Nierówność z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie nierówności metodą nierówności równoważnych kartkówka LiczBit

1.8 Nierówność z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie nierówności metodą nierówności równoważnych

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Sprawdź, czy podane obok nierówności liczby należą do zbioru rozwiązań tej nierówności:
a) $x^2 > 9;\quad -4;\ 0;\ \sqrt{7}$
b) $x^2 \le 4x;\quad -\sqrt{3};\ 0;\ 3{,}5$
c) $x^2 \ge x^3;\quad -2;\ 0;\ \dfrac{2}{3}$
d) $x^2 < -5x;\quad -6;\ -\sqrt{7};\ 0$

Wskazówki:

Liczba należy do zbioru rozwiązań danej nierówności, jeśli po podstawieniu jej w miejsce niewiadomej $x$ otrzymujemy nierówność prawdziwą.
Pamiętaj o zasadach potęgowania: kwadrat dowolnej liczby ujemnej jest liczbą dodatnią, np. $(-4)^2 = 16$.
Możesz również wyznaczyć zbiór wszystkich rozwiązań danej nierówności na osi liczbowej i sprawdzić, czy badane liczby leżą w otrzymanym przedziale.

Dane i szukane:

Dane: Cztery nierówności oraz przypisane do nich trójki liczb testowych.
Szukane: Weryfikacja przynależności poszczególnych liczb do zbiorów rozwiązań nierówności.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Badamy nierówność $x^2 > 9$ dla liczb $-4$, $0$ oraz $\sqrt{7}$:
Sposób I – Bezpośrednie podstawienie wartości:
Dla liczby $x = -4$: $$\begin{aligned} L &= (-4)^2 = 16 \\ P &= 9 \end{aligned}$$ Ponieważ $16 > 9$ jest nierównością prawdziwą, liczba $-4$ należy do zbioru rozwiązań ($-4 \in \text{rozwiązań}$).

Dla liczby $x = 0$: $$\begin{aligned} L &= 0^2 = 0 \\ P &= 9 \end{aligned}$$ Ponieważ $0 > 9$ jest fałszem, liczba $0$ nie należy do zbioru rozwiązań ($0 \notin \text{rozwiązań}$).

Dla liczby $x = \sqrt{7}$: $$\begin{aligned} L &= (\sqrt{7})^2 = 7 \\ P &= 9 \end{aligned}$$ Ponieważ $7 > 9$ jest fałszem, liczba $\sqrt{7}$ nie należy do zbioru rozwiązań ($\sqrt{7} \notin \text{rozwiązań}$).

Sposób II – Wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności: $$\begin{aligned} x^2 - 9 &> 0 \\ (x - 3)(x + 3) &> 0 \iff x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty) \end{aligned}$$ Porównując położenie badanych liczb na osi:
- $-4 < -3 \implies -4 \in (-\infty, -3)$ (należy),
- $0 \in [-3, 3] \implies 0 \notin (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$ (nie należy),
- ponieważ $2 < \sqrt{7} < 3$ ($\sqrt{7} \approx 2{,}65$), liczba $\sqrt{7} \in [-3, 3]$ (nie należy).
Podpunkt b) Badamy nierówność $x^2 \le 4x$ dla liczb $-\sqrt{3}$, $0$ oraz $3{,}5$:
Sposób I – Bezpośrednie podstawienie wartości:
Dla liczby $x = -\sqrt{3}$: $$\begin{aligned} L &= (-\sqrt{3})^2 = 3 \\ P &= 4 \cdot (-\sqrt{3}) = -4\sqrt{3} \approx -6{,}93 \end{aligned}$$ Nierówność $3 \le -4\sqrt{3}$ jest fałszywa (liczba dodatnia nie może być mniejsza ani równa ujemnej), zatem $-\sqrt{3}$ nie należy do zbioru rozwiązań.

Dla liczby $x = 0$: $$\begin{aligned} L &= 0^2 = 0 \\ P &= 4 \cdot 0 = 0 \end{aligned}$$ Nierówność $0 \le 0$ jest prawdziwa, zatem $0$ należy do zbioru rozwiązań.

Dla liczby $x = 3{,}5$: $$\begin{aligned} L &= (3{,}5)^2 = 12{,}25 \\ P &= 4 \cdot 3{,}5 = 14 \end{aligned}$$ Nierówność $12{,}25 \le 14$ jest prawdziwa, zatem $3{,}5$ należy do zbioru rozwiązań.

Sposób II – Wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności: $$\begin{aligned} x^2 - 4x &\le 0 \\ x(x - 4) &\le 0 \iff x \in [0, 4] \end{aligned}$$ Zbiorem rozwiązań jest przedział domknięty $[0, 4]$. Badane liczby spełniają odpowiednio:
- $-\sqrt{3} \approx -1{,}73 \notin [0, 4]$ (nie należy),
- $0 \in [0, 4]$ (należy),
- $3{,}5 \in [0, 4]$ (należy).
Podpunkt c) Badamy nierówność $x^2 \ge x^3$ dla liczb $-2$, $0$ oraz $\dfrac{2}{3}$:
Sposób I – Bezpośrednie podstawienie wartości:
Dla liczby $x = -2$: $$\begin{aligned} L &= (-2)^2 = 4 \\ P &= (-2)^3 = -8 \end{aligned}$$ Nierówność $4 \ge -8$ jest prawdziwa, zatem $-2$ należy do zbioru rozwiązań.

Dla liczby $x = 0$: $$\begin{aligned} L &= 0^2 = 0 \\ P &= 0^3 = 0 \end{aligned}$$ Nierówność $0 \ge 0$ jest prawdziwa, zatem $0$ należy do zbioru rozwiązań.

Dla liczby $x = \dfrac{2}{3}$: $$\begin{aligned} L &= \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9} = \dfrac{12}{27} \\ P &= \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{8}{27} \end{aligned}$$ Ponieważ $\dfrac{12}{27} \ge \dfrac{8}{27}$, nierówność jest prawdziwa, zatem $\dfrac{2}{3}$ należy do zbioru rozwiązań.

Sposób II – Przekształcenie algebraiczne nierówności: $$\begin{aligned} x^2 - x^3 &\ge 0 \\ x^2(1 - x) &\ge 0 \end{aligned}$$ Czynnik $x^2$ jest nieujemny dla każdej liczby rzeczywistej ($x^2 \ge 0$). Nierówność jest spełniona, gdy $x = 0$ lub gdy $1 - x \ge 0 \iff x \le 1$. Rozwiązaniem jest cały przedział $(-\infty, 1]$.
Wszystkie trzy podane liczby spełniają warunek $x \le 1$: $$-2 \le 1, \quad 0 \le 1, \quad \dfrac{2}{3} \le 1$$ zatem każda z nich należy do zbioru rozwiązań.
Podpunkt d) Badamy nierówność $x^2 < -5x$ dla liczb $-6$, $-\sqrt{7}$ oraz $0$:
Sposób I – Bezpośrednie podstawienie wartości:
Dla liczby $x = -6$: $$\begin{aligned} L &= (-6)^2 = 36 \\ P &= -5 \cdot (-6) = 30 \end{aligned}$$ Nierówność $36 < 30$ jest fałszywa, zatem $-6$ nie należy do zbioru rozwiązań.

Dla liczby $x = -\sqrt{7}$: $$\begin{aligned} L &= (-\sqrt{7})^2 = 7 \\ P &= -5 \cdot (-\sqrt{7}) = 5\sqrt{7} \approx 5 \cdot 2{,}65 = 13{,}25 \end{aligned}$$ Nierówność $7 < 5\sqrt{7}$ jest prawdziwa, zatem $-\sqrt{7}$ należy do zbioru rozwiązań.

Dla liczby $x = 0$: $$\begin{aligned} L &= 0^2 = 0 \\ P &= -5 \cdot 0 = 0 \end{aligned}$$ Nierówność $0 < 0$ jest fałszywa ($0 = 0$), zatem $0$ nie należy do zbioru rozwiązań.

Sposób II – Wyznaczenie przedziału na osi liczbowej: $$\begin{aligned} x^2 + 5x &< 0 \\ x(x + 5) &< 0 \iff x \in (-5, 0) \end{aligned}$$ Weryfikacja położenia punktów w przedziale otwartym $(-5, 0)$:
- $-6 < -5 \implies -6 \notin (-5, 0)$ (nie należy),
- ponieważ $-\sqrt{7} \approx -2{,}65$, mamy $-5 < -\sqrt{7} < 0 \implies -\sqrt{7} \in (-5, 0)$ (należy),
- prawy kraniec przedziału nie należy do zbioru (przedział otwarty) $\implies 0 \notin (-5, 0)$ (nie należy).

Odpowiedź:
a) Liczba $-4$ należy do zbioru rozwiązań; liczby $0$ oraz $\sqrt{7}$ nie należą.

b) Liczby $0$ oraz $3{,}5$ należą do zbioru rozwiązań; liczba $-\sqrt{3}$ nie należy.

c) Wszystkie podane liczby: $-2$, $0$ oraz $\dfrac{2}{3}$ należą do zbioru rozwiązań.

d) Liczba $-\sqrt{7}$ należy do zbioru rozwiązań; liczby $-6$ oraz $0$ nie należą.

Zadanie 2

Rozwiąż nierówności:

a) $2{,}4(x + 6) + 3{,}6 \le -6$

c) $4(3 - 3x) + 2x \ge 5(2 - 2x)$

e) $(6x - 12) : (-4) \ge 8 - 0{,}5x$

g) $(4x + 3)(-2) < 4(1 - 2x)$

Wskazówki:

Przy mnożeniu lub dzieleniu obu stron nierówności przez liczbę ujemną należy bezwzględnie zmienić zwrot znaku nierówności na przeciwny (np. z $\ge$ na $\le$).
Wymnóż nawiasy, wykonaj redukcję wyrazów podobnych, a następnie przenieś składniki z niewiadomą na jedną stronę, a liczby na drugą stronę nierówności.
Jeśli podczas redukcji wyrazy z niewiadomą się zredukują i otrzymasz nierówność liczbową prawdziwą (np. $12 \ge 10$), nierówność jest tożsamościowa – jej rozwiązaniem jest każda liczba rzeczywista ($x \in \mathbb{R}$).
Wynik końcowy przedstaw w postaci nierówności oraz odpowiadającego jej przedziału liczbowego.

Dane i szukane:

Dane:
Nierówności liniowe z podpunktów a), c), e), g).
Szukane:
Zbiór rozwiązań każdej nierówności w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy nierówność $2{,}4(x + 6) + 3{,}6 \le -6$:
Sposób I – Działania na ułamkach dziesiętnych:
Wymnażamy liczbę stojącą przed nawiasem przez każdy składnik w nawiasie: $$\begin{aligned} 2{,}4 \cdot x + 2{,}4 \cdot 6 + 3{,}6 &\le -6 \\ 2{,}4x + 14{,}4 + 3{,}6 &\le -6 \\ 2{,}4x + 18 &\le -6 \end{aligned}$$ Przenosimy wyraz wolny $18$ na prawą stronę ze zmianą znaku: $$\begin{aligned} 2{,}4x &\le -6 - 18 \\ 2{,}4x &\le -24 \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony przez współczynnik przy $x$, czyli przez $2{,}4$ (ponieważ $2{,}4 > 0$, zwrot nierówności pozostaje bez zmian): $$\begin{aligned} x &\le \dfrac{-24}{2{,}4} \\ x &\le -10 \end{aligned}$$ Zbiorem rozwiązań jest przedział: $$x \in (-\infty, -10]$$
Sposób II – Mnożenie obu stron przez 10 na początku:
Aby uniknąć ułamków dziesiętnych, mnożymy całą nierówność przez $10$: $$\begin{aligned} 10 \cdot [2{,}4(x + 6) + 3{,}6] &\le 10 \cdot (-6) \\ 24(x + 6) + 36 &\le -60 \\ 24x + 144 + 36 &\le -60 \\ 24x + 180 &\le -60 \\ 24x &\le -240 \\ x &\le -10 \end{aligned}$$ Ilustracja graficzna zbioru rozwiązań na osi liczbowej:
Podpunkt c) Rozwiązujemy nierówność $4(3 - 3x) + 2x \ge 5(2 - 2x)$:
Wymnażamy wyrażenia w nawiasach po lewej i prawej stronie: $$\begin{aligned} 4 \cdot 3 - 4 \cdot 3x + 2x &\ge 5 \cdot 2 - 5 \cdot 2x \\ 12 - 12x + 2x &\ge 10 - 10x \end{aligned}$$ Redukujemy wyrazy podobne po lewej stronie: $$12 - 10x \ge 10 - 10x$$ Przenosimy wyrazy z niewiadomą na lewą stronę, a liczby na prawą stronę: $$\begin{aligned} -10x + 10x &\ge 10 - 12 \\ 0 &\ge -2 \end{aligned}$$ Nierówność $0 \ge -2$ jest zdaniem liczbowym zawsze prawdziwym, niezależnie od wartości zmiennej $x$. Mamy do czynienia z nierównością tożsamościową, której zbiorem rozwiązań jest cały zbiór liczb rzeczywistych: $$x \in \mathbb{R}$$
Podpunkt e) Rozwiązujemy nierówność $(6x - 12) : (-4) \ge 8 - 0{,}5x$:
Sposób I – Wykonanie dzielenia sumy algebraicznej:
Dzielimy każdy składnik w nawiasie przez $-4$: $$\begin{aligned} \dfrac{6x}{-4} - \dfrac{12}{-4} &\ge 8 - 0{,}5x \\ -1{,}5x + 3 &\ge 8 - 0{,}5x \end{aligned}$$ Przenosimy wyrazy z niewiadomą na lewą stronę, a liczby na prawą stronę: $$\begin{aligned} -1{,}5x + 0{,}5x &\ge 8 - 3 \\ -x &\ge 5 \end{aligned}$$ Mnożymy obie strony przez $-1$, pamiętając o zmianie zwrotu znaku nierówności na przeciwny: $$x \le -5$$ Rozwiązanie w postaci przedziału: $$x \in (-\infty, -5]$$
Sposób II – Mnożenie obu stron przez ujemny mianownik:
Zapisujemy lewą stronę w postaci ułamka zwykłego: $$\dfrac{6x - 12}{-4} \ge 8 - 0{,}5x$$ Mnożymy obie strony przez mianownik $-4$, od razu odwracając znak nierówności z $\ge$ na $\le$: $$\begin{aligned} 6x - 12 &\le (-4) \cdot (8 - 0{,}5x) \\ 6x - 12 &\le -32 + 2x \\ 6x - 2x &\le -32 + 12 \\ 4x &\le -20 \\ x &\le -5 \end{aligned}$$
Podpunkt g) Rozwiązujemy nierówność $(4x + 3)(-2) < 4(1 - 2x)$:
Wymnażamy nawias po lewej stronie przez $-2$, a nawias po prawej stronie przez $4$: $$\begin{aligned} 4x \cdot (-2) + 3 \cdot (-2) &< 4 \cdot 1 - 4 \cdot 2x \\ -8x - 6 &< 4 - 8x \end{aligned}$$ Przenosimy wyrazy z niewiadomą na stronę lewą, a wyrazy stałe na stronę prawą: $$\begin{aligned} -8x + 8x &< 4 + 6 \\ 0 &< 10 \end{aligned}$$ Nierówność $0 < 10$ jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej. Zatem nierówność jest tożsamościowa, a jej rozwiązaniem jest: $$x \in \mathbb{R}$$

Odpowiedź:
a) $x \le -10$, czyli $x \in (-\infty, -10]$

c) $x \in \mathbb{R}$ (nierówność tożsamościowa)

e) $x \le -5$, czyli $x \in (-\infty, -5]$

g) $x \in \mathbb{R}$ (nierówność tożsamościowa)

Zadanie 3

Rozwiąż nierówności:
a) $3(x - 2) - 4(x - 1) < 1$

c) $\dfrac{1}{5}(3,5x - 2) \le 0,4x + 1,4$

e) $\dfrac{x - 4}{6} < \dfrac{2x + 5}{12}$

g) $\dfrac{5 - x}{4} - \dfrac{x + 1}{3} \ge \dfrac{11 - 7x}{12}$

Wskazówki:

Wymnóż nawiasy, zwracając szczególną uwagę na zmianę znaków przy odejmowaniu wyrażeń w nawiasach.
W przypadku ułamków pomnóż obie strony nierówności przez wspólny mianownik (najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników), aby pozbyć się części ułamkowej.
Uporządkuj wyrazy: niewiadome przenieś na jedną stronę nierówności, a liczby na drugą stronę.
Pamiętaj o kluczowej zasadzie: mnożenie lub dzielenie obu stron nierówności przez liczbę ujemną odwraca zwrot znaku nierówności na przeciwny.
Gdy po redukcji niewiadoma $x$ zniknie ($0x$), sprawdź prawdziwość otrzymanego zdania liczbowego: zdanie zawsze prawdziwe oznacza, że rozwiązaniem jest każda liczba rzeczywista ($x \in \mathbb{R}$), a zdanie sprzeczne oznacza brak rozwiązań ($x \in \emptyset$).

Dane i szukane:

Dane: Nierówności liniowe z niewiadomą $x \in \mathbb{R}$ w podpunktach a), c), e), g).
Szukane: Zbiory rozwiązań nierówności (przedziały liczbowe).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy nierówność $3(x - 2) - 4(x - 1) < 1$:
Wymnażamy wyrażenia w nawiasach przez stojące przed nimi liczby: $$\begin{aligned} 3 \cdot x - 3 \cdot 2 - 4 \cdot x - 4 \cdot (-1) &< 1 \\ 3x - 6 - 4x + 4 &< 1 \end{aligned}$$ Redukujemy wyrazy podobne po lewej stronie: $$-x - 2 < 1$$ Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę: $$\begin{aligned} -x &< 1 + 2 \\ -x &< 3 \end{aligned}$$ Dzielimy (lub mnożymy) obie strony przez $-1$, zmieniając zwrot znaku nierówności: $$x > -3$$ Rozwiązaniem jest przedział: $$x \in (-3, \infty)$$
Podpunkt c) Rozwiązujemy nierówność $\dfrac{1}{5}(3,5x - 2) \le 0,4x + 1,4$:
Wymnażamy nawias przez ułamek $\dfrac{1}{5} = 0,2$: $$\begin{aligned} 0,2 \cdot 3,5x - 0,2 \cdot 2 &\le 0,4x + 1,4 \\ 0,7x - 0,4 &\le 0,4x + 1,4 \end{aligned}$$ Przenosimy wyrazy z niewiadomą $x$ na lewą stronę, a liczby na prawą stronę: $$\begin{aligned} 0,7x - 0,4x &\le 1,4 + 0,4 \\ 0,3x &\le 1,8 \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony nierówności przez $0,3$: $$\begin{aligned} x &\le \dfrac{1,8}{0,3} \\ x &\le 6 \end{aligned}$$ Rozwiązaniem jest przedział domknięty prawostronnie: $$x \in (-\infty, 6\rangle$$
Podpunkt e) Rozwiązujemy nierówność $\dfrac{x - 4}{6} < \dfrac{2x + 5}{12}$:
Mnożymy obie strony nierówności przez wspólny mianownik, czyli liczbę $12$: $$12 \cdot \dfrac{x - 4}{6} < 12 \cdot \dfrac{2x + 5}{12}$$ $$2(x - 4) < 2x + 5$$ Wymnażamy nawias: $$2x - 8 < 2x + 5$$ Przenosimy wyrazy z niewiadomą $x$ na lewą stronę, a liczby na prawą stronę: $$\begin{aligned} 2x - 2x &< 5 + 8 \\ 0x &< 13 \\ 0 &< 13 \end{aligned}$$ Otrzymana nierówność $0 < 13$ jest zdaniem zawsze prawdziwym niezależnie od wybranej wartości $x$. Jest to nierówność tożsamościowa: $$x \in \mathbb{R}$$
Podpunkt g) Rozwiązujemy nierówność $\dfrac{5 - x}{4} - \dfrac{x + 1}{3} \ge \dfrac{11 - 7x}{12}$:
Mnożymy obie strony nierówności przez najmniejszy wspólny mianownik dla liczb 4, 3 i 12, czyli przez $12$: $$12 \cdot \dfrac{5 - x}{4} - 12 \cdot \dfrac{x + 1}{3} \ge 12 \cdot \dfrac{11 - 7x}{12}$$ $$3(5 - x) - 4(x + 1) \ge 11 - 7x$$ Wymnażamy nawiasy: $$\begin{aligned} 15 - 3x - 4x - 4 &\ge 11 - 7x \\ 11 - 7x &\ge 11 - 7x \end{aligned}$$ Przenosimy wyrazy z niewiadomą na lewą stronę, a liczby na prawą stronę: $$\begin{aligned} -7x + 7x &\ge 11 - 11 \\ 0x &\ge 0 \\ 0 &\ge 0 \end{aligned}$$ Nierówność $0 \ge 0$ jest zdaniem zawsze prawdziwym. Nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej: $$x \in \mathbb{R}$$

Odpowiedź:
a) $x > -3$, czyli $x \in (-3, \infty)$

c) $x \le 6$, czyli $x \in (-\infty, 6\rangle$

e) $x \in \mathbb{R}$ (nierówność tożsamościowa)

g) $x \in \mathbb{R}$ (nierówność tożsamościowa)

Zadanie 4

Rozwiąż nierówności:

a) $(\sqrt{2}-2)x > \sqrt{2}$

b) $(3-\sqrt{3})x > \sqrt{3}$

c) $(1+\sqrt{7})x \le 1+\sqrt{7}$

d) $(3-\sqrt{10})x \ge \sqrt{10}-3$

e) $(\pi-4)x < -1$

f) $2x - 2\sqrt{2}\,x \le 4$

g) $-2x + 1 \ge 3 - x\sqrt{3}$

h) $9 + x\sqrt{5} < 3x + 3\sqrt{5}$

Wskazówki:

Przed podzieleniem obu stron nierówności przez współczynnik stojący przy niewiadomej $x$ zawsze określ jego znak (czy jest dodatni, czy ujemny).
Dzielenie lub mnożenie nierówności przez liczbę ujemną wymaga odwrócenia zwrotu znaku nierówności na przeciwny.
Usuwając niewymierność z mianownika w postaci sumy lub różnicy z pierwiastkiem, pomnóż licznik i mianownik przez sprzężenie z wykorzystaniem wzoru skróconego mnożenia: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Dane i szukane:

Dane:
Nierówności liniowe z niewiadomą $x$ podane w podpunktach a)–h).

Szukane:
Zbiory liczb rzeczywistych $x$ spełniających podane nierówności.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy nierówność $(\sqrt{2}-2)x > \sqrt{2}$:
Szacujemy wartość współczynnika przy $x$. Ponieważ $\sqrt{2} \approx 1{,}41 < 2$, zachodzi: $$\sqrt{2} - 2 < 0$$ Dzielimy obie strony przez liczbę ujemną $(\sqrt{2}-2)$, co zmienia zwrot nierówności na przeciwny: $$x < \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-2}$$ Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez sprzężenie $(\sqrt{2}+2)$: $$\begin{aligned} x &< \dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+2)}{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)} \\ &= \dfrac{2 + 2\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2 - 2^2} \\ &= \dfrac{2(1+\sqrt{2})}{2 - 4} \\ &= \dfrac{2(1+\sqrt{2})}{-2} \\ &= -(1+\sqrt{2}) = -1 - \sqrt{2} \end{aligned}$$ Rozwiązaniem jest przedział $x \in (-\infty, -1-\sqrt{2})$.
Podpunkt b) Rozwiązujemy nierówność $(3-\sqrt{3})x > \sqrt{3}$:
Ponieważ $\sqrt{3} \approx 1{,}73 < 3$, współczynnik przy $x$ jest dodatni: $$3 - \sqrt{3} > 0$$ Dzielimy obustronnie przez $(3-\sqrt{3})$ bez zmiany zwrotu nierówności: $$x > \dfrac{\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$$ Mnożymy licznik i mianownik przez $(3+\sqrt{3})$: $$\begin{aligned} x &> \dfrac{\sqrt{3}(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})} \\ &= \dfrac{3\sqrt{3} + 3}{3^2 - (\sqrt{3})^2} \\ &= \dfrac{3(\sqrt{3} + 1)}{9 - 3} \\ &= \dfrac{3(\sqrt{3} + 1)}{6} \\ &= \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2} \end{aligned}$$ Rozwiązaniem jest przedział $x \in \left(\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}, +\infty\right)$.
Podpunkt c) Rozwiązujemy nierówność $(1+\sqrt{7})x \le 1+\sqrt{7}$:
Suma liczb dodatnich jest dodatnia, zatem: $$1 + \sqrt{7} > 0$$ Dzielimy obie strony nierówności przez dodatnie wyrażenie $(1+\sqrt{7})$: $$\begin{aligned} x &\le \dfrac{1+\sqrt{7}}{1+\sqrt{7}} \\ x &\le 1 \end{aligned}$$ Rozwiązaniem jest przedział $x \in (-\infty, 1]$.
Podpunkt d) Rozwiązujemy nierówność $(3-\sqrt{10})x \ge \sqrt{10}-3$:
Ponieważ $3 = \sqrt{9} < \sqrt{10}$, wyrażenie przy $x$ jest ujemne: $$3 - \sqrt{10} < 0$$ Zauważamy ponadto, że $\sqrt{10}-3 = -(3-\sqrt{10})$. Dzielimy obie strony przez liczbę ujemną $(3-\sqrt{10})$, zmieniając zwrot nierówności: $$\begin{aligned} x &\le \dfrac{\sqrt{10}-3}{3-\sqrt{10}} \\ &= \dfrac{-(3-\sqrt{10})}{3-\sqrt{10}} \\ x &\le -1 \end{aligned}$$ Rozwiązaniem jest przedział $x \in (-\infty, -1]$.
Podpunkt e) Rozwiązujemy nierówność $(\pi-4)x < -1$:
Wartość liczby $\pi \approx 3{,}14 < 4$, co oznacza, że współczynnik przy $x$ jest ujemny: $$\pi - 4 < 0$$ Dzielimy obie strony przez $(\pi-4)$, odwracając zwrot nierówności: $$\begin{aligned} x &> \dfrac{-1}{\pi-4} \\ x &> \dfrac{1}{4-\pi} \end{aligned}$$ Rozwiązaniem jest przedział $x \in \left(\dfrac{1}{4-\pi}, +\infty\right)$.
Podpunkt f) Rozwiązujemy nierówność $2x - 2\sqrt{2}\,x \le 4$:
Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias po lewej stronie nierówności: $$\begin{aligned} 2(1-\sqrt{2})x &\le 4 \\ (1-\sqrt{2})x &\le 2 \end{aligned}$$ Ponieważ $\sqrt{2} \approx 1{,}41 > 1$, zachodzi $1-\sqrt{2} < 0$. Dzielimy obie strony przez ujemny współczynnik, zmieniając zwrot nierówności: $$x \ge \dfrac{2}{1-\sqrt{2}}$$ Usuwamy niewymierność z mianownika: $$\begin{aligned} x &\ge \dfrac{2(1+\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})} \\ &= \dfrac{2(1+\sqrt{2})}{1^2 - (\sqrt{2})^2} \\ &= \dfrac{2(1+\sqrt{2})}{1 - 2} \\ &= \dfrac{2(1+\sqrt{2})}{-1} \\ &= -2(1+\sqrt{2}) = -2 - 2\sqrt{2} \end{aligned}$$ Rozwiązaniem jest przedział $x \in [-2-2\sqrt{2}, +\infty)$.
Podpunkt g) Rozwiązujemy nierówność $-2x + 1 \ge 3 - x\sqrt{3}$:
Przenosimy wyrazy z niewiadomą na lewą stronę, a liczby na prawą stronę: $$\begin{aligned} -2x + x\sqrt{3} &\ge 3 - 1 \\ (\sqrt{3}-2)x &\ge 2 \end{aligned}$$ Ponieważ $\sqrt{3} \approx 1{,}73 < 2$, mamy $\sqrt{3}-2 < 0$. Dzielimy obustronnie przez $(\sqrt{3}-2)$, zmieniając zwrot nierówności: $$x \le \dfrac{2}{\sqrt{3}-2}$$ Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie $(\sqrt{3}+2)$: $$\begin{aligned} x &\le \dfrac{2(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)} \\ &= \dfrac{2(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3})^2 - 2^2} \\ &= \dfrac{2\sqrt{3}+4}{3 - 4} \\ &= \dfrac{2\sqrt{3}+4}{-1} \\ &= -4 - 2\sqrt{3} \end{aligned}$$ Rozwiązaniem jest przedział $x \in (-\infty, -4-2\sqrt{3}]$.
Podpunkt h) Rozwiązujemy nierówność $9 + x\sqrt{5} < 3x + 3\sqrt{5}$:
Grupujemy wyrazy z niewiadomą $x$ po lewej stronie, a liczby po prawej: $$\begin{aligned} x\sqrt{5} - 3x &< 3\sqrt{5} - 9 \\ (\sqrt{5}-3)x &< 3(\sqrt{5}-3) \end{aligned}$$ Ponieważ $\sqrt{5} \approx 2{,}24 < 3$, zachodzi $\sqrt{5}-3 < 0$. Dzielimy obie strony przez ujemne wyrażenie $(\sqrt{5}-3)$ ze zmianą zwrotu nierówności: $$\begin{aligned} x &> \dfrac{3(\sqrt{5}-3)}{\sqrt{5}-3} \\ x &> 3 \end{aligned}$$ Rozwiązaniem jest przedział $x \in (3, +\infty)$.

Odpowiedź:
a) $x < -1-\sqrt{2}$

b) $x > \dfrac{\sqrt{3}+1}{2}$

c) $x \le 1$

d) $x \le -1$

e) $x > \dfrac{1}{4-\pi}$

f) $x \ge -2-2\sqrt{2}$

g) $x \le -4-2\sqrt{3}$

h) $x > 3$

Zadanie 5

Rozwiąż nierówność.

a) $x^2 > -8$

b) $x^2 + 5 < 0$

c) $(x + 3)^2 \le 0$

d) $(2 - x)^4 > 0$

e) $-x^2 - 5 \ge -2$

f) $-(x + 4)^2 \le 2$

g) $(x - 5)^2 > 0$

h) $(6 - x)^2 \le 0$

Wskazówki:

Kwadrat oraz każda parzysta potęga dowolnego wyrażenia rzeczywistego przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne: $W^2 \ge 0$ oraz $W^4 \ge 0$ dla każdego $W \in \mathbb{R}$.
Nierówność ostra typu $W^2 > 0$ lub $W^4 > 0$ jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem tych, dla których podstawa potęgi jest równa zero ($W \neq 0$).
Nierówność nieostra typu $W^2 \le 0$ redukuje się wyłącznie do warunku równości $W = 0$, ponieważ kwadrat nie może być mniejszy od zera.
Jeśli po uporządkowaniu nierówności otrzymamy relację sprzeczną z naturą potęg parzystych (np. $x^2 \le -3$ lub $x^2 < -5$), to nierówność nie ma rozwiązań ($x \in \emptyset$). Jeśli otrzymana relacja jest zawsze prawdziwa (np. $x^2 > -8$), zbiorem rozwiązań jest cały zbiór liczb rzeczywistych ($x \in \mathbb{R}$).

Dane i szukane:

Dane:
Nierówności określone w zbiorze liczb rzeczywistych podane w podpunktach a) – h).

Szukane:
Zbiory rozwiązań nierówności w poszczególnych podpunktach.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy nierówność $x^2 > -8$:
Dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi własność: $$x^2 \ge 0$$ Ponieważ każda liczba nieujemna jest ściśle większa od dowolnej liczby ujemnej ($0 > -8$), nierówność: $$x^2 > -8$$ jest prawdziwa dla każdej liczby $x \in \mathbb{R}$.
Zbiorem rozwiązań jest: $$x \in \mathbb{R}$$
Podpunkt b) Rozwiązujemy nierówność $x^2 + 5 < 0$:
Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę nierówności: $$x^2 < -5$$ Kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny ($x^2 \ge 0$), dlatego nie może być mniejszy od liczby $-5$. Nierówność jest sprzeczna.
Zbiorem rozwiązań jest zbiór pusty: $$x \in \emptyset$$
Podpunkt c) Rozwiązujemy nierówność $(x + 3)^2 \le 0$:
Kwadrat dowolnego wyrażenia rzeczywistego jest zawsze nieujemny, czyli: $$(x + 3)^2 \ge 0$$ Zatem warunek $(x + 3)^2 \le 0$ może być spełniony wyłącznie wtedy, gdy zachodzi równość: $$(x + 3)^2 = 0$$ Pierwiastkujemy obustronnie: $$\begin{aligned} x + 3 &= 0 \\ x &= -3 \end{aligned}$$ Jedynym rozwiązaniem nierówności jest liczba: $$x = -3$$
Podpunkt d) Rozwiązujemy nierówność $(2 - x)^4 > 0$:
Czwarta potęga dowolnego wyrażenia jest zawsze nieujemna: $$(2 - x)^4 \ge 0$$ Wartość ta jest ostro większa od zera dla wszystkich argumentów, dla których wyrażenie potęgowane nie wynosi zero: $$\begin{aligned} (2 - x)^4 &\neq 0 \\ 2 - x &\neq 0 \\ x &\neq 2 \end{aligned}$$ Rozwiązaniem są wszystkie liczby rzeczywiste z wyłączeniem liczby $2$: $$x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$$
Podpunkt e) Rozwiązujemy nierówność $-x^2 - 5 \ge -2$:
Dodajemy obustronnie liczbę $5$: $$\begin{aligned} -x^2 &\ge -2 + 5 \\ -x^2 &\ge 3 \end{aligned}$$ Mnożymy obie strony przez $-1$, pamiętając o zmianie zwrotu znaku nierówności na przeciwny: $$x^2 \le -3$$ Ponieważ $x^2 \ge 0$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$, kwadrat nie może być mniejszy ani równy liczbie $-3$. Nierówność nie posiada rozwiązań:
$$x \in \emptyset$$
Podpunkt f) Rozwiązujemy nierówność $-(x + 4)^2 \le 2$:
Dla każdego $x \in \mathbb{R}$ wyrażenie $(x + 4)^2 \ge 0$. Wobec tego: $$-(x + 4)^2 \le 0$$ Skoro lewa strona przyjmuje wyłącznie wartości niedodatnie (mniejsze bądź równe $0$), to z całą pewnością jest zawsze mniejsza bądź równa liczbie dodatniej $2$.
Nierówność jest tożsamościowa (zawsze spełniona): $$x \in \mathbb{R}$$
Podpunkt g) Rozwiązujemy nierówność $(x - 5)^2 > 0$:
Kwadrat wyrażenia rzeczywistego jest zawsze większy bądź równy zero: $(x - 5)^2 \ge 0$. Warunek ostrej nierówności wyklucza jedynie punkt, w którym wartość ta wynosi zero: $$\begin{aligned} x - 5 &\neq 0 \\ x &\neq 5 \end{aligned}$$ Zbiorem rozwiązań jest: $$x \in \mathbb{R} \setminus \{5\}$$
Podpunkt h) Rozwiązujemy nierówność $(6 - x)^2 \le 0$:
Z uwagi na fakt, że $(6 - x)^2 \ge 0$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$, nierówność nieostra $(6 - x)^2 \le 0$ jest spełniona tylko w przypadku równości: $$\begin{aligned} (6 - x)^2 &= 0 \\ 6 - x &= 0 \\ x &= 6 \end{aligned}$$ Rozwiązaniem jest pojedyncza liczba: $$x = 6$$

Odpowiedź:
a) $x \in \mathbb{R}$

b) $x \in \emptyset$

c) $x = -3$

d) $x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$

e) $x \in \emptyset$

f) $x \in \mathbb{R}$

g) $x \in \mathbb{R} \setminus \{5\}$

h) $x = 6$

Grupa B

Zadanie 1

Sprawdź, czy podane obok nierówności liczby należą do zbioru rozwiązań tej nierówności:
a) $x^2 > 16;\quad -5;\ 0;\ \sqrt{10}$
b) $x^2 \le 5x;\quad -\sqrt{2};\ 0;\ 4{,}5$
c) $x^2 \ge x^3;\quad -3;\ 0;\ \dfrac{3}{5}$
d) $x^2 < -3x;\quad -5;\ -\sqrt{2};\ 0$

Zadanie 2

Rozwiąż nierówności:

a) $3{,}2(x + 4) + 1{,}8 \le -4{,}6$

c) $5(2 - 3x) + 3x \ge 4(2 - 3x)$

e) $(6x - 15) : (-3) \ge 11 - 0{,}5x$

g) $(3x + 5)(-2) < 3(2 - 2x)$

Zadanie 3

Rozwiąż nierówności:

a) $4(x - 2) - 5(x - 3) < 8$

c) $\dfrac{1}{4}(4,8x - 2) \le 0,2x + 4,5$

e) $\dfrac{x - 3}{5} < \dfrac{2x + 1}{10}$

g) $\dfrac{3 - x}{2} - \dfrac{x + 4}{3} \ge \dfrac{5 - 5x}{6}$

Zadanie 4

Rozwiąż nierówności:

a) $(2-\sqrt{6})x > \sqrt{6}$

b) $(2-\sqrt{3})x > \sqrt{3}$

c) $(2+\sqrt{3})x \le 2+\sqrt{3}$

d) $(1-\sqrt{3})x \ge \sqrt{3}-1$

e) $(1-\pi)x < -2$

f) $4x - 4\sqrt{3}\,x \le 8$

g) $-2x + 3 \ge 7 - x\sqrt{3}$

h) $8 + x\sqrt{3} < 2x + 4\sqrt{3}$

Zadanie 5

Rozwiąż nierówność.

a) $x^2 > -5$

b) $x^2 + 7 < 0$

c) $(x + 2)^2 \le 0$

d) $(5 - x)^4 > 0$

e) $-x^2 - 4 \ge -1$

f) $-(x + 1)^2 \le 3$

g) $(x - 3)^2 > 0$

h) $(8 - x)^2 \le 0$

1.8 Nierówność z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie nierówności metodą nierówności równoważnych

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋