Matura matematyka maj 2026 podstawa LiczBit

Maj 2026 – matematyka – poziom podstawowy

Zadanie 1. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\sqrt{\dfrac{25}{8}} \cdot \sqrt{2} + 2^{-1}$ jest równa

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $4$

Zadanie 2. (0–1)

Klient wpłacił do banku $10\,000\text{ zł}$ na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości $6\%$ od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

A. $1200\text{ zł}$

B. $1236\text{ zł}$

C. $1836\text{ zł}$

D. $3600\text{ zł}$

Zadanie 3. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\sqrt{5\sqrt{5}}$ jest równa

A. $5^{\frac{1}{4}}$

B. $5^{\frac{1}{2}}$

C. $5^{\frac{3}{4}}$

D. $5$

Zadanie 4. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\log_8 4 - \log_8 32$ jest równa

A. $(-2)$

B. $(-1)$

C. $1$

D. $2$

Zadanie 5. (0–1)

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Liczba naturalna $4^{12} \cdot 5^{24}$ jest podzielna przez $20$.	P	F
Liczba naturalna $4^{12} \cdot 5^{24}$ jest w zapisie dziesiętnym liczbą $25$-cyfrową.	P	F

Wskazówki:

Zapisz podstawę $4$ w postaci potęgi liczby $2$, czyli $4 = 2^2$, a następnie zastosuj wzór na potęgowanie potęgi: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Skorzystaj z własności iloczynu potęg o tym samym wykładniku: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$, aby doprowadzić liczbę do postaci potęgi liczby $10$.
Liczba jest podzielna przez $20$, jeśli można wyłączyć czynnik $20$ przed nawias lub jeśli w jej rozkładzie znajdują się odpowiednie potęgi liczb $2$ i $5$.
Pamiętaj, że liczba postaci $10^n$ w zapisie dziesiętnym to cyfra $1$ oraz $n$ zer, co daje łącznie $n + 1$ cyfr.

Rozwiązanie krok po kroku:

Przekształcenie i uproszczenie wyrażenia:
Zamieniamy podstawę $4$ na potęgę liczby $2$: $$4^{12} = (2^2)^{12} = 2^{2 \cdot 12} = 2^{24}$$ Wstawiamy tę postać do całego iloczynu i łączymy potęgi o jednakowych wykładnikach: $$4^{12} \cdot 5^{24} = 2^{24} \cdot 5^{24} = (2 \cdot 5)^{24} = 10^{24}$$
Ocena pierwszego stwierdzenia (podzielność przez 20):
Liczbę $4^{12} \cdot 5^{24}$ możemy rozłożyć tak, aby wyodrębnić czynnik $20 = 4 \cdot 5$: $$4^{12} \cdot 5^{24} = 4^1 \cdot 4^{11} \cdot 5^1 \cdot 5^{23} = (4 \cdot 5) \cdot (4^{11} \cdot 5^{23}) = 20 \cdot (4^{11} \cdot 5^{23})$$ Alternatywnie, korzystając z postaci $10^{24}$: $$10^{24} = 100 \cdot 10^{22} = (20 \cdot 5) \cdot 10^{22} = 20 \cdot (5 \cdot 10^{22})$$ Ponieważ wyrażenie w nawiasie jest liczbą całkowitą dodatnią, dana liczba jest podzielna przez $20$.
Stwierdzenie 1 jest prawdziwe (P).
Ocena drugiego stwierdzenia (liczba cyfr w zapisie dziesiętnym):
Liczba $10^{24}$ w zapisie dziesiętnym składa się z jednej cyfry $1$ na początku oraz $24$ następujących po niej zer: $$10^{24} = 1\underbrace{00\ldots0}_{24\text{ zera}}$$ Łączna liczba wszystkich cyfr wynosi: $$1 + 24 = 25\text{ cyfr}$$ Stwierdzenie 2 jest prawdziwe (P).

Odpowiedź: PP

Zadanie 6. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia $x^2 + 10x + 25$ dla $x = \sqrt{2} - 5$ jest równa

A. $2$

B. $\sqrt{2}$

C. $2 - 20\sqrt{2}$

D. $62 - 10\sqrt{2}$

Zadanie 7. (0–2)

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $7n^2 + 21n$ jest podzielna przez $14$.

Wskazówki:

Liczba jest podzielna przez $14$, jeśli można ją zapisać w postaci $14 \cdot k$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą.
Wyłącz wspólny czynnik przed nawias, aby przekształcić sumę algebraiczną w iloczyn.
Zbadaj parzystość czynników powstałego iloczynu – iloczyn liczby parzystej i dowolnej liczby całkowitej jest zawsze liczbą parzystą.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias:
Przekształcamy wyjściowe wyrażenie algebraiczne, wyłączając wspólny czynnik $7n$ przed nawias: $$7n^2 + 21n = 7n(n + 3)$$
Badanie parzystości iloczynu $n(n + 3)$:
Rozpatrujemy dwa możliwe przypadki parzystości dla liczby całkowitej $n$:
- Przypadek 1: Liczba $n$ jest parzysta, czyli $n = 2m$ dla pewnej liczby całkowitej $m$. Wtedy iloczyn ma postać: $$n(n + 3) = 2m(2m + 3) = 2 \cdot [m(2m + 3)]$$ Zatem iloczyn jest liczbą parzystą (podzielną przez $2$).
- Przypadek 2: Liczba $n$ jest nieparzysta, czyli $n = 2m + 1$ dla pewnej liczby całkowitej $m$. Wtedy liczba $n + 3$ jest parzysta: $$n + 3 = (2m + 1) + 3 = 2m + 4 = 2(m + 2)$$ Stąd iloczyn wynosi: $$n(n + 3) = (2m + 1) \cdot 2(m + 2) = 2 \cdot [(2m + 1)(m + 2)]$$ Zatem w tym przypadku iloczyn również jest liczbą parzystą.
W obu przypadkach dla dowolnej liczby całkowitej $n$ iloczyn $n(n + 3)$ jest liczbą parzystą, co oznacza, że możemy go zapisać jako $2p$, gdzie $p$ jest liczbą całkowitą.
Wykazanie podzielności przez 14:
Podstawiamy postać $n(n + 3) = 2p$ do wyjściowego wyrażenia: $$7n^2 + 21n = 7 \cdot n(n + 3) = 7 \cdot 2p = 14p$$ Ponieważ $p$ jest liczbą całkowitą, wyrażenie $14p$ stanowi wielokrotność liczby $14$. To dowodzi, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $7n^2 + 21n$ jest podzielna przez $14$.

Odpowiedź: Wykazano, że wyrażenie $7n^2 + 21n$ można zapisać w postaci $14p$, gdzie $p$ jest liczbą całkowitą, zatem jest ono podzielne przez $14$ dla każdej liczby całkowitej $n$.

Zadanie 8. (0–1)

Dane jest równanie $$3(x + 3)(x - m)(2x + 4) = 0$$ gdzie $x$ jest niewiadomą, natomiast $m$ jest pewną liczbą rzeczywistą.
Suma wszystkich rozwiązań tego równania jest równa $0$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $m$ jest równa

A. $(-7)$

B. $2$

C. $5$

D. $7$

Zadanie 9. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Rozwiązaniem równania $$\dfrac{x + 2}{3x - 1} = \dfrac{2}{5}$$ jest liczba

A. $\dfrac{1}{3}$

B. $\dfrac{8}{11}$

C. $3$

D. $12$

Zadanie 10. (0–2)

Rozwiąż nierówność $$3x^2 + 4x \ge 6x + 8$$ Zapisz obliczenia.

Wskazówki:

Przenieś wszystkie wyrazy na lewą stronę nierówności, aby po prawej stronie otrzymać zero: $ax^2 + bx + c \ge 0$.
Wyznacz miejsca zerowe trójmianu kwadratowego, obliczając wyróżnik $\Delta = b^2 - 4ac$ oraz stosując wzory na pierwiastki $x_1, x_2$.
Naszkicuj oś liczbową i parabolę – zwróć uwagę na znak współczynnika $a$ (kierunek ramion) oraz to, czy punkty graniczne należą do przedziału (nierówność nieostra $\ge$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Przekształcenie nierówności do postaci ogólnej:
Przenosimy wszystkie wyrażenia z prawej strony nierówności na lewą, zmieniając ich znaki na przeciwne: $$3x^2 + 4x \ge 6x + 8$$ $$3x^2 + 4x - 6x - 8 \ge 0$$ Redukujemy wyrazy podobne: $$3x^2 - 2x - 8 \ge 0$$
Wyznaczenie miejsc zerowych trójmianu kwadratowego:
Odczytujemy współczynniki: $a = 3$, $b = -2$, $c = -8$.
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego $\Delta$: $$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100$$ Ponieważ $\Delta > 0$, obliczamy pierwiastek z delty: $$\sqrt{\Delta} = \sqrt{100} = 10$$ Wyznaczamy miejsca zerowe za pomocą wzorów: $$x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-2) - 10}{2 \cdot 3} = \dfrac{2 - 10}{6} = \dfrac{-8}{6} = -\dfrac{4}{3}$$ $$x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-2) + 10}{2 \cdot 3} = \dfrac{2 + 10}{6} = \dfrac{12}{6} = 2$$
Szkic paraboli i odczytanie przedziałów rozwiązań:
Współczynnik $a = 3 > 0$, więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Szukamy wartości większych lub równych zero ($\ge 0$), czyli fragmentów wykresu leżących na osi $OX$ lub powyżej niej (kropki są zamalowane/domknięte).
Zapisanie ostatecznego zbioru rozwiązań:
Wartości nieujemne przyjmowane są dla argumentów należących do sumy przedziałów obustronnie domkniętych w miejscach zerowych: $$x \in \left(-\infty, -\dfrac{4}{3}\right\rangle \cup \langle 2, +\infty)$$

Odpowiedź: $x \in \left(-\infty, -\dfrac{4}{3}\right\rangle \cup \langle 2, +\infty)$

Zadanie 11. (0–2)

Na przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika.

CENNIK BILETÓW
Rodzaj biletu	Cena w złotych
Normalny	35
Ulgowy	25

Na to przedstawienie sprzedano łącznie $200$ biletów.
Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości $25\%$ wpływów ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało $4665\text{ zł}$.

Oblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie. Zapisz obliczenia.

Zadanie 12.

Funkcja $f$ jest określona następująco: $$f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{dla } x \in [-4, 2] \\ -x + 5 & \text{dla } x \in (2, 5) \end{cases}$$ Wykres funkcji $y = f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku poniżej.

Zadanie 12.1. (0–2)

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

1. Rozwiązaniem równania $f(x) = 3$ jest liczba ......... .
2. Największa wartość funkcji $f$ w przedziale $[2, 3]$ jest równa ......... .

Wskazówki:

Podpunkt 1: Rozwiązanie równania $f(x) = 3$ to odcięta ($x$) punktu, w którym wykres funkcji przecina poziomą prostą $y = 3$. Pamiętaj, że punkt z niezamalowanym kółkiem (otwarty) nie należy do wykresu funkcji.
Podpunkt 2: Ogranicz analizę wykresu wyłącznie do przedziału $x \in [2, 3]$. Zwróć uwagę, że dla $x = 2$ wartość funkcji określa pierwsza gałąź wzoru ($f(2) = 2 + 2 = 4$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie rozwiązania równania $f(x) = 3$:
Szukamy takiego argumentu $x$, dla którego wartość funkcji wynosi $3$. Rozpatrujemy obie gałęzie wzoru funkcji:
- Dla $x \in [-4, 2]$: $$x + 2 = 3 \implies x = 1$$ Liczba $1$ należy do przedziału $[-4, 2]$, więc jest poprawnym rozwiązaniem.
- Dla $x \in (2, 5)$: $$-x + 5 = 3 \implies -x = -2 \implies x = 2$$ Liczba $2$ nie należy do przedziału $(2, 5)$ (na wykresie w punkcie $(2, 3)$ znajduje się kółko otwarte).
Jedynym rozwiązaniem równania $f(x) = 3$ jest liczba $x = 1$.
Wyznaczenie największej wartości funkcji $f$ w przedziale $[2, 3]$:
Analizujemy zachowanie funkcji dla argumentów od $x = 2$ do $x = 3$:
- Dla lewego końca przedziału $x = 2$ korzystamy z pierwszego wzoru: $$f(2) = 2 + 2 = 4$$
- Dla pozostałych argumentów $x \in (2, 3]$ korzystamy z drugiego wzoru $f(x) = -x + 5$:
  - Gdy $x$ zbliża się do $2$ z prawej strony, wartości funkcji dążą do liczby $-2 + 5 = 3$ (lecz jej nie osiągają).
  - Dla prawego końca przedziału $x = 3$ wartość wynosi $f(3) = -3 + 5 = 2$.
  W przedziale $(2, 3]$ funkcja przyjmuje wartości ze zbioru $[2, 3)$.
Zbiór wartości funkcji w przedziale $[2, 3]$ to $[2, 3) \cup \{4\}$. Największą wartością w tym zbiorze jest liczba $4$ (osiągana w punkcie $x = 2$).

Odpowiedź: 1. $1$, 2. $4$

Zadanie 12.2. (0–2)

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

1. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział ………………………… .

2. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości większe od $1$, jest przedział ………………………… .

Wskazówki:

Aby odczytać zbiór wartości ($\text{ZW}_f$), zrzutuj cały wykres funkcji na oś pionową $Oy$ – od najmniejszej do największej osiąganej wartości $y$.
Zwróć uwagę na rodzaj punktów granicznych: punkt zamalowany oznacza, że wartość jest osiągana (przedział domknięty), a kółko otwarte oznacza, że wartość nie należy do danej części wykresu.
Aby wyznaczyć argumenty, dla których zachodzi nierówność $f(x) > 1$, poprowadź poziomą prostą $y = 1$ i znajdź te przedziały osi $Ox$, dla których wykres znajduje się ściśle powyżej tej prostej.
Sprawdź, co dzieje się w punkcie podziału dziedziny $x = 2$ – ponieważ $f(2) = 4 > 1$, punkt ten należy do rozwiązania i spaja oba przedziały cząstkowe w jeden.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie zbioru wartości funkcji $f$:
Analizujemy wartości przyjmowane przez funkcję na obu częściach dziedziny:
- Dla pierwszej gałęzi $x \in [-4, 2]$ mamy funkcję liniową rosnącą $f(x) = x + 2$: $$f(-4) = -4 + 2 = -2$$ $$f(2) = 2 + 2 = 4$$ Ponieważ oba końce przedziału są domknięte, zbiorem wartości tej gałęzi jest przedział $[-2, 4]$.
- Dla drugiej gałęzi $x \in (2, 5)$ funkcja liniowa $f(x) = -x + 5$ jest malejąca: $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = -2 + 5 = 3$$ $$\lim_{x \to 5^-} f(x) = -5 + 5 = 0$$ Zbiorem wartości tej gałęzi jest przedział otwarty $(0, 3)$.
Zbiór wartości całej funkcji to suma zbiorów wartości obu części: $$\text{ZW}_f = [-2, 4] \cup (0, 3) = [-2, 4] = \langle -2, 4 \rangle$$
Wyznaczenie argumentów, dla których $f(x) > 1$:
Szukamy przedziałów argumentów $x$, dla których wartości funkcji leżą ściśle powyżej poziomej prostej $y = 1$:
- Dla części lewej ($x \in [-4, 2]$): $$x + 2 > 1 \iff x > -1$$ Zatem z tego fragmentu otrzymujemy: $x \in (-1, 2]$.
- Dla części prawej ($x \in (2, 5)$): $$-x + 5 > 1 \iff -x > -4 \iff x < 4$$ Zatem z tego fragmentu otrzymujemy: $x \in (2, 4)$.
Łączymy oba przedziały, uwzględniając punkt podziału $x = 2$ (dla którego $f(2) = 4 > 1$): $$x \in (-1, 2] \cup (2, 4) = (-1, 4)$$

Odpowiedź:
1. $\langle -2, 4 \rangle$ (lub $[-2, 4]$)
2. $(-1, 4)$

Zadanie 13.1. (0–1)

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = ax + b$, gdzie $a$ i $b$ są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono fragment wykresu funkcji $f$. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji $f$ z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji $f$ jest nachylony do osi $Ox$ układu współrzędnych pod kątem o mierze $\alpha$ (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Współczynnik $a$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą dodatnią.	P	F
Współczynnik $b$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą dodatnią.	P	F

Zadanie 13.2. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta o mierze $\alpha$ jest równy

A. $\left(-\frac{3}{2}\right)$

B. $\left(-\frac{2}{3}\right)$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{3}{2}$

Zadanie 14. (0–4)

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W = (3, -2)$.
Funkcja kwadratowa $g$ jest określona za pomocą funkcji $f$ wzorem $g(x) = f(x + 1)$. Jednym z miejsc zerowych funkcji $g$ jest liczba $0$.

Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci ogólnej. Zapisz obliczenia.

Wskazówki:

Skorzystaj z postaci kanonicznej funkcji kwadratowej $f(x) = a(x - p)^2 + q$, gdzie $(p, q)$ to współrzędne wierzchołka paraboli.
Zastosuj zależność $g(x) = f(x + 1)$, aby zapisać wzór funkcji $g$ w zależności od parametru $a$.
Wykorzystaj warunek, że liczba $0$ jest miejscem zerowym funkcji $g$, czyli $g(0) = 0$ (co odpowiada również $f(1) = 0$), aby obliczyć współczynnik kierunkowy $a$.
Rozwiń postać kanoniczną do postaci ogólnej $f(x) = ax^2 + bx + c$ za pomocą wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zapisanie wzoru funkcji $f$ w postaci kanonicznej:
Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji $f$ ma współrzędne $W = (p, q) = (3, -2)$. Podstawiamy te wartości do wzoru w postaci kanonicznej: $$f(x) = a(x - p)^2 + q$$ $$f(x) = a(x - 3)^2 - 2 \quad \text{gdzie } a \neq 0$$
Wyznaczenie współczynnika $a$ na podstawie własności funkcji $g$:
Funkcja $g$ jest określona wzorem $g(x) = f(x + 1)$. Podstawiając $x + 1$ w miejsce zmiennej do wzoru funkcji $f$, otrzymujemy: $$g(x) = a\big((x + 1) - 3\big)^2 - 2 = a(x - 2)^2 - 2$$ Wiemy, że liczba $0$ jest miejscem zerowym funkcji $g$, co oznacza, że $g(0) = 0$: $$g(0) = a(0 - 2)^2 - 2 = 0$$ $$a \cdot (-2)^2 - 2 = 0$$ $$4a - 2 = 0$$ $$4a = 2$$ $$a = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$$
Przekształcenie wzoru funkcji $f$ do postaci ogólnej:
Wstawiamy wyliczoną wartość $a = \dfrac{1}{2}$ do postaci kanonicznej funkcji $f$: $$f(x) = \dfrac{1}{2}(x - 3)^2 - 2$$ Rozwijamy kwadrat różnicy $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$: $$f(x) = \dfrac{1}{2}(x^2 - 6x + 9) - 2$$ $$f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 3x + \dfrac{9}{2} - 2$$ Sprowadzamy wyraz wolny do wspólnego mianownika: $$\dfrac{9}{2} - 2 = \dfrac{9}{2} - \dfrac{4}{2} = \dfrac{5}{2}$$ Ostateczny wzór funkcji w postaci ogólnej to: $$f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 3x + \dfrac{5}{2}$$

Odpowiedź: $f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 3x + \dfrac{5}{2}$ (lub $f(x) = 0{,}5x^2 - 3x + 2{,}5$)

Zadanie 15. (0–3)

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = 3n + 5$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.
Trzywyrazowy ciąg $(a_1, a_9, a_k)$ jest geometryczny.

Oblicz $k$. Zapisz obliczenia.

Zadanie 16. (0–1)

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.
W tym ciągu $a_1 = 1$ oraz $a_5 = 17$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dziewiąty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

A. $29$

B. $33$

C. $34$

D. $37$

Zadanie 17. (0–1)

Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.
Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek $a_3 \cdot a_6 = 18$.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Iloczyn $a_2 \cdot a_7$ jest równy ......... .

Zadanie 18. (0–1)

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym bok $AC$ jest przeciwprostokątną oraz $|BC| = 2$ i $|AC| = 2\sqrt{10}$. Oznaczmy kąt $BCA$ przez $\gamma$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Sinus kąta $\gamma$ jest równy

A. $\dfrac{1}{\sqrt{10}}$

B. $\dfrac{1}{3}$

C. $\dfrac{3}{\sqrt{10}}$

D. $\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{11}}$

Zadanie 19. (0–1)

Punkty $A$, $B$, $C$ oraz $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$.
Punkt $B$ leży na krótszym łuku $AC$.
Kąt $CDA$ ma miarę $50^\circ$, a kąt $COB$ ma miarę $30^\circ$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego $BOA$ jest równa

A. $50^\circ$

B. $60^\circ$

C. $70^\circ$

D. $100^\circ$

Zadanie 20. (0–1)

Na płaszczyźnie dane są cztery proste: $k$, $l$, $m$ oraz $n$. Proste $k$ oraz $l$ są równoległe.
Prosta $m$ przecina proste $k$ oraz $l$ w punktach – odpowiednio – $A$ oraz $C$.
Prosta $n$ przecina proste $k$ oraz $l$ w punktach – odpowiednio – $D$ oraz $B$.
Odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$.
Ponadto $|OA| = 12$, $|OB| = 6$ oraz $|OC| = 8$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek $OD$ ma długość

A. $4$

B. $9$

C. $10$

D. $16$

Wskazówki:

Zauważ, że proste $k$ i $l$ są równoległe ($k \parallel l$), a proste $m$ i $n$ przecinają się w punkcie $O$.
Wykorzystaj własności kątów wierzchołkowych oraz naprzemianległych wewnętrznych, aby wykazać podobieństwo trójkątów $\triangle OAD$ i $\triangle OCB$ (cecha kąt-kąt-kąt) lub zastosuj twierdzenie Talesa.
Ułóż odpowiednią proporcję dla boków odpowiadających w tych trójkątach: $\dfrac{|OD|}{|OB|} = \dfrac{|OA|}{|OC|}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wykazanie podobieństwa trójkątów $\triangle OAD$ i $\triangle OCB$:
Ponieważ proste $k$ i $l$ są równoległe:
- Kąty przy wierzchołku $O$, czyli $\angle AOD$ oraz $\angle COB$, są kątami wierzchołkowymi, więc mają równe miary: $\angle AOD = \angle COB$.
- Kąty $\angle OAD$ oraz $\angle OCB$ są kątami naprzemianległymi wewnętrznymi utworzonymi przez prostą $m$ przecinającą proste równoległe $k$ i $l$, zatem: $\angle OAD = \angle OCB$.
- Kąty $\angle ODA$ oraz $\angle OBC$ są kątami naprzemianległymi wewnętrznymi utworzonymi przez prostą $n$, zatem: $\angle ODA = \angle OBC$.
Na mocy cechy podobieństwa kąt-kąt-kąt ($KKK$) trójkąty są podobne: $$\triangle OAD \sim \triangle OCB$$
Ułożenie i rozwiązanie proporcji odcinków:
Z podobieństwa trójkątów $\triangle OAD \sim \triangle OCB$ (lub bezpośrednio z twierdzenia Talesa dla prostych przecinających się w punkcie $O$) stosunek odpowiadających sobie boków jest stały: $$\dfrac{|OD|}{|OB|} = \dfrac{|OA|}{|OC|}$$ Podstawiamy wartości podane w treści zadania: $|OA| = 12$, $|OC| = 8$, $|OB| = 6$: $$\dfrac{|OD|}{6} = \dfrac{12}{8}$$ Upraszczamy ułamek po prawej stronie: $$\dfrac{|OD|}{6} = \dfrac{3}{2}$$ Mnożymy obustronnie przez $6$: $$|OD| = 6 \cdot \dfrac{3}{2} = 3 \cdot 3 = 9$$

Odpowiedź: B

Zadanie 21. (0–2)

Dany jest trójkąt $KLM$, w którym $|KM| = a$ oraz $|LM| = b$.
Dwusieczna kąta $LMK$ przecina bok $KL$ w punkcie $N$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że stosunek pola trójkąta $KNM$ do pola trójkąta $NLM$ jest równy $\dfrac{a}{b}$.

Wskazówki:

Skorzystaj ze wzoru na pole trójkąta z wykorzystaniem długości dwóch boków oraz sinusa kąta między nimi: $P = \frac{1}{2} x y \sin \gamma$.
Dwusieczna dzieli kąt przy wierzchołku $M$ na dwa równe kąty o mierze $\alpha$, a odcinek $MN$ jest wspólnym bokiem obu trójkątów.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wprowadzenie oznaczeń kątów i wspólnego boku:
Ponieważ odcinek $MN$ jest dwusieczną kąta $LMK$, dzieli go na dwa kąty o jednakowej mierze. Przyjmijmy: $$\angle KMN = \angle NLM = \alpha$$ Oznaczmy długość odcinka dwusiecznej jako $|MN| = d$.
Zapisanie pól trójkątów za pomocą wzoru trygonometrycznego:
Pole dowolnego trójkąta o bokach $x, y$ i kącie $\gamma$ między nimi wyraża się wzorem $P = \frac{1}{2} x y \sin \gamma$.
Zapisujemy pola trójkątów $KNM$ oraz $NLM$:
- Pole trójkąta $KNM$ (o bokach $a$ i $d$ oraz kącie $\alpha$): $$P_{\Delta KNM} = \frac{1}{2} \cdot |KM| \cdot |MN| \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot a \cdot d \cdot \sin \alpha$$
- Pole trójkąta $NLM$ (o bokach $b$ i $d$ oraz kącie $\alpha$): $$P_{\Delta NLM} = \frac{1}{2} \cdot |LM| \cdot |MN| \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot b \cdot d \cdot \sin \alpha$$
Obliczenie stosunku pól trójkątów:
Dzielimy pole trójkąta $KNM$ przez pole trójkąta $NLM$: $$\frac{P_{\Delta KNM}}{P_{\Delta NLM}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot a \cdot d \cdot \sin \alpha}{\frac{1}{2} \cdot b \cdot d \cdot \sin \alpha}$$ Skracamy wspólne czynniki występujące w liczniku i mianowniku ($\frac{1}{2}$, $d$ oraz $\sin \alpha \neq 0$): $$\frac{P_{\Delta KNM}}{P_{\Delta NLM}} = \frac{a}{b}$$ co kończy dowód.

Odpowiedź: Wykazano, że $\dfrac{P_{\Delta KNM}}{P_{\Delta NLM}} = \dfrac{a}{b}$.

Zadanie 22. (0–1)

W okrąg $\mathcal{O}$ o promieniu $9\sqrt{3}$ wpisano trójkąt równoboczny $\mathcal{T}$.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Bok trójkąta $\mathcal{T}$ ma długość ………… .

Zadanie 23. (0–1)

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia warunek $\dfrac{3\sin\alpha + 4\cos\alpha}{4\cos\alpha} = 6$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

A. $\dfrac{5}{8}$

B. $\dfrac{8}{3}$

C. $\dfrac{32}{5}$

D. $\dfrac{20}{3}$

Zadanie 24.1. (0–1)

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $A = (0, -3)$, $B = (2, 1)$ oraz $C = (0, 2)$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole trójkąta $ABC$ jest równe

A. $3$

B. $5$

C. $6$

D. $10$

Wskazówki:

Zauważ, że punkty $A = (0, -3)$ oraz $C = (0, 2)$ leżą na osi $Oy$ układu współrzędnych, co pozwala potraktować odcinek $AC$ jako podstawę trójkąta.
Długość podstawy $|AC|$ to odległość między współrzędnymi $y$ punktów $A$ i $C$.
Wysokość $h$ opuszczona na tę podstawę to odległość punktu $B = (2, 1)$ od osi $Oy$, czyli wartość jego pierwszej współrzędnej $x_B$.
Pole trójkąta oblicz ze standardowego wzoru $P = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie długości podstawy $|AC|$:
Punkty $A(0, -3)$ i $C(0, 2)$ mają pierwszą współrzędną równą $0$, co oznacza, że cały odcinek $AC$ leży na pionowej osi $Oy$. Długość tego odcinka obliczamy jako różnicę ich drugich współrzędnych: $$a = |AC| = |y_C - y_A| = |2 - (-3)| = 2 + 3 = 5$$
Wyznaczenie wysokości $h$ trójkąta:
Wysokość trójkąta opuszczona z wierzchołka $B(2, 1)$ na prostą zawierającą odcinek $AC$ (oś $Oy$) jest odcinkiem poziomym. Jej długość jest równa wartości bezwzględnej ze współrzędnej $x$ wierzchołka $B$: $$h = |x_B| = |2| = 2$$
Obliczenie pola trójkąta $ABC$:
Podstawiamy wyznaczone wartości długości podstawy $a = 5$ oraz wysokości $h = 2$ do wzoru na pole trójkąta: $$P = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 = 5$$ Sposób alternatywny (iloczyn długości przyprostokątnych):
W trójkącie prostokątnym pole jest równe połowie iloczynu długości przyprostokątnych $|BA|$ i $|BC|$: $$|BA| = \sqrt{(0 - 2)^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$ $$|BC| = \sqrt{(0 - 2)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$$ $$P = \dfrac{1}{2} \cdot |BA| \cdot |BC| = \dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$$

Odpowiedź: B

Zadanie 24.2. (0–1)

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $A = (0, -3)$, $B = (2, 1)$ oraz $C = (0, 2)$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Środek okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ ma współrzędne

A. $\left(\dfrac{2}{3}, 0\right)$

B. $\left(-\dfrac{1}{2}, 0\right)$

C. $\left(0, -\dfrac{2}{3}\right)$

D. $\left(0, -\dfrac{1}{2}\right)$

Zadanie 25. (0–1)

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o środku w punkcie $S = (1, -3)$ i o promieniu $5$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Punkt $A = (4, -7)$ leży na okręgu $\mathcal{O}$.	P	F
Okrąg $\mathcal{O}$ jest określony równaniem $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 5$.	P	F

Zadanie 26. (0–1)

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dana jest prosta $k$ o równaniu $y = -\frac{1}{3}x + 2$. Prosta $l$ jest równoległa do prostej $k$ i przechodzi przez punkt $(2, -2)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prosta $l$ przecina oś $Oy$ w punkcie

A. $(0, -3)$

B. $\left(0, -\frac{1}{2}\right)$

C. $(0, -1)$

D. $\left(0, -\frac{4}{3}\right)$

Zadanie 27. (0–2)

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość $8\sqrt{3}$. Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^\circ$.

Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Wskazówki:

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. Pole kwadratu o przekątnej $d$ można wyznaczyć bezpośrednio ze wzoru $P_p = \dfrac{d^2}{2}$.
Kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy to kąt między krawędzią boczną a połową przekątnej podstawy $\dfrac{d}{2}$.
Wysokość ostrosłupa $H$, połowa przekątnej podstawy $\dfrac{d}{2}$ oraz krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny o kącie ostrym $30^\circ$.
Objętość ostrosłupa obliczamy ze wzoru $V = \dfrac{1}{3} \cdot P_p \cdot H$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Obliczenie pola podstawy ostrosłupa:
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o przekątnej $d = 8\sqrt{3}$. Obliczamy pole podstawy $P_p$: $$P_p = \dfrac{d^2}{2} = \dfrac{(8\sqrt{3})^2}{2} = \dfrac{64 \cdot 3}{2} = \dfrac{192}{2} = 96$$
Wyznaczenie wysokości ostrosłupa $H$:
Wysokość ostrosłupa $H = |SO|$ łączy wierzchołek $S$ ze środkiem podstawy $O$ (punktem przecięcia przekątnych kwadratu). Odcinek łączący środek podstawy z wierzchołkiem podstawy to połowa przekątnej: $$\dfrac{d}{2} = \dfrac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$ W trójkącie prostokątnym $SOA$ kąt przy wierzchołku $A$ wynosi $30^\circ$. Korzystając z definicji tangensa kąta ostrego: $$\operatorname{tg} 30^\circ = \dfrac{H}{\frac{d}{2}}$$ $$\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{H}{4\sqrt{3}}$$ Mnożymy obustronnie przez $4\sqrt{3}$: $$H = 4\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3} = 4 \cdot \dfrac{3}{3} = 4$$
Obliczenie objętości ostrosłupa:
Podstawiamy wyznaczone pole podstawy $P_p = 96$ oraz wysokość $H = 4$ do wzoru na objętość ostrosłupa: $$V = \dfrac{1}{3} \cdot P_p \cdot H = \dfrac{1}{3} \cdot 96 \cdot 4 = 32 \cdot 4 = 128$$

Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa jest równa $128$.

Zadanie 28. (0–1)

Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Stosunek objętości stożka do objętości walca jest równy

A. $\dfrac{1}{12}$

B. $\dfrac{1}{6}$

C. $\dfrac{2}{3}$

D. $\dfrac{4}{3}$

Zadanie 29. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ (np.: $321, 555$), jest

A. $6 \cdot 7 \cdot 3$

B. $6 \cdot 7 \cdot 7$

C. $7 \cdot 7 \cdot 3$

D. $7 \cdot 7 \cdot 7$

Zadanie 30. (0–2)

Dane są dwa zbiory cyfr: $X = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ oraz $Y = \{0, 2, 4, 6, 8\}$.
Losujemy jedną cyfrę ze zbioru $X$, a następnie losujemy jedną cyfrę ze zbioru $Y$. Następnie zapisujemy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że cyfra wylosowana ze zbioru $X$ jest cyfrą dziesiątek, a cyfra wylosowana ze zbioru $Y$ jest cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie podzielna przez $6$. Zapisz obliczenia.

Wskazówki:

Liczba naturalna jest podzielna przez $6$, gdy jest jednocześnie podzielna przez $2$ oraz przez $3$.
Ponieważ każda cyfra ze zbioru $Y$ jest parzysta ($0, 2, 4, 6, 8$), wszystkie utworzone liczby dwucyfrowe są automatycznie podzielne przez $2$.
Wystarczy zatem sprawdzić cechę podzielności przez $3$, czyli czy suma cyfry dziesiątek i cyfry jedności jest podzielna przez $3$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych $|\Omega|$:
Cyfrę dziesiątek wybieramy ze zbioru $X = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ (mamy $5$ możliwości).
Cyfrę jedności wybieramy ze zbioru $Y = \{0, 2, 4, 6, 8\}$ (mamy $5$ możliwości).
Zgodnie z regułą mnożenia, całkowita liczba możliwych do utworzenia liczb dwucyfrowych wynosi: $$|\Omega| = 5 \cdot 5 = 25$$
Wyznaczenie liczby zdarzeń sprzyjających $|A|$:
Zdarzenie $A$ polega na wylosowaniu liczby podzielnej przez $6$. Ponieważ wszystkie utworzone liczby kończą się cyfrą parzystą ze zbioru $Y$, każda z nich jest parzysta. Aby liczba dzieliła się przez $6$, suma jej cyfr musi być podzielna przez $3$.
Przeanalizujmy wszystkie przypadki w zależności od cyfry dziesiątek $d \in X$:
- dla $d = 1$: liczby to $10, \mathbf{12}, 14, 16, \mathbf{18}$ — podzielne przez $6$ są $2$ liczby ($12$ oraz $18$),
- dla $d = 3$: liczby to $\mathbf{30}, 32, 34, \mathbf{36}, 38$ — podzielne przez $6$ są $2$ liczby ($30$ oraz $36$),
- dla $d = 5$: liczby to $50, 52, \mathbf{54}, 56, 58$ — podzielna przez $6$ jest $1$ liczba ($54$),
- dla $d = 7$: liczby to $70, \mathbf{72}, 74, 76, \mathbf{78}$ — podzielne przez $6$ są $2$ liczby ($72$ oraz $78$),
- dla $d = 9$: liczby to $\mathbf{90}, 92, 94, \mathbf{96}, 98$ — podzielne przez $6$ są $2$ liczby ($90$ oraz $96$).
Zbiór zdarzeń sprzyjających to: $$A = \{12, 18, 30, 36, 54, 72, 78, 90, 96\}$$ Liczba zdarzeń sprzyjających wynosi: $$|A| = 2 + 2 + 1 + 2 + 2 = 9$$
Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia $A$:
Stosujemy klasyczną definicję prawdopodobieństwa: $$P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}$$ Podstawiamy wyznaczone wartości liczbowe: $$P(A) = \dfrac{9}{25} = 0{,}36$$

Odpowiedź: $P(A) = \dfrac{9}{25}$ (lub $0{,}36$)

Zadanie 31. (0–1)

Nauczyciel matematyki po każdym sprawdzianie porównuje wyniki uzyskane przez uczniów dwóch klas: klasy IV A oraz klasy IV B. Na dwóch poniższych diagramach przedstawiono wyniki sprawdzianu ze statystyki, jakie uzyskali uczniowie tych klas.
Na osiach poziomych podano oceny, które uzyskali uczniowie tych klas, a na osiach pionowych podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy IV A jest równa średniej arytmetycznej ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy IV B.	P	F
Mediana ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy IV A jest równa medianie ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy IV B.	P	F

Wskazówki:

Średnia arytmetyczna to suma wszystkich uzyskanych ocen podzielona przez łączną liczbę uczniów w danej klasie: $\bar{x} = \dfrac{\sum x_i \cdot n_i}{N}$.
Zauważ symetrię rozkładu ocen wokół wartości $3{,}5$ na obu diagramach – pozwala to natychmiast przewidzieć wartość średniej.
Mediana dla parzystej liczby danych ($N = 20$) to średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów po uporządkowaniu rosnącym: $10.$ oraz $11.$ ucznia ($Me = \dfrac{x_{10} + x_{11}}{2}$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Odczytanie danych i obliczenie średniej arytmetycznej w klasie IV A:
Z diagramu dla klasy IV A odczytujemy liczbę uczniów, którzy otrzymali poszczególne oceny:
- ocena $1$: $1$ uczeń,
- ocena $2$: $6$ uczniów,
- ocena $3$: $3$ uczniów,
- ocena $4$: $3$ uczniów,
- ocena $5$: $6$ uczniów,
- ocena $6$: $1$ uczeń.
Łączna liczba uczniów w klasie IV A: $$N_A = 1 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 20$$ Suma wszystkich ocen uzyskanych w klasie IV A: $$S_A = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 6 + 6 \cdot 1$$ $$S_A = 1 + 12 + 9 + 12 + 30 + 6 = 70$$ Średnia arytmetyczna ocen w klasie IV A wynosi zatem: $$\bar{x}_A = \dfrac{S_A}{N_A} = \dfrac{70}{20} = 3{,}5$$
Odczytanie danych, obliczenie średniej w klasie IV B i ocena pierwszego stwierdzenia:
Z diagramu dla klasy IV B odczytujemy:
- ocena $1$: $1$ uczeń,
- ocena $2$: $3$ uczniów,
- ocena $3$: $6$ uczniów,
- ocena $4$: $6$ uczniów,
- ocena $5$: $3$ uczniów,
- ocena $6$: $1$ uczeń.
Łączna liczba uczniów w klasie IV B: $$N_B = 1 + 3 + 6 + 6 + 3 + 1 = 20$$ Suma wszystkich ocen uzyskanych w klasie IV B: $$S_B = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 6 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 1$$ $$S_B = 1 + 6 + 18 + 24 + 15 + 6 = 70$$ Średnia arytmetyczna ocen w klasie IV B wynosi: $$\bar{x}_B = \dfrac{S_B}{N_B} = \dfrac{70}{20} = 3{,}5$$ Ponieważ $\bar{x}_A = \bar{x}_B = 3{,}5$, pierwsze stwierdzenie jest PRAWDA (P).
Wyznaczenie mediany ocen w obu klasach i ocena drugiego stwierdzenia:
W obu klasach mamy po $N = 20$ wyników (liczba parzysta). Mediana jest średnią arytmetyczną wyrazów znajdujących się na pozycjach $\frac{20}{2} = 10$ oraz $10 + 1 = 11$ w uporządkowanym rosnąco ciągu ocen: $$Me = \dfrac{x_{10} + x_{11}}{2}$$
- Klasa IV A:
  Pozycja $1$: ocena $1$
  Pozycje $2$–$7$: ocena $2$
  Pozycje $8$–$10$: ocena $3$ $\implies x_{10} = 3$
  Pozycje $11$–$13$: ocena $4$ $\implies x_{11} = 4$
  Mediana klasy IV A: $$Me_A = \dfrac{3 + 4}{2} = 3{,}5$$
- Klasa IV B:
  Pozycja $1$: ocena $1$
  Pozycje $2$–$4$: ocena $2$
  Pozycje $5$–$10$: ocena $3$ $\implies x_{10} = 3$
  Pozycje $11$–$16$: ocena $4$ $\implies x_{11} = 4$
  Mediana klasy IV B: $$Me_B = \dfrac{3 + 4}{2} = 3{,}5$$
Ponieważ $Me_A = Me_B = 3{,}5$, drugie stwierdzenie jest również PRAWDA (P).

Odpowiedź: 1. P, 2. P

Zadanie 32. (0–1)

Średnia arytmetyczna trzech liczb: $a, b, c$, jest równa $2$.
Średnia arytmetyczna czterech liczb: $d, e, f, g$, jest równa $5{,}5$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: $a, b, c, d, e, f, g$, jest równa

A. $3{,}5$

B. $3{,}75$

C. $4$

D. $4{,}25$

Zadanie 33.1. (0–1)

W chwili $t = 0$ z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry.
Przyjmijmy, że wysokość $h$, na której znajduje się piłeczka w danej chwili $t$, jest określona wzorem $$h(t) = -4{,}9t^2 + 14{,}7t$$ gdzie:

czas $t$ jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od $0$ do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię,
wysokość $h$ jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyrzucona piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię w chwili

A. $t = 1{,}5\text{ s}$

B. $t = 2\text{ s}$

C. $t = 2{,}5\text{ s}$

D. $t = 3\text{ s}$

Zadanie 33.2. (0–1)

W chwili $t = 0$ z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość $h$, na której znajduje się piłeczka w danej chwili $t$, jest określona wzorem $$h(t) = -4{,}9t^2 + 14{,}7t$$ gdzie:

czas $t$ jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od $0$ do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię
wysokość $h$ jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyrzucona piłeczka osiągnęła największą wysokość w chwili

A. $t = 1{,}5\text{ s}$

B. $t = 2\text{ s}$

C. $t = 2{,}5\text{ s}$

D. $t = 3\text{ s}$

Maj 2026 – matematyka – poziom podstawowy

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋