WSKAZÓWKI: 1) Każdy punkt $P \left( x, y \right)$ należący do wykresu funkcji musi spełniać jej równanie. Podstaw pierwszą współrzędną punktu $P$ w miejsce argumentu $x$, a drugą współrzędną w miejsce wartości $f \left( x \right)$. Następnie skorzystaj z definicji logarytmu:$$\log_{a} b = c \iff a^{c} = b$$gdzie $a > 0$, $a \neq 1$ oraz $b > 0$. 2) Podczas szkicowania wykresu funkcji logarytmicznej $f \left( x \right) = \log_{a} x$ zwróć uwagę na wartość podstawy $a$. Jeśli $0 < a < 1$, funkcja jest malejąca. Wyznacz kilka punktów charakterystycznych, podstawiając za $x$ potęgi podstawy $a$ (np. $a^{0}, a^{1}, a^{-1}$), aby otrzymać całkowite wartości funkcji. 3) Rozwiązując nierówność $f \left( x \right) \ge -1$, pamiętaj o dziedzinie funkcji logarytmicznej, która wymaga, aby argument $x$ był dodatni ($x > 0$). Przy porównywaniu logarytmów o tej samej podstawie $a$, gdy $0 < a < 1$, musisz zmienić zwrot znaku nierówności na przeciwny, ponieważ funkcja jest malejąca. 4) W celu obliczenia wartości wyrażenia $4 \cdot f \left( \sqrt{3} \right)$, najpierw wyznacz wartość samej funkcji dla argumentu $x = \sqrt{3}$. Możesz zapisać $\sqrt{3}$ jako potęgę liczby $3$ (czyli $3^{\frac{1}{2}}$), a podstawę $a$ również sprowadzić do potęgi liczby $3$, aby skorzystać z własności logarytmów. ROZWIĄZANIE: a) Obliczanie wartości podstawy $a$. Do wykresu funkcji $f \left( x \right) = \log_{a} x$ należy punkt $P \left( 9, -2 \right)$. Podstawiamy $x = 9$ oraz $f \left( x \right) = -2$ do wzoru funkcji:$$-2 = \log_{a} 9$$Korzystamy z definicji logarytmu, która mówi, że podstawa $a$ podniesiona do wyniku logarytmu jest równa liczbie logarytmowanej:$$a^{-2} = 9$$Zapisujemy potęgę o ujemnym wykładniku jako ułamek:$$\frac{1}{a^{2}} = 9$$Mnożymy obie strony równania przez $a^{2}$, aby pozbyć się niewiadomej z mianownika:$$1 = 9 \cdot a^{2}$$Teraz dzielimy obie strony przez $9$, aby wyizolować $a^{2}$:$$a^{2} = \frac{1}{9}$$Wyciągamy pierwiastek kwadratowy z obu stron równania. Pamiętamy, że podstawa logarytmu $a$ musi być liczbą dodatnią ($a > 0$):$$a = \sqrt{\frac{1}{9}}$$$$a = \frac{1}{3}$$Zatem wzór funkcji to $f \left( x \right) = \log_{\frac{1}{3}} x$. b) Naszkicowanie wykresu funkcji $f \left( x \right) = \log_{\frac{1}{3}} x$. Aby narysować wykres, wyznaczamy kilka punktów należących do tej funkcji: Dla $x = 1$ mamy $f \left( 1 \right) = \log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$, ponieważ $\left( \frac{1}{3} \right)^{0} = 1$. Punkt: $\left( 1, 0 \right)$. Dla $x = 3$ mamy $f \left( 3 \right) = \log_{\frac{1}{3}} 3 = -1$, ponieważ $\left( \frac{1}{3} \right)^{-1} = 3$. Punkt: $\left( 3, -1 \right)$. Dla $x = 9$ mamy $f \left( 9 \right) = \log_{\frac{1}{3}} 9 = -2$, ponieważ $\left( \frac{1}{3} \right)^{-2} = 9$. Jest to punkt $P$ podany w zadaniu. Dla $x = \frac{1}{3}$ mamy $f \left( \frac{1}{3} \right) = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} = 1$. Punkt: $\left( \frac{1}{3}, 1 \right)$. Dla $x = \frac{1}{9}$ mamy $f \left( \frac{1}{9} \right) = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{9} = 2$. Punkt: $\left( \frac{1}{9}, 2 \right)$. Funkcja ma asymptotę pionową o równaniu $x = 0$. Ponieważ podstawa $a = \frac{1}{3}$ jest mniejsza od $1$, wykres opada (funkcja jest malejąca). c) Wyznaczanie argumentów, dla których wartości funkcji są nie mniejsze niż $-1$. Zapisujemy nierówność:$$f \left( x \right) \ge -1$$Podstawiamy wzór funkcji:$$\log_{\frac{1}{3}} x \ge -1$$Zapisujemy liczbę $-1$ w postaci logarytmu o podstawie $\frac{1}{3}$:$$-1 = \log_{\frac{1}{3}} 3$$Podstawiamy to do nierówności:$$\log_{\frac{1}{3}} x \ge \log_{\frac{1}{3}} 3$$Przechodzimy do porównania argumentów. Ponieważ podstawa logarytmu $a = \frac{1}{3}$ mieści się w przedziale $\left( 0, 1 \right)$, funkcja jest malejąca, co zmusza nas do zmiany zwrotu znaku nierówności na przeciwny:$$x \le 3$$Jednocześnie musimy uwzględnić dziedzinę funkcji logarytmicznej, czyli warunek $x > 0$. Łącząc oba warunki, otrzymujemy:$$0 < x \le 3$$Argumenty spełniające warunek to $x \in \left( 0, 3 \right]$. d) Wyznaczanie wartości wyrażenia $4 \cdot f \left( \sqrt{3} \right)$. Najpierw obliczamy wartość $f \left( \sqrt{3} \right)$:$$f \left( \sqrt{3} \right) = \log_{\frac{1}{3}} \sqrt{3}$$Zapisujemy liczbę $\frac{1}{3}$ oraz $\sqrt{3}$ jako potęgi liczby $3$:$$\frac{1}{3} = 3^{-1}$$$$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$$Podstawiamy te postacie do logarytmu:$$f \left( \sqrt{3} \right) = \log_{3^{-1}} 3^{\frac{1}{2}}$$Skorzystamy z własności logarytmu $\log_{a^{n}} b^{m} = \frac{m}{n} \cdot \log_{a} b$:$$f \left( \sqrt{3} \right) = \frac{\frac{1}{2}}{-1} \cdot \log_{3} 3$$Wiemy, że $\log_{3} 3 = 1$. Wykonujemy dzielenie ułamka $\frac{1}{2}$ przez $-1$:$$f \left( \sqrt{3} \right) = -\frac{1}{2} \cdot 1$$$$f \left( \sqrt{3} \right) = -\frac{1}{2}$$Teraz obliczamy całe wyrażenie $4 \cdot f \left( \sqrt{3} \right)$:$$4 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{4}{2}$$$$4 \cdot f \left( \sqrt{3} \right) = -2$$Wartość wyrażenia wynosi $-2$.