \frac{1}{3} $

e) $ \log_x \frac{1}{25} = -2 $

f) $ \log_x 8 = -3 $

g) $ \log_x 125 = 3 $

h) $ \log_x 49 = -2 $

Zadanie 4

Oblicz:

a) $\log_{0,3} 0,09$

b) $\log_{1,5} 3,375$

c) $\log_{0,81} 0,9$

d) $\log_{0,216} 0,6$

e) $\log_{0,09} 0,027$

f) $\log_{0,2} 125$

g) $\log_{0,008} 5$

h) $\log_2 0,0625$

Zadanie 5

Oblicz:

a) $\log_{\sqrt{2}} 2\sqrt[3]{2}$

b) $\log_{\sqrt[3]{5}} 125$

c) $\log_5 25\sqrt{5}$

d) $\log_{\frac{1}{2}} 32\sqrt{2}$

e) $\log_8 16\sqrt[3]{2}$

f) $\log_{\frac{1}{3}} 27\sqrt{3}$

g) $\log_{\sqrt{5}} \sqrt[3]{25}$

h) $\log_{5\sqrt{5}} 25\sqrt{125}$

2.8 Określenie logarytmu

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋