Funkcje równe kartkówka LiczBit

3.6 Funkcje równe

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Funkcje $f$ i $g$ są określone wzorami. Czy funkcje $f$ i $g$ są równe? Odpowiedź uzasadnij.

a) $f(x) = \sqrt[5]{(x-2)^5}$, $x \in \{-2, 0, 2, 4\}$ oraz $g(x) = x - 2$, $x \in \{-2, 0, 2, 4\}$

b) $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$, $x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$ oraz $g(x) = x + 2$, $x \in \mathbb{R}$

c) $f(x) = x^2 + 3$, $x \in \mathbb{R}$ oraz $g(x) = \sqrt{x^4 + 9}$, $x \in \mathbb{R}$

d) $f(x) = x + \sqrt{3} - 1$, $x \in \mathbb{R}$ oraz $g(x) = x + \dfrac{2}{\sqrt{3} + 1}$, $x \in \mathbb{R}$

Wskazówki:

Dwie funkcje $f$ i $g$ są równe ($f = g$) wtedy i tylko wtedy, gdy spełniają jednocześnie dwa warunki:
1. Mają identyczne dziedziny: $D_f = D_g$.
2. Dla każdego argumentu $x$ należącego do wspólnej dziedziny przyjmują te same wartości: $f(x) = g(x)$.
Jeżeli dziedziny funkcji są różne, to funkcje nie są równe, nawet jeśli ich wzory po uproszczeniu algebraicznym wyglądają tak samo.
Pamiętaj, że dla pierwiastków nieparzystego stopnia zachodzi tożsamość $\sqrt[n]{a^n} = a$ (nie ma potrzeby stosowania wartości bezwzględnej).
Uważaj na fałszywe uproszczenia pierwiastków: ogólnie $\sqrt{a^2 + b^2} \neq a + b$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Badanie równości funkcji $f(x) = \sqrt[5]{(x-2)^5}$ oraz $g(x) = x - 2$ na dziedzinie $\{-2, 0, 2, 4\}$:
Wypisujemy dziedziny podane w treści zadania: $$D_f = \{-2, 0, 2, 4\}, \quad D_g = \{-2, 0, 2, 4\}$$ Pierwszy warunek jest spełniony, ponieważ: $$D_f = D_g$$ Sprawdzamy wartości funkcji. Ponieważ stopień pierwiastka (5) jest liczbą nieparzystą, dla dowolnej liczby rzeczywistej zachodzi tożsamość $\sqrt[5]{a^5} = a$. Zatem wzór funkcji $f$ możemy uprościć: $$f(x) = \sqrt[5]{(x-2)^5} = x - 2$$ Oznacza to, że dla każdego argumentu $x \in \{-2, 0, 2, 4\}$ zachodzi: $$f(x) = g(x)$$ Oba warunki równości funkcji są spełnione, więc funkcje $f$ i $g$ są równe.
Podpunkt b) Badanie równości funkcji $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ oraz $g(x) = x + 2$:
Wyznaczamy dziedziny obu funkcji: $$D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$$ $$D_g = \mathbb{R}$$ Porównujemy dziedziny: $$D_f \neq D_g$$ Dla argumentu $x = 2$ funkcja $g$ jest określona i przyjmuje wartość: $$g(2) = 2 + 2 = 4$$ natomiast funkcja $f$ dla argumentu $x = 2$ nie jest określona (mianownik byłby równy zero). Mimo że dla każdego $x \neq 2$ zachodzi: $$\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2$$ różnica dziedzin wyklucza równość funkcji. Zatem funkcje $f$ i $g$ nie są równe.
Podpunkt c) Badanie równości funkcji $f(x) = x^2 + 3$ oraz $g(x) = \sqrt{x^4 + 9}$:
Wyznaczamy dziedziny obu funkcji: $$D_f = \mathbb{R}, \quad D_g = \mathbb{R}$$ Dziedziny są równe ($D_f = D_g$). Sprawdzamy, czy dla każdego $x \in \mathbb{R}$ zachodzi równość wartości $f(x) = g(x)$, czyli: $$x^2 + 3 = \sqrt{x^4 + 9}$$ Obie strony równości są dodatnie dla każdego $x \in \mathbb{R}$, więc możemy podnieść równanie obustronnie do kwadratu: $$\begin{aligned} (x^2 + 3)^2 &= x^4 + 9 \\[8pt] (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 3 + 3^2 &= x^4 + 9 \\[8pt] x^4 + 6x^2 + 9 &= x^4 + 9 \\[8pt] 6x^2 &= 0 \\[8pt] x &= 0 \end{aligned}$$ Równość wartości zachodzi wyłącznie dla jednego argumentu $x = 0$. Dla każdego innego argumentu, na przykład dla $x = 1$, otrzymujemy: $$\begin{aligned} f(1) &= 1^2 + 3 = 4 \\[8pt] g(1) &= \sqrt{1^4 + 9} = \sqrt{10} \approx 3{,}16 \end{aligned}$$ Ponieważ $f(1) \neq g(1)$, drugi warunek równości nie jest spełniony. Zatem funkcje $f$ i $g$ nie są równe.
Podpunkt d) Badanie równości funkcji $f(x) = x + \sqrt{3} - 1$ oraz $g(x) = x + \dfrac{2}{\sqrt{3} + 1}$:
Wyznaczamy dziedziny obu funkcji: $$D_f = \mathbb{R}, \quad D_g = \mathbb{R}$$ Mianownik ułamka we wzorze funkcji $g$ wynosi $\sqrt{3} + 1 \neq 0$, więc dziedziny są identyczne: $D_f = D_g$.
Usuwamy niewymierność z mianownika ułamka we wzorze funkcji $g$, mnożąc licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika, czyli $\sqrt{3} - 1$: $$\begin{aligned} \dfrac{2}{\sqrt{3} + 1} &= \dfrac{2(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} \\[8pt] &= \dfrac{2(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} \\[8pt] &= \dfrac{2(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} \\[8pt] &= \dfrac{2(\sqrt{3} - 1)}{2} \\[8pt] &= \sqrt{3} - 1 \end{aligned}$$ Wstawiamy otrzymany wynik do wzoru funkcji $g(x)$: $$g(x) = x + \sqrt{3} - 1$$ Zarówno dziedziny są równe ($D_f = D_g = \mathbb{R}$), jak i dla każdego $x \in \mathbb{R}$ zachodzi tożsamość $f(x) = g(x)$. Zatem funkcje $f$ i $g$ są równe.

Odpowiedź:
a) Tak, funkcje $f$ i $g$ są równe.

b) Nie, funkcje $f$ i $g$ nie są równe.

c) Nie, funkcje $f$ i $g$ nie są równe.

d) Tak, funkcje $f$ i $g$ są równe.

Zadanie 2

Wykaż na podstawie definicji, że funkcje $f$ i $g$ są równe, jeśli:

a) $f(x) = \dfrac{3x - 2}{9x^2 - 12x + 4}$ oraz $g(x) = \dfrac{1}{3x - 2}$

b) $f(x) = \dfrac{-5x^2 - 15}{x^2 + 3}$ oraz $g(x) = -5$

c) $f(x) = \dfrac{x^2 - 2x}{x - 2}$ oraz $g(x) = \dfrac{3x(2 - x)}{6 - 3x}$

d) $f(x) = \dfrac{x^4 - 81}{x^2 + 9}$ oraz $g(x) = x^2 - 9$

Wskazówki:

Dwie funkcje $f$ i $g$ są równe zgodnie z definicją wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są równocześnie dwa warunki:
1. Posiadają dokładnie taką samą dziedzinę: $D_f = D_g$.
2. Dla każdego argumentu ze wspólnej dziedziny przyjmują te same wartości: $\forall x \in D_f \quad f(x) = g(x)$.
Wyznaczanie dziedziny wyrażenia wymiernego wymaga wykluczenia wartości, dla których mianownik jest równy zero (dzielenie przez zero jest niewykonalne).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Badamy funkcje $f(x) = \dfrac{3x - 2}{9x^2 - 12x + 4}$ oraz $g(x) = \dfrac{1}{3x - 2}$:
W pierwszej kolejności wyznaczamy dziedzinę funkcji $f$. Mianownik nie może być równy zeru, więc szukamy jego miejsc zerowych na dwa sposoby:

Sposób I – Wykorzystanie wyróżnika $\Delta$: $$\begin{aligned} 9x^2 - 12x + 4 &= 0 \\[8pt] a &= 9,\quad b = -12,\quad c = 4 \\[8pt] \Delta &= b^2 - 4ac \\[8pt] &= (-12)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 \\[8pt] &= 144 - 144 = 0 \\[8pt] x_0 &= \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-(-12)}{2 \cdot 9} = \dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3} \end{aligned}$$ Sposób II – Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia:
Zauważamy wzór na kwadrat różnicy $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$\begin{aligned} 9x^2 - 12x + 4 &= (3x - 2)^2 \\[8pt] (3x - 2)^2 &= 0 \iff 3x - 2 = 0 \iff x = \dfrac{2}{3} \end{aligned}$$ Mianownik zeruje się wyłącznie dla $x = \dfrac{2}{3}$, co oznacza: $$D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{2}{3}\right\}$$ Dla funkcji $g(x)$ mianownik również musi być różny od zera: $$\begin{aligned} 3x - 2 &\neq 0 \\[8pt] 3x &\neq 2 \implies x \neq \dfrac{2}{3} \implies D_g = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{2}{3}\right\} \end{aligned}$$ Warunek $D_f = D_g$ został spełniony.

Następnie sprawdzamy, czy dla każdego $x \in D_f$ zachodzi równość wzorów. Przekształcamy wzór funkcji $f(x)$: $$\begin{aligned} f(x) &= \dfrac{3x - 2}{9x^2 - 12x + 4} \\[8pt] &= \dfrac{3x - 2}{(3x - 2)^2} \\[8pt] &= \dfrac{1}{3x - 2} = g(x) \end{aligned}$$ Oba warunki definicji są spełnione, co dowodzi, że funkcje $f$ i $g$ są równe.
Podpunkt b) Badamy funkcje $f(x) = \dfrac{-5x^2 - 15}{x^2 + 3}$ oraz $g(x) = -5$:
Wyznaczamy dziedzinę funkcji $f$. Zauważamy, że dla każdej liczby rzeczywistej $x \in \mathbb{R}$ kwadrat liczby jest nieujemny ($x^2 \ge 0$), zatem: $$x^2 + 3 \ge 3 > 0$$ Mianownik nigdy nie przyjmuje wartości zero, stąd: $$D_f = \mathbb{R}$$ Dla funkcji $g(x) = -5$ dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, ponieważ jest to funkcja stała: $$D_g = \mathbb{R}$$ Dziedziny są identyczne: $D_f = D_g = \mathbb{R}$.

Sprawdzamy równość wzorów funkcji. Wyłączamy wspólny czynnik $-5$ przed nawias w liczniku funkcji $f(x)$: $$\begin{aligned} f(x) &= \dfrac{-5x^2 - 15}{x^2 + 3} \\[8pt] &= \dfrac{-5(x^2 + 3)}{x^2 + 3} \end{aligned}$$ Ponieważ $x^2 + 3 \neq 0$, upraszczamy ułamek: $$f(x) = -5 = g(x)$$ Wartości obu funkcji są równe dla każdego $x \in \mathbb{R}$, co oznacza, że funkcje $f$ i $g$ są równe.
Podpunkt c) Badamy funkcje $f(x) = \dfrac{x^2 - 2x}{x - 2}$ oraz $g(x) = \dfrac{3x(2 - x)}{6 - 3x}$:
Wyznaczamy dziedzinę funkcji $f$: $$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2 \implies D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$$ Wyznaczamy dziedzinę funkcji $g$: $$\begin{aligned} 6 - 3x &\neq 0 \\[8pt] -3x &\neq -6 \\[8pt] x &\neq 2 \implies D_g = \mathbb{R} \setminus \{2\} \end{aligned}$$ Warunek równości dziedzin jest spełniony: $D_f = D_g = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.

Upraszczamy wzory obu funkcji dla $x \in D_f$: $$\begin{aligned} f(x) &= \dfrac{x^2 - 2x}{x - 2} \\[8pt] &= \dfrac{x(x - 2)}{x - 2} = x \end{aligned}$$ W mianowniku funkcji $g(x)$ wyłączamy liczbę $3$ przed nawias: $$\begin{aligned} g(x) &= \dfrac{3x(2 - x)}{6 - 3x} \\[8pt] &= \dfrac{3x(2 - x)}{3(2 - x)} = x \end{aligned}$$ Dla każdego argumentu $x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$ zachodzi $f(x) = g(x) = x$, zatem funkcje są równe.
Podpunkt d) Badamy funkcje $f(x) = \dfrac{x^4 - 81}{x^2 + 9}$ oraz $g(x) = x^2 - 9$:
Wyznaczamy dziedzinę funkcji $f$. Ponieważ $x^2 \ge 0$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$, zachodzi: $$x^2 + 9 \ge 9 > 0$$ Mianownik nigdy nie osiąga zera, co daje: $$D_f = \mathbb{R}$$ Funkcja $g(x) = x^2 - 9$ jest funkcją wielomianową o dziedzinie: $$D_g = \mathbb{R}$$ Zatem $D_f = D_g = \mathbb{R}$.

Rozkładamy licznik funkcji $f(x)$ za pomocą wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, przyjmując $a = x^2$ oraz $b = 9$: $$\begin{aligned} f(x) &= \dfrac{(x^2)^2 - 9^2}{x^2 + 9} \\[8pt] &= \dfrac{(x^2 - 9)(x^2 + 9)}{x^2 + 9} \end{aligned}$$ Dzieląc licznik i mianownik przez niezerowe wyrażenie $x^2 + 9$, otrzymujemy: $$f(x) = x^2 - 9 = g(x)$$ Oba warunki definicji są spełnione, co kończy dowód równości funkcji.

Odpowiedź:
a) Funkcje $f$ i $g$ są równe, ponieważ $D_f = D_g = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{2}{3}\right\}$ oraz dla każdego $x \in D_f$ mamy $f(x) = g(x)$.

b) Funkcje $f$ i $g$ są równe, ponieważ $D_f = D_g = \mathbb{R}$ oraz dla każdego $x \in \mathbb{R}$ mamy $f(x) = g(x) = -5$.

c) Funkcje $f$ i $g$ są równe, ponieważ $D_f = D_g = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ oraz dla każdego $x \in D_f$ mamy $f(x) = g(x) = x$.

d) Funkcje $f$ i $g$ są równe, ponieważ $D_f = D_g = \mathbb{R}$ oraz dla każdego $x \in \mathbb{R}$ mamy $f(x) = g(x) = x^2 - 9$.

Zadanie 3

Wykaż, że funkcje $f$ i $g$ nie są równe, jeśli:

a) $f(x) = \dfrac{9x^2 - 25}{3x - 5}$ i $g(x) = 3x + 5$

b) $f(x) = \dfrac{x^4 - 16}{x^2 + 4}$ i $g(x) = x^2 + 4$

c) $f(x) = \dfrac{2 - x}{x^2 - 4x + 4}$ i $g(x) = \dfrac{1}{x - 2}$

d) $f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 4}{x(2 - x)}$ i $g(x) = \dfrac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 2x}$

Wskazówki:

Dwie funkcje $f$ i $g$ są równe ($f = g$) wtedy i tylko wtedy, gdy spełniają łącznie dwa warunki: mają dokładnie takie same dziedziny ($D_f = D_g$) oraz dla każdego argumentu $x$ należącego do tej dziedziny przyjmują identyczne wartości ($f(x) = g(x)$).
Aby wykazać, że funkcje nie są równe, wystarczy wykazać, że ich dziedziny są różne ($D_f \neq D_g$) lub wskazać choć jeden wspólny argument $x$, dla którego wartości funkcji różnią się od siebie ($f(x) \neq g(x)$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Badamy równość funkcji $f(x) = \dfrac{9x^2 - 25}{3x - 5}$ oraz $g(x) = 3x + 5$:
Wyznaczamy dziedzinę funkcji $f$. Mianownik ułamka nie może być równy zero: $$3x - 5 \neq 0 \iff 3x \neq 5 \iff x \neq \dfrac{5}{3}$$ Zatem dziedziną funkcji $f$ jest zbiór: $$D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{5}{3}\right\}$$ Dla funkcji liniowej $g(x) = 3x + 5$ wyrażenie ma sens liczbowy dla wszystkich liczb rzeczywistych: $$D_g = \mathbb{R}$$ Porównujemy dziedziny obu funkcji: $$D_f \neq D_g$$ Ponieważ warunek równości dziedzin nie jest spełniony, funkcje $f$ i $g$ nie są równe.
Podpunkt b) Badamy równość funkcji $f(x) = \dfrac{x^4 - 16}{x^2 + 4}$ oraz $g(x) = x^2 + 4$:
Wyznaczamy dziedziny obu funkcji. W mianowniku funkcji $f$ mamy wyrażenie $x^2 + 4$. Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny ($x^2 \ge 0$), to: $$x^2 + 4 \ge 4 > 0 \quad \text{dla każdego } x \in \mathbb{R}$$ Mianownik nigdy nie osiąga zera, więc: $$D_f = \mathbb{R}$$ Funkcja $g(x) = x^2 + 4$ jest wielomianem, zatem: $$D_g = \mathbb{R}$$ Dziedziny są identyczne ($D_f = D_g$). Badamy zatem wzory i wartości obu funkcji. Rozkładamy licznik funkcji $f$ ze wzoru na różnicę kwadratów: $$ \begin{aligned} f(x) &= \dfrac{(x^2 - 4)(x^2 + 4)}{x^2 + 4} \\[8pt] &= x^2 - 4 \end{aligned} $$ Porównujemy wzory obu funkcji dla dowolnego $x \in \mathbb{R}$: $$f(x) = x^2 - 4 \quad \text{oraz} \quad g(x) = x^2 + 4$$ Wskazujemy kontrprzykład, np. dla argumentu $x = 0$: $$ \begin{aligned} f(0) &= 0^2 - 4 = -4 \\[8pt] g(0) &= 0^2 + 4 = 4 \end{aligned} $$ Ponieważ $f(0) \neq g(0)$, funkcje $f$ i $g$ nie są równe.
Podpunkt c) Badamy równość funkcji $f(x) = \dfrac{2 - x}{x^2 - 4x + 4}$ oraz $g(x) = \dfrac{1}{x - 2}$:
Wyznaczamy dziedzinę funkcji $f$. Zauważmy, że mianownik jest kwadratem różnicy: $$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$$ Mianownik musi być różny od zera: $$(x - 2)^2 \neq 0 \iff x - 2 \neq 0 \iff x \neq 2$$ Stąd: $$D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$$ Dla funkcji $g$ mianownik również nie może być zerem: $$x - 2 \neq 0 \iff x \neq 2 \implies D_g = \mathbb{R} \setminus \{2\}$$ Dziedziny są równe ($D_f = D_g$). Sprawdzamy wartości funkcji. Przekształcamy wzór funkcji $f$ dla każdego $x \in D_f$, wyłączając znak minus przed nawias w liczniku: $$ \begin{aligned} f(x) &= \dfrac{-(x - 2)}{(x - 2)^2} \\[8pt] &= -\dfrac{1}{x - 2} \end{aligned} $$ Porównujemy otrzymany wynik ze wzorem funkcji $g(x) = \dfrac{1}{x - 2}$. Dla każdego $x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$ zachodzi relacja przeciwności: $$-\dfrac{1}{x - 2} \neq \dfrac{1}{x - 2}$$ Wskazujemy kontrprzykład, np. dla $x = 3 \in D_f$: $$ \begin{aligned} f(3) &= -\dfrac{1}{3 - 2} = -1 \\[8pt] g(3) &= \dfrac{1}{3 - 2} = 1 \end{aligned} $$ Ponieważ $f(3) \neq g(3)$, funkcje $f$ i $g$ nie są równe.
Podpunkt d) Badamy równość funkcji $f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 4}{x(2 - x)}$ oraz $g(x) = \dfrac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 2x}$:
Wyznaczamy dziedzinę funkcji $f$: $$x(2 - x) \neq 0 \iff x \neq 0 \quad \text{oraz} \quad 2 - x \neq 0 \iff x \neq 2$$ Zatem: $$D_f = \mathbb{R} \setminus \{0, 2\}$$ Wyznaczamy dziedzinę funkcji $g$: $$x^2 - 2x \neq 0 \iff x(x - 2) \neq 0 \iff x \neq 0 \quad \text{oraz} \quad x \neq 2$$ Zatem: $$D_g = \mathbb{R} \setminus \{0, 2\}$$ Dziedziny obu funkcji są równe ($D_f = D_g$). Badamy wartości obu funkcji, upraszczając ich wzory dla $x \in D_f$: $$ \begin{aligned} f(x) &= \dfrac{(x - 2)^2}{-x(x - 2)} \\[8pt] &= -\dfrac{x - 2}{x} \\[8pt] &= \dfrac{2 - x}{x} \end{aligned} $$ Dla funkcji $g(x)$ licznik jest kwadratem sumy: $$g(x) = \dfrac{(x + 2)^2}{x(x - 2)}$$ Wskazujemy kontrprzykład, wybierając dowolny argument z dziedziny, np. $x = 1 \in D_f$: $$ \begin{aligned} f(1) &= \dfrac{2 - 1}{1} = 1 \\[8pt] g(1) &= \dfrac{(1 + 2)^2}{1(1 - 2)} = \dfrac{9}{-1} = -9 \end{aligned} $$ Ponieważ $f(1) \neq g(1)$, funkcje $f$ i $g$ nie są równe.

Odpowiedź:
a) Funkcje nie są równe, ponieważ mają różne dziedziny: $D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{5}{3}\right\}$, natomiast $D_g = \mathbb{R}$.

b) Funkcje nie są równe, ponieważ mimo równych dziedzin ($D_f = D_g = \mathbb{R}$) przyjmują różne wartości: dla każdego $x \in \mathbb{R}$ zachodzi $f(x) = x^2 - 4$, podczas gdy $g(x) = x^2 + 4$ (np. dla $x = 0$: $f(0) = -4 \neq 4 = g(0)$).

c) Funkcje nie są równe, ponieważ mimo równych dziedzin ($D_f = D_g = \mathbb{R} \setminus \{2\}$) przyjmują przeciwne wartości: dla każdego $x \in D_f$ zachodzi $f(x) = -\dfrac{1}{x - 2} \neq \dfrac{1}{x - 2} = g(x)$ (np. dla $x = 3$: $f(3) = -1 \neq 1 = g(3)$).

d) Funkcje nie są równe, ponieważ mimo równych dziedzin ($D_f = D_g = \mathbb{R} \setminus \{0, 2\}$) przyjmują różne wartości: po uproszczeniu $f(x) = \dfrac{2 - x}{x}$, podczas gdy $g(x) = \dfrac{(x + 2)^2}{x(x - 2)}$ (np. dla $x = 1$: $f(1) = 1 \neq -9 = g(1)$).

Zadanie 4

Zbadaj, czy funkcje $f$ i $g$ są równe, jeśli:

a) $f(x) = \dfrac{0,5}{\sqrt{x}}$ oraz $g(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{2x}$

b) $f(x) = (\sqrt{5} - 2)x$ oraz $g(x) = \dfrac{x}{\sqrt{5} + 2}$

c) $f(x) = \dfrac{(\sqrt{x})^2}{5}$ oraz $g(x) = \dfrac{x}{5}$

d) $f(x) = \sqrt{x^2 - 6x + 9}$ oraz $g(x) = (\sqrt{x - 3})^2$

Wskazówki:

Dwie funkcje $f$ i $g$ są równe ($f = g$) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są jednocześnie dwa warunki: mają równe dziedziny ($D_f = D_g$) oraz dla każdego argumentu $x \in D_f$ przyjmują identyczne wartości ($f(x) = g(x)$).
Najpierw zawsze precyzyjnie wyznaczamy dziedzinę każdej funkcji, pamiętając o warunkach: mianownik ułamka musi być różny od zera, a wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym nieujemne. Jeśli dziedziny są różne, funkcje nie są równe i nie ma potrzeby dalszego przekształcania wzorów.
Jeśli dziedziny są identyczne, upraszczamy wzory funkcji (np. usuwając niewymierność z mianownika) i sprawdzamy, czy ich postacie są tożsame.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Badamy równość funkcji $f(x) = \dfrac{0,5}{\sqrt{x}}$ oraz $g(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{2x}$:
Wyznaczamy dziedzinę funkcji $f$:
Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne ($x \ge 0$), a mianownik nie może być zerem ($\sqrt{x} \neq 0$), co daje: $$x > 0 \implies D_f = (0, \infty)$$ Wyznaczamy dziedzinę funkcji $g$:
Licznik wymaga $x \ge 0$, a mianownik $2x \neq 0 \iff x \neq 0$. Z części wspólnej mamy: $$x > 0 \implies D_g = (0, \infty)$$ Dziedziny są identyczne: $D_f = D_g = (0, \infty)$.

Porównujemy wzory dla dowolnego $x \in (0, \infty)$. Zapisujemy ułamek dziesiętny $0,5$ jako $\frac{1}{2}$ i usuwamy niewymierność z mianownika: $$ \begin{aligned} f(x) &= \dfrac{\frac{1}{2}}{\sqrt{x}} \\[8pt] &= \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \\[8pt] &= \dfrac{1 \cdot \sqrt{x}}{2\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} \\[8pt] &= \dfrac{\sqrt{x}}{2x} \\[8pt] &= g(x) \end{aligned} $$ Ponieważ $D_f = D_g$ oraz $f(x) = g(x)$ dla każdego $x \in D_f$, funkcje $f$ i $g$ są równe.
Podpunkt b) Badamy równość funkcji $f(x) = (\sqrt{5} - 2)x$ oraz $g(x) = \dfrac{x}{\sqrt{5} + 2}$:
Wyznaczamy dziedziny obu funkcji:
Wzory nie zawierają pierwiastków ze zmiennej ani zmiennej w mianowniku ($\sqrt{5} + 2 \neq 0$), zatem: $$D_f = \mathbb{R}, \quad D_g = \mathbb{R} \implies D_f = D_g$$ Przekształcamy wzór funkcji $g(x)$, usuwając niewymierność z mianownika za pomocą wzoru skróconego mnożenia $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$: $$ \begin{aligned} g(x) &= \dfrac{x}{\sqrt{5} + 2} \\[8pt] &= \dfrac{x(\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)} \\[8pt] &= \dfrac{x(\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} \\[8pt] &= \dfrac{x(\sqrt{5} - 2)}{5 - 4} \\[8pt] &= \dfrac{(\sqrt{5} - 2)x}{1} \\[8pt] &= (\sqrt{5} - 2)x \\[8pt] &= f(x) \end{aligned} $$ Ponieważ $D_f = D_g = \mathbb{R}$ oraz $f(x) = g(x)$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$, funkcje $f$ i $g$ są równe.
Podpunkt c) Badamy równość funkcji $f(x) = \dfrac{(\sqrt{x})^2}{5}$ oraz $g(x) = \dfrac{x}{5}$:
Wyznaczamy dziedzinę funkcji $f$:
Wyrażenie $\sqrt{x}$ w liczniku istnieje wyłącznie dla liczb nieujemnych: $$x \ge 0 \implies D_f = \langle 0, \infty)$$ Wyznaczamy dziedzinę funkcji $g$:
Funkcja $g$ jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych: $$D_g = \mathbb{R}$$ Porównujemy dziedziny:
$$D_f \neq D_g$$ Dla dowolnej liczby ujemnej, np. $x = -5$, wartość $g(-5) = \dfrac{-5}{5} = -1$, natomiast wartość $f(-5)$ nie jest zdefiniowana w zbiorze liczb rzeczywistych. Skoro dziedziny nie są identyczne, funkcje $f$ i $g$ nie są równe.
Podpunkt d) Badamy równość funkcji $f(x) = \sqrt{x^2 - 6x + 9}$ oraz $g(x) = (\sqrt{x - 3})^2$:
Wyznaczamy dziedzinę i postać funkcji $f$:
Wyrażenie pod pierwiastkiem zwijamy ze wzoru skróconego mnożenia: $$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$$ Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny ($(x - 3)^2 \ge 0$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$), dziedziną funkcji $f$ jest: $$D_f = \mathbb{R}$$ Wzór funkcji $f$ upraszcza się do wartości bezwzględnej: $$f(x) = \sqrt{(x - 3)^2} = |x - 3|$$ Wyznaczamy dziedzinę funkcji $g$:
Wyrażenie pod pierwiastkiem $\sqrt{x - 3}$ musi być nieujemne: $$ \begin{aligned} x - 3 &\ge 0 \\[8pt] x &\ge 3 \implies D_g = \langle 3, \infty) \end{aligned} $$ Porównujemy dziedziny obu funkcji:
$$D_f \neq D_g$$ Dla argumentów $x < 3$ (np. dla $x = 0$) funkcja $f$ przyjmuje wartość $f(0) = |0 - 3| = 3$, podczas gdy funkcja $g$ nie istnieje. Skoro dziedziny są różne, funkcje $f$ i $g$ nie są równe.

Odpowiedź:
a) Funkcje $f$ i $g$ są równe.

b) Funkcje $f$ i $g$ są równe.

c) Funkcje $f$ i $g$ nie są równe.

d) Funkcje $f$ i $g$ nie są równe.

Grupa B

Zadanie 1

Funkcje $f$ i $g$ są określone wzorami. Czy funkcje $f$ i $g$ są równe? Odpowiedź uzasadnij.

a) $f(x) = \sqrt[3]{(x-4)^3}$, $x \in \{-1, 1, 3, 5\}$ oraz $g(x) = x - 4$, $x \in \{-1, 1, 3, 5\}$

b) $f(x) = \dfrac{x^3}{x}$, $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ oraz $g(x) = x^2$, $x \in \mathbb{R}$

c) $f(x) = x^2 + 1$, $x \in \mathbb{R}$ oraz $g(x) = \sqrt{x^4 + 1}$, $x \in \mathbb{R}$

d) $f(x) = x + \sqrt{5} - 2$, $x \in \mathbb{R}$ oraz $g(x) = x + \dfrac{1}{\sqrt{5} + 2}$, $x \in \mathbb{R}$

Zadanie 2

Wykaż na podstawie definicji, że funkcje $f$ i $g$ są równe, jeśli:

a) $f(x) = \dfrac{2x + 5}{4x^2 + 20x + 25}$ oraz $g(x) = \dfrac{1}{2x + 5}$

b) $f(x) = \dfrac{-2x^2 - 10}{x^2 + 5}$ oraz $g(x) = -2$

c) $f(x) = \dfrac{x^2 - 3x}{x - 3}$ oraz $g(x) = \dfrac{4x(3 - x)}{12 - 4x}$

d) $f(x) = \dfrac{x^4 - 1}{x^2 + 1}$ oraz $g(x) = x^2 - 1$

Zadanie 3

Wykaż, że funkcje $f$ i $g$ nie są równe, jeśli:

a) $f(x) = \dfrac{16x^2 - 49}{4x - 7}$ i $g(x) = 4x + 7$

b) $f(x) = \dfrac{x^4 - 81}{x^2 + 9}$ i $g(x) = x^2 + 9$

c) $f(x) = \dfrac{5 - x}{x^2 - 10x + 25}$ i $g(x) = \dfrac{1}{x - 5}$

d) $f(x) = \dfrac{x^2 - 6x + 9}{x(3 - x)}$ i $g(x) = \dfrac{x^2 + 6x + 9}{x^2 - 3x}$

Zadanie 4

Zbadaj, czy funkcje $f$ i $g$ są równe, jeśli:

a) $f(x) = \dfrac{0,25}{\sqrt{x}}$ oraz $g(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{4x}$

b) $f(x) = (3 + 2\sqrt{2})x$ oraz $g(x) = \dfrac{x}{3 - 2\sqrt{2}}$

c) $f(x) = \dfrac{(\sqrt{x})^2}{2}$ oraz $g(x) = \dfrac{x}{2}$

d) $f(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 1}$ oraz $g(x) = (\sqrt{x - 1})^2$

3.6 Funkcje równe

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋