| Nr | Treść Zadania |
|---|---|
| 1 | Wykaż, że jeżeli między kątami trójkąta zachodzi zależność $\cos \alpha = \frac{1-\cos \gamma}{2\cos \beta}$, to trójkąt jest równoramienny. |
| 2 | Uzasadnij, że w trapezie $ABCD$ ($AB \parallel CD$) dwusieczne kątów $ABC$ i $BCD$ są prostopadłe. |
| 3 | Punkt $S$ jest środkiem okręgu wpisanego w trapez $ABCD$ ($AB \parallel CD$). Wykaż, że trójkąt $SBC$ jest prostokątny. |
| 4 | W trapezie równoramiennym $ABCD$, gdzie $AB \parallel CD$ i $|AB| > |CD|$ poprowadzono wysokość $DE$. W ten trapez można wpisać okrąg. Wykaż, że $|AE|^2 + |BD|^2 = \frac{1}{8}k^2$, gdzie $k$ jest obwodem trapezu $ABCD$. |
| 5 | Dłuższa podstawa trapezu prostokątnego ma długość $a$, krótsza zaś $b$. Wykaż, że odległość punktu przecięcia przekątnych od krótszego ramienia jest równa $\frac{ab}{a+b}$. |
| Nr | Treść Zadania |
|---|---|
| 1 | Wykaż, że jeżeli między kątami trójkąta zachodzi zależność $\cos x = \frac{1-\cos z}{2\cos y}$, to trójkąt jest równoramienny. |
| 2 | Uzasadnij, że w trapezie $KLMN$ ($KL \parallel MN$) dwusieczne kątów $KLM$ i $LMN$ są prostopadłe. |
| 3 | Punkt $O$ jest środkiem okręgu wpisanego w trapez $PQRS$ ($PQ \parallel RS$). Wykaż, że trójkąt $OQR$ jest prostokątny. |
| 4 | W trapezie równoramiennym $EFGH$, gdzie $EF \parallel GH$ i $|EF| > |GH|$ poprowadzono wysokość $HI$. W ten trapez można wpisać okrąg. Wykaż, że $|EI|^2 + |FH|^2 = \frac{1}{8}p^2$, gdzie $p$ jest obwodem trapezu $EFGH$. |
| 5 | Dłuższa podstawa trapezu prostokątnego ma długość $x$, krótsza zaś $y$. Wykaż, że odległość punktu przecięcia przekątnych od krótszego ramienia jest równa $\frac{xy}{x+y}$. |
| Nr | Treść Zadania |
|---|---|
| 1 | Wykaż, że jeżeli między kątami trójkąta zachodzi zależność $\cos \delta = \frac{1-\cos \phi}{2\cos \epsilon}$, to trójkąt jest równoramienny. |
| 2 | Uzasadnij, że w trapezie $PRST$ ($PR \parallel ST$) dwusieczne kątów $PRS$ i $RST$ są prostopadłe. |
| 3 | Punkt $W$ jest środkiem okręgu wpisanego w trapez $KLMN$ ($KL \parallel MN$). Wykaż, że trójkąt $WLM$ jest prostokątny. |
| 4 | W trapezie równoramiennym $WXYZ$, gdzie $WX \parallel YZ$ i $|WX| > |YZ|$ poprowadzono wysokość $ZV$. W ten trapez można wpisać okrąg. Wykaż, że $|WV|^2 + |XZ|^2 = \frac{1}{8}L^2$, gdzie $L$ jest obwodem trapezu $WXYZ$. |
| 5 | Dłuższa podstawa trapezu prostokątnego ma długość $m$, krótsza zaś $n$. Wykaż, że odległość punktu przecięcia przekątnych od krótszego ramienia jest równa $\frac{mn}{m+n}$. |
| Nr | Treść Zadania |
|---|---|
| 1 | Wykaż, że jeżeli między kątami trójkąta zachodzi zależność $\cos \mu = \frac{1-\cos \omega}{2\cos \nu}$, to trójkąt jest równoramienny. |
| 2 | Uzasadnij, że w trapezie $EFGH$ ($EF \parallel GH$) dwusieczne kątów $EFG$ i $FGH$ są prostopadłe. |
| 3 | Punkt $M$ jest środkiem okręgu wpisanego w trapez $RSTU$ ($RS \parallel TU$). Wykaż, że trójkąt $MST$ jest prostokątny. |
| 4 | W trapezie równoramiennym $PQRS$, gdzie $PQ \parallel RS$ i $|PQ| > |RS|$ poprowadzono wysokość $ST$. W ten trapez można wpisać okrąg. Wykaż, że $|PT|^2 + |QS|^2 = \frac{1}{8}O^2$, gdzie $O$ jest obwodem trapezu $PQRS$. |
| 5 | Dłuższa podstawa trapezu prostokątnego ma długość $c$, krótsza zaś $d$. Wykaż, że odległość punktu przecięcia przekątnych od krótszego ramienia jest równa $\frac{cd}{c+d}$. |