Działania na wyrażeniach algebraicznych kartkówka LiczBit

2.3 Działania na wyrażeniach algebraicznych

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Zapisz w postaci wyrażeń algebraicznych:

a) iloczyn kwadratu liczby $x$ i sześcianu liczby $y$

b) iloraz sześcianu zmiennej $a$ przez iloczyn zmiennych $a$ i $b$

c) iloraz sumy liczb $k$ i $m$ przez różnicę liczb $p$ i $r$

d) różnicę iloczynu liczb $u$ oraz $v$ i kwadratu liczby $w$

e) pierwiastek kwadratowy z sumy zmiennej $x$ i jednej czwartej zmiennej $y$

f) różnicę pierwiastka stopnia trzeciego z sumy sześcianów zmiennych $x$ i $y$ oraz iloczynu tych zmiennych

Wskazówki:

Suma to wynik dodawania, różnica to wynik odejmowania, iloczyn to wynik mnożenia, a iloraz to wynik dzielenia (zapisywany najczęściej za pomocą kreski ułamkowej).
Kwadrat danej liczby lub zmiennej oznacza podniesienie jej do potęgi drugiej, np. $x^2$, a sześcian to podniesienie do potęgi trzeciej, np. $y^3$.
Zwracaj uwagę na kolejność opisanych działań: jeśli pierwiastek lub ułamek dotyczy całego wyrażenia (np. sumy lub różnicy), całe to wyrażenie musi znaleźć się odpowiednio pod znakiem pierwiastka bądź w liczniku lub mianowniku ułamka.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Zapisujemy iloczyn kwadratu liczby $x$ i sześcianu liczby $y$:
Kwadrat liczby $x$ to wyrażenie $x^2$, natomiast sześcian liczby $y$ to $y^3$. Iloczyn oznacza pomnożenie obu tych potęg: $$x^2 \cdot y^3 = x^2 y^3$$
Podpunkt b) Zapisujemy iloraz sześcianu zmiennej $a$ przez iloczyn zmiennych $a$ i $b$:
Sześcian zmiennej $a$ to $a^3$. Iloczyn zmiennych $a$ i $b$ to $ab$. Iloraz zapisujemy w postaci ułamka, umieszczając sześcian w liczniku, a iloczyn w mianowniku: $$\dfrac{a^3}{ab}$$
Podpunkt c) Zapisujemy iloraz sumy liczb $k$ i $m$ przez różnicę liczb $p$ i $r$:
Suma liczb $k$ i $m$ wynosi $k + m$, a różnica liczb $p$ i $r$ wynosi $p - r$. Zapisując iloraz w postaci kreski ułamkowej, otrzymujemy: $$\dfrac{k + m}{p - r}$$
Podpunkt d) Zapisujemy różnicę iloczynu liczb $u$ oraz $v$ i kwadratu liczby $w$:
Iloczyn liczb $u$ oraz $v$ ma postać $uv$, a kwadrat liczby $w$ wynosi $w^2$. Różnica oznacza odjęcie drugiego elementu od pierwszego: $$uv - w^2$$
Podpunkt e) Zapisujemy pierwiastek kwadratowy z sumy zmiennej $x$ i jednej czwartej zmiennej $y$:
Jedna czwarta zmiennej $y$ to $\dfrac{1}{4}y$. Suma zmiennej $x$ oraz tej części ma postać $x + \dfrac{1}{4}y$. Znak pierwiastka kwadratowego obejmuje całą tę sumę: $$\sqrt{x + \dfrac{1}{4}y}$$
Podpunkt f) Zapisujemy różnicę pierwiastka stopnia trzeciego z sumy sześcianów zmiennych $x$ i $y$ oraz iloczynu tych zmiennych:
Suma sześcianów zmiennych $x$ i $y$ to $x^3 + y^3$. Pierwiastek stopnia trzeciego z tego wyrażenia to $\sqrt[3]{x^3 + y^3}$. Iloczyn zmiennych $x$ i $y$ wynosi $xy$. Zapisujemy różnicę, odejmując iloczyn od pierwiastka: $$\sqrt[3]{x^3 + y^3} - xy$$

Odpowiedź:
a) $x^2 y^3$

b) $\dfrac{a^3}{ab}$

c) $\dfrac{k + m}{p - r}$

d) $uv - w^2$

e) $\sqrt{x + \dfrac{1}{4}y}$

f) $\sqrt[3]{x^3 + y^3} - xy$

Zadanie 2

Doprowadź wyrażenia do najprostszej postaci. Podaj konieczne założenia.

a) $4x - [6x - (3x - 2)]$
b) $8m^2 - (-1) \cdot [5m^2 - 4m - (2m^2 - m)]$
c) $(3a^2 - 2a + 4) \cdot (-3a) + 12(a^2 - 0{,}5)$
d) $(3x^2 - 4xy + 5) \cdot 3xy - 8xy$
e) $(-12x^3 + 6x^2 - 18x) : (6x) + 2$
f) $(-6x^2 + 15x^3y^2 - 21x^4y^3) : (-3x^2)$

Wskazówki:

Pamiętaj o kolejności wykonywania działań oraz opuszczaniu nawiasów: znak minus stojący bezpośrednio przed nawiasem zmienia znak każdego wyrazu wewnątrz tego nawiasu na przeciwny.
W podpunktach zawierających dzielenie przez zmienną należy bezwzględnie ustalić dziedzinę wyrażenia – dzielnik (mianownik) nie może być równy zero.
Redukcję wyrazów podobnych przeprowadzaj sumiennie dopiero po wykonaniu wszystkich mnożeń i dzieleń jednomianów przez sumy algebraiczne.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Upraszczamy wyrażenie $4x - [6x - (3x - 2)]$:
W wyrażeniu nie występuje dzielenie przez zmienną ani pierwiastek, dlatego założenie obejmuje wszystkie liczby rzeczywiste: $x \in \mathbb{R}$.
Najpierw opuszczamy nawias wewnętrzny (okrągły), zmieniając znaki wyrazów na przeciwne: $$\begin{aligned} 6x - (3x - 2) &= 6x - 3x + 2 \\ &= 3x + 2 \end{aligned}$$ Podstawiamy otrzymany wynik pod nawias kwadratowy i opuszczamy go: $$\begin{aligned} 4x - [3x + 2] &= 4x - 3x - 2 \\ &= x - 2 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Upraszczamy wyrażenie $8m^2 - (-1) \cdot [5m^2 - 4m - (2m^2 - m)]$:
Wyrażenie nie zawiera dzielenia przez zmienną, zatem dziedziną jest zbiór: $m \in \mathbb{R}$.
Upraszczamy zawartość nawiasu kwadratowego, usuwając najpierw nawias okrągły: $$\begin{aligned} 5m^2 - 4m - (2m^2 - m) &= 5m^2 - 4m - 2m^2 + m \\ &= (5 - 2)m^2 + (-4 + 1)m \\ &= 3m^2 - 3m \end{aligned}$$ Zauważmy, że odjęcie iloczynu z liczbą $-1$ jest równoważne dodaniu tego wyrażenia, ponieważ $-(-1) = +1$: $$\begin{aligned} 8m^2 - (-1) \cdot (3m^2 - 3m) &= 8m^2 + 1 \cdot (3m^2 - 3m) \\ &= 8m^2 + 3m^2 - 3m \\ &= 11m^2 - 3m \end{aligned}$$
Podpunkt c) Upraszczamy wyrażenie $(3a^2 - 2a + 4) \cdot (-3a) + 12(a^2 - 0{,}5)$:
Wyrażenie jest określone dla każdego $a \in \mathbb{R}$.
Mnożymy każdy wyraz z pierwszego nawiasu przez jednomian $-3a$: $$\begin{aligned} (3a^2 - 2a + 4) \cdot (-3a) &= 3a^2 \cdot (-3a) - 2a \cdot (-3a) + 4 \cdot (-3a) \\ &= -9a^3 + 6a^2 - 12a \end{aligned}$$ Wymnażamy drugi nawias przez liczbę $12$: $$12(a^2 - 0{,}5) = 12a^2 - 6$$ Dodajemy oba wyrażenia i redukujemy wyrazy o tych samych potęgach: $$\begin{aligned} (-9a^3 + 6a^2 - 12a) + (12a^2 - 6) &= -9a^3 + (6a^2 + 12a^2) - 12a - 6 \\ &= -9a^3 + 18a^2 - 12a - 6 \end{aligned}$$
Podpunkt d) Upraszczamy wyrażenie $(3x^2 - 4xy + 5) \cdot 3xy - 8xy$:
Założenie obejmuje wszystkie pary liczb rzeczywistych: $x, y \in \mathbb{R}$.
Wymnażamy nawias przez jednomian $3xy$: $$\begin{aligned} (3x^2 - 4xy + 5) \cdot 3xy &= 3x^2 \cdot 3xy - 4xy \cdot 3xy + 5 \cdot 3xy \\ &= 9x^3y - 12x^2y^2 + 15xy \end{aligned}$$ Odejmujemy wyraz wolny $8xy$ i redukujemy: $$\begin{aligned} 9x^3y - 12x^2y^2 + 15xy - 8xy &= 9x^3y - 12x^2y^2 + (15 - 8)xy \\ &= 9x^3y - 12x^2y^2 + 7xy \end{aligned}$$
Podpunkt e) Upraszczamy wyrażenie $(-12x^3 + 6x^2 - 18x) : (6x) + 2$:
Konieczne założenie: W wyrażeniu występuje dzielenie przez $6x$. Dzielnik nie może być równy zero: $$6x \neq 0 \iff x \neq 0 \quad (x \in \mathbb{R} \setminus \{0\})$$ Dzielimy każdy składnik sumy w nawiasie przez $6x$: $$\begin{aligned} (-12x^3 + 6x^2 - 18x) : (6x) &= \dfrac{-12x^3}{6x} + \dfrac{6x^2}{6x} - \dfrac{18x}{6x} \\ &= -2x^2 + x - 3 \end{aligned}$$ Dodajemy liczbę $2$ i redukujemy wyrazy wolne: $$\begin{aligned} (-2x^2 + x - 3) + 2 &= -2x^2 + x - 1 \end{aligned}$$
Podpunkt f) Upraszczamy wyrażenie $(-6x^2 + 15x^3y^2 - 21x^4y^3) : (-3x^2)$:
Konieczne założenie: Dzielnik nie może wynosić zero: $$-3x^2 \neq 0 \iff x^2 \neq 0 \iff x \neq 0 \quad (x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}, \ y \in \mathbb{R})$$ Dzielimy każdy składnik wielomianu przez $-3x^2$: $$\begin{aligned} \dfrac{-6x^2 + 15x^3y^2 - 21x^4y^3}{-3x^2} &= \dfrac{-6x^2}{-3x^2} + \dfrac{15x^3y^2}{-3x^2} - \dfrac{21x^4y^3}{-3x^2} \\ &= 2 - 5xy^2 - (-7x^2y^3) \\ &= 2 - 5xy^2 + 7x^2y^3 \end{aligned}$$ Zapisując wynik w uporządkowanej postaci: $$7x^2y^3 - 5xy^2 + 2$$

Odpowiedź:
a) $x - 2$, dla $x \in \mathbb{R}$

b) $11m^2 - 3m$, dla $m \in \mathbb{R}$

c) $-9a^3 + 18a^2 - 12a - 6$, dla $a \in \mathbb{R}$

d) $9x^3y - 12x^2y^2 + 7xy$, dla $x, y \in \mathbb{R}$

e) $-2x^2 + x - 1$, założenie: $x \neq 0$ ($x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$)

f) $7x^2y^3 - 5xy^2 + 2$, założenie: $x \neq 0$ ($x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, $y \in \mathbb{R}$)

Zadanie 3

Wykonaj mnożenie:

a) $4(x - 3)(2x + 5)$

b) $-2(3a + 2)(5 - 2a)$

c) $-4\left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{8}b\right)(2b - 4)$

d) $6\left(\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6}y\right)(y + 4)$

e) $\dfrac{2}{3}\left(x + \dfrac{3}{5}\right)(5x - 12)$

f) $-\dfrac{1}{3}(4 - 7a)(6a + 3)$

g) $\sqrt{3}(y - \sqrt{3})(y + \sqrt{12})$

h) $(\sqrt{5} - b)(3b + 2)$

Wskazówki:

Mnożenie dwóch sum algebraicznych polega na pomnożeniu każdego wyrazu pierwszego nawiasu przez każdy wyraz drugiego nawiasu: $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$.
Czynnik stojący przed nawiasami można wymnożyć z jednym z nawiasów na początku lub najpierw wymnożyć oba nawiasy wewnątrz, a następnie każdy wyraz pomnożyć przez liczbę stojącą na początku.
Zwróć szczególną uwagę na znaki minus – znak ujemny przed całym wyrażeniem zmienia znak każdego wyrazu sumy.
Upraszczaj pierwiastki przed wykonaniem mnożenia, korzystając z rozkładu liczby podpierwiastkowej: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ oraz z faktu, że $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$.
Po wykonaniu mnożenia zawsze zredukuj wyrazy podobne i uporządkuj wielomian od najwyższej potęgi zmiennej.

Dane i szukane:

Dane: Wyrażenia algebraiczne podane w podpunktach a–h.
Szukane: Uproszczona postać wielomianów po wykonaniu mnożenia i redukcji wyrazów podobnych.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wykonujemy mnożenie wyrażenia $4(x - 3)(2x + 5)$:
Najpierw mnożymy dwumiany w nawiasach: $$\begin{aligned} (x - 3)(2x + 5) &= x \cdot 2x + x \cdot 5 - 3 \cdot 2x - 3 \cdot 5 \\ &= 2x^2 + 5x - 6x - 15 \\ &= 2x^2 - x - 15 \end{aligned}$$ Mnożymy każdy składnik przez liczbę $4$: $$\begin{aligned} 4(2x^2 - x - 15) &= 4 \cdot 2x^2 - 4 \cdot x - 4 \cdot 15 \\ &= 8x^2 - 4x - 60 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Wykonujemy mnożenie wyrażenia $-2(3a + 2)(5 - 2a)$:
Wymnażamy wyrażenia w nawiasach: $$\begin{aligned} (3a + 2)(5 - 2a) &= 3a \cdot 5 - 3a \cdot 2a + 2 \cdot 5 - 2 \cdot 2a \\ &= 15a - 6a^2 + 10 - 4a \\ &= -6a^2 + 11a + 10 \end{aligned}$$ Mnożymy otrzymaną sumę przez $-2$: $$\begin{aligned} -2(-6a^2 + 11a + 10) &= (-2) \cdot (-6a^2) + (-2) \cdot 11a + (-2) \cdot 10 \\ &= 12a^2 - 22a - 20 \end{aligned}$$
Podpunkt c) Wykonujemy mnożenie wyrażenia $-4\left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{8}b\right)(2b - 4)$:
Wymnażamy liczbę $-4$ przez pierwszy nawias: $$-4 \cdot \left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{8}b\right) = -1 - \dfrac{3}{2}b$$ Mnożymy otrzymany dwumian przez drugi nawias: $$\begin{aligned} \left(-1 - \dfrac{3}{2}b\right)(2b - 4) &= -1 \cdot 2b - 1 \cdot (-4) - \dfrac{3}{2}b \cdot 2b - \dfrac{3}{2}b \cdot (-4) \\ &= -2b + 4 - 3b^2 + 6b \\ &= -3b^2 + 4b + 4 \end{aligned}$$
Podpunkt d) Wykonujemy mnożenie wyrażenia $6\left(\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6}y\right)(y + 4)$:
Wymnażamy liczbę $6$ przez pierwszy nawias: $$6 \cdot \left(\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6}y\right) = 6 \cdot \dfrac{2}{3} - 6 \cdot \dfrac{5}{6}y = 4 - 5y$$ Mnożymy powstały dwumian przez $(y + 4)$: $$\begin{aligned} (4 - 5y)(y + 4) &= 4 \cdot y + 4 \cdot 4 - 5y \cdot y - 5y \cdot 4 \\ &= 4y + 16 - 5y^2 - 20y \\ &= -5y^2 - 16y + 16 \end{aligned}$$
Podpunkt e) Wykonujemy mnożenie wyrażenia $\dfrac{2}{3}\left(x + \dfrac{3}{5}\right)(5x - 12)$:
Mnożymy najpierw oba nawiasy: $$\begin{aligned} \left(x + \dfrac{3}{5}\right)(5x - 12) &= x \cdot 5x - 12 \cdot x + \dfrac{3}{5} \cdot 5x - \dfrac{3}{5} \cdot 12 \\ &= 5x^2 - 12x + 3x - \dfrac{36}{5} \\ &= 5x^2 - 9x - \dfrac{36}{5} \end{aligned}$$ Mnożymy każdy wyraz przez $\dfrac{2}{3}$: $$\begin{aligned} \dfrac{2}{3}\left(5x^2 - 9x - \dfrac{36}{5}\right) &= \dfrac{2}{3} \cdot 5x^2 - \dfrac{2}{3} \cdot 9x - \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{36}{5} \\ &= \dfrac{10}{3}x^2 - 6x - \dfrac{24}{5} \end{aligned}$$
Podpunkt f) Wykonujemy mnożenie wyrażenia $-\dfrac{1}{3}(4 - 7a)(6a + 3)$:
Zauważamy, że drugi nawias można podzielić przez $3$, czyli wymnażamy $-\dfrac{1}{3}$ przez $(6a + 3)$: $$-\dfrac{1}{3} \cdot (6a + 3) = -2a - 1 = -(2a + 1)$$ Mnożymy dwumiany: $$\begin{aligned} (4 - 7a)(-2a - 1) &= 4 \cdot (-2a) + 4 \cdot (-1) - 7a \cdot (-2a) - 7a \cdot (-1) \\ &= -8a - 4 + 14a^2 + 7a \\ &= 14a^2 - a - 4 \end{aligned}$$
Podpunkt g) Wykonujemy mnożenie wyrażenia $\sqrt{3}(y - \sqrt{3})(y + \sqrt{12})$:
Upraszczamy pierwiastek $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ i mnożymy nawiasy: $$\begin{aligned} (y - \sqrt{3})(y + 2\sqrt{3}) &= y^2 + 2\sqrt{3}y - \sqrt{3}y - \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \\ &= y^2 + \sqrt{3}y - 2 \cdot 3 \\ &= y^2 + \sqrt{3}y - 6 \end{aligned}$$ Wymnażamy wynik przez $\sqrt{3}$: $$\begin{aligned} \sqrt{3}(y^2 + \sqrt{3}y - 6) &= \sqrt{3} \cdot y^2 + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}y - 6 \cdot \sqrt{3} \\ &= \sqrt{3}y^2 + 3y - 6\sqrt{3} \end{aligned}$$
Podpunkt h) Wykonujemy mnożenie wyrażenia $(\sqrt{5} - b)(3b + 2)$:
Mnożymy każdy składnik pierwszego nawiasu przez każdy składnik drugiego: $$\begin{aligned} (\sqrt{5} - b)(3b + 2) &= \sqrt{5} \cdot 3b + \sqrt{5} \cdot 2 - b \cdot 3b - b \cdot 2 \\ &= 3\sqrt{5}b + 2\sqrt{5} - 3b^2 - 2b \end{aligned}$$ Porządkujemy wyraz po wyrazie według malejących potęg zmiennej $b$: $$-3b^2 + (3\sqrt{5} - 2)b + 2\sqrt{5}$$

Odpowiedź:
a) $8x^2 - 4x - 60$

b) $12a^2 - 22a - 20$

c) $-3b^2 + 4b + 4$

d) $-5y^2 - 16y + 16$

e) $\dfrac{10}{3}x^2 - 6x - \dfrac{24}{5}$

f) $14a^2 - a - 4$

g) $\sqrt{3}y^2 + 3y - 6\sqrt{3}$

h) $-3b^2 + (3\sqrt{5} - 2)b + 2\sqrt{5}$

Zadanie 4

Doprowadź wyrażenia do najprostszej postaci:

a) $(2x - y)(x + 4y) + (x + 3y)(-2x + y)$

b) $(x - y + 2)(3x + y) + (-1)(x + 2)(3x - 2y)$

c) $-(x + 2)(3x + y - 4) + (2x - y)(2x - y + 1) - (x^2 + y^2)$

d) $(2x + y)(x - 4y) - x(x + 3y - 2) - x(x - 10y)$

e) $5 - (1 + 2x)(3x - 7) + (4 - x)3x$

f) $3x(-x + 4) - 2(x + 2)(5 - 3x) + (2 - 3x)(-2 - x)$

Wskazówki:

Mnożąc sumy algebraiczne, pomnóż każdy wyraz z pierwszego nawiasu przez każdy wyraz z drugiego nawiasu, pamiętając o regule znaków.
Zwróć szczególną uwagę na znak minus przed nawiasem – zmienia on znak każdego wyrazu wewnątrz nawiasu na przeciwny.
Po wykonaniu wszystkich mnożeń pogrupuj i zredukuj wyrazy podobne (wyrazy zawierające te same zmienne w tych samych potęgach).

Dane i szukane:

Dane: Wyrażenia algebraiczne podane w podpunktach a)–f).
Szukane: Wyrażenia doprowadzone do najprostszej postaci.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Upraszczamy wyrażenie $(2x - y)(x + 4y) + (x + 3y)(-2x + y)$:
Wymnażamy poszczególne pary nawiasów: $$\begin{aligned} (2x - y)(x + 4y) &= 2x^2 + 8xy - xy - 4y^2 \\ &= 2x^2 + 7xy - 4y^2 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} (x + 3y)(-2x + y) &= -2x^2 + xy - 6xy + 3y^2 \\ &= -2x^2 - 5xy + 3y^2 \end{aligned}$$ Dodajemy oba otrzymane wielomiany i redukujemy wyrazy podobne: $$\begin{aligned} & (2x^2 + 7xy - 4y^2) + (-2x^2 - 5xy + 3y^2) \\ &= (2x^2 - 2x^2) + (7xy - 5xy) + (-4y^2 + 3y^2) \\ &= 2xy - y^2 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Upraszczamy wyrażenie $(x - y + 2)(3x + y) + (-1)(x + 2)(3x - 2y)$:
Wymnażamy pierwszy iloczyn: $$\begin{aligned} (x - y + 2)(3x + y) &= 3x^2 + xy - 3xy - y^2 + 6x + 2y \\ &= 3x^2 - 2xy - y^2 + 6x + 2y \end{aligned}$$ Wymnażamy drugi iloczyn z uwzględnieniem czynnika $-1$: $$\begin{aligned} (-1)(x + 2)(3x - 2y) &= -(3x^2 - 2xy + 6x - 4y) \\ &= -3x^2 + 2xy - 6x + 4y \end{aligned}$$ Łączymy oba fragmenty i redukujemy wyrazy podobne: $$\begin{aligned} & (3x^2 - 2xy - y^2 + 6x + 2y) + (-3x^2 + 2xy - 6x + 4y) \\ &= (3x^2 - 3x^2) + (-2xy + 2xy) - y^2 + (6x - 6x) + (2y + 4y) \\ &= -y^2 + 6y \end{aligned}$$
Podpunkt c) Upraszczamy wyrażenie $-(x + 2)(3x + y - 4) + (2x - y)(2x - y + 1) - (x^2 + y^2)$:
Wykonujemy pierwsze mnożenie i zmieniamy znaki przez minus stojący przed nawiasem: $$\begin{aligned} -(x + 2)(3x + y - 4) &= -(3x^2 + xy - 4x + 6x + 2y - 8) \\ &= -(3x^2 + xy + 2x + 2y - 8) \\ &= -3x^2 - xy - 2x - 2y + 8 \end{aligned}$$ Wymnażamy drugi składnik: $$\begin{aligned} (2x - y)(2x - y + 1) &= 4x^2 - 2xy + 2x - 2xy + y^2 - y \\ &= 4x^2 - 4xy + 2x + y^2 - y \end{aligned}$$ Opuszczamy nawias w trzecim składniku: $$-(x^2 + y^2) = -x^2 - y^2$$ Sumujemy wszystkie wyrazy i redukujemy: $$\begin{aligned} & (-3x^2 - xy - 2x - 2y + 8) + (4x^2 - 4xy + 2x + y^2 - y) - x^2 - y^2 \\ &= (-3x^2 + 4x^2 - x^2) + (-xy - 4xy) + (y^2 - y^2) + (-2x + 2x) + (-2y - y) + 8 \\ &= -5xy - 3y + 8 \end{aligned}$$
Podpunkt d) Upraszczamy wyrażenie $(2x + y)(x - 4y) - x(x + 3y - 2) - x(x - 10y)$:
Wymnażamy pierwszy iloczyn dwumianów: $$\begin{aligned} (2x + y)(x - 4y) &= 2x^2 - 8xy + xy - 4y^2 \\ &= 2x^2 - 7xy - 4y^2 \end{aligned}$$ Wymnażamy jednomiany przez nawiasy: $$-x(x + 3y - 2) = -x^2 - 3xy + 2x$$ $$-x(x - 10y) = -x^2 + 10xy$$ Dodajemy wszystkie składniki i przeprowadzamy redukcję: $$\begin{aligned} & 2x^2 - 7xy - 4y^2 - x^2 - 3xy + 2x - x^2 + 10xy \\ &= (2x^2 - x^2 - x^2) + (-7xy - 3xy + 10xy) + 2x - 4y^2 \\ &= 2x - 4y^2 \end{aligned}$$
Podpunkt e) Upraszczamy wyrażenie $5 - (1 + 2x)(3x - 7) + (4 - x)3x$:
Wymnażamy iloczyn w środkowym składniku: $$\begin{aligned} (1 + 2x)(3x - 7) &= 3x - 7 + 6x^2 - 14x \\ &= 6x^2 - 11x - 7 \end{aligned}$$ Uwzględniamy znak minus przed nawiasem oraz wymnażamy ostatni składnik: $$-(1 + 2x)(3x - 7) = -6x^2 + 11x + 7$$ $$(4 - x)3x = 12x - 3x^2$$ Składamy całość i redukujemy wyrazy podobne: $$\begin{aligned} & 5 - 6x^2 + 11x + 7 + 12x - 3x^2 \\ &= (-6x^2 - 3x^2) + (11x + 12x) + (5 + 7) \\ &= -9x^2 + 23x + 12 \end{aligned}$$
Podpunkt f) Upraszczamy wyrażenie $3x(-x + 4) - 2(x + 2)(5 - 3x) + (2 - 3x)(-2 - x)$:
Wymnażamy pierwszy składnik: $$3x(-x + 4) = -3x^2 + 12x$$ Wymnażamy drugi składnik: $$\begin{aligned} -2(x + 2)(5 - 3x) &= -2(5x - 3x^2 + 10 - 6x) \\ &= -2(-3x^2 - x + 10) \\ &= 6x^2 + 2x - 20 \end{aligned}$$ Wymnażamy trzeci składnik: $$\begin{aligned} (2 - 3x)(-2 - x) &= -4 - 2x + 6x + 3x^2 \\ &= 3x^2 + 4x - 4 \end{aligned}$$ Łączymy wszystkie trzy części i redukujemy: $$\begin{aligned} & (-3x^2 + 12x) + (6x^2 + 2x - 20) + (3x^2 + 4x - 4) \\ &= (-3x^2 + 6x^2 + 3x^2) + (12x + 2x + 4x) + (-20 - 4) \\ &= 6x^2 + 18x - 24 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $2xy - y^2$

b) $-y^2 + 6y$

c) $-5xy - 3y + 8$

d) $2x - 4y^2$

e) $-9x^2 + 23x + 12$

f) $6x^2 + 18x - 24$

Zadanie 5

Rozwiąż równania:

a) $(x-2)(x+3) + (4-x)(x+1) = 0$

b) $(2x+1)(x-3) = 2(1-x)(2-x)$

c) $3x - (x+4)(x-6) = x(2-x)$

d) $(x-1)(x+5) = (x+3)(x+1)$

e) $3 + (2x-1)(x+2) = 5x - 2(4-x^2)$

f) $3(x+4) - 0{,}5(x-2)(8-2x) = x^2 + 5$

g) $7 - (2x-1)(x+3) + 5(x+1{,}6) = 0$

h) $(x-2)(x-4) + 2\dfrac{3}{4} = x - \dfrac{28x-44}{4}$

Wskazówki:

Wymnóż dwumiany, mnożąc każdy wyraz pierwszego nawiasu przez każdy wyraz drugiego nawiasu, zwracając szczególną uwagę na znaki minus przed nawiasami.
Zredukuj wyrazy podobne. Zauważ, że w większości podpunktów wyrażenia drugiego stopnia ($x^2$) upraszczają się, prowadząc do prostego równania liniowego, a w podpunktach g) oraz h) do postaci $x^2 = a$.
Przenieś wyrazy zawierające niewiadomą $x$ na jedną stronę równania, a wyrazy wolne na drugą stronę.

Dane i szukane:

Dane: Równania algebraiczne podane w treści zadania.
Szukane: Liczby rzeczywiste $x$ spełniające poszczególne równania.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $(x-2)(x+3) + (4-x)(x+1) = 0$:
Wymnażamy nawiasy po lewej stronie równania: $$\begin{aligned} (x-2)(x+3) &= x^2 + 3x - 2x - 6 \\ &= x^2 + x - 6 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} (4-x)(x+1) &= 4x + 4 - x^2 - x \\ &= -x^2 + 3x + 4 \end{aligned}$$ Wstawiamy otrzymane sumy do równania wyjściowego i redukujemy wyrazy podobne: $$\begin{aligned} x^2 + x - 6 - x^2 + 3x + 4 &= 0 \\ 4x - 2 &= 0 \\ 4x &= 2 \\ x &= \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$$
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $(2x+1)(x-3) = 2(1-x)(2-x)$:
Wymnażamy wyrażenia po obu stronach równania: $$\begin{aligned} L &= 2x^2 - 6x + x - 3 \\ &= 2x^2 - 5x - 3 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} P &= 2(2 - x - 2x + x^2) \\ &= 2(x^2 - 3x + 2) \\ &= 2x^2 - 6x + 4 \end{aligned}$$ Przyrównujemy obie strony: $$\begin{aligned} 2x^2 - 5x - 3 &= 2x^2 - 6x + 4 \\ -5x - 3 &= -6x + 4 \\ -5x + 6x &= 4 + 3 \\ x &= 7 \end{aligned}$$
Podpunkt c) Rozwiązujemy równanie $3x - (x+4)(x-6) = x(2-x)$:
Wymnażamy dwumiany w nawiasie oraz prawą stronę: $$(x+4)(x-6) = x^2 - 6x + 4x - 24 = x^2 - 2x - 24$$ Odejmujemy ten iloczyn od $3x$, pamiętając o zmianie znaków: $$\begin{aligned} 3x - (x^2 - 2x - 24) &= 2x - x^2 \\ 3x - x^2 + 2x + 24 &= 2x - x^2 \\ -x^2 + 5x + 24 &= 2x - x^2 \end{aligned}$$ Dodajemy $x^2$ do obu stron i porządkujemy wyrazy: $$\begin{aligned} 5x + 24 &= 2x \\ 5x - 2x &= -24 \\ 3x &= -24 \\ x &= -8 \end{aligned}$$
Podpunkt d) Rozwiązujemy równanie $(x-1)(x+5) = (x+3)(x+1)$:
Wymnażamy wyrażenia po lewej i prawej stronie równania: $$\begin{aligned} x^2 + 5x - x - 5 &= x^2 + x + 3x + 3 \\ x^2 + 4x - 5 &= x^2 + 4x + 3 \end{aligned}$$ Odejmujemy wyrażenie $x^2 + 4x$ od obu stron: $$-5 = 3$$ Otrzymaliśmy równość fałszywą niezależnie od wartości $x$. Równanie jest sprzeczne i nie posiada rozwiązań ($x \in \emptyset$).
Podpunkt e) Rozwiązujemy równanie $3 + (2x-1)(x+2) = 5x - 2(4-x^2)$:
Wymnażamy nawiasy po obu stronach: $$\begin{aligned} 3 + 2x^2 + 4x - x - 2 &= 5x - 8 + 2x^2 \\ 2x^2 + 3x + 1 &= 2x^2 + 5x - 8 \end{aligned}$$ Redukujemy składnik $2x^2$ i przenosimy niewiadome na jedną stronę: $$\begin{aligned} 3x + 1 &= 5x - 8 \\ 3x - 5x &= -8 - 1 \\ -2x &= -9 \\ x &= \dfrac{-9}{-2} = 4{,}5 \end{aligned}$$
Podpunkt f) Rozwiązujemy równanie $3(x+4) - 0{,}5(x-2)(8-2x) = x^2 + 5$:
Wymnażamy dwumiany w drugim składniku lewej strony: $$\begin{aligned} (x-2)(8-2x) &= 8x - 2x^2 - 16 + 4x \\ &= -2x^2 + 12x - 16 \end{aligned}$$ Mnożymy wynik przez $-0{,}5$: $$-0{,}5(-2x^2 + 12x - 16) = x^2 - 6x + 8$$ Wstawiamy całość do lewej strony równania: $$\begin{aligned} 3(x+4) + x^2 - 6x + 8 &= x^2 + 5 \\ 3x + 12 + x^2 - 6x + 8 &= x^2 + 5 \\ x^2 - 3x + 20 &= x^2 + 5 \end{aligned}$$ Odejmujemy $x^2$ od obu stron: $$\begin{aligned} -3x + 20 &= 5 \\ -3x &= 5 - 20 \\ -3x &= -15 \\ x &= 5 \end{aligned}$$
Podpunkt g) Rozwiązujemy równanie $7 - (2x-1)(x+3) + 5(x+1{,}6) = 0$:
Wykonujemy mnożenia nawiasów: $$(2x-1)(x+3) = 2x^2 + 6x - x - 3 = 2x^2 + 5x - 3$$ $$5(x+1{,}6) = 5x + 8$$ Wstawiamy do równania: $$\begin{aligned} 7 - (2x^2 + 5x - 3) + 5x + 8 &= 0 \\ 7 - 2x^2 - 5x + 3 + 5x + 8 &= 0 \\ -2x^2 + 18 &= 0 \\ 2x^2 &= 18 \\ x^2 &= 9 \end{aligned}$$ Pierwiastkujemy równanie, pamiętając o dwóch rozwiązaniach: $$x = 3 \quad \text{lub} \quad x = -3$$
Podpunkt h) Rozwiązujemy równanie $(x-2)(x-4) + 2\dfrac{3}{4} = x - \dfrac{28x-44}{4}$:
Dzielimy każdy składnik licznika ułamka przez 4: $$\dfrac{28x-44}{4} = 7x - 11$$ Prawa strona przyjmuje postać: $$x - (7x - 11) = x - 7x + 11 = -6x + 11$$ Rozwijamy lewą stronę, zamieniając $2\dfrac{3}{4}$ na $2{,}75$: $$\begin{aligned} (x-2)(x-4) + 2{,}75 &= x^2 - 4x - 2x + 8 + 2{,}75 \\ &= x^2 - 6x + 10{,}75 \end{aligned}$$ Przyrównujemy obie strony: $$\begin{aligned} x^2 - 6x + 10{,}75 &= -6x + 11 \\ x^2 + 10{,}75 &= 11 \\ x^2 &= 11 - 10{,}75 \\ x^2 &= 0{,}25 \\ x^2 &= \dfrac{1}{4} \end{aligned}$$ Wyznaczamy rozwiązania: $$x = \dfrac{1}{2} \quad \text{lub} \quad x = -\dfrac{1}{2}$$

Odpowiedź:
a) $x = \dfrac{1}{2}$

b) $x = 7$

c) $x = -8$

d) Równanie sprzeczne (brak rozwiązań, $x \in \emptyset$)

e) $x = 4{,}5$

f) $x = 5$

g) $x = 3$ lub $x = -3$

h) $x = \dfrac{1}{2}$ lub $x = -\dfrac{1}{2}$

Grupa B

Zadanie 1

Zapisz w postaci wyrażeń algebraicznych:

a) iloczyn czwartej potęgi liczby $a$ i kwadratu liczby $b$

b) iloraz kwadratu zmiennej $m$ przez iloczyn zmiennych $k$ i $m$

c) iloraz różnicy liczb $a$ i $b$ przez iloczyn liczb $c$ i $d$

d) różnicę sześcianu liczby $x$ i podwojonego iloczynu liczb $y$ oraz $z$

e) pierwiastek kwadratowy z różnicy zmiennej $p$ i jednej piątej zmiennej $q$

f) różnicę iloczynu zmiennych $m, n$ i pierwiastka stopnia trzeciego z różnicy kwadratów tych zmiennych

Zadanie 2

Doprowadź wyrażenia do najprostszej postaci. Podaj konieczne założenia.

a) $5x - [7x - (4x - 3)]$

b) $7m^2 - (-1) \cdot [6m^2 - 5m - (m^2 - 2m)]$

c) $(2a^2 - 3a + 2) \cdot (-5a) + 15(a^2 - 0,4)$

d) $(4x^2 - 3xy + 2) \cdot 2xy - 5xy$

e) $(-15x^3 + 10x^2 - 25x) : (5x) + 3$

f) $(-5x^2 + 20x^3y^2 - 25x^4y^3) : (-5x^2)$

Zadanie 3

Wykonaj mnożenie:

a) $3(x - 2)(4x + 1)$

b) $-3(2a + 1)(5 - 4a)$

c) $-2\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4}b\right)(4b - 8)$

d) $10\left(\dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{10}y\right)(y + 5)$

e) $\dfrac{3}{4}\left(x + \dfrac{4}{7}\right)(7x - 14)$

f) $-\dfrac{1}{2}(5 - 3a)(6a + 4)$

g) $\sqrt{5}(y - \sqrt{5})(y + \sqrt{20})$

h) $(\sqrt{2} - b)(4b + 3)$

Zadanie 4

Doprowadź wyrażenia do najprostszej postaci:

a) $(x + y)(3x - 2y) + (2x - y)(-x + 4y)$

b) $(x + y - 1)(3x + y) + (-1)(x + 1)(2x - y)$

c) $-(x + 3)(2x - y + 1) + (3x - y)(x + 2y - 2) - (x^2 - 2y^2)$

d) $(2x + 3y)(x - 2y) - x(x + 5y - 3) - x(x - 6y)$

e) $4 - (3 + 2x)(2x - 5) + (3 - x)4x$

f) $3x(-x + 5) - 4(x + 2)(3 - 2x) + (2 - x)(-3 - 2x)$

Zadanie 5

Rozwiąż równania:

a) $(x-4)(x+1) + (3-x)(x+2) = 0$

b) $(2x-1)(x-4) = 2(2-x)(3-x)$

c) $5x - (x+3)(x-4) = x(3-x)$

d) $(x-2)(x+6) = (x+1)(x+3)$

e) $4 + (2x-5)(x+1) = 2x - 2(3-x^2)$

f) $2(x+7) - 0{,}5(x-4)(10-2x) = x^2 + 6$

g) $1 - (2x+1)(x-3) - 5(x-0{,}8) = 0$

h) $(x-1)(x-3) + 1\dfrac{3}{4} = x - \dfrac{20x-28}{4}$

2.3 Działania na wyrażeniach algebraicznych

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋