Funkcja kwadratowa – zastosowania kartkówka LiczBit

6.2 Funkcja kwadratowa – zastosowania

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Dany jest prostokąt o bokach długości $3$ i $7$. Krótszy bok zwiększono o $x$, a dłuższy zmniejszono o $x$, tworząc nowy prostokąt. a) Wyznacz wzór funkcji $P$ opisującej pole nowego prostokąta w zależności od $x$ i podaj jej dziedzinę. b) Oblicz pole tego prostokąta dla $x$ równego kolejno $1, 2, 4, 5 \frac{1}{2}$. c) Zapisz wzór funkcji w postaci kanonicznej.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Aby wyznaczyć wzór funkcji opisującej pole prostokąta, skorzystaj ze wzoru na pole prostokąta:$$P = a \cdot b$$gdzie $a$ oraz $b$ to długości jego boków. W tym zadaniu boki są uzależnione od zmiennej $x$. Pamiętaj, że długość boku w geometrii musi być zawsze liczbą dodatnią, czyli większą od $0$. Wykorzystaj ten warunek (tworząc dwie nierówności), aby wyznaczyć dziedzinę funkcji. 2) Aby obliczyć pole dla konkretnych wartości $x$, podstaw każdą z liczb ($1$, $2$, $4$ oraz $5 \frac{1}{2}$) w miejsce litery $x$ do wzoru funkcji. Najpierw wykonaj działania wewnątrz nawiasów, a następnie pomnóż otrzymane wyniki przez siebie. 3) Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to:$$P(x) = a(x - p)^{2} + q$$Najpierw przekształć wzór funkcji do postaci ogólnej $ax^{2} + bx + c$ poprzez wymnożenie nawiasów (każdy wyraz z pierwszego przez każdy z drugiego). Następnie oblicz współrzędne wierzchołka paraboli $p$ oraz $q$. Współrzędną $p$ wyznaczysz ze wzoru:$$p = \frac{-b}{2a}$$Współrzędną $q$ najprościej obliczyć, podstawiając wyliczoną wartość $p$ do wzoru funkcji: $q = P(p)$. ROZWIĄZANIE: a) Wyznaczanie wzoru funkcji $P(x)$ oraz jej dziedziny. Początkowe boki prostokąta mają długości $3$ oraz $7$. Zgodnie z poleceniem, krótszy bok (o długości $3$) zwiększono o $x$, więc jego nowa długość wynosi:$$a = 3 + x$$Dłuższy bok (o długości $7$) zmniejszono o $x$, zatem jego nowa długość to:$$b = 7 - x$$Wzór na pole prostokąta to iloczyn długości jego boków, czyli $P = a \cdot b$. Podstawiając nasze wyrażenia, otrzymujemy wzór funkcji $P$ w zależności od $x$:$$P(x) = (3 + x)(7 - x)$$Aby wyznaczyć dziedzinę, musimy zagwarantować, że boki są dodatnie. Dla boku $a$:$$3 + x > 0$$Przenosimy liczbę $3$ na prawą stronę nierówności, zmieniając jej znak na przeciwny:$$x > -3$$Dla boku $b$:$$7 - x > 0$$Przenosimy $-x$ na prawą stronę, aby stało się dodatnim $x$:$$7 > x$$co oznacza to samo co $x < 7$. Łącząc oba warunki, otrzymujemy, że $x$ musi być większe od $-3$ i jednocześnie mniejsze od $7$. Zatem dziedzina funkcji to przedział:$$D = (-3, 7)$$b) Obliczanie pola dla podanych wartości $x$. Dla $x = 1$: Podstawiamy $1$ w miejsce $x$ do wzoru $P(x) = (3 + x)(7 - x)$:$$P(1) = (3 + 1) \cdot (7 - 1)$$Wykonujemy dodawanie $3 + 1 = 4$ oraz odejmowanie $7 - 1 = 6$:$$P(1) = 4 \cdot 6 = 24$$Dla $x = 2$: Podstawiamy $2$ w miejsce $x$:$$P(2) = (3 + 2) \cdot (7 - 2)$$Wykonujemy działania w nawiasach ($3 + 2 = 5$ oraz $7 - 2 = 5$):$$P(2) = 5 \cdot 5 = 25$$Dla $x = 4$: Podstawiamy $4$ w miejsce $x$:$$P(4) = (3 + 4) \cdot (7 - 4)$$Wykonujemy działania w nawiasach ($3 + 4 = 7$ oraz $7 - 4 = 3$):$$P(4) = 7 \cdot 3 = 21$$Dla $x = 5 \frac{1}{2}$ (co w zapisie dziesiętnym wynosi $5,5$): Podstawiamy $5 \frac{1}{2}$ w miejsce $x$:$$P(5 \frac{1}{2}) = (3 + 5 \frac{1}{2}) \cdot (7 - 5 \frac{1}{2})$$Dodajemy $3 + 5,5 = 8,5$ oraz odejmujemy $7 - 5,5 = 1,5$:$$P(5,5) = 8,5 \cdot 1,5$$Mnożymy te liczby ($8,5 \cdot 1 = 8,5$ oraz $8,5 \cdot 0,5 = 4,25$, a $8,5 + 4,25 = 12,75$):$$P(5,5) = 12,75$$c) Zapis wzoru funkcji w postaci kanonicznej. Aby wyznaczyć postać kanoniczną, najpierw musimy doprowadzić funkcję do postaci ogólnej $ax^{2} + bx + c$. Mnożymy nawiasy:$$P(x) = (3 + x)(7 - x)$$$$P(x) = 3 \cdot 7 + 3 \cdot (-x) + x \cdot 7 + x \cdot (-x)$$$$P(x) = 21 - 3x + 7x - x^{2}$$Redukujemy wyrazy podobne ($-3x + 7x = 4x$) i porządkujemy:$$P(x) = -x^{2} + 4x + 21$$Z tego zapisu odczytujemy współczynniki: $a = -1$ (liczba przy $x^{2}$) $b = 4$ (liczba przy $x$) $c = 21$ (wyraz wolny) Obliczamy współrzędną $p$ wierzchołka:$$p = \frac{-b}{2a}$$Podstawiamy $b = 4$ oraz $a = -1$:$$p = \frac{-4}{2 \cdot (-1)} = \frac{-4}{-2} = 2$$Obliczamy współrzędną $q$ wierzchołka, podstawiając $x = p = 2$ do wzoru funkcji:$$q = P(2)$$$$q = -(2)^{2} + 4 \cdot 2 + 21$$Obliczamy kwadrat $2^{2} = 4$, więc mamy $-4$. Następnie $4 \cdot 2 = 8$:$$q = -4 + 8 + 21 = 4 + 21 = 25$$Mając $a = -1, p = 2$ oraz $q = 25$, podstawiamy te liczby do wzoru postaci kanonicznej $a(x - p)^{2} + q$:$$P(x) = -1 \cdot (x - 2)^{2} + 25$$Co możemy zapisać prościej jako:$$P(x) = -(x - 2)^{2} + 25$$

Zadanie 2 (3 pkt)

Rozważamy wszystkie trójkąty, których suma długości podstawy $x$ i wysokości poprowadzonej na tę podstawę jest równa $12$. a) Wyznacz wzór funkcji $P$ określającej pole takiego trójkąta w zależności od $x$ i podaj jej dziedzinę. b) Oblicz pole trójkąta w przypadku, gdy $x$ przyjmuje kolejno wartości $2, 4, 6, 8, 10$. c) Naszkicuj wykres funkcji $f$. d) Czy funkcja $f$ ma wartość największą? Jeśli tak, podaj tę wartość i dla jakiego argumentu jest ona przyjmowana.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zacznij od zapisania podstawowego wzoru na pole trójkąta:$$P = \frac{1}{2} \cdot x \cdot h$$gdzie $x$ to podstawa, a $h$ to wysokość opuszczona na tę podstawę. 2) Wykorzystaj informację z treści zadania, że suma podstawy i wysokości jest równa $12$. Zapisz to jako równanie:$$x + h = 12$$Wyznacz z tego równania wysokość $h$, aby móc podstawić ją do wzoru na pole. 3) Pamiętaj o dziedzinie. Zarówno długość podstawy $x$, jak i długość wysokości $h$ muszą być liczbami dodatnimi. Zapisz odpowiednie nierówności, aby wyznaczyć przedział dla $x$. 4) Aby obliczyć pole dla konkretnych wartości $x$, po prostu podstaw te liczby do otrzymanego wzoru funkcji $P(x)$. 5) Zauważ, że otrzymany wzór funkcji to funkcja kwadratowa. Wykres takiej funkcji nazywamy parabolą. Aby go naszkicować, wyznacz miejsca zerowe oraz współrzędne wierzchołka paraboli. 6) Aby sprawdzić, czy funkcja ma wartość największą, spójrz na współczynnik przy najwyższej potędze $x$. Jeśli jest ujemny, parabola ma ramiona skierowane w dół, co oznacza, że w wierzchołku przyjmuje wartość największą. Współrzędne wierzchołka $\left(p, q\right)$ obliczysz ze wzorów:$$p = \frac{-b}{2a}$$$$q = P\left(p\right)$$ROZWIĄZANIE: a) Wyznaczanie wzoru funkcji $P$ oraz jej dziedziny. Z treści zadania wiemy, że suma długości podstawy $x$ oraz wysokości $h$ wynosi $12$. Zapisujemy to równaniem:$$x + h = 12$$Aby uzależnić pole tylko od jednej zmiennej $x$, musimy wyznaczyć $h$. Przenosimy $x$ na prawą stronę równania, pamiętając o zmianie znaku na przeciwny:$$h = 12 - x$$Wzór na pole trójkąta to:$$P = \frac{1}{2} \cdot x \cdot h$$Podstawiamy wyznaczone wyrażenie za $h$ do wzoru na pole:$$P\left(x\right) = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \left(12 - x\right)$$Wykonujemy mnożenie składników w nawiasie przez wyrażenie $\frac{1}{2}x$:$$P\left(x\right) = \frac{1}{2} \cdot x \cdot 12 - \frac{1}{2} \cdot x \cdot x$$Upraszczamy wyrażenie, mnożąc $\frac{1}{2}$ przez $12$:$$P\left(x\right) = 6x - \frac{1}{2}x^{2}$$Możemy to zapisać w standardowej postaci funkcji kwadratowej:$$P\left(x\right) = -\frac{1}{2}x^{2} + 6x$$Teraz wyznaczamy dziedzinę. Długości boków w geometrii muszą być większe od zera. Zatem: 1. $x > 0$ 2. $h > 0$, czyli $12 - x > 0$ Rozwiązujemy drugą nierówność, przenosząc $x$ na prawą stronę ze zmianą znaku:$$12 > x$$Co oznacza, że $x < 12$. Łącząc oba warunki, otrzymujemy dziedzinę funkcji:$$D = \left(0, 12\right)$$b) Obliczanie pola dla konkretnych wartości $x$. Podstawiamy kolejno wartości $2, 4, 6, 8, 10$ do wzoru $P\left(x\right) = \frac{1}{2}x\left(12 - x\right)$: Dla $x = 2$:$$P\left(2\right) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \left(12 - 2\right) = 1 \cdot 10 = 10$$Dla $x = 4$:$$P\left(4\right) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \left(12 - 4\right) = 2 \cdot 8 = 16$$Dla $x = 6$:$$P\left(6\right) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \left(12 - 6\right) = 3 \cdot 6 = 18$$Dla $x = 8$:$$P\left(8\right) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \left(12 - 8\right) = 4 \cdot 4 = 16$$Dla $x = 10$:$$P\left(10\right) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \left(12 - 10\right) = 5 \cdot 2 = 10$$c) Szkicowanie wykresu funkcji. Funkcja $P\left(x\right) = -\frac{1}{2}x^{2} + 6x$ jest funkcją kwadratową. Jej wykresem jest fragment paraboli w przedziale $\left(0, 12\right)$. Miejsca zerowe to wartości, dla których $P\left(x\right) = 0$:$$\frac{1}{2}x\left(12 - x\right) = 0$$Stąd $x = 0$ lub $x = 12$. Te punkty nie należą do dziedziny, więc na wykresie zaznaczamy je pustymi kółeczkami. Wierzchołek paraboli znajduje się dokładnie pośrodku miejsc zerowych:$$p = \frac{0 + 12}{2} = 6$$Wartość dla $x = 6$ obliczyliśmy w punkcie b) i wynosi ona $18$. Zatem wierzchołek ma współrzędne $\left(6, 18\right)$. Szkicujemy parabolę przechodzącą przez punkty $\left(2, 10\right)$, $\left(4, 16\right)$, $\left(6, 18\right)$, $\left(8, 16\right)$ oraz $\left(10, 10\right)$, zaczynając od punktu $\left(0, 0\right)$ i kończąc na $\left(12, 0\right)$ (oba punkty skrajne wyłączone). d) Wyznaczanie wartości największej. Wzór naszej funkcji to $P\left(x\right) = -\frac{1}{2}x^{2} + 6x$. Współczynnik $a = -\frac{1}{2}$. Ponieważ $a < 0$, ramiona paraboli są skierowane w dół. Oznacza to, że funkcja posiada wartość największą w swoim wierzchołku. Współrzędna $p$ wierzchołka (argument, dla którego funkcja przyjmuje maksimum):$$p = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}$$Wykonujemy mnożenie w mianowniku:$$p = \frac{-6}{-1} = 6$$Wartość największa to współrzędna $q$, którą obliczamy podstawiając $x = 6$ do wzoru funkcji:$$P\left(6\right) = -\frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 \cdot 6$$$$P\left(6\right) = -\frac{1}{2} \cdot 36 + 36$$$$P\left(6\right) = -18 + 36 = 18$$Funkcja przyjmuje wartość największą równą $18$ dla argumentu $x = 6$.

Zadanie 3 (3 pkt)

Wydajność pracy pewnej maszyny w trakcie 8-godzinnej zmiany opisuje funkcja $g\left( x \right) = \frac{-x^2 + 8x + 15}{2}$, gdzie $x$ oznacza liczbę godzin, które upłynęły od momentu uruchomienia maszyny. Maszynę włączono o godzinie $8^{00}$. O której godzinie maszyna pracuje najbardziej wydajnie?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zauważ, że wydajność maszyny opisana jest funkcją kwadratową $g\left(x\right)$. Aby ułatwić sobie obliczenia, rozbij wyrażenie ułamkowe na trzy osobne składniki, dzieląc każdy element licznika przez mianownik, którym jest liczba $2$. 2) Zwróć uwagę na znak przy najwyższej potędze zmiennej $x$. Jeśli współczynnik $a$ jest ujemny, to wykresem funkcji jest parabola z ramionami skierowanymi w dół. W takim przypadku funkcja osiąga swoją największą wartość (maksimum) w punkcie będącym wierzchołkiem tej paraboli. 3) Aby znaleźć moment najwyższej wydajności, oblicz współrzędną $x$ wierzchołka paraboli, korzystając ze wzoru:$$x_{w} = \frac{-b}{2a}$$gdzie $a$ to liczba stojąca przy $x^{2}$, a $b$ to liczba stojąca przy $x$. 4) Wynik, który otrzymasz, to liczba godzin pracy od momentu uruchomienia. Dodaj tę liczbę do godziny rozpoczęcia pracy ($8^{00}$), aby wyznaczyć dokładną godzinę największej wydajności. ROZWIĄZANIE: a) Przekształcenie wzoru funkcji do postaci ogólnej. Na początku zapiszemy funkcję $g\left(x\right)$ w taki sposób, aby wyraźnie widzieć jej współczynniki. Oryginalny wzór to:$$g\left(x\right) = \frac{-x^{2} + 8x + 15}{2}$$Możemy to zapisać jako sumę ułamków o tym samym mianowniku:$$g\left(x\right) = \frac{-x^{2}}{2} + \frac{8x}{2} + \frac{15}{2}$$Teraz wykonujemy dzielenie tam, gdzie jest to możliwe. Przed $-x^{2}$ domyślnie stoi liczba $1$, więc otrzymujemy $-\frac{1}{2}x^{2}$. Liczbę $8$ dzielimy przez $2$, co daje $4$. Liczbę $15$ dzielimy przez $2$, co daje $7,5$. Funkcja przyjmuje postać:$$g\left(x\right) = -0,5x^{2} + 4x + 7,5$$Z tego zapisu odczytujemy współczynniki niezbędne do dalszych obliczeń: Współczynnik $a = -0,5$ (liczba stojąca przy $x^{2}$). Współczynnik $b = 4$ (liczba stojąca przy $x$). Współczynnik $c = 7,5$ (wyraz wolny). b) Wyznaczenie liczby godzin, po których maszyna pracuje najwydajniej. Ponieważ współczynnik $a = -0,5$ jest mniejszy od zera ($a < 0$), parabola ma ramiona skierowane w dół. Oznacza to, że najwyższy punkt wykresu (największa wydajność) znajduje się w wierzchołku. Szukamy współrzędnej $x$ tego wierzchołka:$$x_{w} = \frac{-b}{2a}$$Podstawiamy wyznaczone wcześniej wartości $b = 4$ oraz $a = -0,5$ do wzoru:$$x_{w} = \frac{-4}{2 \cdot \left(-0,5\right)}$$Najpierw obliczamy mianownik, mnożąc liczbę $2$ przez $-0,5$. Połowa z dwóch to jeden, a plus razy minus daje minus:$$x_{w} = \frac{-4}{-1}$$Dzielimy licznik przez mianownik. Dwie liczby ujemne dają wynik dodatni:$$x_{w} = 4$$Zmienna $x$ oznacza liczbę godzin od momentu uruchomienia maszyny. Zatem maszyna pracuje najbardziej wydajnie po upływie $4$ godzin. c) Wyznaczenie konkretnej godziny największej wydajności. Wiemy, że maszyna została włączona o godzinie $8^{00}$. Aby dowiedzieć się, o której godzinie nastąpi szczyt wydajności, musimy do godziny startu dodać obliczony czas $x_{w} = 4$ godziny:$$8 + 4 = 12$$Zatem maszyna pracuje najbardziej wydajnie o godzinie $12^{00}$.

Zadanie 4 (3 pkt)

Pewne ciało w czasie $t$ [s] przebyło drogę $S$ [m], którą opisuje wzór $S\left( t \right) = t^2 + 2t + 5$, gdzie $t \in \left[ 2; 6 \right]$. Oblicz: a) długość drogi przebytej przez to ciało w ciągu czterech sekund, b) średnią prędkość ciała.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zauważ, że podany przedział czasu $t \in \left[ 2; 6 \right]$ obejmuje okres dokładnie $4$ sekund, ponieważ $6 - 2 = 4$. Aby obliczyć drogę przebytą w tym czasie, musisz obliczyć położenie ciała w momencie końcowym $t = 6$ oraz w momencie początkowym $t = 2$, a następnie wyznaczyć ich różnicę:$$\Delta S = S\left( 6 \right) - S\left( 2 \right)$$2) Prędkość średnia $v_{sr}$ to stosunek przyrostu drogi $\Delta S$ do przyrostu czasu $\Delta t$. Wykorzystaj wzór:$$v_{sr} = \frac{\Delta S}{\Delta t}$$gdzie $\Delta t$ to czas trwania ruchu, czyli $4$ sekundy. ROZWIĄZANIE: a) Obliczanie długości drogi przebytej przez ciało w ciągu czterech sekund. Nasze ciało porusza się w przedziale czasu od $t = 2$ do $t = 6$. Czas trwania tego ruchu wynosi:$$\Delta t = 6 - 2 = 4$$Aby wyznaczyć drogę przebytą w tym czasie, musimy najpierw obliczyć wartość funkcji drogi dla czasu początkowego $t = 2$. Podstawiamy liczbę $2$ w miejsce każdego $t$ we wzorze $S\left( t \right) = t^{2} + 2t + 5$:$$S\left( 2 \right) = 2^{2} + 2 \cdot 2 + 5$$Najpierw potęgujemy liczbę $2$:$$S\left( 2 \right) = 4 + 2 \cdot 2 + 5$$Teraz wykonujemy mnożenie $2 \cdot 2$:$$S\left( 2 \right) = 4 + 4 + 5$$Dodajemy wszystkie liczby do siebie:$$S\left( 2 \right) = 13$$Położenie ciała w drugiej sekundzie wynosiło $13$ metrów. Teraz obliczamy wartość funkcji dla czasu końcowego $t = 6$:$$S\left( 6 \right) = 6^{2} + 2 \cdot 6 + 5$$Podnosimy $6$ do kwadratu:$$S\left( 6 \right) = 36 + 2 \cdot 6 + 5$$Mnożymy $2$ przez $6$:$$S\left( 6 \right) = 36 + 12 + 5$$Dodajemy liczby:$$S\left( 6 \right) = 53$$Położenie ciała w szóstej sekundzie wynosiło $53$ metry. Droga przebyta w ciągu tych $4$ sekund to różnica między położeniem końcowym a początkowym:$$\Delta S = S\left( 6 \right) - S\left( 2 \right)$$Podstawiamy obliczone wartości:$$\Delta S = 53 - 13$$Odejmujemy liczby:$$\Delta S = 40$$Ciało w ciągu czterech sekund przebyło drogę $40$ metrów. b) Obliczanie średniej prędkości ciała. Średnią prędkość obliczamy dzieląc całkowitą drogę przez czas, w którym została przebyta. Skorzystamy z wyników uzyskanych w punkcie a). Droga przebyta przez ciało wynosi:$$\Delta S = 40$$Czas, w którym ta droga została przebyta, to:$$\Delta t = 4$$Podstawiamy dane do wzoru na prędkość średnią:$$v_{sr} = \frac{\Delta S}{\Delta t}$$$$v_{sr} = \frac{40}{4}$$Wykonujemy dzielenie liczby $40$ przez $4$:$$v_{sr} = 10$$Średnia prędkość ciała w tym przedziale czasu wynosiła $10$ $m/s$.

Zadanie 5 (3 pkt)

Pan Tomasz wytwarza drewniane karmniki dla ptaków. Cotygodniowy dochód pana Tomasza (w zł) w zależności od liczby $n$ sprzedanych karmników opisuje funkcja:$$d(n) = \frac{n^2}{2} + 5n - 100$$gdzie $n \in \{1, 2, 3, \dots, 50\}$. Oblicz, ile karmników musi sprzedać tygodniowo pan Tomasz, aby: a) pokryć stałe koszty tygodniowej działalności b) uzyskać tygodniowy dochód w wysokości 500 zł.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Zrozumienie pojęcia "pokrycie kosztów stałych". Koszty stałe to te, które pan Tomasz ponosi nawet wtedy, gdy nie sprzeda żadnego karmnika (dla $n = 0$ dochód wynosi $-100$). Pokrycie tych kosztów oznacza moment, w którym dochód przestaje być ujemny i wynosi dokładnie $0$ zł. Musisz zatem rozwiązać równanie:$$d(n) = 0$$2) Aby uzyskać konkretny dochód (w tym przypadku $500$ zł), należy przyrównać wzór funkcji do tej wartości:$$d(n) = 500$$3) Pamiętaj, że obie sytuacje prowadzą do równania kwadratowego. Najlepiej doprowadzić je do postaci ogólnej:$$a \cdot n^{2} + b \cdot n + c = 0$$Aby ułatwić sobie obliczenia, możesz pomnożyć całe równanie przez $2$, co pozwoli pozbyć się ułamka przy $n^{2}$. 4) Do rozwiązania równania kwadratowego wykorzystaj wyróżnik funkcji kwadratowej, czyli deltę:$$\Delta = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c$$Następnie oblicz pierwiastki równania $n_{1}$ oraz $n_{2}$. Pamiętaj, że liczba sprzedanych karmników $n$ musi być liczbą dodatnią i należeć do dziedziny określonej w zadaniu. ROZWIĄZANIE: a) Obliczanie liczby karmników potrzebnych do pokrycia kosztów stałych. Pokrycie kosztów oznacza sytuację, w której dochód pana Tomasza wynosi dokładnie $0$ zł. Podstawiamy $0$ w miejsce $d(n)$ do wzoru funkcji:$$0 = \frac{n^{2}}{2} + 5n - 100$$Dla ułatwienia obliczeń, aby nie pracować na ułamkach, mnożymy obie strony równania przez liczbę $2$:$$2 \cdot 0 = 2 \cdot \left( \frac{n^{2}}{2} + 5n - 100 \right)$$$$0 = n^{2} + 10n - 200$$Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, gdzie współczynniki wynoszą: $a = 1$, $b = 10$, $c = -200$. Obliczamy wyróżnik $\Delta$:$$\Delta = 10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( -200 \right)$$Podnosimy $10$ do kwadratu oraz mnożymy $-4$ przez $1$ i przez $-200$. Pamiętamy, że mnożenie dwóch liczb ujemnych daje wynik dodatni:$$\Delta = 100 + 800$$$$\Delta = 900$$Teraz wyciągamy pierwiastek z delty:$$\sqrt{\Delta} = \sqrt{900} = 30$$Obliczamy możliwe wartości $n$:$$n_{1} = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2 \cdot a} = \frac{-10 - 30}{2 \cdot 1} = \frac{-40}{2} = -20$$Liczba karmników nie może być ujemna, więc odrzucamy ten wynik. Obliczamy drugą wartość:$$n_{2} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2 \cdot a} = \frac{-10 + 30}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$$Liczba $10$ jest dodatnia i mieści się w dziedzinie od $1$ do $50$. Pan Tomasz musi sprzedać $10$ karmników, aby pokryć koszty. b) Obliczanie liczby karmników potrzebnych do uzyskania dochodu $500$ zł. Przyrównujemy wzór funkcji do wartości $500$:$$\frac{n^{2}}{2} + 5n - 100 = 500$$Aby rozwiązać to równanie, najpierw przenosimy liczbę $500$ z prawej strony na lewą, zmieniając jej znak na przeciwny:$$\frac{n^{2}}{2} + 5n - 100 - 500 = 0$$Wykonujemy odejmowanie wyrazów wolnych:$$\frac{n^{2}}{2} + 5n - 600 = 0$$Ponownie mnożymy całe równanie przez $2$, aby pozbyć się ułamka $\frac{1}{2}$:$$2 \cdot \left( \frac{n^{2}}{2} + 5n - 600 \right) = 2 \cdot 0$$$$n^{2} + 10n - 1200 = 0$$Wypisujemy współczynniki: $a = 1$, $b = 10$, $c = -1200$. Obliczamy deltę:$$\Delta = 10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( -1200 \right)$$$$\Delta = 100 + 4800$$$$\Delta = 4900$$Wyciągamy pierwiastek z delty:$$\sqrt{\Delta} = \sqrt{4900} = 70$$Obliczamy wartości $n$:$$n_{1} = \frac{-10 - 70}{2 \cdot 1} = \frac{-80}{2} = -40$$Wynik ujemny odrzucamy, ponieważ liczba sprzedanych przedmiotów musi być naturalna.$$n_{2} = \frac{-10 + 70}{2 \cdot 1} = \frac{60}{2} = 30$$Liczba $30$ mieści się w przedziale od $1$ do $50$. Pan Tomasz musi sprzedać $30$ karmników, aby jego dochód wyniósł $500$ zł tygodniowo.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Dany jest prostokąt o bokach długości $5$ i $10$. Krótszy bok zwiększono o $x$, a dłuższy zmniejszono o $x$. a) Wyznacz wzór funkcji $P(x)$ pola nowego prostokąta i określ jej dziedzinę. b) Oblicz wartości pola dla $x$ wynoszących kolejno $1, 2, 5, 7 \frac{1}{2}$. c) Wyznacz postać kanoniczną tej funkcji.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Rozważamy wszystkie trójkąty, których suma długości podstawy $x$ i wysokości poprowadzonej na tę podstawę jest równa $8$. a) Wyznacz wzór funkcji $P$ określającej pole takiego trójkąta w zależności od $x$ i podaj jej dziedzinę. b) Oblicz pole trójkąta w przypadku, gdy $x$ przyjmuje kolejno wartości $1, 2, 4, 6$. c) Naszkicuj wykres funkcji $f$. d) Czy funkcja $f$ ma wartość największą? Jeśli tak, podaj tę wartość i dla jakiego argumentu jest ona przyjmowana.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Poziom koncentracji kierowcy zawodowego podczas jazdy opisuje funkcja $h\left( x \right) = -x^2 + 10x + 5$, gdzie $x$ to czas jazdy w godzinach. Kierowca wyjechał w trasę o godzinie $6^{30}$. Po ilu godzinach jego koncentracja będzie najwyższa i o której dokładnie godzinie to nastąpi?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Pewne ciało w czasie $t$ [s] przebyło drogę $S$ [m], którą opisuje wzór $S\left( t \right) = 2t^2 + 4t + 10$, gdzie $t \in \left[ 1; 4 \right]$. Oblicz: a) długość drogi przebytej przez to ciało w ciągu trzech sekund, b) średnią prędkość ciała.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

Pani Aneta szyje ekologiczne torby na zakupy. Cotygodniowy dochód pani Anety (w zł) w zależności od liczby $n$ sprzedanych toreb opisuje funkcja:$$d(n) = \frac{n^2}{2} + n - 12$$gdzie $n \in \{1, 2, 3, \dots, 30\}$. Oblicz, ile toreb musi sprzedać tygodniowo pani Aneta, aby: a) pokryć stałe koszty tygodniowej działalności b) uzyskać tygodniowy dochód w wysokości 72 zł.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

6.2 Funkcja kwadratowa – zastosowania

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋