Dwie proste przecięte trzecią prostą. Suma kątów w trójkącie kartkówka LiczBit

7.3 Dwie proste przecięte trzecią prostą. Suma kątów w trójkącie

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Wyznacz miarę $\alpha$ kąta zaznaczonego na rysunku, wiedząc, że proste $k$ i $l$ są równoległe.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) W zadaniach tego typu kluczem jest znajomość własności kątów utworzonych przez dwie proste równoległe przecięte trzecią prostą (prostą poprzeczną). Przypomnij sobie pojęcia takie jak kąty odpowiadające, kąty naprzemianległe oraz kąty przyległe. 2) Kąty przyległe to dwa kąty, które mają jedno wspólne ramię, a ich pozostałe ramiona dopełniają się do prostej. Suma miar kątów przyległych wynosi zawsze $180^{\circ}$. 3) Kąty odpowiadające oraz kąty naprzemianległe wewnętrzne lub zewnętrzne mają równe miary, o ile proste przecięte poprzeczną są równoległe. Wykorzystaj te zależności, aby ułożyć odpowiednie równania dla każdego podpunktu. ROZWIĄZANIE: a) Wyznaczanie miary kąta $\alpha$ na pierwszym rysunku. Zauważamy, że kąt o mierze $\alpha$ oraz kąt o mierze $100^{\circ} - \alpha$ leżą po tej samej stronie prostej poprzecznej i zajmują analogiczne położenie względem prostych równoległych $k$ i $l$. Są to tak zwane kąty odpowiadające. Ponieważ proste $k$ i $l$ są równoległe, miary kątów odpowiadających są sobie równe. Możemy zatem zapisać następujące równanie:$$\alpha = 100^{\circ} - \alpha$$Aby rozwiązać to równanie, musimy przenieść niewiadomą $\alpha$ z prawej strony na lewą stronę, pamiętając o zmianie znaku na przeciwny, czyli z minusa na plus:$$\alpha + \alpha = 100^{\circ}$$Dodajemy do siebie wyrażenia po lewej stronie, ponieważ jedna alfa plus druga alfa daje dwie alfy:$$2 \cdot \alpha = 100^{\circ}$$Teraz, aby otrzymać wartość pojedynczego kąta $\alpha$, musimy podzielić obie strony równania przez liczbę $2$:$$\alpha = \frac{100^{\circ}}{2}$$Wykonujemy dzielenie liczby $100$ przez $2$, co daje wynik $50$:$$\alpha = 50^{\circ}$$Miara kąta $\alpha$ w podpunkcie a) wynosi $50^{\circ}$. b) Wyznaczanie miary kąta $\alpha$ na drugim rysunku. Spójrzmy na kąt o mierze $\alpha$ przy prostej $k$. Kąt do niego odpowiadający przy prostej $l$ znajduje się w tym samym położeniu (pod prostą $l$, po lewej stronie poprzecznej), więc również ma miarę $\alpha$. Ten kąt o mierze $\alpha$ oraz zaznaczony kąt o mierze $5 \cdot \alpha$ leżą obok siebie na prostej $l$ i razem tworzą kąt półpełny. Oznacza to, że są to kąty przyległe, a suma ich miar wynosi $180^{\circ}$. Zapisujemy równanie:$$\alpha + 5 \cdot \alpha = 180^{\circ}$$Po lewej stronie równania dodajemy wyrażenia, pamiętając, że $\alpha$ to to samo co $1 \cdot \alpha$, a $1 + 5$ daje nam $6$:$$6 \cdot \alpha = 180^{\circ}$$Aby wyznaczyć niewiadomą $\alpha$, dzielimy obie strony równania przez liczbę $6$:$$\alpha = \frac{180^{\circ}}{6}$$Po podzieleniu liczby $180$ przez $6$ otrzymujemy ostateczną wartość:$$\alpha = 30^{\circ}$$Miara kąta $\alpha$ w podpunkcie b) wynosi $30^{\circ}$. c) Wyznaczanie miary kąta $\alpha$ na trzecim rysunku. Analizujemy położenie kątów. Kąt wierzchołkowy do kąta $\alpha$ przy prostej $k$ znajduje się naprzeciwko niego i ma taką samą miarę $\alpha$. Kąt odpowiadający do tego kąta wierzchołkowego przy prostej $l$ znajduje się nad prostą $l$, po prawej stronie poprzecznej i jego miara także wynosi $\alpha$. Zauważamy, że ten kąt o mierze $\alpha$ oraz podany kąt o mierze $40^{\circ} + \alpha$ leżą na jednej prostej $l$ i razem tworzą linię prostą, czyli kąt półpełny. Są to zatem kąty przyległe, których suma wynosi $180^{\circ}$. Układamy równanie:$$\alpha + \left(40^{\circ} + \alpha\right) = 180^{\circ}$$Możemy opuścić nawias, ponieważ przed nawiasem stoi znak plus:$$\alpha + 40^{\circ} + \alpha = 180^{\circ}$$Porządkujemy lewą stronę równania, dodając do siebie niewiadome $\alpha + \alpha = 2 \cdot \alpha$:$$2 \cdot \alpha + 40^{\circ} = 180^{\circ}$$Teraz przenosimy liczbę $40^{\circ}$ z lewej strony na prawą stronę równania ze zmianą znaku na przeciwny, czyli na minus:$$2 \cdot \alpha = 180^{\circ} - 40^{\circ}$$Wykonujemy odejmowanie po prawej stronie, gdzie $180$ minus $40$ daje nam $140$:$$2 \cdot \alpha = 140^{\circ}$$Na koniec dzielimy obie strony tego równania przez liczbę $2$:$$\alpha = \frac{140^{\circ}}{2}$$Otrzymujemy wynik końcowy po podzieleniu $140$ przez $2$:$$\alpha = 70^{\circ}$$Miara kąta $\alpha$ w podpunkcie c) wynosi $70^{\circ}$. d) Wyznaczanie miary kąta $\alpha$ na czwartym rysunku. Na tym rysunku wprowadzono dodatkową zmienną $\beta$. Kąt o mierze $\alpha$ przy prostej $k$ oraz kąt o mierze $\beta$ przy prostej $l$ to kąty odpowiadające, ponieważ leżą w analogicznych miejscach względem prostych równoległych. Stąd wiemy, że:$$\alpha = \beta$$Przy prostej $l$ widzimy dwa kąty leżące obok siebie na jednej linii: kąt $\beta$ oraz kąt $3 \cdot \beta$. Tworzą one parę kątów przyległych, więc suma ich miar musi wynosić $180^{\circ}$. Zapisujemy odpowiednie równanie:$$\beta + 3 \cdot \beta = 180^{\circ}$$Dodajemy wyrażenia po lewej stronie równania, gdzie $1 \cdot \beta + 3 \cdot \beta$ daje nam $4 \cdot \beta$:$$4 \cdot \beta = 180^{\circ}$$Dzielimy obie strony równania przez liczbę $4$:$$\beta = \frac{180^{\circ}}{4}$$Obliczamy wartość dzieląc $180$ przez $4$, co daje nam $45$:$$\beta = 45^{\circ}$$Ponieważ na początku ustaliliśmy, że kąt $\alpha$ jest równy kątowi $\beta$, podstawiamy wyliczoną wartość:$$\alpha = 45^{\circ}$$Miara kąta $\alpha$ w podpunkcie d) wynosi $45^{\circ}$.

Zadanie 2 (3 pkt)

Czy dany na rysunku czworokąt $ABCD$ jest równoległobokiem? Odpowiedź uzasadnij, powołując się na odpowiednie twierdzenie.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Przypomnij sobie cechy czworokąta, który jest równoległobokiem. Czworokąt wypukły jest równoległobokiem między innymi wtedy, gdy jego przeciwległe kąty mają równe miary lub gdy suma kątów przy każdym boku wynosi $180^{\circ}$. 2) Wykorzystaj własność kątów przyległych, których suma miar wynosi zawsze $180^{\circ}$. Pozwoli Ci to wyznaczyć wartości niewiadomych $\alpha$ oraz $\beta$ z równań ułożonych na podstawie rysunku. 3) Po wyznaczeniu wszystkich kątów wewnętrznych czworokąta $ABCD$ sprawdź, czy spełniają one warunki twierdzenia o kątach przeciwległych równoległoboku. ROZWIĄZANIE: a) Analiza czworokąta na rysunku a). Najpierw wyznaczymy wartość kąta $\alpha$. Spoglądamy na wierzchołek $D$. Kąty oznaczone jako $\alpha$ oraz $4\alpha$ tworzą razem kąt półpełny, co oznacza, że są to kąty przyległe. Ich suma jest równa $180^{\circ}$. Zapisujemy odpowiednie równanie:$$\alpha + 4\alpha = 180^{\circ}$$Dodajemy do siebie wyrażenia z niewiadomą $\alpha$ po lewej stronie równania:$$5\alpha = 180^{\circ}$$Aby obliczyć wartość $\alpha$, musimy podzielić obie strony równania przez liczbę $5$:$$\alpha = \frac{180^{\circ}}{5}$$$$\alpha = 36^{\circ}$$Teraz możemy określić kąty wewnętrzne czworokąta przy wierzchołkach $D$ i $A$. Kąt wewnętrzny przy wierzchołku $D$, czyli kąt $\angle ADC$, jest kątem wierzchołkowym do kąta $4\alpha$. Kąty wierzchołkowe mają równe miary, zatem:$$\angle ADC = 4\alpha$$Podstawiamy wyliczoną wartość $\alpha = 36^{\circ}$:$$\angle ADC = 4 \cdot 36^{\circ}$$$$\angle ADC = 144^{\circ}$$Przy wierzchołku $A$ widzimy kąt o mierze $144^{\circ}$, który wraz z kątem wewnętrznym $\angle DAB$ leży na jednej prostej, tworząc parę kątów przyległych. Ich suma wynosi $180^{\circ}$, stąd:$$\angle DAB + 144^{\circ} = 180^{\circ}$$Przenosimy liczbę $144^{\circ}$ na prawą stronę równania ze zmianą znaku na przeciwny:$$\angle DAB = 180^{\circ} - 144^{\circ}$$$$\angle DAB = 36^{\circ}$$W kolejnym kroku wyznaczymy wartość niewiadomej $\beta$ przy wierzchołku $B$. Kąty $\beta$ oraz $\beta + 108^{\circ}$ są kątami przyległymi, więc ich suma wynosi $180^{\circ}$:$$\beta + \left(\beta + 108^{\circ}\right) = 180^{\circ}$$Opuszczamy nawias i porządkujemy lewą stronę równania, dodając do siebie niewiadome $\beta$:$$2\beta + 108^{\circ} = 180^{\circ}$$Przenosimy liczbę $108^{\circ}$ na prawą stronę równania ze zmianą znaku na przeciwny:$$2\beta = 180^{\circ} - 108^{\circ}$$$$2\beta = 72^{\circ}$$Dzielimy obie strony równania przez liczbę $2$:$$\beta = \frac{72^{\circ}}{2}$$$$\beta = 36^{\circ}$$Kąt wewnętrzny czworokąta przy wierzchołku $B$, czyli kąt $\angle ABC$, ma miarę opisaną jako $\beta + 108^{\circ}$. Podstawiamy wyznaczoną wartość $\beta = 36^{\circ}$:$$\angle ABC = 36^{\circ} + 108^{\circ}$$$$\angle ABC = 144^{\circ}$$Aby poznać miarę ostatniego kąta wewnętrznego, czyli kąta $\angle BCD$ przy wierzchołku $C$, korzystamy z twierdzenia, że suma kątów wewnętrznych w każdym czworokącie wynosi $360^{\circ}$:$$\angle DAB + \angle ADC + \angle ABC + \angle BCD = 360^{\circ}$$Podstawiamy znane nam już miary trzech kątów:$$36^{\circ} + 144^{\circ} + 144^{\circ} + \angle BCD = 360^{\circ}$$Dodajemy do siebie liczby po lewej stronie równania:$$324^{\circ} + \angle BCD = 360^{\circ}$$Przenosimy liczbę $324^{\circ}$ na prawą stronę równania ze zmianą znaku na przeciwny:$$\angle BCD = 360^{\circ} - 324^{\circ}$$$$\angle BCD = 36^{\circ}$$Teraz porównujemy miary naprzeciwległych kątów czworokąta $ABCD$:$$\angle DAB = \angle BCD = 36^{\circ}$$$$\angle ADC = \angle ABC = 144^{\circ}$$Powołujemy się na twierdzenie o kątach równoległoboku, które mówi, że czworokąt wypukły jest równoległobokiem wtedy i tylko wtedy, gdy jego przeciwległe kąty są równe. Ponieważ ten warunek jest spełniony, czworokąt $ABCD$ na rysunku a) jest równoległobokiem. b) Analiza czworokąta na rysunku b). Z rysunku b) możemy bezpośrednio odczytać miary dwóch kątów wewnętrznych. Kąt wewnętrzny przy wierzchołku $A$ wynosi:$$\angle DAB = 70^{\circ}$$Kąt wewnętrzny przy wierzchołku $D$ wynosi:$$\angle ADC = 110^{\circ}$$Następnie przechodzimy do wierzchołka $B$, aby wyznaczyć wartość niewiadomej $\beta$. Widzimy tam dwa kąty przyległe o miarach $\beta$ oraz $\beta + 30^{\circ}$, których suma wynosi $180^{\circ}$:$$\beta + \left(\beta + 30^{\circ}\right) = 180^{\circ}$$Opuszczamy nawias i dodajemy niewiadome $\beta$ po lewej stronie równania:$$2\beta + 30^{\circ} = 180^{\circ}$$Przenosimy liczbę $30^{\circ}$ na prawą stronę równania ze zmianą znaku na przeciwny:$$2\beta = 180^{\circ} - 30^{\circ}$$$$2\beta = 150^{\circ}$$Dzielimy obie strony równania przez liczbę $2$:$$\beta = \frac{150^{\circ}}{2}$$$$\beta = 75^{\circ}$$Kąt wewnętrzny czworokąta przy wierzchołku $B$, czyli kąt $\angle ABC$, ma miarę równą wyrażeniu $\beta + 30^{\circ}$. Podstawiamy wyliczoną wartość $\beta = 75^{\circ}$:$$\angle ABC = 75^{\circ} + 30^{\circ}$$$$\angle ABC = 105^{\circ}$$Zgodnie z twierdzeniem o kątach równoległoboku, w każdym równoległoboku przeciwległe kąty must mieć dokładnie takie same miary. Sprawdźmy parę kątów naprzeciwległych $\angle ADC$ oraz $\angle ABC$:$$\angle ADC = 110^{\circ}$$$$\angle ABC = 105^{\circ}$$Widzimy, że:$$\angle ADC \neq \angle ABC$$Ponieważ przeciwległe kąty nie są sobie równe, czworokąt $ABCD$ na rysunku b) nie jest równoległobokiem.

Zadanie 3 (3 pkt)

Wyznacz miary kątów wewnętrznych trójkąta na podstawie poniższych opisów geometrycznych: a) W trójkącie miary trzech kątów wewnętrznych są opisane za pomocą wyrażeń z niewiadomą $\alpha$ i wynoszą odpowiednio: $\alpha + 12^\circ$, $4\alpha$ oraz $3\alpha$. b) W trójkącie dwa kąty wewnętrzne mają miary równe wyrażeniom $\alpha + 5^\circ$ oraz $\alpha + 5^\circ$. Kąt zewnętrzny przylegający do trzeciego kąta wewnętrznego tego trójkąta ma miarę równą $76^\circ$. c) Dane są dwie proste równoległe $k$ i $l$. Jeden z wierzchołków trójkąta leży na prostej $k$, a dwa pozostałe wierzchołki znajdują się na prostej $l$. Kąt wewnętrzny trójkąta przy wierzchołku leżącym na prostej $k$ ma miarę $2\alpha$. Prosta $k$ wraz z dwoma bokami trójkąta wychodzącymi z tego wierzchołka tworzy po lewej i prawej stronie tego kąta dwa dodatkowe kąty o miarach $\alpha + 10^\circ$ oraz $2\alpha$. Wszystkie te trzy kąty stykają się w jednym punkcie na prostej $k$ i tworzą razem kąt półpełny.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Pamiętaj, że suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi zawsze $180^{\circ}$. Możesz wykorzystać tę własność do ułożenia równania z niewiadomą $\alpha$, dodając do siebie wyrażenia opisujące poszczególne kąty. 2) Kąt zewnętrzny trójkąta i kąt wewnętrzny do niego przyległy tworzą razem kąt półpełny, którego miara wynosi $180^{\circ}$. Suma miary kąta zewnętrznego i odpowiadającego mu kąta wewnętrznego wynosi więc zawsze $180^{\circ}$. Alternatywnie możesz skorzystać z twierdzenia o kącie zewnętrznym trójkąta, które mówi, że miara kąta zewnętrznego jest równa sumie miar dwóch kątów wewnętrznych trójkąta do niego nieprzyległych. 3) Gdy dwie proste równoległe są przecięte trzecią prostą (poprzeczną), kąty naprzemianległe wewnętrzne mają równe miary. Wykorzystaj tę zależność, aby przenieść miary kątów podanych na prostej $k$ do wnętrza trójkąta na prostej $l$. Pamiętaj również, że kąty tworzące linię prostą stykające się w jednym punkcie to kąty, których suma miar wynosi $180^{\circ}$. ROZWIĄZANIE: a) Wyznaczanie miar kątów wewnętrznych trójkąta dla podpunktu a). Wiemy z własności geometrycznych, że suma miar trzech kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi $180^{\circ}$. Podane kąty mają miary wyrażone jako $\alpha + 12^{\circ}$, $4 \cdot \alpha$ oraz $3 \cdot \alpha$. Układamy równanie sumując te three wyrażenia:$$\left(\alpha + 12^{\circ}\right) + 4 \cdot \alpha + 3 \cdot \alpha = 180^{\circ}$$Opuszczamy nawias, ponieważ przed nawiasem nie ma znaku minus ani żadnego czynnika mnożącego:$$\alpha + 12^{\circ} + 4 \cdot \alpha + 3 \cdot \alpha = 180^{\circ}$$Grupujemy wyrazy z niewiadomą $\alpha$ po lewej stronie równania. Sumujemy współczynniki stojące przy $\alpha$, wiedząc, że $\alpha$ to to samo co $1 \cdot \alpha$. Wykonujemy dodawanie $1 + 4 + 3 = 8$:$$8 \cdot \alpha + 12^{\circ} = 180^{\circ}$$Teraz przenosimy liczbę $12^{\circ}$ z lewej strony równania na prawą stronę, zmieniając jej znak na przeciwny, czyli na minus:$$8 \cdot \alpha = 180^{\circ} - 12^{\circ}$$Wykonujemy odejmowanie po prawej stronie równania, gdzie $180$ minus $12$ daje nam $168$:$$8 \cdot \alpha = 168^{\circ}$$Aby wyznaczyć wartość niewiadomej $\alpha$, musimy podzielić obie strony równania przez liczbę $8$:$$\alpha = \frac{168^{\circ}}{8}$$Wykonujemy dzielenie liczby $168$ przez $8$, co daje nam wynik $21$:$$\alpha = 21^{\circ}$$Mając obliczoną wartość $\alpha = 21^{\circ}$, możemy przystąpić do obliczenia miary każdego z trzech kątów wewnętrznych trójkąta poprzez podstawienie tej wartości do początkowych wyrażeń. Pierwszy kąt wewnętrzny:$$\alpha + 12^{\circ} = 21^{\circ} + 12^{\circ} = 33^{\circ}$$Drugi kąt wewnętrzny:$$4 \cdot \alpha = 4 \cdot 21^{\circ} = 84^{\circ}$$Trzeci kąt wewnętrzny:$$3 \cdot \alpha = 3 \cdot 21^{\circ} = 63^{\circ}$$Kąty wewnętrzne tego trójkąta mają miary $33^{\circ}$, $84^{\circ}$ oraz $63^{\circ}$. b) Wyznaczanie miar kątów wewnętrznych trójkąta dla podpunktu b). W treści zadania podano, że dwa kąty wewnętrzne trójkąta mają miary równe $\alpha + 5^{\circ}$ oraz $\alpha + 5^{\circ}$. Wiemy również, że kąt zewnętrzny przylegający do trzeciego kąta wewnętrznego wynosi $76^{\circ}$. Kąt wewnętrzny i przylegający do niego kąt zewnętrzny tworzą razem kąt półpełny o mierze $180^{\circ}$. Wyznaczamy miarę trzeciego kąta wewnętrznego, odejmując miarę kąta zewnętrznego od $180^{\circ}$:$$180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$$Znamy już opisy wszystkich trzech kątów wewnętrznych trójkąta: $\alpha + 5^{\circ}$, $\alpha + 5^{\circ}$ oraz $104^{\circ}$. Wiemy, że suma ich miar musi wynosić $180^{\circ}$. Zapisujemy równanie:$$\left(\alpha + 5^{\circ}\right) + \left(\alpha + 5^{\circ}\right) + 104^{\circ} = 180^{\circ}$$Opuszczamy nawiasy:$$\alpha + 5^{\circ} + \alpha + 5^{\circ} + 104^{\circ} = 180^{\circ}$$Grupujemy i sumujemy wyrazy z niewiadomą $\alpha$ po lewej stronie równania, gdzie $\alpha + \alpha = 2 \cdot \alpha$:$$2 \cdot \alpha + 5^{\circ} + 5^{\circ} + 104^{\circ} = 180^{\circ}$$Dodajemy do siebie liczby po lewej stronie równania, wykonując działanie $5 + 5 + 104 = 114$:$$2 \cdot \alpha + 114^{\circ} = 180^{\circ}$$Przenosimy liczbę $114^{\circ}$ z lewej strony równania na prawą stronę ze zmianą znaku na przeciwny:$$2 \cdot \alpha = 180^{\circ} - 114^{\circ}$$Wykonujemy odejmowanie po prawej stronie, gdzie $180$ minus $114$ daje nam $66$:$$2 \cdot \alpha = 66^{\circ}$$Dzielimy obie strony równania przez liczbę $2$, aby otrzymać wartość $\alpha$:$$\alpha = \frac{66^{\circ}}{2}$$Otrzymujemy wartość niewiadomej $\alpha$ równą $33$:$$\alpha = 33^{\circ}$$Teraz podstawiamy obliczoną wartość $\alpha = 33^{\circ}$ do wyrażeń opisujących dwa pierwsze kąty wewnętrzne trójkąta. Pierwszy kąt wewnętrzny:$$\alpha + 5^{\circ} = 33^{\circ} + 5^{\circ} = 38^{\circ}$$Drugi kąt wewnętrzny ma takie samo wyrażenie, więc jego miara wynosi również:$$\alpha + 5^{\circ} = 33^{\circ} + 5^{\circ} = 38^{\circ}$$Trzeci kąt wewnętrzny wyznaczyliśmy już na samym początku jako uzupełnienie kąta zewnętrznego do $180^{\circ}$, czyli wynosi on $104^{\circ}$. Kąty wewnętrzne tego trójkąta mają miary $38^{\circ}$, $38^{\circ}$ oraz $104^{\circ}$. c) Wyznaczanie miar kątów wewnętrznych trójkąta dla podpunktu c). Z treści zadania oraz z rysunku wiemy, że trzy kąty stykają się w jednym punkcie na prostej $k$ i tworzą razem kąt półpełny. Ich miary są opisane wyrażeniami $\alpha + 10^{\circ}$, $2 \cdot \alpha$ oraz $2 \cdot \alpha$. Suma miar kątów tworzących kąt półpełny wynosi $180^{\circ}$. Układamy równanie:$$\left(\alpha + 10^{\circ}\right) + 2 \cdot \alpha + 2 \cdot \alpha = 180^{\circ}$$Opuszczamy nawias po lewej stronie:$$\alpha + 10^{\circ} + 2 \cdot \alpha + 2 \cdot \alpha = 180^{\circ}$$Grupujemy wyrażenia z niewiadomą $\alpha$. Sumujemy współczynniki przy $\alpha$, wykonując działanie $1 + 2 + 2 = 5$:$$5 \cdot \alpha + 10^{\circ} = 180^{\circ}$$Przenosimy liczbę $10^{\circ}$ z lewej strony równania na prawą stronę, zmieniając jej znak na minus:$$5 \cdot \alpha = 180^{\circ} - 10^{\circ}$$Odejmujemy liczby po prawej stronie, co daje $180 - 10 = 170$:$$5 \cdot \alpha = 170^{\circ}$$Dzielimy obie strony otrzymanego równania przez liczbę $5$:$$\alpha = \frac{170^{\circ}}{5}$$Po podzieleniu liczby $170$ przez $5$ otrzymujemy wartość niewiadomej $\alpha$:$$\alpha = 34^{\circ}$$Teraz możemy obliczyć wartości poszczególnych kątów leżących na prostej $k$: Lewy kąt na prostej $k$:$$\alpha + 10^{\circ} = 34^{\circ} + 10^{\circ} = 44^{\circ}$$Środkowy kąt na prostej $k$ (który jest jednocześnie pierwszym kątem wewnętrznym trójkąta przy wierzchołku $A$):$$2 \cdot \alpha = 2 \cdot 34^{\circ} = 68^{\circ}$$Prawy kąt na prostej $k$:$$2 \cdot \alpha = 2 \cdot 34^{\circ} = 68^{\circ}$$Aby znaleźć pozostałe dwa kąty wewnętrzne trójkąta (przy wierzchołkach $B$ i $C$ leżących na prostej $l$), korzystamy z faktu, że proste $k$ i $l$ są równoległe. Boki trójkąta działają tutaj jak proste poprzeczne przecinające te proste równoległe. Kąt wewnętrzny trójkąta przy wierzchołku $B$ (po lewej stronie) oraz lewy kąt na prostej $k$ o mierze $44^{\circ}$ to kąty naprzemianległe wewnętrzne. Z własności prostych równoległych wynika, że ich miary są równe. Zatem drugi kąt wewnętrzny trójkąta wynosi:$$44^{\circ}$$Kąt wewnętrzny trójkąta przy wierzchołku $C$ (po prawej stronie) oraz prawy kąt na prostej $k$ o mierze $68^{\circ}$ to również kąty naprzemianległe wewnętrzne, co oznacza, że ich miary są równe. Zatem trzeci kąt wewnętrzny trójkąta wynosi:$$68^{\circ}$$Kąty wewnętrzne tego trójkąta mają miary $68^{\circ}$, $44^{\circ}$ oraz $68^{\circ}$.

Zadanie 4 (3 pkt)

Wykaż, że czworokąt $ABCD$ jest trapezem, wiedząc, że poprowadzono w nim przekątną $AC$ i spełnione są następujące warunki opisujące jego kąty: a) W trójkącie $ABC$ kąt przy wierzchołku $C$ jest prosty ($\angle ACB = 90^\circ$), kąt przy wierzchołku $A$ ma miarę $\angle CAB = 20^\circ$, a kąt przy wierzchołku $B$ ma miarę $\angle ABC = 4\alpha - 10^\circ$. Dodatkowo kąt wewnętrzny czworokąta $\angle DCA$ ma miarę równą $\alpha$. b) Kąt wewnętrzny czworokąta przy wierzchołku $D$ ma miarę $70^\circ$. Przekątna $AC$ dzieli kąt wewnętrzny przy wierzchołku $A$ na dwa kąty o miarach $\angle DAC = 40^\circ$ oraz $\angle CAB = \alpha + 15^\circ$. W trójkącie $ABC$ kąt przy wierzchołku $C$ ma miarę $\angle ACB = \alpha$, a kąt przy wierzchołku $B$ ma miarę $\angle ABC = \alpha$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Przypomnij sobie definicję trapezu. Czworokąt wypukły jest trapezem wtedy, gdy posiada co najmniej jedną parę boków równoległych. 2) Aby wykazać, że dwie proste są równoległe, możesz posłużyć się własnościami kątów utworzonych przez te proste i prostą je przecinającą (transwersalną). Jeśli kąty naprzemianległe wewnętrzne są równe lub jeśli suma kątów jednostronnych wewnętrznych wynosi $180^{\circ}$, to badane proste są równoległe. 3) W obu podpunktach wykorzystaj fakt, że suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi dokładnie $180^{\circ}$, co pozwoli Ci na ułożenie odpowiednich równań i wyznaczenie wartości niewiadomej $\alpha$. ROZWIĄZANIE: a) Analiza czworokąta dla podpunktu a). Rozpoczynamy od wyznaczenia wartości niewiadomej $\alpha$. W tym celu spoglądamy na trójkąt $ABC$. Wiemy, że suma miar wszystkich trzech kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi zawsze $180^{\circ}$. Możemy zapisać następujące równanie: $$\angle CAB + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$$ Podstawiamy do równania wartości oraz wyrażenia podane w treści zadania, czyli $\angle CAB = 20^{\circ}$, $\angle ABC = 4\alpha - 10^{\circ}$ oraz $\angle ACB = 90^{\circ}$: $$20^{\circ} + \left(4\alpha - 10^{\circ}\right) + 90^{\circ} = 180^{\circ}$$ Ponieważ przed nawiasem znajduje się znak plus, możemy bezpiecznie opuścić nawias bez zmiany znaków wewnątrz niego: $$20^{\circ} + 4\alpha - 10^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$$ Teraz porządkujemy lewą stronę równania, wykonując działania na znanych liczbach, czyli dodajemy $20^{\circ}$ do $90^{\circ}$, co daje $110^{\circ}$, a następnie odejmujemy $10^{\circ}$, co daje $100^{\circ}$: $$4\alpha + 100^{\circ} = 180^{\circ}$$ Przenosimy liczbę $100^{\circ}$ na prawą stronę równania, pamiętając o konieczności zmiany jej znaku na przeciwny: $$4\alpha = 180^{\circ} - 100^{\circ}$$ Wykonujemy odejmowanie po prawej stronie równania: $$4\alpha = 80^{\circ}$$ Aby wyznaczyć wartość pf pojedynczego kąta $\alpha$, musimy podzielić obie strony równania przez liczbę $4$: $$\alpha = \frac{80^{\circ}}{4}$$ $$\alpha = 20^{\circ}$$ Z treści zadania wiemy, że kąt wewnętrzny czworokąta $\angle DCA$ ma miarę równą dokładnie $\alpha$. Podstawiając obliczoną wartość, otrzymujemy: $$\angle DCA = 20^{\circ}$$ W tym momencie porównujemy miarę kąta $\angle DCA$ z miarą kąta $\angle CAB$, która również wynosi $20^{\circ}$: $$\angle DCA = \angle CAB = 20^{\circ}$$ Gdy przyjrzymy się prostym zawierającym boki $AB$ oraz $CD$, zauważymy, że są one przecięte przekątną $AC$. Kąty $\angle DCA$ oraz $\angle CAB$ leżą po przeciwnych stronach tej przekątnej, co oznacza, że są to kąty naprzemianległe wewnętrzne. Zgodnie z twierdzeniem o kątach naprzemianległych, jeżeli miary tych kątów są równe, to proste są równoległe. Udowodniliśmy zatem, że bok $AB$ jest równoległy do boku $CD$: $$AB \parallel CD$$ Ponieważ czworokąt $ABCD$ ma co najmniej jedną parę boków równoległych, z definicji jest on trapezem. b) Analiza czworokąta dla podpunktu b). Ponownie zaczynamy od wyznaczenia wartości niewiadomej $\alpha$, korzystając z trójkąta $ABC$. Wiemy, że suma miar kątów wewnętrznych tego trójkąta wynosi $180^{\circ}$: $$\angle CAB + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$$ Podstawiamy dane z treści zadania dla podpunktu b), gdzie $\angle CAB = \alpha + 15^{\circ}$, $\angle ABC = \alpha$ oraz $\angle ACB = \alpha$: $$\left(\alpha + 15^{\circ}\right) + \alpha + \alpha = 180^{\circ}$$ Opuszczamy nawias i porządkujemy lewą stronę równania poprzez dodanie do siebie trzech niewiadomych $\alpha$: $$3\alpha + 15^{\circ} = 180^{\circ}$$ Przenosimy liczbę $15^{\circ}$ na prawą stronę równania, zmieniając jej znak na przeciwny: $$3\alpha = 180^{\circ} - 15^{\circ}$$ Wykonujemy odejmowanie po prawej stronie: $$3\alpha = 165^{\circ}$$ Dzielimy obie strony równania przez liczbę $3$, aby otrzymać wartość $\alpha$: $$\alpha = \frac{165^{\circ}}{3}$$ $$\alpha = 55^{\circ}$$ Teraz możemy wyznaczyć pełną miarę kąta wewnętrznego czworokąta przy wierzchołku $A$, czyli kąta $\angle DAB$. Przekątna $AC$ dzieli go na dwa kąty składowe $\angle DAC$ oraz $\angle CAB$, zatem jego miara to suma tych dwóch kątów: $$\angle DAB = \angle DAC + \angle CAB$$ Najpierw obliczamy miarę kąta $\angle CAB$, podstawiając wyznaczoną wartość $\alpha = 55^{\circ}$: $$\angle CAB = 55^{\circ} + 15^{\circ} = 70^{\circ}$$ Teraz sumujemy obie części kąta przy wierzchołku $A$, wiedząc z treści zadania, że $\angle DAC = 40^{\circ}$: $$\angle DAB = 40^{\circ} + 70^{\circ}$$ $$\angle DAB = 110^{\circ}$$ Z treści zadania znamy również miarę kąta wewnętrznego przy wierzchołku $D$: $$\angle ADC = 70^{\circ}$$ Sprawdźmy sumę miar dwóch kątów leżących przy boku $AD$, czyli kąta $\angle DAB$ oraz kąta $\angle ADC$: $$\angle DAB + \angle ADC = 110^{\circ} + 70^{\circ} = 180^{\circ}$$ Kąty te stanowią parę kątów jednostronnych wewnętrznych, które leżą między prostymi zawierającymi boki $AB$ oraz $CD$ i są przecięte prostą zawierającą ramię $AD$. Zgodnie z twierdzeniem o kątach jednostronnych wewnętrznych, jeżeli suma miar takich kątów wynosi $180^{\circ}$, to proste te są równoległe. Oznacza to, że: $$AB \parallel CD$$ Otrzymaliśmy parę boków równoległych, co stanowi jednoznaczny dowód na to, że czworokąt $ABCD$ jest trapezem.

Zadanie 5 (3 pkt)

Wykaż, bez użycia rysunku, że proste $k$ i $l$ są równoległe, wiedząc że: a) Proste $k$ i $l$ są przecięte prostą poprzeczną. Przy prostej $l$ dwa kąty przyległe mają miary $4\alpha$ oraz $\alpha$. Kąt naprzemianległy wewnętrzny do kąta o mierze $4\alpha$, leżący przy prostej $k$, ma miarę $144^\circ$. b) Proste $k$ i $l$ są przecięte prostą poprzeczną. Przy przecięciu prostej $k$ z poprzeczną, dwa kąty przyległe mają miary $\alpha + 40^\circ$ oraz $\alpha$. Kąt odpowiadający do kąta o mierze $\alpha$, leżący przy prostej $l$, ma miarę $70^\circ$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Wykorzystaj fakt, że suma miar kątów przyległych wynosi zawsze $180^{\circ}$. Pozwoli to na ułożenie równania dla każdego z podpunktów i wyznaczenie wartości niewiadomej $\alpha$. 2) Po wyznaczeniu wartości $\alpha$, oblicz miary konkretnych kątów wskazanych w treści zadania, aby poznać ich dokładne wartości liczbowe w stopniach. 3) Aby wykazać, że proste $k$ i $l$ są równoległe, porównaj ze sobą wyliczone miary kątów z miarami kątów podanymi przy drugiej prostej. Skorzystaj z twierdzenia odwrotnego o kątach naprzemianległych lub odpowiadających: jeśli miary tych kątów są równe, to proste są równoległe. ROZWIĄZANIE: a) Wykazywanie równoległości prostych $k$ i $l$ w podpunkcie a). Przy prostej $l$ podane są dwa kąty przyległe o miarach $4 \cdot \alpha$ oraz $\alpha$. Ponieważ suma miar kątów przyległych wynosi $180^{\circ}$, możemy zapisać równanie:$$4 \cdot \alpha + \alpha = 180^{\circ}$$Dodajemy do siebie niewiadome po lewej stronie równania, wiedząc, że $\alpha$ oznacza $1 \cdot \alpha$, a działanie $4 + 1$ daje $5$:$$5 \cdot \alpha = 180^{\circ}$$Aby wyznaczyć wartość $\alpha$, dzielimy obie strony równania przez liczbę $5$:$$\alpha = \frac{180^{\circ}}{5}$$Wykonujemy dzielenie liczby $180$ przez $5$, co daje wynik $36$:$$\alpha = 36^{\circ}$$Teraz obliczamy miarę kąta, który w treści zadania został opisany jako $4 \cdot \alpha$. Podstawiamy wyliczoną wartość $\alpha = 36^{\circ}$:$$4 \cdot 36^{\circ} = 144^{\circ}$$Z treści zadania wiemy, że kąt naprzemianległy wewnętrzny do tego kąta, leżący przy prostej $k$, ma miarę $144^{\circ}$. Porównujemy obie miary: kąt przy prostej $l$ ma miarę $144^{\circ}$, a jego kąt naprzemianległy wewnętrzny przy prostej $k$ również ma miarę $144^{\circ}$. Ponieważ miary kątów naprzemianległych wewnętrznych są równe:$$144^{\circ} = 144^{\circ}$$to na mocy twierdzenia odwrotnego o kątach naprzemianległych proste $k$ i $l$ są równoległe, co należało wykazać. b) Wykazywanie równoległości prostych $k$ i $l$ w podpunkcie b). Przy przecięciu prostej $k$ z poprzeczną podane są dwa kąty przyległe o miarach $\alpha + 40^{\circ}$ oraz $\alpha$. Suma miar kątów przyległych wynosi $180^{\circ}$, więc układamy równanie:$$\left(\alpha + 40^{\circ}\right) + \alpha = 180^{\circ}$$Ponieważ przed nawiasem nie ma znaku minus ani żadnego czynnika, możemy opuścić nawiasy:$$\alpha + 40^{\circ} + \alpha = 180^{\circ}$$Grupujemy niewiadome po lewej stronie, wykonując dodawanie $\alpha + \alpha = 2 \cdot \alpha$:$$2 \cdot \alpha + 40^{\circ} = 180^{\circ}$$Przenosimy liczbę $40^{\circ}$ z lewej strony równania na prawą stronę ze zmianą znaku na przeciwny, czyli na minus:$$2 \cdot \alpha = 180^{\circ} - 40^{\circ}$$Wykonujemy odejmowanie po prawej stronie równania, gdzie $180$ minus $40$ daje $140$:$$2 \cdot \alpha = 140^{\circ}$$Dzielimy obie strony równania przez liczbę $2$, aby otrzymać wartość $\alpha$:$$\alpha = \frac{140^{\circ}}{2}$$Po podzieleniu liczby $140$ przez $2$ otrzymujemy:$$\alpha = 70^{\circ}$$Z treści zadania wiemy, że kąt odpowiadający do kąta o mierze $\alpha$, leżący przy prostej $l$, ma miarę $70^{\circ}$. Porównujemy wyliczoną wartość kąta $\alpha$, która wynosi $70^{\circ}$, z miarą jego kąta odpowiadającego przy prostej $l$, która również wynosi $70^{\circ}$. Ponieważ miary kątów odpowiadających są równe:$$70^{\circ} = 70^{\circ}$$to na mocy twierdzenia odwrotnego o kątach odpowiadających proste $k$ i $l$ są równoległe, co należało wykazać.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Wyznacz miarę $\alpha$ kąta zaznaczonego na rysunku, wiedząc, że proste $k$ i $l$ są równoległe.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Czy dany na rysunku czworokąt $ABCD$ jest równoległobokiem? Odpowiedź uzasadnij, powołując się na odpowiednie twierdzenie.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Wyznacz miary kątów wewnętrznych trójkąta na podstawie poniższych opisów geometrycznych: a) W trójkącie miary trzech kątów wewnętrznych są opisane za pomocą wyrażeń z niewiadomą $\alpha$ i wynoszą odpowiednio: $\alpha + 10^\circ$, $2\alpha$ oraz $2\alpha$. b) W trójkącie dwa kąty wewnętrzne mają miary równe wyrażeniom $\alpha + 2^\circ$ oraz $\alpha + 2^\circ$. Kąt zewnętrzny przylegający do trzeciego kąta wewnętrznego tego trójkąta ma miarę równą $84^\circ$. c) Dane są dwie proste równoległe $k$ i $l$. Jeden z wierzchołków trójkąta leży na prostej $k$, a dwa pozostałe wierzchołki znajdują się na prostej $l$. Kąt wewnętrzny trójkąta przy wierzchołku leżącym na prostej $k$ ma miarę $3\alpha$. Prosta $k$ wraz z dwoma bokami trójkąta wychodzącymi z tego wierzchołka tworzy po lewej i prawej stronie tego kąta dwa dodatkowe kąty o miarach $\alpha + 30^\circ$ oraz $\alpha$. Wszystkie te trzy kąty stykają się w jednym punkcie na prostej $k$ i tworzą razem kąt półpełny.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Wykaż, że czworokąt $ABCD$ jest trapezem, wiedząc, że poprowadzono w nim przekątną $AC$ i spełnione są następujące warunki opisujące jego kąty: a) W trójkącie $ABC$ kąt przy wierzchołku $C$ jest prosty ($\angle ACB = 90^\circ$), kąt przy wierzchołku $A$ ma miarę $\angle CAB = 40^\circ$, a kąt przy wierzchołku $B$ ma miarę $\angle ABC = 2\alpha - 10^\circ$. Dodatkowo kąt wewnętrzny czworokąta $\angle DCA$ ma miarę równą $\alpha + 10^\circ$. b) Kąt wewnętrzny czworokąta przy wierzchołku $D$ ma miarę $50^\circ$. Przekątna $AC$ dzieli kąt wewnętrzny przy wierzchołku $A$ na dwa kąty o miarach $\angle DAC = 30^\circ$ oraz $\angle CAB = \alpha + 60^\circ$. W trójkącie $ABC$ kąt przy wierzchołku $C$ ma miarę $\angle ACB = \alpha$, a kąt przy wierzchołku $B$ ma miarę $\angle ABC = \alpha$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

Wykaż, bez użycia rysunku, że proste $k$ i $l$ są równoległe, wiedząc że: a) Proste $k$ i $l$ są przecięte prostą poprzeczną. Przy prostej $l$ dwa kąty przyległe mają miary $2\alpha$ oraz $\alpha$. Kąt naprzemianległy wewnętrzny do kąta o mierze $2\alpha$, leżący przy prostej $k$, ma miarę $120^\circ$. b) Proste $k$ i $l$ są przecięte prostą poprzeczną. Przy przecięciu prostej $k$ z poprzeczną, dwa kąty przyległe mają miary $\alpha + 60^\circ$ oraz $\alpha$. Kąt odpowiadający do kąta o mierze $\alpha$, leżący przy prostej $l$, ma miarę $60^\circ$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

7.3 Dwie proste przecięte trzecią prostą. Suma kątów w trójkącie

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋