Funkcje parzyste i nieparzyste kartkówka LiczBit

3.9 Funkcje parzyste i nieparzyste

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Poniżej przedstawione są wykresy pewnych funkcji. Odczytaj z wykresu dziedzinę każdej funkcji. Wskaż funkcje parzyste, nieparzyste, parzyste i nieparzyste jednocześnie oraz te, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste. Które z tych funkcji są różnowartościowe?

Wskazówki:

Dziedzina z wykresu: Wyznaczamy rzutując wszystkie punkty wykresu na oś $OX$. Zwracaj szczególną uwagę na zamalowane kropki (przedziały domknięte) oraz puste kółka (przedziały otwarte).
Funkcja parzysta: Wykres wykazuje symetrię osiową względem osi $OY$. Dziedzina musi być symetryczna względem $0$ oraz dla każdego argumentu zachodzi $f(-x) = f(x)$.
Funkcja nieparzysta: Wykres wykazuje symetrię środkową względem początku układu współrzędnych $(0,0)$. Dziedzina musi być symetryczna względem $0$ oraz dla każdego argumentu zachodzi $f(-x) = -f(x)$.
Funkcja parzysta i nieparzysta jednocześnie: Warunki $f(-x) = f(x)$ oraz $f(-x) = -f(x)$ oznaczają, że $f(x) = -f(x)$, czyli $f(x) = 0$ dla każdego argumentu z symetrycznej dziedziny (wykres leży bezpośrednio na osi $OX$).
Funkcja różnowartościowa: Każda prosta pozioma równoległa do osi $OX$ przecina wykres w co najwyżej jednym punkcie. Jeśli istnieje prosta pozioma przecinająca wykres w dwóch lub więcej punktach, funkcja nie jest różnowartościowa.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Analiza funkcji $y = f(x)$:
• Dziedzina: Rzut wykresu na oś $OX$ zaczyna się w $x = -3$ (punkt zamalowany) i kończy w $x = 3$ (punkt zamalowany), zatem: $$D_f = \langle -3, 3 \rangle$$ • Parzystość: Dziedzina jest symetryczna względem zera. Wykres jest symetryczny względem osi $OY$ – dla każdego argumentu zachodzi równość $f(-x) = f(x)$ (np. $f(-1) = f(1) = 3$, $f(-3) = f(3) = 0$). Funkcja jest parzysta (nie jest nieparzysta).
• Różnowartościowość: Prosta pozioma $y = 3$ przecina wykres w dwóch punktach $x = -1$ oraz $x = 1$. Zatem funkcja nie jest różnowartościowa.
Podpunkt b) Analiza funkcji $y = g(x)$:
• Dziedzina: Wykres rozciąga się od $x = -3$ do $x = 3$, przy czym oba punkty krańcowe to puste kółka, zatem: $$D_g = (-3, 3)$$ • Parzystość: Dziedzina jest symetryczna względem zera. Wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych $(0,0)$. Obrót wykresu o $180^\circ$ wokół punktu $(0,0)$ nakłada go na siebie, czyli $g(-x) = -g(x)$. Funkcja jest nieparzysta (nie jest parzysta).
• Różnowartościowość: Funkcja jest ściśle rosnąca na całej dziedzinie. Każda prosta pozioma przecina wykres w co najwyżej jednym punkcie, więc funkcja jest różnowartościowa.
Podpunkt c) Analiza funkcji $y = h(x)$:
• Dziedzina: Pogrubiony odcinek leży na osi $OX$ od $x = -3$ do $x = 3$ z zamalowanymi końcami, zatem: $$D_h = \langle -3, 3 \rangle$$ • Parzystość: Dla każdego $x \in \langle -3, 3 \rangle$ wartość funkcji wynosi $h(x) = 0$. Sprawdzamy oba warunki symetrii: $$\begin{aligned} h(-x) &= 0 = h(x) \quad \text{(warunek parzystości)} \\[8pt] h(-x) &= 0 = -0 = -h(x) \quad \text{(warunek nieparzystości)} \end{aligned}$$ Funkcja jest parzysta i nieparzysta jednocześnie.
• Różnowartościowość: Dla nieskończenie wielu różnych argumentów funkcja przyjmuje tę samą wartość $0$ (prosta pozioma $y = 0$ pokrywa się z wykresem). Funkcja nie jest różnowartościowa.
Podpunkt d) Analiza funkcji $y = r(x)$:
• Dziedzina: Wykres składa się z odcinka na poziomie $y = -1$ dla $x \in (-3, 1\rangle$ oraz pojedynczego punktu $(2, 2)$. Zatem: $$D_r = (-3, 1\rangle \cup \{2\}$$ • Parzystość: Dziedzina nie jest symetryczna względem zera (np. liczba $2 \in D_r$, ale $-2 \notin D_r$, liczba $-3 \notin D_r$, ale $3 \notin D_r$). Funkcja jest ani parzysta, ani nieparzysta.
• Różnowartościowość: Na przedziale $(-3, 1\rangle$ funkcja jest stała i przyjmuje wartość $-1$. Funkcja nie jest różnowartościowa.
Podpunkt e) Analiza funkcji $y = p(x)$:
• Dziedzina: Parabola rozciąga się w nieskończoność wzdłuż osi $OX$, zatem: $$D_p = \mathbb{R}$$ • Parzystość: Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie $W = (1, -3)$, a osią symetrii wykresu jest pionowa prosta $x = 1$ (a nie oś $OY$, czyli prosta $x = 0$). Wykres nie posiada symetrii względem osi $OY$ ani punktu $(0,0)$. Funkcja jest ani parzysta, ani nieparzysta.
• Różnowartościowość: Prosta pozioma (np. $y = 0$) przecina parabolę w dwóch miejscach zerowych $x = -1$ oraz $x = 3$. Funkcja nie jest różnowartościowa.
Podpunkt f) Analiza funkcji $y = t(x)$:
• Dziedzina: Wykres składa się z 6 odrębnych punktów, zatem odczytujemy ich odcięte: $$D_t = \{-3, -2, -1, 1, 2, 3\}$$ • Parzystość: Dziedzina jest symetryczna względem zera. Porównujemy wartości w punktach przeciwnych: $$\begin{aligned} t(-3) &= 2 = -(-2) = -t(3) \\[8pt] t(-2) &= 1 = -(-1) = -t(2) \\[8pt] t(-1) &= 3 = -(-3) = -t(1) \end{aligned}$$ Zachodzi warunek $t(-x) = -t(x)$, a punkty są symetryczne względem początku układu $(0,0)$. Funkcja jest nieparzysta (nie jest parzysta).
• Różnowartościowość: Zbiór wartości funkcji to $W_t = \{-3, -2, -1, 1, 2, 3\}$. Każda wartość jest przyjmowana dokładnie jeden raz, więc funkcja jest różnowartościowa.
Podpunkt g) Analiza funkcji $y = s(x)$:
• Dziedzina: Odcinek prostej łączy punkty $(-4, 2)$ i $(4, -2)$ włącznie z końcami, więc: $$D_s = \langle -4, 4 \rangle$$ • Parzystość: Dziedzina jest symetryczna względem zera. Prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych $(0,0)$. Dla każdego argumentu zachodzi $s(-x) = -s(x)$. Funkcja jest nieparzysta (nie jest parzysta).
• Różnowartościowość: Funkcja liniowa o ujemnym współczynniku kierunkowym jest ściśle malejąca. Każda prosta pozioma przecina wykres maksymalnie w jednym punkcie, więc funkcja jest różnowartościowa.
Podpunkt h) Analiza funkcji $y = k(x)$:
• Dziedzina: Ciągła łamana rozciąga się od $x = -4$ do $x = 4$ z obustronnie domkniętymi końcami, zatem: $$D_k = \langle -4, 4 \rangle$$ • Parzystość: Dziedzina jest symetryczna względem zera. Odbicie lewej strony wykresu względem osi $OY$ pokrywa się dokładnie z prawą stroną ($k(-x) = k(x)$). Funkcja jest parzysta (nie jest nieparzysta).
• Różnowartościowość: Prosta pozioma $y = 1$ przecina wykres w nieskończenie wielu punktach (zawiera poziome odcinki dla $x \in \langle -4, -2 \rangle$ i $x \in \langle 2, 4 \rangle$). Funkcja nie jest różnowartościowa.
Podpunkt i) Analiza funkcji $y = l(x)$:
• Dziedzina: Wykres składa się z dwóch symetrycznych gałęzi: $$D_l = (-4, -1\rangle \cup \langle 1, 4)$$ • Parzystość: Dziedzina jest symetryczna względem zera. Każdemu punktowi $(x, y)$ z lewej części wykresu odpowiada punkt $(-x, -y)$ z prawej części (np. punkt $(-2, 2)$ przechodzi w punkt $(2, -2)$, a punkt $(-1, 0)$ w punkt $(1, 0)$). Zachodzi $l(-x) = -l(x)$. Funkcja jest nieparzysta (nie jest parzysta).
• Różnowartościowość: Dla $x \in (-4, -2\rangle$ funkcja stale przyjmuje wartość $2$. Prosta pozioma $y = 2$ przecina wykres w nieskończenie wielu punktach, więc funkcja nie jest różnowartościowa.

Odpowiedź:
a) $D_f = \langle -3, 3 \rangle$; funkcja parzysta; nie jest różnowartościowa

b) $D_g = (-3, 3)$; funkcja nieparzysta; funkcja różnowartościowa

c) $D_h = \langle -3, 3 \rangle$; funkcja parzysta i nieparzysta jednocześnie; nie jest różnowartościowa

d) $D_r = (-3, 1\rangle \cup \{2\}$; funkcja ani parzysta, ani nieparzysta; nie jest różnowartościowa

e) $D_p = \mathbb{R}$; funkcja ani parzysta, ani nieparzysta; nie jest różnowartościowa

f) $D_t = \{-3, -2, -1, 1, 2, 3\}$; funkcja nieparzysta; funkcja różnowartościowa

g) $D_s = \langle -4, 4 \rangle$; funkcja nieparzysta; funkcja różnowartościowa

h) $D_k = \langle -4, 4 \rangle$; funkcja parzysta; nie jest różnowartościowa

i) $D_l = (-4, -1\rangle \cup \langle 1, 4)$; funkcja nieparzysta; nie jest różnowartościowa

Podsumowanie klasyfikacji:
• Funkcje parzyste: $f$, $h$, $k$
• Funkcje nieparzyste: $g$, $h$, $t$, $s$, $l$
• Funkcje parzyste i nieparzyste jednocześnie: $h$
• Funkcje ani parzyste, ani nieparzyste: $r$, $p$
• Funkcje różnowartościowe: $g$, $t$, $s$

Zadanie 2

Rysunek obok przedstawia fragment wykresu pewnej funkcji parzystej $y = f(x)$, której dziedziną jest przedział $\langle -5, 5 \rangle$. Dorysuj brakujący fragment wykresu funkcji, a następnie podaj:
a) miejsca zerowe funkcji $f$
b) przedziały monotoniczności funkcji $f$
c) zbiór wartości funkcji $f$.

Wskazówki:

Funkcja $f$ jest parzysta w dziedzinie symetrycznej względem zera, co oznacza, że dla każdego $x \in D$ spełniony jest warunek $f(-x) = f(x)$.
Geometrycznie wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi rzędnych ($OY$). Każdy punkt $(x, y)$ ma swój lustrzany odpowiednik $(-x, y)$.
Miejsca zerowe odczytujemy jako punkty przecięcia wykresu z osią $OX$ ($y = 0$). Z parzystości wynika, że jeśli $x_0$ jest miejscem zerowym, to $-x_0$ również.
Zbiór wartości wyznaczamy, odczytując najmniejszą i największą wartość na osi $OY$ osiąganą przez funkcję w całej dziedzinie.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza symetrii względem osi OY:
Z treści zadania wiemy, że funkcja $f$ jest określona na symetrycznym przedziale $\langle -5, 5 \rangle$ i jest parzysta. Z własności parzystości wynika: $$f(-x) = f(x)$$ Oznacza to, że oś $OY$ jest osią symetrii wykresu. Odczytujemy współrzędne charakterystycznych punktów załamania z podanego fragmentu dla $x \in \langle -5, 0 \rangle$: $$\begin{aligned} A &= (-5, 3) \\[8pt] B &= (-3, -3) \\[8pt] C &= (-1, 3) \\[8pt] D &= (0, 1) \end{aligned}$$
Wyznaczenie symetrycznych punktów i sporządzenie pełnego wykresu:
Odbijamy punkty symetrycznie względem osi $OY$ zamieniając znak pierwszej współrzędnej: $$\begin{aligned} C' &= (1, 3) \\[8pt] B' &= (3, -3) \\[8pt] A' &= (5, 3) \end{aligned}$$ Punkt $D = (0, 1)$ leży na osi symetrii, więc jest punktem stałym odbicia. Łączymy kolejno punkty $D \to C' \to B' \to A'$ prostymi odcinkami, uzyskując pełny wykres w przedziale $\langle -5, 5 \rangle$.
Podpunkt a) Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji $f$:
Miejsca zerowe to argumenty $x$, dla których zachodzi równość: $$f(x) = 0$$ Z rysunku dla $x \in \langle -5, 0 \rangle$ odczytujemy przecięcia odcinków z osią $OX$: $$x = -4 \quad \text{oraz} \quad x = -2$$ Na mocy parzystości funkcji $f(x) = f(-x)$, miejsca zerowe po prawej stronie osi $OY$ są liczbami przeciwnymi: $$x = 2 \quad \text{oraz} \quad x = 4$$ Funkcja $f$ posiada łącznie cztery miejsca zerowe: $$x \in \{-4, -2, 2, 4\}$$
Podpunkt b) Wyznaczenie przedziałów monotoniczności funkcji $f$:
Analizujemy kierunek przebiegu wykresu od lewej do prawej na całej dziedzinie $\langle -5, 5 \rangle$:
- Wykres opada na przedziałach: $\langle -5, -3 \rangle$, $\langle -1, 0 \rangle$ oraz $\langle 1, 3 \rangle$.
- Wykres wznosi się na przedziałach: $\langle -3, -1 \rangle$, $\langle 0, 1 \rangle$ oraz $\langle 3, 5 \rangle$.
Zatem: $$\begin{aligned} f \searrow \quad &\text{dla } x \in \langle -5, -3 \rangle, \quad x \in \langle -1, 0 \rangle, \quad x \in \langle 1, 3 \rangle \\[8pt] f \nearrow \quad &\text{dla } x \in \langle -3, -1 \rangle, \quad x \in \langle 0, 1 \rangle, \quad x \in \langle 3, 5 \rangle \end{aligned}$$
Podpunkt c) Wyznaczenie zbioru wartości funkcji $f$:
Zbiór wartości $ZW$ to zbiór wszystkich wartości $y$ przyjmowanych przez funkcję w jej dziedzinie: $$\begin{aligned} y_{\min} &= -3 \quad (\text{dla } x = -3 \text{ oraz } x = 3) \\[8pt] y_{\max} &= 3 \quad (\text{dla } x = -5, \, x = -1, \, x = 1, \, x = 5) \end{aligned}$$ Ponieważ wykres jest sumą odcinków ciągłych, funkcja przyjmuje każdą wartość pośrednią pomiędzy $-3$ a $3$: $$ZW = \langle -3, 3 \rangle$$

Odpowiedź:
a) $x \in \{-4, -2, 2, 4\}$

b) funkcja rosnąca w przedziałach: $\langle -3, -1 \rangle$, $\langle 0, 1 \rangle$, $\langle 3, 5 \rangle$; funkcja malejąca w przedziałach: $\langle -5, -3 \rangle$, $\langle -1, 0 \rangle$, $\langle 1, 3 \rangle$

c) $ZW = \langle -3, 3 \rangle$

Zadanie 3

Rysunek obok przedstawia fragment wykresu pewnej funkcji parzystej $y = f(x)$, której dziedziną jest zbiór $(-5, -1) \cup (1, 5) \cup \{0\}$. Dorysuj brakujący fragment wykresu funkcji, a następnie podaj:
a) najmniejszą wartość funkcji $f$ i dla jakich argumentów jest ona przyjmowana,
b) zbiór tych wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne,
c) wartość sumy miejsc zerowych funkcji $f$.

Wskazówki:

Funkcja jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy jej dziedzina jest symetryczna względem zera oraz dla każdego argumentu spełniony jest warunek $f(-x) = f(x)$. Geometrycznie oznacza to symetrię osiową wykresu względem osi $OY$.
Punkty charakterystyczne wykresu (wierzchołki, końce przedziałów, miejsca zerowe) odbijamy symetrycznie względem osi pionowej: punkt $(x, y)$ przechodzi w punkt $(-x, y)$.
Pamiętaj o uwzględnieniu wartości w punkcie izolowanym $x = 0$ przy wyznaczaniu zbioru argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne.

Rozwiązanie krok po kroku:

Dorysowanie brakującego fragmentu wykresu z wykorzystaniem symetrii osiowej:
Wykres każdej funkcji parzystej wykazuje symetrię osiową względem osi $OY$. Aby sporządzić brakujący fragment wykresu dla argumentów ujemnych $x \in (-5, -1)$, wyznaczamy obrazy punktów z przedziału $(1, 5)$ w symetrii względem osi $OY$: - punkt otwarty $(1, 2)$ przechodzi w punkt otwarty $(-1, 2)$,
- miejsce zerowe $(2, 0)$ przechodzi w punkt $(-2, 0)$,
- wierzchołek $(3, -2)$ przechodzi w punkt $(-3, -2)$,
- miejsce zerowe $(4, 0)$ przechodzi w punkt $(-4, 0)$,
- punkt otwarty $(5, 2)$ przechodzi w punkt otwarty $(-5, 2)$.
Punkt $(0, -1)$ leży bezpośrednio na osi symetrii $OY$, więc pozostaje na swoim miejscu. Łącząc wyznaczone punkty odcinkami, otrzymujemy pełny wykres funkcji $y = f(x)$.
Podpunkt a) Wyznaczenie najmniejszej wartości funkcji $f$ i odpowiednich argumentów:
Analizujemy rzędne wszystkich punktów należących do wykresu funkcji: - na przedziale $(1, 5)$ najniższy punkt to $(3, -2)$, w którym wartość wynosi $-2$,
- na przedziale $(-5, -1)$ najniższy punkt to $(-3, -2)$, w którym wartość wynosi $-2$,
- dla punktu izolowanego mamy $f(0) = -1 > -2$.
Najmniejszą wartością funkcji w całej dziedzinie jest zatem $y_{\min} = -2$, a przyjmowana jest ona dla dwóch argumentów: $$x = -3 \quad \text{oraz} \quad x = 3$$
Podpunkt b) Wyznaczenie zbioru argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne:
Wartości ujemne funkcji ($f(x) < 0$) odpowiadają fragmentom wykresu położonym ściśle poniżej osi $OX$: - dla $x > 0$ wykres znajduje się pod osią dla $x \in (2, 4)$,
- dla $x < 0$ wykres znajduje się pod osią dla $x \in (-4, -2)$,
- dla $x = 0$ wartość wynosi $f(0) = -1 < 0$, więc punkt $0$ również spełnia warunek ujemności.
Sumując wszystkie uzyskane zbiory argumentów, otrzymujemy: $$x \in (-4, -2) \cup \{0\} \cup (2, 4)$$
Podpunkt c) Obliczenie wartości sumy miejsc zerowych funkcji $f$:
Miejscami zerowymi są argumenty, dla których wykres przecina oś $OX$ ($f(x) = 0$). Odczytujemy je z rysunku: $$x_1 = -4, \quad x_2 = -2, \quad x_3 = 2, \quad x_4 = 4$$ Obliczamy sumę wyznaczonych miejsc zerowych: $$\begin{aligned} S &= x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \\[8pt] &= (-4) + (-2) + 2 + 4 \\[8pt] &= 0 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) Najmniejsza wartość funkcji wynosi $-2$, przyjmowana dla $x = -3$ oraz $x = 3$.

b) $x \in (-4, -2) \cup \{0\} \cup (2, 4)$

c) Suma miejsc zerowych wynosi $0$.

Zadanie 4

Wykaż na podstawie definicji, że funkcja $f$ określona poniższym wzorem jest parzysta:

a) $f(x) = \dfrac{1}{4}x^2 + 5$

b) $f(x) = 2x^4 - 5x^2 + 3$

c) $f(x) = \dfrac{4x^2}{x^2 + 5}$

d) $f(x) = \dfrac{-5}{x^2}$

e) $f(x) = \dfrac{x^4 + 7}{(4 - x)(4 + x)}$

f) $f(x) = \dfrac{x^6}{(x + 5)(5 - x)}$

Wskazówki:

Z definicji funkcja $f$ o dziedzinie $D$ jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia dwa warunki:
1. Dziedzina $D$ jest symetryczna względem zera, tzn. dla każdego $x \in D$ liczba przeciwna $-x$ również należy do $D$.
2. Dla każdego $x \in D$ zachodzi równość $f(-x) = f(x)$.
Pamiętaj o własności potęg o wykładniku parzystym: $(-x)^2 = x^2$, $(-x)^4 = x^4$ oraz ogólnie $(-x)^{2k} = x^{2k}$ dla każdego $k \in \mathbb{N}$.
W iloczynach postaci $(a - x)(a + x)$ po podstawieniu $-x$ otrzymujemy $(a + x)(a - x)$, co ze względu na przemienność mnożenia jest równe wyrażeniu wyjściowemu.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wykazujemy parzystość funkcji $f(x) = \dfrac{1}{4}x^2 + 5$:
Wyznaczamy dziedzinę funkcji. Ponieważ wzór jest wielomianem, nie ma żadnych ograniczeń rachunkowych: $$D = \mathbb{R}$$ Warunek symetrii dziedziny jest spełniony, ponieważ dla dowolnej liczby $x \in \mathbb{R}$ liczba przeciwna $-x$ także należy do $\mathbb{R}$.
Obliczamy wartość funkcji dla argumentu $-x$, korzystając z tożsamości $(-x)^2 = x^2$: $$ \begin{aligned} f(-x) &= \dfrac{1}{4}(-x)^2 + 5 \\[8pt] &= \dfrac{1}{4}x^2 + 5 \\[8pt] &= f(x) \end{aligned} $$ Oba warunki definicji są spełnione dla każdego $x \in \mathbb{R}$, co dowodzi, że funkcja jest parzysta.
Podpunkt b) Wykazujemy parzystość funkcji $f(x) = 2x^4 - 5x^2 + 3$:
Funkcja jest wielomianem stopnia czwartego, zatem jej dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych: $$D = \mathbb{R}$$ Dla każdego $x \in D$ zachodzi $-x \in D$, więc dziedzina jest symetryczna względem zera.
Wstawiamy $-x$ w miejsce każdego $x$ we wzorze funkcji: $$ \begin{aligned} f(-x) &= 2(-x)^4 - 5(-x)^2 + 3 \\[8pt] &= 2x^4 - 5x^2 + 3 \\[8pt] &= f(x) \end{aligned} $$ Dla każdego $x \in \mathbb{R}$ zachodzi tożsamość $f(-x) = f(x)$, co oznacza, że funkcja jest parzysta.
Podpunkt c) Wykazujemy parzystość funkcji $f(x) = \dfrac{4x^2}{x^2 + 5}$:
Wyznaczamy dziedzinę funkcji z warunku niezerowości mianownika. Ponieważ dla każdego $x \in \mathbb{R}$ mamy $x^2 \ge 0$, zachodzi nierówność: $$x^2 + 5 \ge 5 > 0$$ Mianownik nigdy nie przyjmuje wartości zero, stąd dziedziną jest: $$D = \mathbb{R}$$ Warunek symetrii dziedziny względem zera jest spełniony. Badamy wartość $f(-x)$: $$ \begin{aligned} f(-x) &= \dfrac{4(-x)^2}{(-x)^2 + 5} \\[8pt] &= \dfrac{4x^2}{x^2 + 5} \\[8pt] &= f(x) \end{aligned} $$ Dla każdego $x \in D$ zachodzi $f(-x) = f(x)$, zatem funkcja jest parzysta.
Podpunkt d) Wykazujemy parzystość funkcji $f(x) = \dfrac{-5}{x^2}$:
Mianownik ułamka musi być różny od zera: $$x^2 \neq 0 \iff x \neq 0$$ Dziedzina wynosi zatem: $$D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$$ Zauważmy, że jeśli $x \neq 0$, to również $-x \neq 0$. Zbiór $D$ jest więc symetryczny względem początku osi liczbowej.
Obliczamy wartość $f(-x)$: $$ \begin{aligned} f(-x) &= \dfrac{-5}{(-x)^2} \\[8pt] &= \dfrac{-5}{x^2} \\[8pt] &= f(x) \end{aligned} $$ Ponieważ dla każdego $x \in D$ spełniony jest warunek $f(-x) = f(x)$, funkcja jest parzysta.
Podpunkt e) Wykazujemy parzystość funkcji $f(x) = \dfrac{x^4 + 7}{(4 - x)(4 + x)}$:
Mianownik nie może być równy zero: $$(4 - x)(4 + x) \neq 0 \iff 4 - x \neq 0 \quad \text{oraz} \quad 4 + x \neq 0$$ $$x \neq 4 \quad \text{oraz} \quad x \neq -4$$ $$D = \mathbb{R} \setminus \{-4, 4\}$$ Ze zbioru liczb rzeczywistych usunięto parę liczb przeciwnych $-4$ oraz $4$, stąd dziedzina jest symetryczna względem zera: jeśli $x \in D$, to $-x \in D$.
Obliczamy $f(-x)$: $$ \begin{aligned} f(-x) &= \dfrac{(-x)^4 + 7}{[4 - (-x)][4 + (-x)]} \\[8pt] &= \dfrac{x^4 + 7}{(4 + x)(4 - x)} \\[8pt] &= \dfrac{x^4 + 7}{(4 - x)(4 + x)} \\[8pt] &= f(x) \end{aligned} $$ Dla każdego $x \in D$ spełniony jest warunek $f(-x) = f(x)$, co dowodzi parzystości funkcji.
Podpunkt f) Wykazujemy parzystość funkcji $f(x) = \dfrac{x^6}{(x + 5)(5 - x)}$:
Wyznaczamy dziedzinę z warunku niezerowości mianownika: $$(x + 5)(5 - x) \neq 0 \iff x \neq -5 \quad \text{oraz} \quad x \neq 5$$ $$D = \mathbb{R} \setminus \{-5, 5\}$$ Dziedzina jest symetryczna względem zera. Obliczamy $f(-x)$: $$ \begin{aligned} f(-x) &= \dfrac{(-x)^6}{(-x + 5)[5 - (-x)]} \\[8pt] &= \dfrac{x^6}{(5 - x)(5 + x)} \\[8pt] &= \dfrac{x^6}{(x + 5)(5 - x)} \\[8pt] &= f(x) \end{aligned} $$ Dla każdego $x \in D$ zachodzi równość $f(-x) = f(x)$, więc funkcja jest parzysta.

Odpowiedź:
a) Wykazano: $D = \mathbb{R}$ oraz $f(-x) = f(x)$, funkcja jest parzysta.

b) Wykazano: $D = \mathbb{R}$ oraz $f(-x) = f(x)$, funkcja jest parzysta.

c) Wykazano: $D = \mathbb{R}$ oraz $f(-x) = f(x)$, funkcja jest parzysta.

d) Wykazano: $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ oraz $f(-x) = f(x)$, funkcja jest parzysta.

e) Wykazano: $D = \mathbb{R} \setminus \{-4, 4\}$ oraz $f(-x) = f(x)$, funkcja jest parzysta.

f) Wykazano: $D = \mathbb{R} \setminus \{-5, 5\}$ oraz $f(-x) = f(x)$, funkcja jest parzysta.

Zadanie 5

Zbadaj parzystość funkcji określonej wzorem:

a) $f(x) = 3x - 5$

b) $f(x) = \dfrac{7x^2 - 4}{5}$

c) $f(x) = \dfrac{5x}{x^2 + 7}$

d) $f(x) = \dfrac{2x^2 + 3}{5x^4}$

e) $f(x) = \dfrac{4x}{(x + 3)(x - 3)}$

f) $f(x) = \dfrac{x^3 - 8}{x^2 + 1}$

Wskazówki:

Krok 1 to zawsze wyznaczenie dziedziny $D$. Warunkiem koniecznym parzystości lub nieparzystości jest symetria dziedziny względem zera, czyli: dla każdego $x \in D$ liczba przeciwna $-x$ również musi należeć do $D$.
Funkcja jest parzysta, gdy dla każdego $x \in D$ spełniony jest warunek $f(-x) = f(x)$. Wykres funkcji parzystej ma oś symetrii $OY$.
Funkcja jest nieparzysta, gdy dla każdego $x \in D$ spełniony jest warunek $f(-x) = -f(x)$. Wykres funkcji nieparzystej ma środek symetrii w punkcie $(0, 0)$.
Pamiętaj o własnościach potęg: $(-x)^2 = x^2$, $(-x)^4 = x^4$, natomiast $(-x)^3 = -x^3$, $(-x)^5 = -x^5$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Badamy parzystość funkcji $f(x) = 3x - 5$:
Dziedziną funkcji liniowej jest cały zbiór liczb rzeczywistych: $$D = \mathbb{R}$$ Dziedzina jest symetryczna względem zera, ponieważ dla dowolnego $x \in \mathbb{R}$ także $-x \in \mathbb{R}$.
Wyznaczamy wzór na $f(-x)$, wstawiając $-x$ w miejsce każdego $x$: $$f(-x) = 3(-x) - 5 = -3x - 5$$ Wyznaczamy wzór na $-f(x)$: $$-f(x) = -(3x - 5) = -3x + 5$$ Porównujemy otrzymane wyrażenia: $$f(-x) = -3x - 5 \neq 3x - 5 = f(x)$$ $$f(-x) = -3x - 5 \neq -3x + 5 = -f(x)$$ Sprawdzenie liczbowe dla $x = 1$: $f(1) = 3 \cdot 1 - 5 = -2$, natomiast $f(-1) = 3(-1) - 5 = -8$. Ponieważ $f(-1) \neq f(1)$ oraz $f(-1) \neq -f(1)$, funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
Podpunkt b) Badamy parzystość funkcji $f(x) = \dfrac{7x^2 - 4}{5}$:
W mianowniku znajduje się stała różna od zera, więc dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych: $$D = \mathbb{R}$$ Dziedzina jest symetryczna względem zera. Obliczamy $f(-x)$, korzystając z faktu, że $(-x)^2 = x^2$: $$ \begin{aligned} f(-x) &= \dfrac{7(-x)^2 - 4}{5} \\[8pt] &= \dfrac{7x^2 - 4}{5} \\[8pt] &= f(x) \end{aligned} $$ Dla każdego $x \in \mathbb{R}$ zachodzi tożsamość $f(-x) = f(x)$, co oznacza, że funkcja jest parzysta.
Podpunkt c) Badamy parzystość funkcji $f(x) = \dfrac{5x}{x^2 + 7}$:
Sprawdzamy mianownik: dla każdej liczby rzeczywistej $x^2 \ge 0$, zatem $x^2 + 7 \ge 7 > 0$. Mianownik nigdy nie przyjmuje wartości zero, stąd: $$D = \mathbb{R}$$ Dziedzina jest symetryczna względem zera. Obliczamy $f(-x)$: $$ \begin{aligned} f(-x) &= \dfrac{5(-x)}{(-x)^2 + 7} \\[8pt] &= \dfrac{-5x}{x^2 + 7} \\[8pt] &= -\dfrac{5x}{x^2 + 7} \\[8pt] &= -f(x) \end{aligned} $$ Dla każdego $x \in \mathbb{R}$ zachodzi tożsamość $f(-x) = -f(x)$, zatem funkcja jest nieparzysta.
Podpunkt d) Badamy parzystość funkcji $f(x) = \dfrac{2x^2 + 3}{5x^4}$:
Wyznaczamy dziedzinę z warunku niezerowości mianownika: $$5x^4 \neq 0 \iff x \neq 0$$ $$D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$$ Dziedzina bez zera jest symetryczna względem punktu $0$ (jeśli $x \neq 0$, to również $-x \neq 0$). Obliczamy $f(-x)$: $$ \begin{aligned} f(-x) &= \dfrac{2(-x)^2 + 3}{5(-x)^4} \\[8pt] &= \dfrac{2x^2 + 3}{5x^4} \\[8pt] &= f(x) \end{aligned} $$ Ponieważ dla każdego $x \in D$ spełniony jest warunek $f(-x) = f(x)$, funkcja jest parzysta.
Podpunkt e) Badamy parzystość funkcji $f(x) = \dfrac{4x}{(x + 3)(x - 3)}$:
Mianownik nie może być równy zero: $$(x + 3)(x - 3) \neq 0 \iff x \neq -3 \quad \text{oraz} \quad x \neq 3$$ $$D = \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}$$ Dziedzina jest symetryczna względem zera, gdyż usunięto z niej parę liczb przeciwnych: $-3$ oraz $3$. Obliczamy $f(-x)$: $$ \begin{aligned} f(-x) &= \dfrac{4(-x)}{(-x + 3)(-x - 3)} \\[8pt] &= \dfrac{-4x}{-(x - 3) \cdot [-(x + 3)]} \\[8pt] &= \dfrac{-4x}{(x - 3)(x + 3)} \\[8pt] &= -\dfrac{4x}{(x + 3)(x - 3)} \\[8pt] &= -f(x) \end{aligned} $$ Dla każdego $x \in D$ zachodzi warunek $f(-x) = -f(x)$, więc funkcja jest nieparzysta.
Podpunkt f) Badamy parzystość funkcji $f(x) = \dfrac{x^3 - 8}{x^2 + 1}$:
Mianownik $x^2 + 1 \ge 1 > 0$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$, zatem: $$D = \mathbb{R}$$ Dziedzina jest symetryczna względem zera. Wyznaczamy $f(-x)$ oraz $-f(x)$: $$f(-x) = \dfrac{(-x)^3 - 8}{(-x)^2 + 1} = \dfrac{-x^3 - 8}{x^2 + 1}$$ $$-f(x) = -\dfrac{x^3 - 8}{x^2 + 1} = \dfrac{-x^3 + 8}{x^2 + 1}$$ Porównujemy otrzymane wyrażenia: $$f(-x) \neq f(x) \quad \text{oraz} \quad f(-x) \neq -f(x)$$ Sprawdzenie liczbowe dla $x = 1$: $$f(1) = \dfrac{1^3 - 8}{1^2 + 1} = \dfrac{-7}{2} = -3{,}5$$ $$f(-1) = \dfrac{(-1)^3 - 8}{(-1)^2 + 1} = \dfrac{-1 - 8}{1 + 1} = \dfrac{-9}{2} = -4{,}5$$ Widzimy, że $f(-1) \neq f(1)$ oraz $f(-1) \neq -f(1)$, a więc funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

Odpowiedź:
a) Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

b) Funkcja jest parzysta.

c) Funkcja jest nieparzysta.

d) Funkcja jest parzysta.

e) Funkcja jest nieparzysta.

f) Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

Grupa B

Zadanie 1

Wskazówki:

Dziedzina z wykresu: Wyznaczamy rzutując wszystkie punkty wykresu na oś $OX$. Zwracaj szczególną uwagę na zamalowane kropki (przedziały domknięte) oraz puste kółka (przedziały otwarte).
Funkcja parzysta: Wykres wykazuje symetrię osiową względem osi $OY$. Dziedzina musi być symetryczna względem $0$ oraz dla każdego argumentu zachodzi $f(-x) = f(x)$.
Funkcja nieparzysta: Wykres wykazuje symetrię środkową względem początku układu współrzędnych $(0,0)$. Dziedzina musi być symetryczna względem $0$ oraz dla każdego argumentu zachodzi $f(-x) = -f(x)$.
Funkcja parzysta i nieparzysta jednocześnie: Warunki $f(-x) = f(x)$ oraz $f(-x) = -f(x)$ oznaczają, że $f(x) = -f(x)$, czyli $f(x) = 0$ dla każdego argumentu z symetrycznej dziedziny (wykres leży bezpośrednio na osi $OX$).
Funkcja różnowartościowa: Każda prosta pozioma równoległa do osi $OX$ przecina wykres w co najwyżej jednym punkcie. Jeśli istnieje prosta pozioma przecinająca wykres w dwóch lub więcej punktach, funkcja nie jest różnowartościowa.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Analiza funkcji $y = f(x)$:
• Dziedzina: Rzut wykresu na oś $OX$ zaczyna się w $x = -3$ (punkt zamalowany) i kończy w $x = 3$ (punkt zamalowany), zatem: $$D_f = \langle -3, 3 \rangle$$ • Parzystość: Dziedzina jest symetryczna względem zera. Wykres jest symetryczny względem osi $OY$ – dla każdego argumentu zachodzi równość $f(-x) = f(x)$ (np. $f(-1) = f(1) = 3$, $f(-3) = f(3) = 0$). Funkcja jest parzysta (nie jest nieparzysta).
• Różnowartościowość: Prosta pozioma $y = 3$ przecina wykres w dwóch punktach $x = -1$ oraz $x = 1$. Zatem funkcja nie jest różnowartościowa.
Podpunkt b) Analiza funkcji $y = g(x)$:
• Dziedzina: Wykres rozciąga się od $x = -3$ do $x = 3$, przy czym oba punkty krańcowe to puste kółka, zatem: $$D_g = (-3, 3)$$ • Parzystość: Dziedzina jest symetryczna względem zera. Wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych $(0,0)$. Obrót wykresu o $180^\circ$ wokół punktu $(0,0)$ nakłada go na siebie, czyli $g(-x) = -g(x)$. Funkcja jest nieparzysta (nie jest parzysta).
• Różnowartościowość: Funkcja jest ściśle rosnąca na całej dziedzinie. Każda prosta pozioma przecina wykres w co najwyżej jednym punkcie, więc funkcja jest różnowartościowa.
Podpunkt c) Analiza funkcji $y = h(x)$:
• Dziedzina: Pogrubiony odcinek leży na osi $OX$ od $x = -3$ do $x = 3$ z zamalowanymi końcami, zatem: $$D_h = \langle -3, 3 \rangle$$ • Parzystość: Dla każdego $x \in \langle -3, 3 \rangle$ wartość funkcji wynosi $h(x) = 0$. Sprawdzamy oba warunki symetrii: $$\begin{aligned} h(-x) &= 0 = h(x) \quad \text{(warunek parzystości)} \\[8pt] h(-x) &= 0 = -0 = -h(x) \quad \text{(warunek nieparzystości)} \end{aligned}$$ Funkcja jest parzysta i nieparzysta jednocześnie.
• Różnowartościowość: Dla nieskończenie wielu różnych argumentów funkcja przyjmuje tę samą wartość $0$ (prosta pozioma $y = 0$ pokrywa się z wykresem). Funkcja nie jest różnowartościowa.
Podpunkt d) Analiza funkcji $y = r(x)$:
• Dziedzina: Wykres składa się z odcinka na poziomie $y = -1$ dla $x \in (-3, 1\rangle$ oraz pojedynczego punktu $(2, 2)$. Zatem: $$D_r = (-3, 1\rangle \cup \{2\}$$ • Parzystość: Dziedzina nie jest symetryczna względem zera (np. liczba $2 \in D_r$, ale $-2 \notin D_r$, liczba $-3 \notin D_r$, ale $3 \notin D_r$). Funkcja jest ani parzysta, ani nieparzysta.
• Różnowartościowość: Na przedziale $(-3, 1\rangle$ funkcja jest stała i przyjmuje wartość $-1$. Funkcja nie jest różnowartościowa.
Podpunkt e) Analiza funkcji $y = p(x)$:
• Dziedzina: Parabola rozciąga się w nieskończoność wzdłuż osi $OX$, zatem: $$D_p = \mathbb{R}$$ • Parzystość: Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie $W = (1, -3)$, a osią symetrii wykresu jest pionowa prosta $x = 1$ (a nie oś $OY$, czyli prosta $x = 0$). Wykres nie posiada symetrii względem osi $OY$ ani punktu $(0,0)$. Funkcja jest ani parzysta, ani nieparzysta.
• Różnowartościowość: Prosta pozioma (np. $y = 0$) przecina parabolę w dwóch miejscach zerowych $x = -1$ oraz $x = 3$. Funkcja nie jest różnowartościowa.
Podpunkt f) Analiza funkcji $y = t(x)$:
• Dziedzina: Wykres składa się z 6 odrębnych punktów, zatem odczytujemy ich odcięte: $$D_t = \{-3, -2, -1, 1, 2, 3\}$$ • Parzystość: Dziedzina jest symetryczna względem zera. Porównujemy wartości w punktach przeciwnych: $$\begin{aligned} t(-3) &= 2 = -(-2) = -t(3) \\[8pt] t(-2) &= 1 = -(-1) = -t(2) \\[8pt] t(-1) &= 3 = -(-3) = -t(1) \end{aligned}$$ Zachodzi warunek $t(-x) = -t(x)$, a punkty są symetryczne względem początku układu $(0,0)$. Funkcja jest nieparzysta (nie jest parzysta).
• Różnowartościowość: Zbiór wartości funkcji to $W_t = \{-3, -2, -1, 1, 2, 3\}$. Każda wartość jest przyjmowana dokładnie jeden raz, więc funkcja jest różnowartościowa.
Podpunkt g) Analiza funkcji $y = s(x)$:
• Dziedzina: Odcinek prostej łączy punkty $(-4, 2)$ i $(4, -2)$ włącznie z końcami, więc: $$D_s = \langle -4, 4 \rangle$$ • Parzystość: Dziedzina jest symetryczna względem zera. Prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych $(0,0)$. Dla każdego argumentu zachodzi $s(-x) = -s(x)$. Funkcja jest nieparzysta (nie jest parzysta).
• Różnowartościowość: Funkcja liniowa o ujemnym współczynniku kierunkowym jest ściśle malejąca. Każda prosta pozioma przecina wykres maksymalnie w jednym punkcie, więc funkcja jest różnowartościowa.
Podpunkt h) Analiza funkcji $y = k(x)$:
• Dziedzina: Ciągła łamana rozciąga się od $x = -4$ do $x = 4$ z obustronnie domkniętymi końcami, zatem: $$D_k = \langle -4, 4 \rangle$$ • Parzystość: Dziedzina jest symetryczna względem zera. Odbicie lewej strony wykresu względem osi $OY$ pokrywa się dokładnie z prawą stroną ($k(-x) = k(x)$). Funkcja jest parzysta (nie jest nieparzysta).
• Różnowartościowość: Prosta pozioma $y = 1$ przecina wykres w nieskończenie wielu punktach (zawiera poziome odcinki dla $x \in \langle -4, -2 \rangle$ i $x \in \langle 2, 4 \rangle$). Funkcja nie jest różnowartościowa.
Podpunkt i) Analiza funkcji $y = l(x)$:
• Dziedzina: Wykres składa się z dwóch symetrycznych gałęzi: $$D_l = (-4, -1\rangle \cup \langle 1, 4)$$ • Parzystość: Dziedzina jest symetryczna względem zera. Każdemu punktowi $(x, y)$ z lewej części wykresu odpowiada punkt $(-x, -y)$ z prawej części (np. punkt $(-2, 2)$ przechodzi w punkt $(2, -2)$, a punkt $(-1, 0)$ w punkt $(1, 0)$). Zachodzi $l(-x) = -l(x)$. Funkcja jest nieparzysta (nie jest parzysta).
• Różnowartościowość: Dla $x \in (-4, -2\rangle$ funkcja stale przyjmuje wartość $2$. Prosta pozioma $y = 2$ przecina wykres w nieskończenie wielu punktach, więc funkcja nie jest różnowartościowa.

Zadanie 2

Zadanie 3

Rysunek obok przedstawia fragment wykresu pewnej funkcji parzystej $y = f(x)$, której dziedziną jest zbiór $(-6, -2) \cup (2, 6) \cup \{0\}$. Dorysuj brakujący fragment wykresu funkcji, a następnie podaj:
a) najmniejszą wartość funkcji $f$ i dla jakich argumentów jest ona przyjmowana,
b) zbiór tych wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne,
c) wartość sumy miejsc zerowych funkcji $f$.

Zadanie 4

Wykaż na podstawie definicji, że funkcja $f$ określona poniższym wzorem jest parzysta:

a) $f(x) = \dfrac{1}{5}x^2 + 8$

b) $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 6$

c) $f(x) = \dfrac{7x^2}{x^2 + 2}$

d) $f(x) = \dfrac{-2}{x^4}$

e) $f(x) = \dfrac{x^6 + 1}{(6 - x)(6 + x)}$

f) $f(x) = \dfrac{x^2}{(x + 8)(8 - x)}$

Zadanie 5

Zbadaj parzystość funkcji określonej wzorem:

a) $f(x) = -2x + 7$

b) $f(x) = \dfrac{3x^2 - 11}{4}$

c) $f(x) = \dfrac{7x}{x^2 + 5}$

d) $f(x) = \dfrac{5x^2 - 1}{2x^4}$

e) $f(x) = \dfrac{6x}{(x + 5)(x - 5)}$

f) $f(x) = \dfrac{x^5 + 4}{x^2 + 3}$

3.9 Funkcje parzyste i nieparzyste

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋