Wskazówki:
1. Zawsze zacznij od wyznaczenia dziedziny funkcji. Pamiętaj, że mianownik musi być różny od zera.
2. Aby zbadać monotoniczność, musisz obliczyć pierwszą pochodną funkcji, $f'(x)$. Skorzystaj ze wzoru na pochodną ilorazu:$$\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.$$3. W podpunkcie b) spróbuj uprościć licznik, zauważając, że jest to wielokrotność wzoru skróconego mnożenia.
4. Miejsca zerowe pochodnej ($f'(x)=0$) oraz punkty wykluczone z dziedziny dzielą oś liczbową na przedziały. Zbadaj znak pochodnej w każdym z tych przedziałów.
5. Pamiętaj, że jeśli $\Delta > 0$, otrzymasz dwa pierwiastki. Jeśli te pierwiastki są niewymierne (np. zawierają $\sqrt{7}$), użyj ich dokładnej postaci do określenia przedziałów.
Rozwiązanie:
a) $f(x)=\frac{x^2 + 4x + 7}{x + 4}$
1. Wyznaczanie dziedziny funkcji $D_f$.
Mianownik musi być różny od zera: $x+4 \neq 0$, czyli $x \neq -4$. Dziedzina to $D_f = R \setminus \left\{ -4 \right\}$.
2. Obliczanie pierwszej pochodnej $f'(x)$.
Korzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu. $u = x^2 + 4x + 7$, $v = x + 4$.
Pochodna licznika ($u'$):$$\left( x^2 + 4x + 7 \right)' = 2x + 4.$$Pochodna mianownika ($v'$):$$\left( x + 4 \right)' = 1.$$Podstawiamy do wzoru:$$f'(x) = \frac{\left( 2x + 4 \right) \left( x + 4 \right) - \left( x^2 + 4x + 7 \right) \left( 1 \right)}{\left( x + 4 \right)^2}.$$3. Upraszczanie licznika pochodnej.
Rozwijamy pierwszy iloczyn:$$\left( 2x + 4 \right) \left( x + 4 \right) = 2x^2 + 8x + 4x + 16 = 2x^2 + 12x + 16.$$Licznik staje się:$$\left( 2x^2 + 12x + 16 \right) - \left( x^2 + 4x + 7 \right) = 2x^2 + 12x + 16 - x^2 - 4x - 7.$$Redukujemy wyrazy podobne:$$x^2 + 8x + 9.$$Otrzymujemy$$f'(x) = \frac{x^2 + 8x + 9}{\left( x + 4 \right)^2}.$$4. Wyznaczanie miejsc zerowych pochodnej.
Szukamy $x$ dla których $f'(x) = 0$. Wystarczy, że licznik będzie równy zero:$$x^2 + 8x + 9 = 0.$$Obliczamy wyróżnik $\Delta = b^2 - 4ac$. Tutaj $a=1, b=8, c=9$.$$\Delta = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 64 - 36 = 28.$$Obliczamy pierwiastki $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$. Pamiętamy, że $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.$$x_1 = \frac{-8 - 2\sqrt{7}}{2} = -4 - \sqrt{7}.$$$$x_2 = \frac{-8 + 2\sqrt{7}}{2} = -4 + \sqrt{7}.$$5. Analiza znaku pochodnej.
Znak $f'(x)$ zależy tylko od licznika $N(x) = x^2 + 8x + 9$. Jest to parabola skierowana ramionami do góry z pierwiastkami $x_1 = -4 - \sqrt{7}$ i $x_2 = -4 + \sqrt{7}$. Punkt wykluczony z dziedziny, $x=-4$, leży między tymi pierwiastkami.
$f'(x) > 0$ (funkcja rośnie) dla $x \in \left( -\infty, -4 - \sqrt{7} \right) \cup \left( -4 + \sqrt{7}, \infty \right)$.
$f'(x) < 0$ (funkcja maleje) dla $x \in \left( -4 - \sqrt{7}, -4 + \sqrt{7} \right)$.
6. Określenie maksymalnych przedziałów monotoniczności.
Musimy rozdzielić przedział malejący w punkcie $x=-4$.
Funkcja jest rosnąca w przedziałach: $\left( -\infty, -4 - \sqrt{7} \right]$ oraz $\left[ -4 + \sqrt{7}, \infty \right)$.
Funkcja jest malejąca w przedziałach: $\left[ -4 - \sqrt{7}, -4 \right)$ oraz $\left( -4, -4 + \sqrt{7} \right]$.
b) $f(x)=\frac{3x^2 - 12x + 12}{x - 1}$
1. Wyznaczanie dziedziny funkcji $D_f$.
Mianownik musi być różny od zera: $x - 1 \neq 0$, czyli $x \neq 1$. Dziedzina to $D_f = R \setminus \left\{ 1 \right\}$.
2. Uproszczenie funkcji.
Licznik: $3x^2 - 12x + 12 = 3 \left( x^2 - 4x + 4 \right) = 3 \left( x - 2 \right)^2$.$$f(x) = \frac{3 \left( x - 2 \right)^2}{x - 1}.$$3. Obliczanie pierwszej pochodnej $f'(x)$.
$u = 3x^2 - 12x + 12$, $v = x - 1$.
Pochodna licznika ($u'$):$$\left( 3x^2 - 12x + 12 \right)' = 6x - 12 = 6(x-2).$$Pochodna mianownika ($v'$):$$\left( x - 1 \right)' = 1.$$Podstawiamy do wzoru:$$f'(x) = \frac{\left( 6x - 12 \right) \left( x - 1 \right) - \left( 3x^2 - 12x + 12 \right) \left( 1 \right)}{\left( x - 1 \right)^2}.$$4. Upraszczanie licznika pochodnej.
Rozwijamy pierwszy iloczyn:$$\left( 6x - 12 \right) \left( x - 1 \right) = 6x^2 - 6x - 12x + 12 = 6x^2 - 18x + 12.$$Licznik staje się:$$\left( 6x^2 - 18x + 12 \right) - \left( 3x^2 - 12x + 12 \right) = 6x^2 - 18x + 12 - 3x^2 + 12x - 12.$$Redukujemy wyrazy podobne:$$3x^2 - 6x.$$Wyłączamy $3x$ przed nawias: $3x(x-2)$.
Otrzymujemy$$f'(x) = \frac{3x \left( x - 2 \right)}{\left( x - 1 \right)^2}.$$5. Wyznaczanie miejsc zerowych pochodnej.
Szukamy $x$ dla których $f'(x) = 0$. Wystarczy, że$$3x(x-2) = 0.$$Otrzymujemy dwa pierwiastki: $x_1 = 0$ oraz $x_2 = 2$.
6. Analiza znaku pochodnej.
Znak $f'(x)$ zależy od licznika $N(x) = 3x(x-2)$. Jest to parabola skierowana ramionami do góry z pierwiastkami $0$ i $2$. Punkt wykluczony z dziedziny, $x=1$, leży między tymi pierwiastkami.
$f'(x) > 0$ (funkcja rośnie) dla $x \in \left( -\infty, 0 \right) \cup \left( 2, \infty \right)$.
$f'(x) < 0$ (funkcja maleje) dla $x \in \left( 0, 2 \right)$.
7. Określenie maksymalnych przedziałów monotoniczności.
Musimy rozdzielić przedział malejący $\left( 0, 2 \right)$ w punkcie $x=1$.
Funkcja jest rosnąca w przedziałach: $\left( -\infty, 0 \right]$ oraz $\left[ 2, \infty \right)$.
Funkcja jest malejąca w przedziałach: $\left[ 0, 1 \right)$ oraz $\left( 1, 2 \right]$.
