Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu. Szkicowanie wykresów funkcji o zadanych własnościach kartkówka LiczBit

3.10 Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu. Szkicowanie wykresów funkcji o zadanych własnościach

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Wykres funkcji $f$ jest przedstawiony na rysunku obok. Na podstawie wykresu funkcji:
a) Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji $f$.
b) Oblicz wartość wyrażenia $f(-4) \cdot [f(-2) - f(4)]$.
c) Podaj przedziały, w których funkcja $f$ jest malejąca.
d) Podaj zbiór argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie.

Wskazówki:

Dziedzinę funkcji ($D$) odczytujemy jako rzut całego wykresu na oś $OX$. Zwróć szczególną uwagę na punkty zamalowane (domknięte) oraz kółka niezamalowane (otwarte).
Zbiór wartości ($ZW$) to rzut wykresu na oś $OY$ — wyznacz najmniejszą oraz największą wartość przyjmowaną przez funkcję.
Wartości funkcji $f(x_0)$ odczytujemy, znajdując punkt na wykresie odpowiadający argumentowi $x_0$ i odczytując jego drugą współrzędną $y$.
Funkcja jest malejąca w tych przedziałach, w których wraz ze wzrostem argumentów wartości funkcji maleją (wykres opada w prawo). Poszczególne przedziały monotoniczności wymieniamy osobno.
Wartości dodatnie oznaczają warunek $f(x) > 0$, czyli argumenty, dla których wykres leży ściśle powyżej osi $OX$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza odczytu z wykresu:
Wykres funkcji składa się z dwóch rozłącznych części:
- Krzywej określonej dla $x \in \langle -6, -1)$ z punktem skrajnym lewym zamalowanym $(-6, 2)$, lokalnym maksimum w punkcie $(-4, 4)$, punktem przecięcia z osią $OX$ w $(-3, 0)$, lokalnym minimum w punkcie $(-2, -4)$ oraz punktem prawym otwartym $(-1, -2)$.
- Linii łamanej określonej dla $x \in \langle 0, 4 \rangle$, rozpoczynającej się w punkcie zamalowanym $(0, 2)$, biegnącej poziomo do $(2, 2)$ i opadającej do punktu zamalowanego $(4, -2)$.
Podpunkt a) Wyznaczenie dziedziny i zbioru wartości funkcji $f$:
Odczytujemy dziedzinę $D$ z osi $OX$:
- Część lewa rozciąga się od $x = -6$ (włącznie) do $x = -1$ (punkt otwarty, kółko niezamalowane): $\langle -6, -1)$.
- Część prawa rozciąga się od $x = 0$ (włącznie) do $x = 4$ (włącznie): $\langle 0, 4 \rangle$.
Zatem dziedzina to: $$D = \langle -6, -1) \cup \langle 0, 4 \rangle$$ Odczytujemy zbiór wartości $ZW$ z osi $OY$:
- Najmniejsza wartość funkcji wynosi $y_{\min} = -4$ i jest osiągana dla $x = -2$.
- Największa wartość funkcji wynosi $y_{\max} = 4$ i jest osiągana dla $x = -4$.
- Wykres na przedziale $\langle -6, -1)$ w sposób ciągły przyjmuje wszystkie wartości pośrednie od $-4$ do $4$.
Zatem zbiór wartości wynosi: $$ZW = \langle -4, 4 \rangle$$
Podpunkt b) Obliczenie wartości wyrażenia $f(-4) \cdot [f(-2) - f(4)]$:
Odczytujemy z wykresu wartości funkcji dla poszczególnych argumentów: $$\begin{aligned} f(-4) &= 4 \\[8pt] f(-2) &= -4 \\[8pt] f(4) &= -2 \end{aligned}$$ Podstawiamy odczytane wartości do danego wyrażenia: $$\begin{aligned} f(-4) \cdot [f(-2) - f(4)] &= 4 \cdot [(-4) - (-2)] \\[8pt] &= 4 \cdot (-4 + 2) \\[8pt] &= 4 \cdot (-2) \\[8pt] &= -8 \end{aligned}$$
Podpunkt c) Wyznaczenie przedziałów, w których funkcja $f$ jest malejąca:
Funkcja jest malejąca, gdy wraz ze wzrostem argumentów wartości funkcji maleją:
- Na pierwszej części wykresu od wierzchołka $(-4, 4)$ do dołka $(-2, -4)$: dla $x \in \langle -4, -2 \rangle$.
- Na drugiej części wykresu od punktu załamania $(2, 2)$ do punktu końcowego $(4, -2)$: dla $x \in \langle 2, 4 \rangle$.
Zatem funkcja $f$ jest malejąca w przedziałach: $$\langle -4, -2 \rangle \quad \text{oraz} \quad \langle 2, 4 \rangle$$
Podpunkt d) Wyznaczenie zbioru argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie:
Wartości dodatnie to $f(x) > 0$, czyli fragmenty wykresu położone ściśle powyżej osi $OX$:
- Dla $x \in \langle -6, -3)$: funkcja rozpoczyna się w punkcie $(-6, 2)$, osiąga maksimum w $(-4, 4)$ i osiąga zero w punkcie $x = -3$. Zatem wartości są dodatnie dla $x \in \langle -6, -3)$ (w punkcie $x = -3$ wartość wynosi $0$, więc przedział przy $-3$ jest otwarty).
- Dla $x \in \langle 0, 3)$: funkcja przyjmuje stałą wartość $2$ na odcinku $\langle 0, 2 \rangle$, a następnie liniowo maleje do zera w punkcie $x = 3$. Zatem wartości są dodatnie dla $x \in \langle 0, 3)$.
Ostatecznie zbiór szukanych argumentów wynosi: $$x \in \langle -6, -3) \cup \langle 0, 3)$$

Odpowiedź:
a) $D = \langle -6, -1) \cup \langle 0, 4 \rangle$, $ZW = \langle -4, 4 \rangle$

b) $-8$

c) $\langle -4, -2 \rangle$ oraz $\langle 2, 4 \rangle$

d) $x \in \langle -6, -3) \cup \langle 0, 3)$

Zadanie 2

Poniżej są przedstawione wykresy pewnych funkcji. Omów własności tych funkcji według następującego porządku:
1) dziedzina funkcji
2) zbiór wartości funkcji
3) miejsca zerowe funkcji
4) zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie (wartości ujemne)
5) maksymalne przedziały monotoniczności funkcji
6) różnowartościowość funkcji
7) najmniejsza oraz największa wartość funkcji.

a) 1) $D = \langle -4, 2\rangle$, 2) $ZW = \langle -2, 4\rangle$, 3) $x = -2$, 4) $f(x) > 0$ dla $x \in (-2, 2\rangle$, $f(x) < 0$ dla $x \in \langle -4, -2)$, 5) rosnąca w $\langle -4, 2\rangle$, 6) jest różnowartościowa, 7) $y_{\min} = -2$ dla $x = -4$, $y_{\max} = 4$ dla $x = 2$

b) 1) $D = (-4, 4\rangle$, 2) $ZW = \langle -1, 2\rangle$, 3) $x = 0$, 4) $f(x) > 0$ dla $x \in (0, 4\rangle$, $f(x) < 0$ dla $x \in (-4, 0)$, 5) stała w $(-4, -2\rangle$, rosnąca w $\langle -2, 4\rangle$, 6) nie jest różnowartościowa, 7) $y_{\min} = -1$ dla $x \in (-4, -2\rangle$, $y_{\max} = 2$ dla $x = 4$

c) 1) $D = (-5, 5\rangle$, 2) $ZW = (-2, 4\rangle$, 3) $x \in \{-4, 2\}$, 4) $f(x) > 0$ dla $x \in (-4, 2) \cup (2, 5\rangle$, $f(x) < 0$ dla $x \in (-5, -4)$, 5) rosnąca w $(-5, -2\rangle$ oraz w $\langle 2, 5\rangle$, malejąca w $\langle -2, 2\rangle$, 6) nie jest różnowartościowa, 7) $y_{\max} = 4$ dla $x = -2$, brak wartości najmniejszej

d) 1) $D = (-5, 5\rangle$, 2) $ZW = (-2, -1\rangle \cup \langle 0, 4)$, 3) $x \in \{-3, 1\}$, 4) $f(x) > 0$ dla $x \in (-5, -3) \cup (-3, 1)$, $f(x) < 0$ dla $x \in (1, 5\rangle$, 5) malejąca w $(-5, -3\rangle$ oraz w $\langle -1, 1\rangle$, rosnąca w $\langle -3, -1\rangle$ oraz w $(1, 5\rangle$, 6) nie jest różnowartościowa, 7) brak wartości najmniejszej oraz brak wartości największej

e) 1) $D = \langle -5, 4)$, 2) $ZW = \langle -2, 4)$, 3) $x = -1$, 4) $f(x) > 0$ dla $x \in \langle -5, -3) \cup \langle -3, -1) \cup \langle 1, 4)$, $f(x) < 0$ dla $x \in (-1, 1\rangle$, 5) rosnąca w $\langle -5, -3)$ oraz w $\langle 1, 4)$, malejąca w $\langle -3, 1\rangle$, 6) nie jest różnowartościowa, 7) $y_{\min} = -2$ dla $x = 1$, brak wartości największej

f) 1) $D = \langle -4, 2\rangle \cup (3, 5\rangle$, 2) $ZW = \langle -3, -1\rangle \cup \langle 1, 4\rangle$, 3) brak miejsc zerowych, 4) $f(x) > 0$ dla $x \in \langle -4, -2\rangle \cup (3, 5\rangle$, $f(x) < 0$ dla $x \in (-2, 2\rangle$, 5) malejąca w $\langle -4, -2\rangle$ oraz w $\langle 0, 2\rangle$, rosnąca w $(-2, 0\rangle$, stała w $(3, 5\rangle$, 6) nie jest różnowartościowa, 7) $y_{\min} = -3$ dla $x = 2$, $y_{\max} = 4$ dla $x = -4$

Wskazówki:

Dziedzinę $D$ odczytujemy rzutując wykres pionowo na oś $OX$ (kropka zamalowana = przedział domknięty, niezamalowana = przedział otwarty).
Zbiór wartości $ZW$ odczytujemy rzutując wykres poziomo na oś $OY$.
Miejsca zerowe to punkty przecięcia lub zetknięcia wykresu z osią $OX$.
Wartości dodatnie to przedziały, gdzie wykres leży ściśle nad osią $OX$ ($y > 0$), a ujemne – pod osią $OX$ ($y < 0$).
Maksymalne przedziały monotoniczności wyznaczamy domykając przedziały w punktach ciągłości należących do dziedziny.
Funkcja jest różnowartościowa, gdy każda pozioma linia przecina wykres maksymalnie w jednym punkcie.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Analiza własności funkcji przedstawionej na wykresie a):

Dziedzina $D = \langle -4, 2\rangle$ na osi $OX$

Zbiór wartości $ZW = \langle -2, 4\rangle$ na osi $OY$

Miejsce zerowe: $x = -2$

Wykres stanowi pojedynczy odcinek o końcach w punktach $A = (-4, -2)$ oraz $B = (2, 4)$. Oba końce są punktami zamalowanymi.
1) Dziedzina: rzut wykresu na oś $OX$ to przedział obustronnie domknięty od $-4$ do $2$: $$D = \langle -4, 2\rangle$$ 2) Zbiór wartości: rzut wykresu na oś $OY$ to przedział od $-2$ do $4$: $$ZW = \langle -2, 4\rangle$$ 3) Miejsca zerowe: wykres przecina oś $OX$ w punkcie $(-2, 0)$, zatem miejscem zerowym jest: $$x = -2$$ 4) Wartości dodatnie i ujemne: $$f(x) > 0 \iff x \in (-2, 2\rangle$$ $$f(x) < 0 \iff x \in \langle -4, -2)$$ 5) Przedziały monotoniczności: funkcja stale rośnie od punktu początkowego do końcowego: $$\text{funkcja rosnąca w } \langle -4, 2\rangle$$ 6) Różnowartościowość: funkcja jest ściśle rosnąca w całej dziedzinie – jest różnowartościowa.
7) Wartość najmniejsza oraz największa: $$y_{\min} = -2 \quad \text{dla } x = -4$$ $$y_{\max} = 4 \quad \text{dla } x = 2$$
Podpunkt b) Analiza własności funkcji przedstawionej na wykresie b):

Dziedzina $D = (-4, 4\rangle$ na osi $OX$

Zbiór wartości $ZW = \langle -1, 2\rangle$ na osi $OY$

Miejsce zerowe: $x = 0$

Wykres składa się z odcinka poziomego od punktu otwartego $(-4, -1)$ do $(-2, -1)$ oraz odcinka wznoszącego się od $(-2, -1)$ do punktu domkniętego $(4, 2)$.
1) Dziedzina: lewy koniec jest otwarty w $x = -4$, prawy domknięty w $x = 4$: $$D = (-4, 4\rangle$$ 2) Zbiór wartości: rzędne sięgają od $-1$ (osiąganej) do $2$: $$ZW = \langle -1, 2\rangle$$ 3) Miejsca zerowe: prosta przecina oś $OX$ w początku układu współrzędnych: $$x = 0$$ 4) Wartości dodatnie i ujemne: $$f(x) > 0 \iff x \in (0, 4\rangle$$ $$f(x) < 0 \iff x \in (-4, 0)$$ 5) Przedziały monotoniczności: $$\text{funkcja stała w przedziale } (-4, -2\rangle$$ $$\text{funkcja rosnąca w przedziale } \langle -2, 4\rangle$$ 6) Różnowartościowość: funkcja przyjmuje wartość $-1$ dla nieskończenie wielu argumentów z przedziału $(-4, -2\rangle$ – nie jest różnowartościowa.
7) Wartość najmniejsza oraz największa: $$y_{\min} = -1 \quad \text{dla każdego } x \in (-4, -2\rangle$$ $$y_{\max} = 2 \quad \text{dla } x = 4$$
Podpunkt c) Analiza własności funkcji przedstawionej na wykresie c):

Dziedzina $D = (-5, 5\rangle$ na osi $OX$

Zbiór wartości $ZW = (-2, 4\rangle$ na osi $OY$

Miejsca zerowe: $x_1 = -4$, $x_2 = 2$

Wykres to łamana łącząca punkty: otwarty $(-5, -2)$, wierzchołek $(-2, 4)$, punkt na osi $(2, 0)$ oraz koniec zamknięty $(5, 3)$.
1) Dziedzina: rzut na oś $OX$ od $-5$ (otwarty) do $5$ (domknięty): $$D = (-5, 5\rangle$$ 2) Zbiór wartości: najwyższa rzędna to $4$ (wierzchołek), rzędna dolnego końca dąży do $-2$ (punkt otwarty): $$ZW = (-2, 4\rangle$$ 3) Miejsca zerowe: punkty przecięcia i zetknięcia z osią $OX$: $$x_1 = -4, \quad x_2 = 2$$ 4) Wartości dodatnie i ujemne: punkt $x = 2$ jest miejscem zerowym, dlatego wyłączamy go ze zbioru wartości dodatnich: $$f(x) > 0 \iff x \in (-4, 2) \cup (2, 5\rangle$$ $$f(x) < 0 \iff x \in (-5, -4)$$ 5) Przedziały monotoniczności: $$\text{funkcja rosnąca w przedziałach: } (-5, -2\rangle \text{ oraz } \langle 2, 5\rangle$$ $$\text{funkcja malejąca w przedziale: } \langle -2, 2\rangle$$ 6) Różnowartościowość: pozioma prosta (np. $y = 2$) przecina wykres trzykrotnie – funkcja nie jest różnowartościowa.
7) Wartość najmniejsza oraz największa: $$y_{\max} = 4 \quad \text{dla } x = -2$$ Wartość najmniejsza nie istnieje (wartość $-2$ odpowiada kółku niezamalowanemu i nie należy do zbioru wartości).
Podpunkt d) Analiza własności funkcji przedstawionej na wykresie d):

Dziedzina $D = (-5, 5\rangle$ na osi $OX$

Zbiór wartości $ZW = (-2, -1\rangle \cup \langle 0, 4)$

Miejsca zerowe: $x_1 = -3$, $x_2 = 1$

Wykres składa się z dwóch rozłącznych części: łamanej od $(-5, 4)$ (otwarty) do $(1, 0)$ (zamknięty) oraz odcinka od $(1, -2)$ (otwarty) do $(5, -1)$ (zamknięty).
1) Dziedzina: dla $x = 1$ funkcja przyjmuje wartość $0$ (punkt zamalowany w pierwszej części), zatem dziedzina jest ciągła: $$D = (-5, 1\rangle \cup (1, 5\rangle = (-5, 5\rangle$$ 2) Zbiór wartości: pierwsza część daje rzędne $\langle 0, 4)$, a druga $(-2, -1\rangle$: $$ZW = (-2, -1\rangle \cup \langle 0, 4)$$ 3) Miejsca zerowe: $$x_1 = -3, \quad x_2 = 1$$ 4) Wartości dodatnie i ujemne: $$f(x) > 0 \iff x \in (-5, -3) \cup (-3, 1)$$ $$f(x) < 0 \iff x \in (1, 5\rangle$$ 5) Przedziały monotoniczności: $$\text{funkcja malejąca w przedziałach: } (-5, -3\rangle \text{ oraz } \langle -1, 1\rangle$$ $$\text{funkcja rosnąca w przedziałach: } \langle -3, -1\rangle \text{ oraz } (1, 5\rangle$$ 6) Różnowartościowość: np. $f(-3) = f(1) = 0$ – funkcja nie jest różnowartościowa.
7) Wartość najmniejsza oraz największa: Zarówno wartość najmniejsza, jak i największa nie istnieją, ponieważ kresy $-2$ oraz $4$ odpowiadają punktom otwartym.
Podpunkt e) Analiza własności funkcji przedstawionej na wykresie e):

Dziedzina $D = \langle -5, 4)$ na osi $OX$

Zbiór wartości $ZW = \langle -2, 4)$ na osi $OY$

Miejsce zerowe: $x = -1$

Wykres składa się z trzech rozłącznych segmentów: od $(-5, 1)$ do $(-3, 4)$, od $(-3, 2)$ do $(1, -2)$ oraz od $(1, 1)$ do $(4, 3)$.
1) Dziedzina: punkty sklejania $x = -3$ oraz $x = 1$ należą do dziedziny dzięki zamalowanym punktom: $$D = \langle -5, -3) \cup \langle -3, 1\rangle \cup \langle 1, 4) = \langle -5, 4)$$ 2) Zbiór wartości: suma zbiorów rzędnych $\langle 1, 4) \cup \langle -2, 2\rangle \cup \langle 1, 3)$: $$ZW = \langle -2, 4)$$ 3) Miejsca zerowe: środkowy odcinek przecina oś $OX$ w: $$x = -1$$ 4) Wartości dodatnie i ujemne: $$f(x) > 0 \iff x \in \langle -5, -3) \cup \langle -3, -1) \cup \langle 1, 4)$$ $$f(x) < 0 \iff x \in (-1, 1\rangle$$ 5) Przedziały monotoniczności: $$\text{funkcja rosnąca w przedziałach: } \langle -5, -3) \text{ oraz } \langle 1, 4)$$ $$\text{funkcja malejąca w przedziale: } \langle -3, 1\rangle$$ 6) Różnowartościowość: np. wartość $2$ jest przyjmowana zarówno dla $x = -3$, jak i dla argumentu z pierwszego odcinka – funkcja nie jest różnowartościowa.
7) Wartość najmniejsza oraz największa: $$y_{\min} = -2 \quad \text{dla } x = 1$$ Wartość największa nie istnieje (wartość $4$ odpowiada punktowi niezamalowanemu).
Podpunkt f) Analiza własności funkcji przedstawionej na wykresie f):

Dziedzina $D = \langle -4, 2\rangle \cup (3, 5\rangle$ na osi $OX$

Zbiór wartości $ZW = \langle -3, -1\rangle \cup \langle 1, 4\rangle$ na osi $OY$

— Brak punktów wspólnych z osią $OX$ (brak miejsc zerowych)

Wykres tworzą: odcinek od $(-4, 4)$ do $(-2, 1)$, łamana od $(-2, -3)$ do $(2, -3)$ oraz odcinek poziomy od $(3, 2)$ do $(5, 2)$.
1) Dziedzina: suma przedziałów: $$D = \langle -4, 2\rangle \cup (3, 5\rangle$$ 2) Zbiór wartości: rzędne tworzą dwa rozłączne przedziały: $$ZW = \langle -3, -1\rangle \cup \langle 1, 4\rangle$$ 3) Miejsca zerowe: żaden fragment wykresu nie przecina osi $OX$: $$\text{brak miejsc zerowych}$$ 4) Wartości dodatnie i ujemne: $$f(x) > 0 \iff x \in \langle -4, -2\rangle \cup (3, 5\rangle$$ $$f(x) < 0 \iff x \in (-2, 2\rangle$$ 5) Przedziały monotoniczności: $$\text{funkcja malejąca w przedziałach: } \langle -4, -2\rangle \text{ oraz } \langle 0, 2\rangle$$ $$\text{funkcja rosnąca w przedziale: } (-2, 0\rangle$$ $$\text{funkcja stała w przedziale: } (3, 5\rangle$$ 6) Różnowartościowość: funkcja jest stała na przedziale $(3, 5\rangle$ – nie jest różnowartościowa.
7) Wartość najmniejsza oraz największa: $$y_{\min} = -3 \quad \text{dla } x = 2$$ $$y_{\max} = 4 \quad \text{dla } x = -4$$

Odpowiedź:
a) 1) $D = \langle -4, 2\rangle$, 2) $ZW = \langle -2, 4\rangle$, 3) $x = -2$, 4) $f(x) > 0$ dla $x \in (-2, 2\rangle$, $f(x) < 0$ dla $x \in \langle -4, -2)$, 5) rosnąca w $\langle -4, 2\rangle$, 6) jest różnowartościowa, 7) $y_{\min} = -2$ dla $x = -4$, $y_{\max} = 4$ dla $x = 2$

b) 1) $D = (-4, 4\rangle$, 2) $ZW = \langle -1, 2\rangle$, 3) $x = 0$, 4) $f(x) > 0$ dla $x \in (0, 4\rangle$, $f(x) < 0$ dla $x \in (-4, 0)$, 5) stała w $(-4, -2\rangle$, rosnąca w $\langle -2, 4\rangle$, 6) nie jest różnowartościowa, 7) $y_{\min} = -1$ dla $x \in (-4, -2\rangle$, $y_{\max} = 2$ dla $x = 4$

c) 1) $D = (-5, 5\rangle$, 2) $ZW = (-2, 4\rangle$, 3) $x \in \{-4, 2\}$, 4) $f(x) > 0$ dla $x \in (-4, 2) \cup (2, 5\rangle$, $f(x) < 0$ dla $x \in (-5, -4)$, 5) rosnąca w $(-5, -2\rangle$ oraz w $\langle 2, 5\rangle$, malejąca w $\langle -2, 2\rangle$, 6) nie jest różnowartościowa, 7) $y_{\max} = 4$ dla $x = -2$, brak wartości najmniejszej

d) 1) $D = (-5, 5\rangle$, 2) $ZW = (-2, -1\rangle \cup \langle 0, 4)$, 3) $x \in \{-3, 1\}$, 4) $f(x) > 0$ dla $x \in (-5, -3) \cup (-3, 1)$, $f(x) < 0$ dla $x \in (1, 5\rangle$, 5) malejąca w $(-5, -3\rangle$ oraz w $\langle -1, 1\rangle$, rosnąca w $\langle -3, -1\rangle$ oraz w $(1, 5\rangle$, 6) nie jest różnowartościowa, 7) brak wartości najmniejszej oraz brak wartości największej

e) 1) $D = \langle -5, 4)$, 2) $ZW = \langle -2, 4)$, 3) $x = -1$, 4) $f(x) > 0$ dla $x \in \langle -5, -3) \cup \langle -3, -1) \cup \langle 1, 4)$, $f(x) < 0$ dla $x \in (-1, 1\rangle$, 5) rosnąca w $\langle -5, -3)$ oraz w $\langle 1, 4)$, malejąca w $\langle -3, 1\rangle$, 6) nie jest różnowartościowa, 7) $y_{\min} = -2$ dla $x = 1$, brak wartości największej

f) 1) $D = \langle -4, 2\rangle \cup (3, 5\rangle$, 2) $ZW = \langle -3, -1\rangle \cup \langle 1, 4\rangle$, 3) brak miejsc zerowych, 4) $f(x) > 0$ dla $x \in \langle -4, -2\rangle \cup (3, 5\rangle$, $f(x) < 0$ dla $x \in (-2, 2\rangle$, 5) malejąca w $\langle -4, -2\rangle$ oraz w $\langle 0, 2\rangle$, rosnąca w $(-2, 0\rangle$, stała w $(3, 5\rangle$, 6) nie jest różnowartościowa, 7) $y_{\min} = -3$ dla $x = 2$, $y_{\max} = 4$ dla $x = -4$

Zadanie 3

Wykres funkcji $f$ jest przedstawiony na rysunku poniżej. Na podstawie wykresu funkcji:
a) Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji $f$.
b) Odczytaj zbiór argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości niedodatnie.
c) Określ przedziały monotoniczności funkcji $f$.
d) Podaj zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje największą wartość. Jaka jest największa wartość funkcji? Czy funkcja przyjmuje najmniejszą wartość?

Wskazówki:

Dziedzina ($D_f$): zbiór wszystkich argumentów $x$, dla których funkcja jest określona (rzut wykresu na poziomą oś $OX$). Zwróć uwagę na zamalowane kropki (przedziały domknięte) oraz niezamalowane kółka (przedziały otwarte).
Zbiór wartości ($ZW_f$): zbiór wszystkich wartości $y$ przyjmowanych przez funkcję (rzut wykresu na pionową oś $OY$).
Wartości niedodatnie ($f(x) \le 0$): szukamy argumentów $x$, dla których wykres leży na osi $OX$ lub poniżej niej.
Monotoniczność: sprawdzamy, jak zachowują się wartości funkcji przy wzroście argumentów (od lewej do prawej) – czy wykres idzie w górę (rosnąca), poziomo (stała), czy w dół (malejąca).
Wartości największa i najmniejsza: szukamy najwyższego oraz najniższego punktu należącego do wykresu. Jeśli najniższy poziom jest wyznaczony przez puste kółko, funkcja zbliża się do tej wartości, ale nigdy jej nie osiąga, co oznacza brak wartości najmniejszej.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie dziedziny i zbioru wartości funkcji $f$:
Analizujemy rzut wykresu na obie osie współrzędnych:
- Dziedzina ($D_f$): Wykres zaczyna się w punkcie o odciętej $x = -5$ (kropka zamalowana, więc $-5 \in D_f$) i biegnie w sposób ciągły do $x = 4$, gdzie mamy kółko otwarte. Jednocześnie w punkcie $x = 4$ funkcja ma wartość określoną w zamalowanym punkcie $(4, 1)$, a następnie biegnie w prawo aż do argumentu $x = 8$ z kółkiem otwartym. Zatem dziedziną jest suma przedziałów: $$D_f = \langle -5, 4) \cup \langle 4, 8) = \langle -5, 8)$$ - Zbiór wartości ($ZW_f$): Rzutujemy wykres na pionową oś $OY$. Najniższy punkt wykresu zmierza do rzędnej $y = -3$, lecz w punkcie $(4, -3)$ znajduje się niezamalowane kółko, więc wartość $-3$ nie jest osiągana (kres dolny jest otwarty). Najwyższa rzędna na wykresie to $y = 6$ (odcinek poziomy, punkty należą do wykresu). Pomiędzy wartościami $-3$ a $6$ każda liczba jest przyjmowana przez funkcję. Stąd: $$ZW_f = (-3, 6\rangle$$
Podpunkt b) Odczytanie argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości niedodatnie ($f(x) \le 0$):
Wartości niedodatnie to wartości mniejsze lub równe zero ($y \le 0$). Szukamy fragmentu wykresu leżącego na osi $OX$ lub pod nią:
- Punkt przecięcia z osią $OX$ (miejsce zerowe) to punkt $(3, 0)$, dla którego $f(3) = 0$. Zatem liczba $3$ wchodzi w skład rozwiązań.
- Dla argumentów większych od $3$ i mniejszych od $4$ wykres opada poniżej osi $OX$ aż do punktu $(4, -3)$.
- W punkcie $x = 4$ na dolnej gałęzi mamy kółko otwarte, natomiast wartość funkcji wynosi $f(4) = 1 > 0$ (kropka u góry). Zatem dla $x = 4$ wartość jest dodatnia.
- Dla $x \in (4, 8)$ funkcja przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie z przedziału $(1, 5)$.
Zbiorem argumentów spełniających warunek $f(x) \le 0$ jest więc przedział: $$x \in \langle 3, 4)$$
Podpunkt c) Określenie przedziałów monotoniczności funkcji $f$:
Analizujemy kierunek przebiegu wykresu w kolejnych przedziałach:
- W przedziale $x \in \langle -5, -3\rangle$ wartości rosną od $2$ do $6$ $\implies$ funkcja jest rosnąca.
- W przedziale $x \in \langle -3, 1\rangle$ wykres jest poziomym odcinkiem o stałej wartości $y = 6$ $\implies$ funkcja jest stała.
- W przedziale $x \in \langle 1, 4)$ wartości maleją od $6$ w stronę $-3$ $\implies$ funkcja jest malejąca.
- W przedziale $x \in \langle 4, 8)$ po skoku w punkcie $x = 4$ wartości rosną od $1$ w stronę $5$ $\implies$ funkcja jest rosnąca.

Podsumowując, funkcja $f$ jest: $$\begin{aligned} &\text{rosnąca w przedziałach: } \langle -5, -3\rangle \text{ oraz } \langle 4, 8) \\[6pt] &\text{stała w przedziale: } \langle -3, 1\rangle \\[6pt] &\text{malejąca w przedziale: } \langle 1, 4) \end{aligned}$$
Podpunkt d) Wyznaczenie największej i najmniejszej wartości funkcji:
- Wartość największa: Najwyższym poziomem osiąganym przez wykres jest rzędna $y = 6$. Wszystkie punkty poziomego odcinka od $x = -3$ do $x = 1$ mają rzędną równą $6$. Zatem największa wartość funkcji wynosi $f_{\text{max}} = 6$, a zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja ją przyjmuje, to przedział: $$x \in \langle -3, 1\rangle$$ - Wartość najmniejsza: Najniżej położonym elementem wykresu jest punkt $(4, -3)$. Ponieważ punkt ten ma niezamalowane kółko, wartość $-3$ nie należy do zbioru wartości funkcji ($-3 \notin ZW_f$). Dla dowolnego argumentu $x \in \langle 1, 4)$ wartości funkcji są ściśle większe od $-3$, zbliżając się do tej liczby dowolnie blisko. Oznacza to, że funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej.

Odpowiedź:
a) $D_f = \langle -5, 8)$, $ZW_f = (-3, 6\rangle$

b) $x \in \langle 3, 4)$

c) Funkcja jest rosnąca w przedziałach $\langle -5, -3\rangle$ oraz $\langle 4, 8)$; stała w przedziale $\langle -3, 1\rangle$; malejąca w przedziale $\langle 1, 4)$

d) Największa wartość funkcji to $6$ dla $x \in \langle -3, 1\rangle$. Funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej.

Zadanie 4

Narysuj wykres funkcji $f$ określonej wzorem $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{6}{x}, & \text{jeśli } x \in \{-6, -3, -2, 1, 2, 3\} \\[8pt] -2, & \text{jeśli } x \in \{-1, 0, 4, 5\} \end{cases}$$ Następnie odpowiedz na pytania poniżej.

a) Czy zachodzi równość $f(-3) \cdot f(2) = f(1) \cdot f(-6)$?

b) Czy funkcja $f$ jest różnowartościowa?

c) Czy funkcja $f$ ma miejsca zerowe?

Wskazówki:

Dziedziną funkcji jest suma podanych zbiorów argumentów. Ponieważ zbiory te zawierają skończoną liczbę liczb całkowitych, wykres składa się wyłącznie z pojedynczych punktów w układzie współrzędnych.
Aby narysować wykres, oblicz wartość $f(x)$ dla każdego argumentu z osobna i wyznacz współrzędne par $(x, f(x))$.
Funkcja jest różnowartościowa, gdy każdą wartość przyjmuje dla dokładnie jednego argumentu. Jeśli co najmniej dwa różne argumenty dają ten sam wynik, funkcja nie jest różnowartościowa.
Miejsce zerowe to taki argument $x$, dla którego wartość funkcji wynosi $0$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie współrzędnych punktów wykresu funkcji:
Obliczamy wartości funkcji dla poszczególnych argumentów z dziedziny zgodnie z odpowiednimi gałęziami wzoru.

Dla $x \in \{-6, -3, -2, 1, 2, 3\}$ stosujemy wzór $f(x) = \dfrac{6}{x}$: $$ \begin{aligned} f(-6) &= \dfrac{6}{-6} = -1 \implies (-6, -1) \\[8pt] f(-3) &= \dfrac{6}{-3} = -2 \implies (-3, -2) \\[8pt] f(-2) &= \dfrac{6}{-2} = -3 \implies (-2, -3) \\[8pt] f(1) &= \dfrac{6}{1} = 6 \implies (1, 6) \\[8pt] f(2) &= \dfrac{6}{2} = 3 \implies (2, 3) \\[8pt] f(3) &= \dfrac{6}{3} = 2 \implies (3, 2) \end{aligned} $$ Dla $x \in \{-1, 0, 4, 5\}$ wartość funkcji jest stała i wynosi $-2$: $$(-1, -2), \quad (0, -2), \quad (4, -2), \quad (5, -2)$$ Wykres funkcji składa się zatem z dokładnie 10 wyznaczonych punktów.
Sporządzenie wykresu funkcji w układzie współrzędnych:
Zaznaczamy wszystkie wyznaczone punkty w prostokątnym układzie współrzędnych. Pamiętamy, że punktów nie łączymy linią ciągłą, ponieważ funkcja jest określona wyłącznie na zbiorze dyskretnym.
Podpunkt a) Sprawdzenie równości $f(-3) \cdot f(2) = f(1) \cdot f(-6)$:
Odczytujemy z obliczeń wartości funkcji dla odpowiednich argumentów:
$f(-3) = -2$, $f(2) = 3$, $f(1) = 6$, $f(-6) = -1$.

Obliczamy lewą stronę równości: $$L = f(-3) \cdot f(2) = (-2) \cdot 3 = -6$$ Obliczamy prawą stronę równości: $$P = f(1) \cdot f(-6) = 6 \cdot (-1) = -6$$ Ponieważ $L = P = -6$, podana równość zachodzi.
Podpunkt b) Badanie, czy funkcja $f$ jest różnowartościowa:
Funkcja jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych dwóch różnych argumentów przyjmuje różne wartości: $$\forall x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)$$ Zauważmy, że na przykład dla argumentów $x_1 = -3$ oraz $x_2 = 0$ zachodzi: $$x_1 \neq x_2 \quad \text{oraz} \quad f(-3) = -2 = f(0)$$ Wartość $-2$ funkcja przyjmuje aż dla pięciu różnych argumentów: $\{-3, -1, 0, 4, 5\}$. Zatem funkcja $f$ nie jest różnowartościowa.
Podpunkt c) Badanie, czy funkcja $f$ ma miejsca zerowe:
Miejsce zerowe funkcji to taki argument $x$ należący do dziedziny, dla którego $f(x) = 0$.
Wypiszmy zbiór wszystkich wartości przyjmowanych przez funkcję $f$: $$Z_f = \{-3, -2, -1, 2, 3, 6\}$$ Liczba $0$ nie należy do zbioru wartości funkcji ($0 \notin Z_f$), co oznacza, że żaden punkt wykresu nie leży na osi $OX$. Funkcja $f$ nie ma miejsc zerowych.

Odpowiedź:
a) Tak, równość zachodzi, ponieważ $f(-3) \cdot f(2) = f(1) \cdot f(-6) = -6$.

b) Nie, funkcja nie jest różnowartościowa (np. $f(-3) = f(0) = -2$).

c) Nie, funkcja nie ma miejsc zerowych, ponieważ $0 \notin Z_f$.

Zadanie 5

Naszkicuj wykres funkcji $f$ i na jego podstawie omów własności funkcji, jeśli:

a) $f(x) = \begin{cases} 3, & \text{jeśli } x \in \langle -6, -3) \\ -x, & \text{jeśli } x \in \langle -3, 4) \\ \sqrt{x}, & \text{jeśli } x \in \langle 4, 9 \rangle \end{cases}$

b) $f(x) = \begin{cases} 3, & \text{jeśli } x \in (-\infty, -3) \\ |x|, & \text{jeśli } x \in \langle -3, 5 \rangle \\ 5, & \text{jeśli } x \in (5, +\infty) \end{cases}$

Wskazówki:

Funkcja zdefiniowana klamrą składa się z kilku fragmentów przypisanych do określonych przedziałów argumentów. Rysujemy każdy fragment wyłącznie w podanym dla niego przedziale.
Zwróć uwagę na końce przedziałów: nawias ostry $\langle$ lub $\rangle$ oznacza punkt należący do wykresu (zamalowane kółko), natomiast nawias okrągły $($ lub $)$ oznacza punkt nienależący (niezamalowane kółko), chyba że inny fragment funkcji domyka ten punkt.
Dziedzinę odczytujemy z osi $OX$, rzutując wszystkie punkty wykresu na oś poziomą.
Zbiór wartości wyznaczamy z osi $OY$, sprawdzając najniżej i najwyżej położone punkty wykresu.
Miejsce zerowe to punkt przecięcia wykresu z osią $OX$ (argument, dla którego $y = 0$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Szkicowanie wykresu funkcji $f(x)$:
Analizujemy poszczególne części wzoru funkcji:
- Dla $x \in \langle -6, -3)$: wykresem jest poziomy odcinek prostej $y = 3$. Z lewej strony punkt $(-6, 3)$ jest domknięty (zamalowane kółko). Punkt $(-3, 3)$ jest otwarty z lewej strony, ale sprawdzamy kolejny fragment.
- Dla $x \in \langle -3, 4)$: wykresem jest odcinek prostej $y = -x$. Dla $x = -3$ mamy $y = -(-3) = 3$, co domyka punkt $(-3, 3)$ i łączy oba fragmenty w sposób ciągły. Przy prawym końcu $x \to 4$ wartość dąży do $-4$, zatem punkt $(4, -4)$ jest otwarty (niezamalowane kółko).
- Dla $x \in \langle 4, 9\rangle$: wykresem jest łuk funkcji pierwiastkowej $y = \sqrt{x}$. Dla $x = 4$ mamy $y = \sqrt{4} = 2$ (punkt domknięty $(4, 2)$), a dla $x = 9$ mamy $y = \sqrt{9} = 3$ (punkt domknięty $(9, 3)$).
Podpunkt a) Odczytanie własności funkcji $f(x)$ z wykresu:
- Dziedzina: Suma przedziałów określoności: $$D = \langle -6, -3) \cup \langle -3, 4) \cup \langle 4, 9\rangle = \langle -6, 9\rangle$$
- Zbiór wartości: Wartości na poszczególnych przedziałach to odpowiednio $\{3\}$, $(-4, 3\rangle$ oraz $\langle 2, 3\rangle$. Sumaryczny zbiór wartości wynosi: $$ZW = (-4, 3\rangle$$
- Miejsce zerowe: Wykres przecina oś $OX$ tylko raz w punkcie $(0, 0)$: $$f(x) = 0 \iff x = 0$$
- Monotoniczność:
  • Funkcja jest stała dla $x \in \langle -6, -3\rangle$,
  • Funkcja jest malejąca dla $x \in \langle -3, 4)$,
  • Funkcja jest rosnąca dla $x \in \langle 4, 9\rangle$.
- Wartości największa i najmniejsza:
  • Wartość największa wynosi $f_{\max} = 3$ i jest osiągana dla każdego $x \in \langle -6, -3\rangle$ oraz dla $x = 9$.
  • Funkcja nie osiąga wartości najmniejszej, ponieważ wartości zbiegają od góry do $-4$ przy $x \to 4^-$, lecz liczba $-4$ nie należy do zbioru wartości.
- Wartości dodatnie i ujemne:
  • $f(x) > 0$ dla $x \in \langle -6, 0) \cup \langle 4, 9\rangle$,
  • $f(x) < 0$ dla $x \in (0, 4)$.
Podpunkt b) Szkicowanie wykresu funkcji $f(x)$:
Analizujemy poszczególne fragmenty:
- Dla $x \in (-\infty, -3)$: funkcja stała $y = 3$. Wykresem jest pozioma półprosta biegnąca w lewo do punktu $(-3, 3)$.
- Dla $x \in \langle -3, 5\rangle$: funkcja z wartością bezwzględną $y = |x|$. $$|x| = \begin{cases} -x & \text{dla } x \in \langle -3, 0) \\ x & \text{dla } x \in \langle 0, 5\rangle \end{cases}$$ Dla $x = -3$ wartość to $|-3| = 3$ (ciągłe połączenie z lewą gałęzią), dla $x = 0$ wykres osiąga wierzchołek $(0, 0)$, a dla $x = 5$ osiąga punkt $(5, 5)$.
- Dla $x \in (5, +\infty)$: funkcja stała $y = 5$. Dla $x \to 5^+$ wartość wynosi $5$, zatem wykres przechodzi płynnie w poziomą półprostą biegnącą w prawo od punktu $(5, 5)$.
Podpunkt b) Odczytanie własności funkcji $f(x)$ z wykresu:
- Dziedzina: Funkcja jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych: $$D = (-\infty, -3) \cup \langle -3, 5\rangle \cup (5, +\infty) = \mathbb{R}$$
- Zbiór wartości: Najniższa wartość to $0$, a najwyższa to $5$: $$ZW = \langle 0, 5\rangle$$
- Miejsce zerowe: Jedynym punktem styku z osią $OX$ jest wierzchołek $(0, 0)$: $$f(x) = 0 \iff x = 0$$
- Monotoniczność:
  • Funkcja jest stała w przedziałach $(-\infty, -3\rangle$ oraz $\langle 5, +\infty)$,
  • Funkcja jest malejąca w przedziale $\langle -3, 0\rangle$,
  • Funkcja jest rosnąca w przedziale $\langle 0, 5\rangle$.
- Wartości największa i najmniejsza:
  • Wartość najmniejsza: $f_{\min} = 0$ osiągana dla argumentu $x = 0$,
  • Wartość największa: $f_{\max} = 5$ osiągana dla każdego argumentu $x \in \langle 5, +\infty)$.
- Wartości dodatnie: Ponieważ $f(0) = 0$, a w pozostałych punktach wykres leży ściśle powyżej osi $OX$:
  • $f(x) \ge 0$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$,
  • $f(x) > 0$ dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$.

Odpowiedź:
a) Wykres przedstawiono w rozwiązaniu.
Własności: $D = \langle -6, 9 \rangle$, $ZW = (-4, 3\rangle$, miejsce zerowe $x = 0$, stała w $\langle -6, -3\rangle$, malejąca w $\langle -3, 4)$, rosnąca w $\langle 4, 9\rangle$, $f_{\max} = 3$, brak wartości najmniejszej, $f(x) > 0$ dla $x \in \langle -6, 0) \cup \langle 4, 9\rangle$, $f(x) < 0$ dla $x \in (0, 4)$.

b) Wykres przedstawiono w rozwiązaniu.
Własności: $D = \mathbb{R}$, $ZW = \langle 0, 5 \rangle$, miejsce zerowe $x = 0$, stała w $(-\infty, -3\rangle$ oraz $\langle 5, +\infty)$, malejąca w $\langle -3, 0\rangle$, rosnąca w $\langle 0, 5\rangle$, $f_{\min} = 0$, $f_{\max} = 5$, $f(x) > 0$ dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$.

Grupa B

Zadanie 1

Wykres funkcji $f$ jest przedstawiony na rysunku obok. Na podstawie wykresu funkcji:
a) Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji $f$.
b) Oblicz wartość wyrażenia $f(-4) \cdot [f(-2) - f(5)]$.
c) Podaj przedziały, w których funkcja $f$ jest malejąca.
d) Podaj zbiór argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie.

Zadanie 2

a) 1) $D = \langle -3, 3\rangle$, 2) $ZW = \langle -2, 4\rangle$, 3) $x = 1$, 4) $f(x) > 0$ dla $x \in \langle -3, 1)$, $f(x) < 0$ dla $x \in (1, 3\rangle$, 5) malejąca w $\langle -3, 3\rangle$, 6) jest różnowartościowa, 7) $y_{\min} = -2$ dla $x = 3$, $y_{\max} = 4$ dla $x = -3$

b) 1) $D = (-5, 4\rangle$, 2) $ZW = \langle -1, 2\rangle$, 3) $x = 2$, 4) $f(x) > 0$ dla $x \in (-5, 2)$, $f(x) < 0$ dla $x \in (2, 4\rangle$, 5) stała w $(-5, -2\rangle$, malejąca w $\langle -2, 4\rangle$, 6) nie jest różnowartościowa, 7) $y_{\min} = -1$ dla $x = 4$, $y_{\max} = 2$ dla $x \in (-5, -2\rangle$

c) 1) $D = (-4, 4\rangle$, 2) $ZW = \langle -3, 3)$, 3) $x \in \{-3, 1, 3\}$, 4) $f(x) > 0$ dla $x \in (-4, -3) \cup (1, 3)$, $f(x) < 0$ dla $x \in (-3, 1) \cup (3, 4\rangle$, 5) malejąca w $(-4, -2\rangle$ oraz w $\langle 2, 4\rangle$, rosnąca w $\langle -2, 2\rangle$, 6) nie jest różnowartościowa, 7) $y_{\min} = -3$ dla $x = -2$, brak wartości największej

d) 1) $D = (-5, 5\rangle$, 2) $ZW = \langle -2, 0\rangle \cup \langle 1, 3)$, 3) $x \in \{-3, 1\}$, 4) $f(x) > 0$ dla $x \in (1, 5\rangle$, $f(x) < 0$ dla $x \in (-5, -3) \cup (-3, 1)$, 5) rosnąca w $(-5, -3\rangle$ oraz w $\langle -1, 1\rangle$, malejąca w $\langle -3, -1\rangle$ oraz w $(1, 5\rangle$, 6) nie jest różnowartościowa, 7) $y_{\min} = -2$ dla $x = -1$, brak wartości największej

e) 1) $D = \langle -5, 4)$, 2) $ZW = \langle -2, 4)$, 3) $x \in \{-4, 0\}$, 4) $f(x) > 0$ dla $x \in (-4, -3) \cup \langle -3, 0) \cup \langle 1, 4)$, $f(x) < 0$ dla $x \in \langle -5, -4) \cup (0, 1\rangle$, 5) rosnąca w $\langle -5, -3)$ oraz w $\langle 1, 4)$, malejąca w $\langle -3, 1\rangle$, 6) nie jest różnowartościowa, 7) $y_{\min} = -2$ dla $x = -5$, brak wartości największej

f) 1) $D = \langle -4, 2\rangle \cup (3, 5\rangle$, 2) $ZW = \langle -3, -1\rangle \cup \langle 1, 3\rangle$, 3) brak miejsc zerowych, 4) $f(x) > 0$ dla $x \in (-2, 2\rangle$, $f(x) < 0$ dla $x \in \langle -4, -2\rangle \cup (3, 5\rangle$, 5) rosnąca w $\langle -4, -2\rangle$ oraz w $\langle 0, 2\rangle$, malejąca w $(-2, 0\rangle$, stała w $(3, 5\rangle$, 6) nie jest różnowartościowa, 7) $y_{\min} = -3$ dla $x = -4$, $y_{\max} = 3$ dla $x = 2$

Zadanie 3

Zadanie 4

Narysuj wykres funkcji $f$ określonej wzorem $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{-6}{x}, & \text{jeśli } x \in \{-3, -2, -1, 1, 2, 3\} \\[8pt] 4, & \text{jeśli } x \in \{-4, 0, 4, 5\} \end{cases}$$ Następnie odpowiedz na pytania poniżej.

a) Czy zachodzi równość $f(-2) \cdot f(3) = f(-1) \cdot f(1)$?

b) Czy funkcja $f$ jest różnowartościowa?

c) Czy funkcja $f$ ma miejsca zerowe?

Zadanie 5

Naszkicuj wykres funkcji $f$ i na jego podstawie omów własności funkcji, jeśli:

a) $f(x) = \begin{cases} 1, & \text{jeśli } x \in \langle -4, -1) \\ -x, & \text{jeśli } x \in \langle -1, 4) \\ \sqrt{x}, & \text{jeśli } x \in \langle 4, 9 \rangle \end{cases}$

b) $f(x) = \begin{cases} 1, & \text{jeśli } x \in (-\infty, -1) \\ |x|, & \text{jeśli } x \in \langle -1, 3 \rangle \\ 3, & \text{jeśli } x \in (3, +\infty) \end{cases}$

3.10 Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu. Szkicowanie wykresów funkcji o zadanych własnościach

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋