Ruch krzywoliniowy kartkówka LiczBit

3.1 Ruch krzywoliniowy

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Dwa wzajemnie prostopadłe wektory $\vec{u}$ oraz $\vec{v}$ mają tak dobrane wartości, że różnica ich długości wynosi $|\vec{u}| - |\vec{v}| = 2\text{ cm}$. Wiadomo ponadto, że suma długości tych wektorów jest równa $|\vec{u}| + |\vec{v}| = 14\text{ cm}$. Wyznacz długość wektora wypadkowego $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$.

Wskazówki:

Wektory składowe tworzą kąt prosty, co oznacza, że wektor wypadkowy jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych będących długościami składowych.
Zadanie można rozwiązać na dwa sposoby: wyznaczając najpierw długości poszczególnych wektorów z układu równań lub stosując wzory skróconego mnożenia bezpośrednio do sumy i różnicy.

Dane i szukane:

Dane:
$|\vec{u}| + |\vec{v}| = 14\text{ cm}$
$|\vec{u}| - |\vec{v}| = 2\text{ cm}$
$\angle(\vec{u}, \vec{v}) = 90^\circ$
Szukane:
$|\vec{w}| = ?$ (dla $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$)

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza relacji geometrycznej między wektorami wyjściowymi:
Wektory $\vec{u}$ oraz $\vec{v}$ są do siebie prostopadłe. Zaczepiamy je we wspólnym punkcie początkowym. Na tym etapie znamy jedynie relacje algebraiczne między ich długościami oraz kąt prosty między nimi.
Sposób I – Wyznaczenie długości wektorów składowych z układu równań i twierdzenie Pitagorasa:
Zapisujemy układ równań dany w treści zadania: $$\begin{cases} |\vec{u}| + |\vec{v}| = 14 \\[6pt] |\vec{u}| - |\vec{v}| = 2 \end{cases}$$ Dodajemy oba równania stronami, co pozwala wyeliminować wielkość $|\vec{v}|$: $$\begin{aligned} 2|\vec{u}| &= 16 \\[8pt] |\vec{u}| &= 8\text{ cm} \end{aligned}$$ Podstawiamy obliczoną długość $|\vec{u}|$ do pierwszego równania: $$\begin{aligned} 8 + |\vec{v}| &= 14 \\[8pt] |\vec{v}| &= 6\text{ cm} \end{aligned}$$ Ponieważ wektory są ułożone pod kątem prostym ($\vec{u} \perp \vec{v}$), długość ich sumy geometrycznej obliczamy z twierdzenia Pitagorasa: $$\begin{aligned} |\vec{w}|^2 &= |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 \\[8pt] |\vec{w}|^2 &= 8^2 + 6^2 \\[8pt] |\vec{w}|^2 &= 64 + 36 = 100 \\[8pt] |\vec{w}| &= \sqrt{100} = 10\text{ cm} \end{aligned}$$
Sposób II – Wykorzystanie tożsamości algebraicznej bez obliczania pojedynczych długości:
Dla wektorów prostopadłych zachodzi zależność: $$|\vec{w}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2$$ Rozpisujemy sumę kwadratów sumy oraz różnicy długości wektorów przy użyciu wzorów skróconego mnożenia: $$\begin{aligned} (|\vec{u}| + |\vec{v}|)^2 + (|\vec{u}| - |\vec{v}|)^2 &= \left(|\vec{u}|^2 + 2|\vec{u}||\vec{v}| + |\vec{v}|^2\right) + \left(|\vec{u}|^2 - 2|\vec{u}||\vec{v}| + |\vec{v}|^2\right) \\[8pt] &= 2\left(|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2\right) \\[8pt] &= 2|\vec{w}|^2 \end{aligned}$$ Przekształcamy powyższy związek, wyznaczając bezpośrednio kwadrat długości wektora wypadkowego: $$\begin{aligned} |\vec{w}|^2 &= \dfrac{(|\vec{u}| + |\vec{v}|)^2 + (|\vec{u}| - |\vec{v}|)^2}{2} \\[8pt] |\vec{w}|^2 &= \dfrac{14^2 + 2^2}{2} = \dfrac{196 + 4}{2} = \dfrac{200}{2} = 100 \\[8pt] |\vec{w}| &= \sqrt{100} = 10\text{ cm} \end{aligned}$$
Rysunek wynikowy z wyznaczonym wektorem wypadkowym:
Po dopełnieniu wektorów $\vec{u}$ oraz $\vec{v}$ do prostokąta, wektor wypadkowy $\vec{w}$ stanowi jego przekątną o długości $10\text{ cm}$.

Odpowiedź:
Długość wektora wypadkowego wynosi $|\vec{w}| = 10\text{ cm}$.

Zadanie 2

W kartezjańskim układzie współrzędnych obrano punkt $A = (-2, -1)$, będący wspólnym początkiem dwóch wektorów swobodnych $\vec{u} = [2, 3]$ oraz $\vec{v} = [-2, 3]$. Wyznacz współrzędne wektora sumy $\vec{u} + \vec{v}$ oraz wektora różnicy $\vec{u} - \vec{v}$, oblicz długości obu tych wektorów, a następnie przedstaw je graficznie w układzie współrzędnych ze wspólnym początkiem w punkcie $A$.

Wskazówki:

Współrzędne sumy i różnicy wektorów obliczamy poprzez dodawanie lub odejmowanie odpowiadających sobie współrzędnych $x$ oraz $y$.
Długość wektora $\vec{w} = [x_w, y_w]$ wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa: $|\vec{w}| = \sqrt{x_w^2 + y_w^2}$.
Dodawanie wektorów (metoda trójkąta): Aby dodać wektor $\vec{v}$ do $\vec{u}$, do końca wektora $\vec{u}$ doklejamy początek wektora $\vec{v}$. Wektor sumy łączy początek $\vec{u}$ z końcem $\vec{v}$.
Odejmowanie wektorów: Wykorzystujemy zależność $\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$. Do końca wektora $\vec{u}$ doklejamy wektor przeciwny $-\vec{v}$ (o tym samym zwrocie i kierunku, lecz przeciwnej orientacji).

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza stanu wyjściowego:
W układzie współrzędnych nanosimy punkt początkowy $A = (-2, -1)$ oraz wyjściowe wektory $\vec{u} = [2, 3]$ i $\vec{v} = [-2, 3]$ zaczepione w punkcie $A$.
Sposób I – Wyznaczenie współrzędnych i długości wektorów metodą algebraiczną:
Wektor sumy $\vec{s} = \vec{u} + \vec{v}$ otrzymujemy przez dodanie odpowiednich współrzędnych wektorów $\vec{u} = [2, 3]$ i $\vec{v} = [-2, 3]$: $$\begin{aligned} \vec{s} &= [u_x + v_x,\, u_y + v_y] \\[8pt] &= [2 + (-2),\, 3 + 3] \\[8pt] &= [0,\, 6] \end{aligned}$$ Obliczamy długość wektora sumy: $$|\vec{s}| = \sqrt{0^2 + 6^2} = \sqrt{36} = 6$$ Wektor różnicy $\vec{w} = \vec{u} - \vec{v}$ otrzymujemy przez odjęcie odpowiadających sobie współrzędnych: $$\begin{aligned} \vec{w} &= [u_x - v_x,\, u_y - v_y] \\[8pt] &= [2 - (-2),\, 3 - 3] \\[8pt] &= [2 + 2,\, 0] \\[8pt] &= [4,\, 0] \end{aligned}$$ Obliczamy długość wektora różnicy: $$|\vec{w}| = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$$ Wyznaczamy współrzędne końców obu wektorów zaczepionych w punkcie $A = (-2, -1)$:
Dla sumy $\vec{s} = [0, 6]$: $$B_s = (-2 + 0,\, -1 + 6) = (-2,\, 5)$$ Dla różnicy $\vec{w} = [4, 0]$: $$B_w = (-2 + 4,\, -1 + 0) = (2,\, -1)$$
Dodawanie wektorów (doklejenie drugiego wektora do końca pierwszego):
Aby geometrycznie wyznaczyć sumę $\vec{u} + \vec{v}$, do końca wektora $\vec{u}$ (punkt $(0, 2)$) doklejamy wektor $\vec{v} = [-2, 3]$. Końcem tak powstałego ciągu jest punkt $(-2, 5)$. Wektor łączący punkt startowy $A$ z tym końcem to wektor sumy $\vec{u} + \vec{v} = [0, 6]$.
Odejmowanie wektorów (doklejenie wektora przeciwnego $- \vec{v}$):
Różnicę przedstawiamy jako dodawanie wektora przeciwnego: $\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$. Skoro $\vec{v} = [-2, 3]$, to wektor do niego przeciwny wynosi $-\vec{v} = [2, -3]$.
Do końca wektora $\vec{u}$ (punkt $(0, 2)$) doklejamy wektor $-\vec{v}$, który przesuwa nas do punktu $(2, -1)$. Wektor łączący punkt startowy $A$ z punktem końcowym to wektor różnicy $\vec{u} - \vec{v} = [4, 0]$.
Zestawienie wynikowe obu wektorów we wspólnym początku $A$:
Po wyznaczeniu wektorów przenosimy je do wspólnego punktu zaczepienia $A = (-2, -1)$, zgodnie z treścią zadania.

Odpowiedź:
Wektor sumy: $\vec{u} + \vec{v} = [0, 6]$, jego długość: $|\vec{u} + \vec{v}| = 6$

Wektor różnicy: $\vec{u} - \vec{v} = [4, 0]$, jego długość: $|\vec{u} - \vec{v}| = 4$

Zadanie 3

W zautomatyzowanej hali magazynowej dyspozytor nadzoruje ruch autonomicznych wózków transportowych na cyfrowym planie podzielonym na kwadratowe strefy o boku $1\text{ m}$. Kolumny stref oznaczono literami od A do H, natomiast rzędy ponumerowano od 1 do 8. Na ekranie przedstawiono aktualne położenie dwóch pojazdów: wózka niebieskiego (obiekt N) oraz wózka pomarańczowego (obiekt P).

a) Podaj oznaczenia stref magazynowych (literę kolumny i numer rzędu), w których znajdują się wózek niebieski oraz wózek pomarańczowy.

b) Przyjmując dolny lewy narożnik siatki stref za początek układu współrzędnych $(0,0)$, wyznacz składowe początkowych wektorów położenia obu pojazdów: $[r_{Nx}, r_{Ny}]$ dla wózka niebieskiego oraz $[r_{Px}, r_{Py}]$ dla wózka pomarańczowego. Oblicz wartości (długości) obu wektorów.

c) Wózek niebieski zrealizował transport palety i przemieścił się do strefy G7. Ustal współrzędne jego położenia końcowego oraz oblicz wartość wektora przemieszczenia tego wózka.

Wskazówki:

Każda litera kolumny odpowiada kolejnej liczbie na poziomej osi $x$ (A = 1, B = 2, C = 3, itd.), a numer rzędu wyznacza wartość na pionowej osi $y$.
Współrzędne wektora położenia $\vec{r}$ obiektu to po prostu współrzędne punktu, w którym się znajduje, mierzone od początku układu $(0,0)$.
Wartość (długość) wektora wyznaczamy bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa: $r = \sqrt{r_x^2 + r_y^2}$.
Wektor przemieszczenia $\Delta \vec{r}$ łączy punkt początkowy z końcowym: $\Delta \vec{r} = [x_2 - x_1,\; y_2 - y_1]$, a jego wartość to długość odcinka między tymi punktami.

Dane i szukane:

Dane:
Położenie początkowe wózka niebieskiego (N): $x_{N1} = 3\text{ m}$, $y_{N1} = 4\text{ m}$
Położenie początkowe wózka pomarańczowego (P): $x_{P1} = 8\text{ m}$, $y_{P1} = 6\text{ m}$
Położenie końcowe wózka niebieskiego (N): $x_{N2} = 7\text{ m}$, $y_{N2} = 7\text{ m}$ (strefa G7)
Szukane:
Oznaczenia stref wyjściowych: $\text{strefa}_N = ?$, $\text{strefa}_P = ?$
Wektory położenia początkowego i ich wartości: $\vec{r}_{N1} = [r_{Nx}, r_{Ny}] = ?$, $r_{N1} = ?$, $\vec{r}_{P1} = [r_{Px}, r_{Py}] = ?$, $r_{P1} = ?$
Położenie końcowe oraz wartość przemieszczenia: $[x_{N2}, y_{N2}] = ?$, $|\Delta \vec{r}_N| = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza położeń wyjściowych w kartezjańskim układzie współrzędnych:
Na planie hali początek układu współrzędnych $(0,0)$ znajduje się w dolnym lewym rogu. Każda strefa ma wymiar $1\text{ m} \times 1\text{ m}$. Litery kolumn A–H odpowiadają współrzędnym poziomym: $$A = 1\text{ m},\; B = 2\text{ m},\; C = 3\text{ m},\; D = 4\text{ m},\; E = 5\text{ m},\; F = 6\text{ m},\; G = 7\text{ m},\; H = 8\text{ m}$$ Rzędy 1–8 odpowiadają bezpośrednio współrzędnym pionowym $y = 1, 2, \dots, 8\text{ m}$. Wektory położenia początkowego poprowadzone są z punktu $(0,0)$ do środków odpowiednich stref.
Wyznaczenie sektorów oraz współrzędnych i wartości wektorów położenia (podpunkty a i b):
Odczytujemy położenia wyjściowe wózków:
• Wózek niebieski (N) znajduje się w kolumnie C i rzędzie 4, co oznacza strefę C4.
• Wózek pomarańczowy (P) znajduje się w kolumnie H i rzędzie 6, co oznacza strefę H6.

Współrzędne wektorów położenia początkowego wynoszą zatem: $$\vec{r}_{N1} = [r_{Nx},\; r_{Ny}] = [3\text{ m},\; 4\text{ m}]$$ $$\vec{r}_{P1} = [r_{Px},\; r_{Py}] = [8\text{ m},\; 6\text{ m}]$$ Wartości (długości) obu wektorów obliczamy ze wzoru na długość wektora w przestrzeni dwuwymiarowej: $$r = \sqrt{r_x^2 + r_y^2}$$ Dla wózka niebieskiego: $$\begin{aligned} r_{N1} &= \sqrt{3^2 + 4^2} \\[8pt] &= \sqrt{9 + 16} \\[8pt] &= \sqrt{25} = 5\text{ m} \end{aligned}$$ Dla wózka pomarańczowego: $$\begin{aligned} r_{P1} &= \sqrt{8^2 + 6^2} \\[8pt] &= \sqrt{64 + 36} \\[8pt] &= \sqrt{100} = 10\text{ m} \end{aligned}$$
Wyznaczenie wektora przemieszczenia wózka niebieskiego i jego interpretacja graficzna (podpunkt c):
Wózek niebieski dotarł do strefy G7. Litera G oznacza 7. kolumnę ($x_{N2} = 7\text{ m}$), a cyfra 7 oznacza 7. rząd ($y_{N2} = 7\text{ m}$).
Współrzędne końcowe wózka niebieskiego to: $$[x_{N2},\; y_{N2}] = [7\text{ m},\; 7\text{ m}]$$ Wektor przemieszczenia $\Delta \vec{r}_N$ określa zmianę położenia od punktu początkowego $(x_{N1}, y_{N1})$ do punktu końcowego $(x_{N2}, y_{N2})$: $$\begin{aligned} \Delta \vec{r}_N &= [x_{N2} - x_{N1},\; y_{N2} - y_{N1}] \\[8pt] &= [7 - 3,\; 7 - 4] \\[8pt] &= [4\text{ m},\; 3\text{ m}] \end{aligned}$$ Wartość wektora przemieszczenia możemy wyznaczyć dwoma równoważnymi sposobami:

Sposób I – Z definicji długości wektora o danych składowych: $$\begin{aligned} |\Delta \vec{r}_N| &= \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} \\[8pt] &= \sqrt{4^2 + 3^2} \\[8pt] &= \sqrt{16 + 9} \\[8pt] &= \sqrt{25} = 5\text{ m} \end{aligned}$$ Sposób II – Z twierdzenia Pitagorasa w geometrycznym trójkącie przesunięcia:
Składowe przemieszczenia tworzą przyprostokątne trójkąta prostokątnego o długościach $\Delta x = 4\text{ m}$ oraz $\Delta y = 3\text{ m}$. Długość przeciwprostokątnej (przemieszczenie wypadkowe $d$) wynosi: $$d^2 = 4^2 + 3^2 = 25 \implies d = \sqrt{25} = 5\text{ m}$$

Odpowiedź:
a) Wózek niebieski: strefa C4. Wózek pomarańczowy: strefa H6.

b) $\vec{r}_{N1} = [3\text{ m},\; 4\text{ m}]$, $r_{N1} = 5\text{ m}$
$\vec{r}_{P1} = [8\text{ m},\; 6\text{ m}]$, $r_{P1} = 10\text{ m}$

c) Współrzędne końcowe: $[x_{N2}, y_{N2}] = [7\text{ m},\; 7\text{ m}]$, przemieszczenie: $|\Delta \vec{r}_N| = 5\text{ m}$.

Zadanie 4

Kurier rowerowy wyruszył z bazy logistycznej do punktu doręczeń dwuetapową trasą biegnącą wzdłuż dwóch wzajemnie prostopadłych alej (zgodnie z załączonym schematem). Drugi odcinek trasy (2) o długości $s_2 = 8\text{ km}$ pokonał w czasie $t_2 = 40\text{ min}$, natomiast wcześniejszy odcinek (1) o długości $s_1 = 6\text{ km}$ zajął mu $t_1 = 20\text{ min}$. Po dotarciu na miejsce i trwającym $1{,}5\text{ h}$ rozładunku przesyłek, kurier powrócił do bazy prostą drogą łączącą oba punkty „na przełaj” (odcinek 3), co zajęło mu $t_3 = 30\text{ min}$. Wyznacz średnią wartość prędkości kuriera oraz wartość wektora jego prędkości średniej na całej trasie (baza $\rightarrow$ punkt doręczeń $\rightarrow$ baza). Wyniki podaj w $\frac{\text{km}}{\text{h}}$.

Wskazówki:

Zwróć uwagę na fundamentalną różnicę definicyjną: średnia wartość prędkości (szybkość średnia) jest skalarem zależnym od całkowitej długości pokonanej drogi i pełnego czasu, natomiast wektor prędkości średniej zależy wyłącznie od wektora przemieszczenia wypadkowego między położeniem początkowym a końcowym.
Do całkowitego czasu ruchu należy bezwzględnie wliczyć czas trwania postoju (rozładunku przesyłek).
Ponieważ dwa pierwsze odcinki są do siebie prostopadłe, odległość w linii prostej na trasie powrotnej wyznacz z twierdzenia Pitagorasa.

Dane i szukane:

Dane:
$s_1 = 6\text{ km}$
$t_1 = 20\text{ min} = \dfrac{20}{60}\text{ h} = \dfrac{1}{3}\text{ h}$
$s_2 = 8\text{ km}$
$t_2 = 40\text{ min} = \dfrac{40}{60}\text{ h} = \dfrac{2}{3}\text{ h}$
$t_{\text{postój}} = 1{,}5\text{ h} = \dfrac{3}{2}\text{ h}$
$t_3 = 30\text{ min} = \dfrac{30}{60}\text{ h} = \dfrac{1}{2}\text{ h}$
$\alpha = 90^\circ$ (kąt między alejami 1 i 2)

Szukane:
$s_3 = ?$
$s_c = ?$
$t_c = ?$
$v_{\text{śr}} = ?$
$|\vec{v}_{\text{śr}}| = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza etapów przemieszczenia:
Ruch kuriera rozpoczyna się w punkcie początkowym (Baza), prowadzi pionowo wzdłuż odcinka 1 o długości $s_1$, a następnie pod kątem prostym poziomo wzdłuż odcinka 2 o długości $s_2$ do punktu doręczeń. Powrót odbywa się po przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego (odcinek 3 o nieznanej początkowo długości $s_3$).
Obliczenie długości drogi powrotnej $s_3$, całkowitej drogi $s_c$ i czasu $t_c$:
Ponieważ trasa z bazy do punktu doręczeń tworzy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $s_1$ i $s_2$, długość bezpośredniej drogi powrotnej wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa: $$ \begin{aligned} s_3 &= \sqrt{s_1^2 + s_2^2} \\[8pt] &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\[8pt] &= \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\text{ km} \end{aligned} $$ Całkowita droga pokonana przez kuriera jest sumą długości wszystkich przebytych odcinków: $$ \begin{aligned} s_c &= s_1 + s_2 + s_3 \\[8pt] &= 6\text{ km} + 8\text{ km} + 10\text{ km} = 24\text{ km} \end{aligned} $$ Całkowity czas uwzględnia czasy przejazdu poszczególnych etapów oraz czas postoju na rozładunek: $$ \begin{aligned} t_c &= t_1 + t_2 + t_{\text{postój}} + t_3 \\[8pt] &= \dfrac{1}{3}\text{ h} + \dfrac{2}{3}\text{ h} + 1{,}5\text{ h} + 0{,}5\text{ h} \\[8pt] &= 1\text{ h} + 2\text{ h} = 3\text{ h} \end{aligned} $$
Wyznaczenie średniej wartości prędkości oraz wektora prędkości średniej:
Średnia wartość prędkości (szybkość średnia) jest skalarem wyrażającym stosunek całkowitej przebytej drogi do całkowitego czasu ruchu: $$ v_{\text{śr}} = \dfrac{s_c}{t_c} = \dfrac{24\text{ km}}{3\text{ h}} = 8\text{ }\dfrac{\text{km}}{\text{h}} $$ Wektor prędkości średniej jest ilorazem wektora całkowitego przemieszczenia $\Delta \vec{r}$ i czasu: $$ \vec{v}_{\text{śr}} = \dfrac{\Delta \vec{r}}{t_c} $$ Wypadkowe przemieszczenie $\Delta \vec{r}$ to wektor łączący punkt startowy z punktem końcowym. Ponieważ kurier powrócił do punktu wyjścia (bazy), jego położenie początkowe i końcowe są identyczne, co oznacza, że wektor przemieszczenia jest wektorem zerowym: $$ \Delta \vec{r} = \vec{r}_1 + \vec{r}_2 + \vec{r}_3 = \vec{0} $$ Wobec tego wartość wektora prędkości średniej wynosi: $$ |\vec{v}_{\text{śr}}| = \dfrac{|\Delta \vec{r}|}{t_c} = \dfrac{0\text{ km}}{3\text{ h}} = 0\text{ }\dfrac{\text{km}}{\text{h}} $$

Odpowiedź:
Średnia wartość prędkości: $v_{\text{śr}} = 8\text{ }\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$

Wartość wektora prędkości średniej: $|\vec{v}_{\text{śr}}| = 0\text{ }\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$

Zadanie 5

Podczas zimowych zawodów na zamarzniętym akwenie wiatr wiejący od strony rufy pod kątem $\alpha = 60^\circ$ w stosunku do podłużnej osi bojera lodowego przemieszcza się z prędkością $v_w = 10\text{ m/s}$. Żagiel jednostki zamontowano w taki sposób, że jego bom jest prostopadły do osi symetrii kadłuba. Przyjmując, że wskutek sił oporu ruchu (tarcia płóz o lód oraz oporu powietrza) rzeczywista prędkość bojera ulega zmniejszeniu o $20\%$ w stosunku do wzdłużnej składowej prędkości wiatru, wyznacz wartość prędkości $v_b$ bojera równoległą do jego osi.

Wskazówki:

Żagiel ustawiony prostopadle do osi bojera przejmuje pęd od tej części strumienia powietrza, która porusza się równolegle do kadłuba.
Rozłóż wektor prędkości wiatru $\vec{v}_w$ na dwie składowe prostokątne: wzdłużną (równoległą do osi symetrii ślizgu) oraz poprzeczną (ślizgającą się wzdłuż żagla).
Składowa wzdłużna wyznacza maksymalną prędkość teoretyczną bez oporów. Ostateczną prędkość bojera otrzymasz, pomniejszając tę wartość o straty wywołane oporami ($20\%$).

Dane i szukane:

Dane:
$v_w = 10\text{ m/s}$ — prędkość wiatru względem podłoża
$\alpha = 60^\circ$ — kąt między wektorem prędkości wiatru a osią wzdłużną bojera
$\eta = 20\% = 0{,}20$ — względny spadek prędkości wywołany siłami oporu ruchu

Szukane:
$v_b = ?$ — prędkość bojera mierzona wzdłuż jego osi podłużnej

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza geometryczna układu wyjściowego:
Wektor prędkości wiatru $\vec{v}_w$ dociera do jednostki od strony rufy pod kątem $\alpha = 60^\circ$ względem kierunku ruchu. Ponieważ bom z żaglem tworzy kąt prosty z osią bojera, płaszczyzna żagla jest ustawiona poprzecznie do kierunku przemieszczania się. Składowa wiatru skierowana prostopadle do żagla działa dokładnie wzdłuż osi kadłuba i stanowi czynnik napędowy.
Wyznaczenie składowej prędkości wiatru równoległej do osi bojera:
Sposób I (Rozkład wektora prędkości na osie w układzie współrzędnych):
Przyjmując oś $X$ pokrywającą się z osią podłużną kadłuba, rzutujemy wektor prędkości wiatru $\vec{v}_w$ na ten kierunek: $$ \begin{aligned} v_\parallel &= v_w \cdot \cos\alpha \\[8pt] v_\parallel &= 10\text{ m/s} \cdot \cos 60^\circ \\[8pt] v_\parallel &= 10\text{ m/s} \cdot 0{,}5 = 5\text{ m/s} \end{aligned} $$
Sposób II (Analiza funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym składowych):
Wektor prędkości wiatru $\vec{v}_w$ tworzy przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, w którym przyprostokątna leżąca przy kącie $\alpha$ odpowiada składowej wzdłużnej $v_\parallel$, natomiast przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta odpowiada składowej poprzecznej $v_\perp$. Z definicji funkcji cosinus: $$ \cos\alpha = \dfrac{v_\parallel}{v_w} \implies v_\parallel = v_w \cdot \cos\alpha = 10 \cdot \dfrac{1}{2} = 5\text{ m/s} $$
Uwzględnienie oporów ruchu i obliczenie prędkości bojera:
Gdyby nie występowały żadne opory ruchu, bojer poruszałby się z pełną prędkością równą wzdłużnej składowej wiatru ($v_\parallel$). Zgodnie z treścią zadania opory powodują spadek prędkości o $\eta = 20\%$ w stosunku do tej składowej: $$ \begin{aligned} v_b &= v_\parallel \cdot (1 - \eta) \\[8pt] &= 5\text{ m/s} \cdot (1 - 0{,}20) \\[8pt] &= 5\text{ m/s} \cdot 0{,}80 \\[8pt] &= 4\text{ m/s} \end{aligned} $$
Interpretacja wektorowa rozwiązania (rysunek wynikowy):
Poniższy wykres na siatce kratek (gdzie 1 kratka odpowiada $1\text{ m/s}$) przedstawia rozkład wektora prędkości wiatru na składową wzdłużną $v_\parallel = 5\text{ m/s}$ oraz wyliczoną ostateczną prędkość bojera $v_b = 4\text{ m/s}$.

Odpowiedź:
Prędkość bojera równoległa do jego osi wynosi $v_b = 4\text{ m/s}$.

Grupa B

Zadanie 1

Wektor wypadkowy $\vec{s} = \vec{s}_1 + \vec{s}_2$ powstał ze złożenia dwóch wzajemnie prostopadłych wektorów przesunięcia $\vec{s}_1$ oraz $\vec{s}_2$. Ustal wartość długości wektora $\vec{s}$, wiedząc, że suma długości wektorów składowych wynosi $|\vec{s}_1| + |\vec{s}_2| = 17\text{ cm}$, natomiast ich różnica jest równa $|\vec{s}_1| - |\vec{s}_2| = 7\text{ cm}$.

Zadanie 2

Zaczepiono dwa wektory $\vec{k} = [3, 2]$ oraz $\vec{m} = [3, -2]$ we wspólnym punkcie początkowym $S = (-3, -1)$. Ustal współrzędne wektora sumy $\vec{k} + \vec{m}$ oraz wektora różnicy $\vec{k} - \vec{m}$, oblicz długości każdego z nich, a następnie sporządź ich ilustrację graficzną w kartezjańskim układzie współrzędnych.

Zadanie 3

W stacji kontroli żeglugi morskiej dyżurny oficer śledzi na ekranie radaru aktualną sytuację na redzie portu. Monitorowany akwen podzielono na kwadratowe sektory operacyjne o boku $1\text{ km}$. Kolumny sektorów oznaczono literami od A do H, natomiast rzędy ponumerowano liczbami od 1 do 8. Na ekranie zobrazowano bieżące pozycje dwóch jednostek pływających: kutra patrolowego (jednostka P) oraz łodzi ratowniczej (jednostka R).

a) Odczytaj z siatki radaru oznaczenia sektorów (literę kolumny i numer rzędu), w których znajdują się kuter patrolowy oraz łódź ratownicza.

b) Wyznacz składowe początkowych wektorów położenia obu jednostek: $[r_{Px}, r_{Py}]$ dla kutra patrolowego oraz $[r_{Rx}, r_{Ry}]$ dla łodzi ratowniczej, przyjmując dolny lewy narożnik siatki radaru za początek układu współrzędnych $(0,0)$. Oblicz wartości obu wektorów położenia.

c) Łódź ratownicza odebrała wezwanie asysty technicznej i przemieściła się bezpośrednio do sektora B6. Określ współrzędne jej położenia końcowego oraz oblicz wartość wektora przemieszczenia tej łodzi.

Zadanie 4

Turysta wyruszył z pola namiotowego do schroniska górskiego wytyczoną trasą złożoną z dwóch wzajemnie prostopadłych traktów leśnych (zgodnie z załączonym szkicem). Pierwszy odcinek (1) o długości $s_1 = 3\text{ km}$ piechur pokonał w czasie $t_1 = 45\text{ min}$, natomiast przejście drugiego odcinka (2) o długości $s_2 = 4\text{ km}$ zajęło mu $t_2 = 75\text{ min}$. Po godzinnym odpoczynku w schronisku wędrowiec skierował się z powrotem do obozowiska bezpośrednią ścieżką łączącą schronisko z polem namiotowym (odcinek 3), co zajęło mu $t_3 = 1\text{ h}$. Ustal średnią wartość prędkości turysty oraz wartość wektora jego prędkości średniej na całej trasie (pole namiotowe $\rightarrow$ schronisko $\rightarrow$ pole namiotowe). Wyniki podaj w $\frac{\text{km}}{\text{h}}$.

Zadanie 5

Trójkołowy wózek żaglowy (żaglowóz) przemieszcza się po ubitym piasku nadmorskiej plaży. Omasztowanie pojazdu ustawiono w ten sposób, że pozioma belka żagla (bom) tworzy z osią podłużną wózka kąt prosty. Opory toczenia kół po piasku oraz opór powietrza powodują zmniejszenie prędkości żaglowozu o $25\%$ w odniesieniu do wzdłużnej składowej prędkości wiatru. Oblicz prędkość $v_z$, z jaką porusza się żaglowóz w kierunku równoległym do swojej osi, jeżeli wiatr wieje zza tylnej osi z prędkością $v_w = 8\text{ m/s}$, a jego kierunek tworzy z osią pojazdu kąt $\alpha = 60^\circ$.

3.1 Ruch krzywoliniowy

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋