Funkcja kwadratowa kartkówka LiczBit

6.1 Funkcja kwadratowa

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Wyznacz miejsca zerowe funkcji kwadratowej $f$, doprowadzając najpierw wzór tej funkcji do postaci kanonicznej. a) $f(x) = -x^2 - 6x - 5$ b) $f(x) = 0,5x^2 - 4x + 8$ c) $f(x) = 2x^2 - 12x - 14$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to $f(x) = a \cdot \left( x - p \right)^{2} + q$, gdzie $p = \frac{-b}{2a}$ oraz $q = \frac{-\Delta}{4a}$. Możesz ją uzyskać, korzystając z tych wzorów lub poprzez metodę dopełniania do pełnego kwadratu z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia:$$\left( a + b \right)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$$$$\left( a - b \right)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$$2) Aby wyznaczyć miejsca zerowe z postaci kanonicznej, należy przyrównać wzór funkcji do zera:$$a \cdot \left( x - p \right)^{2} + q = 0$$Następnie przenieś wartość $q$ na prawą stronę równania (pamiętając o zmianie znaku), podziel przez $a$ i wyciągnij pierwiastek kwadratowy z obu stron. 3) Pamiętaj, że równanie typu $x^{2} = k$ (gdzie $k > 0$) ma dwa rozwiązania: $x = \sqrt{k}$ oraz $x = -\sqrt{k}$. Jeśli po przekształceniu otrzymasz $x^{2} = 0$, istnieje tylko jedno miejsce zerowe. Jeśli otrzymasz liczbę ujemną, funkcja nie ma miejsc zerowych. ROZWIĄZANIE: a) $f(x) = -x^{2} - 6x - 5$ Krok 1: Doprowadzenie do postaci kanonicznej metodą dopełniania do kwadratu. Współczynnik przy $x^{2}$ wynosi $-1$. Wyłączamy go przed nawias z wyrażeń zawierających $x$:$$f(x) = -1 \cdot \left( x^{2} + 6x \right) - 5$$Chcemy zapisać wyrażenie w nawiasie $\left( x^{2} + 6x \right)$ jako fragment wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy $\left( a + b \right)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$. Przyjmujemy $a = x$. Wtedy środkowy wyraz $2ab$ musi być równy $6x$:$$2 \cdot x \cdot b = 6x$$Dzielimy obie strony przez $2x$, aby wyznaczyć $b$:$$b = 3$$Kwadrat liczby $b$ to $3^{2} = 9$. Zatem pełny wzór to $\left( x + 3 \right)^{2} = x^{2} + 6x + 9$. Z tego wynika, że $x^{2} + 6x = \left( x + 3 \right)^{2} - 9$. Podstawiamy to do wzoru funkcji:$$f(x) = -1 \cdot \left( \left( x + 3 \right)^{2} - 9 \right) - 5$$Teraz wymnażamy nawias przez $-1$:$$f(x) = -1 \cdot \left( x + 3 \right)^{2} + 9 - 5$$Wykonujemy odejmowanie $9 - 5 = 4$. Otrzymujemy postać kanoniczną:$$f(x) = -\left( x + 3 \right)^{2} + 4$$Krok 2: Wyznaczenie miejsc zerowych. Przyrównujemy funkcję do zera:$$-\left( x + 3 \right)^{2} + 4 = 0$$Przenosimy liczbę $4$ na prawą stronę równania, zmieniając jej znak na przeciwny:$$-\left( x + 3 \right)^{2} = -4$$Dzielimy obie strony równania przez $-1$, aby pozbyć się minusa przed nawiasem:$$\left( x + 3 \right)^{2} = 4$$Szukamy liczb, których kwadrat wynosi $4$. Są to $2$ oraz $-2$. Otrzymujemy dwa równania:$$x + 3 = 2$$oraz$$x + 3 = -2$$W pierwszym równaniu przenosimy $3$ na prawą stronę (zmieniając znak):$$x = 2 - 3$$$$x = -1$$W drugim równaniu robimy to samo:$$x = -2 - 3$$$$x = -5$$Miejsca zerowe to $x = -1$ oraz $x = -5$. b) $f(x) = 0,5x^{2} - 4x + 8$ Krok 1: Doprowadzenie do postaci kanonicznej. Wyłączamy współczynnik $a = 0,5$ przed nawias z wyrazów z $x$:$$f(x) = 0,5 \cdot \left( x^{2} - 8x \right) + 8$$Dla wyrażenia $x^{2} - 8x$ szukamy wzoru na kwadrat różnicy $\left( a - b \right)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$. Jeśli $a = x$, to $2ab = 8x$, co daje $b = 4$. Kwadrat $b$ to $4^{2} = 16$. Zatem $\left( x - 4 \right)^{2} = x^{2} - 8x + 16$. Przekształcamy to do postaci $x^{2} - 8x = \left( x - 4 \right)^{2} - 16$. Podstawiamy:$$f(x) = 0,5 \cdot \left( \left( x - 4 \right)^{2} - 16 \right) + 8$$Mnożymy zawartość dużego nawiasu przez $0,5$:$$f(x) = 0,5 \cdot \left( x - 4 \right)^{2} - 0,5 \cdot 16 + 8$$Obliczamy $0,5 \cdot 16 = 8$:$$f(x) = 0,5 \cdot \left( x - 4 \right)^{2} - 8 + 8$$Redukujemy wyrazy wolne $-8 + 8 = 0$. Postać kanoniczna to:$$f(x) = 0,5 \cdot \left( x - 4 \right)^{2}$$Krok 2: Wyznaczenie miejsc zerowych. Przyrównujemy funkcję do zera:$$0,5 \cdot \left( x - 4 \right)^{2} = 0$$Dzielimy obie strony przez $0,5$:$$\left( x - 4 \right)^{2} = 0$$Jedyną liczbą, której kwadrat daje $0$, jest $0$:$$x - 4 = 0$$Przenosimy $-4$ na prawą stronę ze zmianą znaku:$$x = 4$$Funkcja ma jedno miejsce zerowe $x = 4$. c) $f(x) = 2x^{2} - 12x - 14$ Krok 1: Doprowadzenie do postaci kanonicznej. Wyłączamy $a = 2$ przed nawias:$$f(x) = 2 \cdot \left( x^{2} - 6x \right) - 14$$Dla $x^{2} - 6x$ stosujemy wzór na kwadrat różnicy. Przy $a = x$, mamy $2ab = 6x$, czyli $b = 3$. Skoro $b^{2} = 9$, to $x^{2} - 6x = \left( x - 3 \right)^{2} - 9$. Podstawiamy:$$f(x) = 2 \cdot \left( \left( x - 3 \right)^{2} - 9 \right) - 14$$Mnożymy przez $2$:$$f(x) = 2 \cdot \left( x - 3 \right)^{2} - 18 - 14$$Sumujemy liczby ujemne $-18 - 14 = -32$. Postać kanoniczna:$$f(x) = 2 \cdot \left( x - 3 \right)^{2} - 32$$Krok 2: Wyznaczenie miejsc zerowych. Przyrównujemy do zera:$$2 \cdot \left( x - 3 \right)^{2} - 32 = 0$$Przenosimy $-32$ na prawą stronę zmieniając znak:$$2 \cdot \left( x - 3 \right)^{2} = 32$$Dzielimy obie strony przez $2$:$$\left( x - 3 \right)^{2} = 16$$Liczby, których kwadrat to $16$, to $4$ oraz $-4$:$$x - 3 = 4$$oraz$$x - 3 = -4$$Rozwiązujemy pierwsze równanie, przenosząc $-3$ na prawo:$$x = 4 + 3$$$$x = 7$$Rozwiązujemy drugie równanie:$$x = -4 + 3$$$$x = -1$$Miejsca zerowe to $x = 7$ oraz $x = -1$.

Zadanie 2 (3 pkt)

Dany jest wzór funkcji kwadratowej $f$. Wyznacz miejsca zerowe tej funkcji, a następnie współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem tej funkcji. a) $f(x) = 2x^2 - 12x$ b) $f(x) = -4x - 2x^2$ c) $f(x) = 3(x-2)(x+6)$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) W podpunktach a) oraz b) funkcja kwadratowa jest podana w postaci ogólnej $f \left( x \right) = ax^{2} + bx + c$, ale brakuje w niej wyrazu wolnego $c$, co oznacza, że $c = 0$. W takiej sytuacji najprostszym sposobem na znalezienie miejsc zerowych jest wyłączenie wspólnego czynnika (np. $x$ lub $2x$) przed nawias. Pamiętaj, że iloczyn jest równy $0$, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy $0$. 2) W podpunkcie c) funkcja jest zapisana w postaci iloczynowej $f \left( x \right) = a \left( x - x_{1} \right) \left( x - x_{2} \right)$. Miejsca zerowe $x_{1}$ oraz $x_{2}$ możesz odczytać bezpośrednio z nawiasów. Pamiętaj jednak, że we wzorze przy $x_{1}$ oraz $x_{2}$ stoją minusy, więc jeśli w nawiasie widzisz $\left( x + 6 \right)$, to miejsce zerowe będzie miało przeciwny znak, czyli $-6$. 3) Aby wyznaczyć współrzędne wierzchołka paraboli $W = \left( p, q \right)$, możesz skorzystać ze wzorów na $p$ oraz $q$. Pierwszą współrzędną $p$ obliczamy ze wzoru $p = \frac{-b}{2a}$. Jeśli znasz już miejsca zerowe $x_{1}$ oraz $x_{2}$, możesz też obliczyć $p$ jako ich średnią arytmetyczną: $p = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$. Drugą współrzędną $q$ najłatwiej obliczyć, podstawiając wyznaczone $p$ do wzoru funkcji: $q = f \left( p \right)$. ROZWIĄZANIE: a) $f \left( x \right) = 2x^{2} - 12x$ Krok 1: Wyznaczanie miejsc zerowych. Aby znaleźć miejsca zerowe, musimy sprawdzić, dla jakich argumentów $x$ wartość funkcji wynosi $0$. Przyrównujemy więc wzór funkcji do zera:$$2x^{2} - 12x = 0$$Zauważamy, że oba składniki po lewej stronie dzielą się przez $2$ oraz zawierają zmienną $x$. Wyłączamy więc $2x$ przed nawias, aby zamienić sumę na iloczyn:$$2x \left( x - 6 \right) = 0$$Iloczyn dwóch wyrażeń jest równy zero tylko wtedy, gdy pierwsze wyrażenie jest równe zero lub drugie wyrażenie jest równe zero. Zapisujemy więc dwa oddzielne równania:$$2x = 0$$Aby wyznaczyć $x$, dzielimy obie strony przez $2$:$$x_{1} = 0$$Drugie równanie to:$$x - 6 = 0$$Przenosimy liczbę $-6$ na prawą stronę równania, pamiętając o zmianie znaku na przeciwny:$$x_{2} = 6$$Miejsca zerowe tej funkcji to $x_{1} = 0$ oraz $x_{2} = 6$. Krok 2: Wyznaczanie współrzędnych wierzchołka $W = \left( p, q \right)$. Wypiszmy współczynniki funkcji z postaci ogólnej $ax^{2} + bx + c$: $a = 2$ $b = -12$ $c = 0$ Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka $p$ korzystając ze wzoru:$$p = \frac{-b}{2a}$$Podstawiamy nasze dane, pamiętając, że w liczniku mamy minus przed ujemną liczbą $b$:$$p = \frac{-\left( -12 \right)}{2 \cdot 2}$$Dwa minusy dają plus, a w mianowniku wykonujemy mnożenie:$$p = \frac{12}{4}$$$$p = 3$$Teraz obliczamy drugą współrzędną $q$. Wykorzystamy metodę podstawienia $p$ do wzoru funkcji, czyli obliczymy $f \left( 3 \right)$:$$q = 2 \cdot 3^{2} - 12 \cdot 3$$Zgodnie z kolejnością wykonywania działań, najpierw wykonujemy potęgowanie:$$q = 2 \cdot 9 - 12 \cdot 3$$Następnie wykonujemy mnożenia:$$q = 18 - 36$$Na końcu wykonujemy odejmowanie:$$q = -18$$Współrzędne wierzchołka paraboli to $W = \left( 3, -18 \right)$. b) $f \left( x \right) = -4x - 2x^{2}$ Krok 1: Wyznaczanie miejsc zerowych. Najpierw uporządkujmy wzór funkcji, aby na początku stał wyraz z najwyższą potęgą:$$f \left( x \right) = -2x^{2} - 4x$$Przyrównujemy funkcję do zera:$$-2x^{2} - 4x = 0$$Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias. Możemy wyłączyć $-2x$, co ułatwi dalsze obliczenia. Pamiętaj, że wyłączając minus przed nawias, zmieniamy znaki wszystkich wyrazów wewnątrz nawiasu:$$-2x \left( x + 2 \right) = 0$$Teraz przyrównujemy oba czynniki do zera:$$-2x = 0$$Dzielimy przez $-2$:$$x_{1} = 0$$Drugie równanie:$$x + 2 = 0$$Przenosimy $2$ na prawą stronę ze zmianą znaku:$$x_{2} = -2$$Miejsca zerowe to $x_{1} = 0$ oraz $x_{2} = -2$. Krok 2: Wyznaczanie współrzędnych wierzchołka $W = \left( p, q \right)$. Z uporządkowanego wzoru odczytujemy współczynniki: $a = -2$ $b = -4$ Stosujemy wzór na $p$:$$p = \frac{-b}{2a}$$Podstawiamy wartości:$$p = \frac{-\left( -4 \right)}{2 \cdot \left( -2 \right)}$$$$p = \frac{4}{-4}$$Wynikiem dzielenia jest liczba ujemna:$$p = -1$$Obliczamy $q$ podstawiając $p = -1$ do wzoru funkcji:$$q = -2 \cdot \left( -1 \right)^{2} - 4 \cdot \left( -1 \right)$$Najpierw potęgowanie (liczba ujemna do kwadratu daje wynik dodatni):$$q = -2 \cdot 1 - 4 \cdot \left( -1 \right)$$Wykonujemy mnożenia (minus razy minus daje plus):$$q = -2 + 4$$$$q = 2$$Współrzędne wierzchołka to $W = \left( -1, 2 \right)$. c) $f \left( x \right) = 3 \left( x - 2 \right) \left( x + 6 \right)$ Krok 1: Wyznaczanie miejsc zerowych. Funkcja jest podana w postaci iloczynowej. Przyrównujemy ją do zera:$$3 \left( x - 2 \right) \left( x + 6 \right) = 0$$Możemy podzielić obie strony przez $3$, aby uprościć równanie:$$\left( x - 2 \right) \left( x + 6 \right) = 0$$Równanie jest spełnione, gdy co najmniej jeden z nawiasów jest równy $0$:$$x - 2 = 0$$Przenosimy $-2$ na drugą stronę ze zmianą znaku:$$x_{1} = 2$$Drugi nawias:$$x + 6 = 0$$Przenosimy $6$ na drugą stronę ze zmianą znaku:$$x_{2} = -6$$Miejsca zerowe to $x_{1} = 2$ oraz $x_{2} = -6$. Krok 2: Wyznaczanie współrzędnych wierzchołka $W = \left( p, q \right)$. W przypadku postaci iloczynowej, pierwszą współrzędną $p$ najszybciej obliczymy jako środek odcinka między miejscami zerowymi:$$p = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$$Podstawiamy wyznaczone miejsca zerowe:$$p = \frac{2 + \left( -6 \right)}{2}$$W liczniku wykonujemy dodawanie:$$p = \frac{2 - 6}{2}$$$$p = \frac{-4}{2}$$$$p = -2$$Aby obliczyć $q$, podstawiamy $p = -2$ do oryginalnego wzoru funkcji:$$q = 3 \cdot \left( -2 - 2 \right) \cdot \left( -2 + 6 \right)$$Obliczamy wartości wewnątrz nawiasów:$$q = 3 \cdot \left( -4 \right) \cdot 4$$Mnożymy wszystkie liczby przez siebie:$$q = -12 \cdot 4$$$$q = -48$$Współrzędne wierzchołka to $W = \left( -2, -48 \right)$.

Zadanie 3 (3 pkt)

Dany jest wzór funkcji kwadratowej $f$. Wyznacz współrzędne wierzchołka, miejsca zerowe oraz punkt przecięcia z osią $OY$ wraz z punktem symetrycznym dla funkcji: a) $f(x) = 2\left( x-2 \right)^2$ b) $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 2x$ c) $f(x) = x^2 - 6x + 5$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Współrzędne wierzchołka paraboli oznaczamy jako $W = \left( p, q \right)$. Jeśli funkcja jest podana w postaci kanonicznej $f(x) = a \cdot \left( x - p \right)^{2} + q$, wartości te można odczytać bezpośrednio ze wzoru. W postaci ogólnej $f(x) = ax^{2} + bx + c$ korzystamy ze wzorów:$$p = \frac{-b}{2a}$$$$q = \frac{-\Delta}{4a}$$gdzie $\Delta = b^{2} - 4ac$. Alternatywnie, $q$ można obliczyć jako wartość funkcji dla argumentu $p$, czyli $q = f(p)$. 2) Miejsca zerowe funkcji wyznaczamy, rozwiązując równanie $f(x) = 0$. W zależności od postaci funkcji możemy użyć wyróżnika kwadratowego (delty), wyłączania czynnika przed nawias lub bezpośredniego wyciągania pierwiastka z wyrażenia kwadratowego. 3) Punkt przecięcia z osią $OY$ ma zawsze współrzędną $x = 0$. Aby go znaleźć, należy obliczyć wartość $f(0)$. Punkt ten ma współrzędne $\left( 0, f(0) \right)$. 4) Parabola jest symetryczna względem prostej pionowej przechodzącej przez wierzchołek, o równaniu $x = p$. Jeśli punkt przecięcia z osią $OY$ ma współrzędne $\left( 0, c \right)$, to punkt do niego symetryczny znajduje się w tej samej odległości od osi symetrii, ale po jej drugiej stronie. Jego współrzędna $x$ wynosi $2 \cdot p$, a współrzędna $y$ pozostaje taka sama. ROZWIĄZANIE: a) $f(x) = 2 \cdot \left( x - 2 \right)^{2}$ Krok 1: Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka. Wzór funkcji jest podany w postaci kanonicznej $f(x) = a \cdot \left( x - p \right)^{2} + q$. Porównując go z naszym wzorem $f(x) = 2 \cdot \left( x - 2 \right)^{2} + 0$, odczytujemy:$$p = 2$$$$q = 0$$Współrzędne wierzchołka to $W = \left( 2, 0 \right)$. Krok 2: Wyznaczenie miejsc zerowych. Przyrównujemy wzór funkcji do zera:$$2 \cdot \left( x - 2 \right)^{2} = 0$$Dzielimy obie strony równania przez liczbę $2$:$$\left( x - 2 \right)^{2} = 0$$Jedyną liczbą, której kwadrat daje zero, jest zero:$$x - 2 = 0$$Przenosimy liczbę $-2$ na prawą stronę równania ze zmianą znaku na przeciwny:$$x = 2$$Funkcja posiada jedno miejsce zerowe $x = 2$. Zauważmy, że pokrywa się ono ze współrzędną $p$ wierzchołka, ponieważ $q = 0$. Krok 3: Wyznaczenie punktu przecięcia z osią $OY$. Podstawiamy $x = 0$ do wzoru funkcji:$$f(0) = 2 \cdot \left( 0 - 2 \right)^{2}$$Najpierw wykonujemy działanie w nawiasie:$$f(0) = 2 \cdot \left( -2 \right)^{2}$$Podnosimy liczbę $-2$ do kwadratu:$$f(0) = 2 \cdot 4$$$$f(0) = 8$$Punkt przecięcia z osią $OY$ to $A = \left( 0, 8 \right)$. Krok 4: Wyznaczenie punktu symetrycznego. Oś symetrii paraboli to prosta $x = 2$. Punkt $A$ znajduje się na osi $OY$, więc jego odległość od osi symetrii wynosi $2$ jednostki (od $0$ do $2$). Punkt symetryczny $A'$ musi znajdować się o $2$ jednostki na prawo od osi symetrii:$$x = 2 + 2 = 4$$Współrzędna $y$ pozostaje bez zmian. Punkt symetryczny to $A' = \left( 4, 8 \right)$. b) $f(x) = -\frac{1}{3}x^{2} + 2x$ Krok 1: Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka. Wypisujemy współczynniki: $a = -\frac{1}{3}$, $b = 2$, $c = 0$. Obliczamy współrzędną $p$:$$p = \frac{-2}{2 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right)}$$$$p = \frac{-2}{-\frac{2}{3}}$$Dzielenie przez ułamek zastępujemy mnożeniem przez jego odwrotność:$$p = -2 \cdot \left( -\frac{3}{2} \right)$$Liczby $2$ w liczniku i mianowniku skracają się, a dwa minusy dają plus:$$p = 3$$Obliczamy współrzędną $q$, podstawiając $p$ do wzoru funkcji:$$q = f(3) = -\frac{1}{3} \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3$$Potęgujemy:$$q = -\frac{1}{3} \cdot 9 + 6$$Mnożymy ułamek przez liczbę:$$q = -3 + 6$$$$q = 3$$Wierzchołek ma współrzędne $W = \left( 3, 3 \right)$. Krok 2: Wyznaczenie miejsc zerowych. Rozwiązujemy równanie:$$-\frac{1}{3}x^{2} + 2x = 0$$Wyłączamy $x$ przed nawias:$$x \cdot \left( -\frac{1}{3}x + 2 \right) = 0$$Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest zerem:$$x = 0$$lub$$-\frac{1}{3}x + 2 = 0$$Rozwiązujemy drugie równanie, przenosząc $2$ na prawą stronę:$$-\frac{1}{3}x = -2$$Mnożymy obie strony przez $-3$:$$x = 6$$Miejsca zerowe to $x = 0$ oraz $x = 6$. Krok 3: Wyznaczenie punktu przecięcia z osią $OY$. Dla $x = 0$ otrzymujemy:$$f(0) = -\frac{1}{3} \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 = 0$$Punkt przecięcia to $B = \left( 0, 0 \right)$. Jest to jednocześnie jedno z miejsc zerowych. Krok 4: Wyznaczenie punktu symetrycznego. Oś symetrii to $x = 3$. Punkt $B$ jest oddalony o $3$ jednostki od osi. Punkt symetryczny $B'$ leży w odległości $3$ jednostek w prawo od $x = 3$:$$x = 3 + 3 = 6$$Współrzędna $y$ to $0$. Punkt symetryczny to $B' = \left( 6, 0 \right)$. Jest to drugie miejsce zerowe. c) $f(x) = x^{2} - 6x + 5$ Krok 1: Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka. Mamy $a = 1$, $b = -6$, $c = 5$. Obliczamy $p$:$$p = \frac{-\left( -6 \right)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$$Obliczamy $q$:$$q = f(3) = 3^{2} - 6 \cdot 3 + 5$$$$q = 9 - 18 + 5$$$$q = -9 + 5$$$$q = -4$$Wierzchołek to $W = \left( 3, -4 \right)$. Krok 2: Wyznaczenie miejsc zerowych. Obliczamy wyróżnik $\Delta$:$$\Delta = \left( -6 \right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5$$$$\Delta = 36 - 20$$$$\Delta = 16$$Pierwiastek z delty to $\sqrt{16} = 4$. Obliczamy $x_{1}$ oraz $x_{2}$:$$x_{1} = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{6 - 4}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$$$$x_{2} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$$Miejsca zerowe to $x = 1$ oraz $x = 5$. Krok 3: Wyznaczenie punktu przecięcia z osią $OY$.$$f(0) = 0^{2} - 6 \cdot 0 + 5 = 5$$Punkt przecięcia to $C = \left( 0, 5 \right)$. Krok 4: Wyznaczenie punktu symetrycznego. Oś symetrii to $x = 3$. Odległość punktu $C$ od osi wynosi $3$ jednostki. Punkt symetryczny $C'$ leży po drugiej stronie osi:$$x = 3 + 3 = 6$$Obliczamy $y$ dla $x = 6$:$$f(6) = 6^{2} - 6 \cdot 6 + 5 = 36 - 36 + 5 = 5$$Punkt symetryczny to $C' = \left( 6, 5 \right)$.

Zadanie 4 (4 pkt)

Zapisz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, mając dane jej miejsca zerowe $x_1$ i $x_2$ oraz zbiór wartości $ZW$. a) $x_1 = -4$, $x_2 = 2$, $ZW = \left\langle -18, +\infty \right)$ b) $x_1 = 3$, $x_2 = 9$, $ZW = \left( -\infty, 6 \right\rangle$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to $f \left( x \right) = a \left( x - p \right)^{2} + q$, gdzie para liczb $\left( p, q \right)$ to współrzędne wierzchołka paraboli. Twoim zadaniem jest wyznaczenie wartości $a$, $p$ oraz $q$. 2) Pierwszą współrzędną wierzchołka $p$ możesz wyznaczyć, korzystając z faktu, że wierzchołek leży dokładnie pośrodku między miejscami zerowymi. Skorzystaj ze wzoru na średnią arytmetyczną miejsc zerowych:$$p = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$$3) Drugą współrzędną wierzchołka $q$ odczytasz bezpośrednio ze zbioru wartości $ZW$. Jeśli zbiór wartości zaczyna się lub kończy konkretną liczbą (np. $-18$ lub $6$), to ta liczba jest właśnie współrzędną $q$ wierzchołka. Pamiętaj, że jeśli zbiór wartości jest domknięty z dołu, to parabola ma ramiona skierowane do góry $\left( a > 0 \right)$, a jeśli z góry – ramiona skierowane są do dołu $\left( a < 0 \right)$. 4) Aby obliczyć współczynnik $a$, podstaw współrzędne wierzchołka $p, q$ oraz jedno z miejsc zerowych (np. punkt $\left( x_{1}, 0 \right)$) do wzoru postaci kanonicznej i rozwiąż powstałe równanie. ROZWIĄZANIE: a) $x_{1} = -4$, $x_{2} = 2$, $ZW = \left\langle -18, +\infty \right)$ Krok 1: Wyznaczanie współrzędnej $p$ wierzchołka. Wierzchołek paraboli znajduje się na osi symetrii, która przechodzi dokładnie przez środek odcinka łączącego miejsca zerowe na osi $OX$. Obliczamy średnią arytmetyczną wartości $x_{1}$ oraz $x_{2}$:$$p = \frac{-4 + 2}{2}$$Wykonujemy dodawanie w liczniku:$$p = \frac{-2}{2}$$Dzielimy liczby:$$p = -1$$Krok 2: Wyznaczanie współrzędnej $q$ wierzchołka. Zbiór wartości funkcji kwadratowej informuje nas o najniższym lub najwyższym punkcie wykresu. Skoro $ZW = \left\langle -18, +\infty \right)$, oznacza to, że najmniejszą wartością funkcji jest $-18$. Ta najmniejsza wartość to właśnie współrzędna $q$ wierzchołka:$$q = -18$$Dodatkowo wiemy, że skoro wartości rosną do $+\infty$, to ramiona paraboli są skierowane do góry, czyli współczynnik $a$ musi być dodatni. Krok 3: Wyznaczanie współczynnika $a$. Znamy już $p = -1$ oraz $q = -18$. Podstawiamy te dane do wzoru postaci kanonicznej $f \left( x \right) = a \left( x - p \right)^{2} + q$:$$f \left( x \right) = a \left( x - \left( -1 \right) \right)^{2} + \left( -18 \right)$$Upraszczamy znaki (minus i minus daje plus):$$f \left( x \right) = a \left( x + 1 \right)^{2} - 18$$Teraz musimy wykorzystać informację o miejscu zerowym. Wiemy, że dla $x_{1} = -4$ wartość funkcji wynosi $0$, czyli punkt $\left( -4, 0 \right)$ należy do wykresu. Podstawiamy te współrzędne do wzoru:$$0 = a \left( -4 + 1 \right)^{2} - 18$$Wykonujemy działanie w nawiasie:$$0 = a \left( -3 \right)^{2} - 18$$Podnosimy liczbę $-3$ do kwadratu:$$0 = a \cdot 9 - 18$$Przenosimy liczbę $-18$ na lewą stronę równania, zmieniając jej znak na przeciwny:$$18 = 9a$$Aby wyznaczyć $a$, dzielimy obie strony równania przez $9$:$$a = \frac{18}{9}$$$$a = 2$$Krok 4: Zapisanie wzoru końcowego. Podstawiamy wyliczone $a = 2$, $p = -1$ oraz $q = -18$ do postaci kanonicznej:$$f \left( x \right) = 2 \left( x + 1 \right)^{2} - 18$$b) $x_{1} = 3$, $x_{2} = 9$, $ZW = \left( -\infty, 6 \right\rangle$ Krok 1: Wyznaczanie współrzędnej $p$ wierzchołka. Obliczamy środek między miejscami zerowymi $3$ oraz $9$:$$p = \frac{3 + 9}{2}$$$$p = \frac{12}{2}$$$$p = 6$$Krok 2: Wyznaczanie współrzędnej $q$ wierzchołka. Zbiór wartości $ZW = \left( -\infty, 6 \right\rangle$ wskazuje, że największą wartością funkcji jest $6$. Jest to współrzędna $q$ wierzchołka:$$q = 6$$Ponieważ wartości dążą do $-\infty$, ramiona paraboli są skierowane w dół, co oznacza, że współczynnik $a$ będzie ujemny. Krok 3: Wyznaczanie współczynnika $a$. Podstawiamy $p = 6$ oraz $q = 6$ do wzoru ogólnego postaci kanonicznej:$$f \left( x \right) = a \left( x - 6 \right)^{2} + 6$$Wykorzystujemy miejsce zerowe $x_{1} = 3$, co oznacza, że dla $x = 3$ otrzymujemy $y = 0$:$$0 = a \left( 3 - 6 \right)^{2} + 6$$Wykonujemy odejmowanie w nawiasie:$$0 = a \left( -3 \right)^{2} + 6$$Podnosimy do kwadratu:$$0 = a \cdot 9 + 6$$Przenosimy liczbę $6$ na lewą stronę równania ze zmianą znaku:$$-6 = 9a$$Dzielimy obie strony przez $9$:$$a = \frac{-6}{9}$$Skracamy ułamek przez $3$:$$a = -\frac{2}{3}$$Krok 4: Zapisanie wzoru końcowego. Podstawiamy wszystkie parametry do wzoru:$$f \left( x \right) = -\frac{2}{3} \left( x - 6 \right)^{2} + 6$$

Zadanie 5 (3 pkt)

Napisz wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, mając dane współrzędne wierzchołka $W$ paraboli będącej wykresem tej funkcji oraz jedno z jej miejsc zerowych. a) $W\left(2, -4\right); x_1 = 0$ b) $W\left(3, 1\right); x_1 = 2$ c) $W\left(-1, 8\right); x_1 = 1$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to $f(x) = a \cdot \left( x - p \right)^{2} + q$, gdzie para liczb $\left( p, q \right)$ to współrzędne wierzchołka paraboli $W = \left( p, q \right)$. Mając dane współrzędne wierzchołka, możesz od razu podstawić je do tego wzoru. 2) Miejsce zerowe $x_{1}$ to taki argument, dla którego wartość funkcji wynosi zero, czyli $f(x_{1}) = 0$. Wykorzystaj tę informację, aby obliczyć brakujący współczynnik $a$. Podstaw $x_{1}$ w miejsce $x$ oraz $0$ w miejsce $f(x)$, a następnie rozwiąż równanie. 3) Postać ogólna funkcji kwadratowej to $f(x) = ax^{2} + bx + c$. Aby ją otrzymać z postaci kanonicznej, należy wykonać potęgowanie nawiasu zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia na kwadrat sumy lub różnicy:$$\left( a + b \right)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$$$$\left( a - b \right)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$$Następnie wymnóż otrzymany wynik przez współczynnik $a$ i uporządkuj wyrazy wolne. ROZWIĄZANIE: a) $W\left( 2, -4 \right); x_{1} = 0$ Krok 1: Podstawienie współrzędnych wierzchołka do postaci kanonicznej. Z danych zadania mamy $p = 2$ oraz $q = -4$. Podstawiamy te liczby do wzoru $f(x) = a \cdot \left( x - p \right)^{2} + q$:$$f(x) = a \cdot \left( x - 2 \right)^{2} - 4$$Krok 2: Wyznaczenie współczynnika $a$. Wiemy, że miejsce zerowe to $x_{1} = 0$. Oznacza to, że punkt $\left( 0, 0 \right)$ należy do wykresu funkcji. Podstawiamy $x = 0$ oraz $f(x) = 0$ do wzoru z kroku 1:$$0 = a \cdot \left( 0 - 2 \right)^{2} - 4$$Najpierw obliczamy działanie w nawiasie:$$0 = a \cdot \left( -2 \right)^{2} - 4$$Podnosimy $-2$ do kwadratu:$$0 = a \cdot 4 - 4$$$$0 = 4a - 4$$Przenosimy liczbę $-4$ na lewą stronę równania, zmieniając jej znak na przeciwny:$$4 = 4a$$Dzielimy obie strony przez $4$, aby otrzymać $a$:$$a = 1$$Krok 3: Przekształcenie do postaci ogólnej. Podstawiamy wyliczone $a = 1$ do wzoru funkcji:$$f(x) = 1 \cdot \left( x - 2 \right)^{2} - 4$$Rozwijamy nawias $\left( x - 2 \right)^{2}$ korzystając ze wzoru skróconego mnożenia $\left( a - b \right)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$:$$f(x) = 1 \cdot \left( x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} \right) - 4$$$$f(x) = x^{2} - 4x + 4 - 4$$Redukujemy wyrazy wolne $4 - 4 = 0$:$$f(x) = x^{2} - 4x$$Wzór w postaci ogólnej to $f(x) = x^{2} - 4x$. b) $W\left( 3, 1 \right); x_{1} = 2$ Krok 1: Podstawienie współrzędnych wierzchołka. Mamy $p = 3$ oraz $q = 1$. Podstawiamy do wzoru:$$f(x) = a \cdot \left( x - 3 \right)^{2} + 1$$Krok 2: Wyznaczenie współczynnika $a$. Podstawiamy miejsce zerowe $x = 2$ oraz $f(2) = 0$:$$0 = a \cdot \left( 2 - 3 \right)^{2} + 1$$Obliczamy wartość w nawiasie:$$0 = a \cdot \left( -1 \right)^{2} + 1$$Potęgujemy:$$0 = a \cdot 1 + 1$$$$0 = a + 1$$Przenosimy liczbę $1$ na lewą stronę równania ze zmianą znaku:$$a = -1$$Krok 3: Przekształcenie do postaci ogólnej. Podstawiamy $a = -1$ do wzoru:$$f(x) = -1 \cdot \left( x - 3 \right)^{2} + 1$$Rozwijamy nawias kwadratowy:$$f(x) = -1 \cdot \left( x^{2} - 6x + 9 \right) + 1$$Mnożymy wszystkie wyrazy w nawiasie przez $-1$, co zmienia ich znaki na przeciwne:$$f(x) = -x^{2} + 6x - 9 + 1$$Wykonujemy dodawanie $-9 + 1 = -8$:$$f(x) = -x^{2} + 6x - 8$$Wzór w postaci ogólnej to $f(x) = -x^{2} + 6x - 8$. c) $W\left( -1, 8 \right); x_{1} = 1$ Krok 1: Podstawienie współrzędnych wierzchołka. Mamy $p = -1$ oraz $q = 8$. Zauważ, że we wzorze mamy $-\left( -1 \right)$, co daje $+1$:$$f(x) = a \cdot \left( x + 1 \right)^{2} + 8$$Krok 2: Wyznaczenie współczynnika $a$. Podstawiamy $x = 1$ oraz $f(x) = 0$:$$0 = a \cdot \left( 1 + 1 \right)^{2} + 8$$Obliczamy nawias:$$0 = a \cdot 2^{2} + 8$$Potęgujemy:$$0 = a \cdot 4 + 8$$$$0 = 4a + 8$$Przenosimy $8$ na lewą stronę ze zmianą znaku:$$-8 = 4a$$Dzielimy obie strony równania przez $4$:$$a = \frac{-8}{4}$$$$a = -2$$Krok 3: Przekształcenie do postaci ogólnej. Podstawiamy $a = -2$ do wzoru:$$f(x) = -2 \cdot \left( x + 1 \right)^{2} + 8$$Rozwijamy nawias $\left( x + 1 \right)^{2}$ korzystając ze wzoru na kwadrat sumy:$$f(x) = -2 \cdot \left( x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} \right) + 8$$$$f(x) = -2 \cdot \left( x^{2} + 2x + 1 \right) + 8$$Mnożymy każdy wyraz w nawiasie przez $-2$:$$f(x) = -2x^{2} - 4x - 2 + 8$$Dodajemy do siebie liczby wolne $-2 + 8 = 6$:$$f(x) = -2x^{2} - 4x + 6$$Wzór w postaci ogólnej to $f(x) = -2x^{2} - 4x + 6$.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Wyznacz miejsca zerowe funkcji kwadratowej $f$, doprowadzając najpierw wzór tej funkcji do postaci kanonicznej. a) $f(x) = -x^2 + 4x - 3$ b) $f(x) = 0,25x^2 + 2x + 4$ c) $f(x) = 3x^2 + 18x + 15$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Dany jest wzór funkcji kwadratowej $f$. Wyznacz miejsca zerowe tej funkcji, a następnie współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem tej funkcji. a) $f(x) = 5x^2 - 20x$ b) $f(x) = -6x - 3x^2$ c) $f(x) = 4(x-1)(x+5)$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Dany jest wzór funkcji kwadratowej $f$. Wyznacz współrzędne wierzchołka, miejsca zerowe oraz punkt przecięcia z osią $OY$ wraz z punktem symetrycznym dla funkcji: a) $f(x) = -2\left( x+3 \right)^2$ b) $f(x) = \frac{1}{4}x^2 + x$ c) $f(x) = -x^2 - 2x + 3$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (2 pkt)

Zapisz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, mając dane jej miejsca zerowe $x_1$ i $x_2$ oraz zbiór wartości $ZW$. a) $x_1 = -8$, $x_2 = 0$, $ZW = \left\langle -4, +\infty \right)$ b) $x_1 = -1\frac{1}{4}$, $x_2 = 3\frac{3}{4}$, $ZW = \left( -\infty, 5 \right\rangle$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

Napisz wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, mając dane współrzędne wierzchołka $W$ paraboli będącej wykresem tej funkcji oraz jedno z jej miejsc zerowych. a) $W\left(1, 3\right); x_1 = 3$ b) $W\left(-4, -2\right); x_1 = -2$ c) $W\left(5, 4\right); x_1 = 7$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

6.1 Funkcja kwadratowa

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (4 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (2 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋