| Nr | Treść Zadania | Rozwiązanie | Odpowiedź |
|---|---|---|---|
| 1 | Ciąg $(a_n)$ dla $n \ge 1$ jest określony wzorem $a_n = 4n - n^2$. Oblicz wyrazy $a_3$ oraz $a_{n+1}$. Który wyraz tego ciągu jest równy $-45$? | Wskazówki:
• Wyznacz wyraz $a_3$, wstawiając $n = 3$ do wzoru ogólnego ciągu.
• Aby obliczyć $a_{n+1}$, zastąp zmienną $n$ wyrażeniem $(n+1)$ i zastosuj wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy.
• Aby wyznaczyć numer wyrazu równego $-45$, ułóż równanie $a_n = -45$ i pamiętaj o warunku $n \in \mathbb{N}_+$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Obliczenie wyrazu $a_3$:
Podstawiamy $n = 3$ do wzoru ciągu:
$$\begin{aligned}
a_3 &= 4 \cdot 3 - 3^2 \\[6pt]
&= 12 - 9 = 3
\end{aligned}$$
2. Wyznaczenie wyrazu $a_{n+1}$:
Wstawiamy $n + 1$ w miejsce $n$ i rozwijamy kwadrat sumy:
$$\begin{aligned}
a_{n+1} &= 4(n+1) - (n+1)^2 \\[6pt]
&= 4n + 4 - (n^2 + 2n + 1) \\[6pt]
&= -n^2 + 2n + 3
\end{aligned}$$
3. Rozwiązanie równania $a_n = -45$:
Przyrównujemy wzór ciągu do $-45$ i porządkujemy trójmian kwadratowy:
$$\begin{aligned}
4n - n^2 &= -45 \\[6pt]
n^2 - 4n - 45 &= 0
\end{aligned}$$
Obliczamy wyróżnik $\Delta$ oraz pierwiastki trójmianu:
$$\begin{aligned}
\Delta &= (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) \\[6pt]
&= 16 + 180 = 196 \\[6pt]
\sqrt{\Delta} &= 14 \\[6pt]
n_1 &= \frac{4 - 14}{2} = -5 \notin \mathbb{N}_+ \\[6pt]
n_2 &= \frac{4 + 14}{2} = 9 \in \mathbb{N}_+
\end{aligned}$$
|
$a_3 = 3$, $a_{n+1} = -n^2 + 2n + 3$, dziewiąty wyraz ($n = 9$) |
| 2 | Zbadaj monotoniczność ciągu $a_n = 2n^2 + 3n$. | Wskazówki: • Zbadaj znak różnicy $a_{n+1} - a_n$ dla każdego $n \ge 1$. • Wyznacz wyraz $a_{n+1}$, podstawiając $(n+1)$ w miejsce $n$ we wzorze ciągu. • Jeśli różnica jest ściśle dodatnia dla wszystkich $n \in \mathbb{N}_+$, ciąg jest rosnący. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Wyznaczenie wyrazu $a_{n+1}$: Podstawiamy $n+1$ do wzoru ciągu: $$\begin{aligned} a_{n+1} &= 2(n+1)^2 + 3(n+1) \\[6pt] &= 2(n^2 + 2n + 1) + 3n + 3 \\[6pt] &= 2n^2 + 4n + 2 + 3n + 3 = 2n^2 + 7n + 5 \end{aligned}$$ 2. Obliczenie różnicy $a_{n+1} - a_n$: Odejmujemy wyraz $a_n$ od wyrazu $a_{n+1}$: $$\begin{aligned} a_{n+1} - a_n &= (2n^2 + 7n + 5) - (2n^2 + 3n) \\[6pt] &= 2n^2 + 7n + 5 - 2n^2 - 3n \\[6pt] &= 4n + 5 \end{aligned}$$ 3. Określenie monotoniczności: Ponieważ $n \ge 1$, to $4n \ge 4$, skąd wynika nierówność: $$\begin{aligned} 4n + 5 \ge 9 > 0 \end{aligned}$$ Różnica $a_{n+1} - a_n > 0$ dla każdego $n \in \mathbb{N}_+$, co oznacza, że ciąg $(a_n)$ jest rosnący. | Ciąg jest rosnący. |
| 3 | Zbadaj monotoniczność ciągu $b_n = \frac{3n+2}{n+1}$. | Wskazówki: • Zbadaj znak różnicy $b_{n+1} - b_n$. • Sprowadź ułamki do wspólnego mianownika $(n+2)(n+1)$. • Ustal znak licznika i mianownika dla liczb naturalnych $n \ge 1$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Wyznaczenie wyrazu $b_{n+1}$: Wstawiamy $n+1$ w miejsce $n$: $$\begin{aligned} b_{n+1} &= \frac{3(n+1)+2}{(n+1)+1} = \frac{3n+5}{n+2} \end{aligned}$$ 2. Zbadanie różnicy $b_{n+1} - b_n$: Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika: $$\begin{aligned} b_{n+1} - b_n &= \frac{3n+5}{n+2} - \frac{3n+2}{n+1} \\[6pt] &= \frac{(3n+5)(n+1) - (3n+2)(n+2)}{(n+2)(n+1)} \\[6pt] &= \frac{(3n^2 + 8n + 5) - (3n^2 + 8n + 4)}{(n+2)(n+1)} \\[6pt] &= \frac{1}{(n+2)(n+1)} \end{aligned}$$ 3. Wniosek dotyczący monotoniczności: Dla każdego $n \ge 1$ licznik jest stały i dodatni ($1 > 0$), a mianownik spełnia $(n+2)(n+1) > 0$. Stąd: $$\begin{aligned} b_{n+1} - b_n > 0 \end{aligned}$$ Ciąg $(b_n)$ jest rosnący. | Ciąg jest rosnący. |
| 4 | Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $a_n$ dana jest wzorem $S_n = n^3 - 3n$. Oblicz $a_1, a_2, a_3, a_5$ oraz $a_n$. | Wskazówki: • Pamiętaj o fundamentalnej zależności między sumą częściową a wyrazami ciągu: $a_1 = S_1$ oraz $a_n = S_n - S_{n-1}$ dla $n \ge 2$. • Oblicz wartości $a_1, a_2, a_3, a_5$ za pomocą odpowiednich różnic sum częściowych. • Wyprowadź wzór ogólny $a_n$, rozpisując wyrażenie $(n-1)^3 - 3(n-1)$ ze wzoru na sześcian różnicy. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Obliczenie wyrazów $a_1, a_2, a_3$: Korzystamy ze związku między wyrazami ciągu a sumą częściową: $$\begin{aligned} a_1 &= S_1 = 1^3 - 3 \cdot 1 = -2 \\[6pt] a_2 &= S_2 - S_1 = (2^3 - 3 \cdot 2) - (-2) = (8 - 6) + 2 = 4 \\[6pt] a_3 &= S_3 - S_2 = (3^3 - 3 \cdot 3) - 2 = (27 - 9) - 2 = 16 \end{aligned}$$ 2. Obliczenie wyrazu $a_5$: Obliczamy sumy $S_5$ oraz $S_4$: $$\begin{aligned} S_5 &= 5^3 - 3 \cdot 5 = 125 - 15 = 110 \\[6pt] S_4 &= 4^3 - 3 \cdot 4 = 64 - 12 = 52 \\[6pt] a_5 &= S_5 - S_4 = 110 - 52 = 58 \end{aligned}$$ 3. Wyprowadzenie wzoru ogólnego $a_n$: Dla $n \ge 2$ stosujemy tożsamość $a_n = S_n - S_{n-1}$: $$\begin{aligned} a_n &= (n^3 - 3n) - \left[(n-1)^3 - 3(n-1)\right] \\[6pt] &= n^3 - 3n - \left(n^3 - 3n^2 + 3n - 1 - 3n + 3\right) \\[6pt] &= n^3 - 3n - (n^3 - 3n^2 + 2) \\[6pt] &= 3n^2 - 3n - 2 \end{aligned}$$ Dla $n = 1$ wzór daje $3(1)^2 - 3(1) - 2 = -2 = a_1$, zatem obowiązuje on dla każdego $n \ge 1$. | $a_1 = -2, a_2 = 4, a_3 = 16, a_5 = 58, a_n = 3n^2 - 3n - 2$ |
| 5 | Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $a_n$ dana jest wzorem $S_n = n^3 - 4n^2$. Który wyraz ciągu $a_n$ jest równy $47$? | Wskazówki:
• Wyznacz wzór ogólny $a_n$ ze wzoru $a_n = S_n - S_{n-1}$.
• Przyrównaj otrzymany wzór do $47$ i rozwiąż równanie kwadratowe z niewiadomą $n$.
• Odrzuć rozwiązanie ujemne lub niecałkowite ze względu na warunek $n \in \mathbb{N}_+$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Wyznaczenie wzoru ogólnego $a_n$:
Stosujemy zależność $a_n = S_n - S_{n-1}$:
$$\begin{aligned}
a_n &= (n^3 - 4n^2) - \left[(n-1)^3 - 4(n-1)^2\right] \\[6pt]
&= n^3 - 4n^2 - \left[(n^3 - 3n^2 + 3n - 1) - 4(n^2 - 2n + 1)\right] \\[6pt]
&= n^3 - 4n^2 - (n^3 - 7n^2 + 11n - 5) \\[6pt]
&= 3n^2 - 11n + 5
\end{aligned}$$
2. Ułożenie i rozwiązanie równania $a_n = 47$:
Przyrównujemy wzór ciągu do $47$:
$$\begin{aligned}
3n^2 - 11n + 5 &= 47 \\[6pt]
3n^2 - 11n - 42 &= 0
\end{aligned}$$
Obliczamy wyróżnik $\Delta$ i pierwiastki trójmianu:
$$\begin{aligned}
\Delta &= (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-42) \\[6pt]
&= 121 + 504 = 625 \\[6pt]
\sqrt{\Delta} &= 25 \\[6pt]
n_1 &= \frac{11 - 25}{6} = -\frac{14}{6} = -\frac{7}{3} \notin \mathbb{N}_+ \\[6pt]
n_2 &= \frac{11 + 25}{6} = \frac{36}{6} = 6 \in \mathbb{N}_+
\end{aligned}$$
|
Szósty wyraz ($n = 6$) |
| 6 | Wyznacz wartość $x$, dla której liczby $x-2, 3x+1, 7x-4$ w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. | Wskazówki: • Trzy liczby $a, b, c$ tworzą ciąg arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną skrajnych: $2b = a + c$. • Ułóż równanie liniowe z niewiadomą $x$, podstawiając wyrażenia z treści zadania. • Rozwiąż równanie i uporządkuj wyrazy podobne. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Zastosowanie własności ciągu arytmetycznego: Dla liczb $x-2$, $3x+1$ oraz $7x-4$ zachodzi warunek $2b = a + c$: $$\begin{aligned} 2(3x + 1) &= (x - 2) + (7x - 4) \end{aligned}$$ 2. Rozwiązanie równania liniowego: Wymnażamy nawiasy i redukujemy wyrazy podobne: $$\begin{aligned} 6x + 2 &= 8x - 6 \\[6pt] 2 + 6 &= 8x - 6x \\[6pt] 8 &= 2x \\[6pt] x &= 4 \end{aligned}$$ 3. Weryfikacja wyrazów ciągu: Dla $x = 4$ otrzymujemy kolejno liczby: $$\begin{aligned} a_1 &= 4 - 2 = 2 \\[6pt] a_2 &= 3 \cdot 4 + 1 = 13 \\[6pt] a_3 &= 7 \cdot 4 - 4 = 24 \end{aligned}$$ Różnica wynosi $13 - 2 = 24 - 13 = 11$, co potwierdza poprawność rozwiązania. | $x = 4$ |
| 7 | Siódmy wyraz ciągu arytmetycznego $(a_n)$ jest równy $20$. Oblicz $a_5 + a_7 + a_9$ oraz $S_{13}$. | Wskazówki: • Wykorzystaj własność symetrii ciągu arytmetycznego: $a_5 + a_9 = 2a_7$ oraz $a_1 + a_{13} = 2a_7$. • Oblicz sumę $a_5 + a_7 + a_9$ jako $3a_7$. • Zastosuj wzór na sumę trzynastu wyrazów: $S_{13} = \frac{a_1 + a_{13}}{2} \cdot 13 = a_7 \cdot 13$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Obliczenie sumy $a_5 + a_7 + a_9$: Ponieważ wyraz $a_7$ jest środkowym wyrazem pomiędzy $a_5$ i $a_9$, mamy $a_5 + a_9 = 2a_7$: $$\begin{aligned} a_5 + a_7 + a_9 &= (a_5 + a_9) + a_7 \\[6pt] &= 2a_7 + a_7 = 3a_7 \\[6pt] &= 3 \cdot 20 = 60 \end{aligned}$$ 2. Obliczenie sumy $S_{13}$: Wzór na sumę trzynastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego ma postać: $$\begin{aligned} S_{13} &= \frac{a_1 + a_{13}}{2} \cdot 13 \end{aligned}$$ Para wyrazów $a_1$ i $a_{13}$ jest równoodległa od wyrazu siódmego ($1 + 13 = 2 \cdot 7$), więc $a_1 + a_{13} = 2a_7$: $$\begin{aligned} S_{13} &= \frac{2a_7}{2} \cdot 13 = a_7 \cdot 13 \\[6pt] &= 20 \cdot 13 = 260 \end{aligned}$$ 3. Podsumowanie: Wartości szukanych wyrażeń wynoszą odpowiednio: $$a_5 + a_7 + a_9 = 60 \quad \text{oraz} \quad S_{13} = 260$$ | $a_5 + a_7 + a_9 = 60$, $S_{13} = 260$ |
| 8 | W ciągu arytmetycznym dane są $a_1 + a_5 = 16$ oraz $a_2 \cdot a_4 = 48$. Oblicz $a_1, r$ oraz $a_8$. | Wskazówki: • Wykorzystaj tożsamość $a_1 + a_5 = 2a_3$, aby wyznaczyć wartość $a_3$. • Zapisz wyrazy $a_2$ oraz $a_4$ jako $a_3 - r$ i $a_3 + r$, a następnie podstaw je do iloczynu $a_2 \cdot a_4 = 48$. • Rozważ dwa przypadki dla różnicy ciągu: $r = 4$ oraz $r = -4$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Wyznaczenie trzeciego wyrazu ciągu: Z własności symetrii wyrazów ciągu arytmetycznego mamy: $$\begin{aligned} a_1 + a_5 &= 2a_3 \\[6pt] 2a_3 &= 16 \implies a_3 = 8 \end{aligned}$$ 2. Ułożenie równania z iloczynem wyrazów sąsiednich: Wyrażamy $a_2$ oraz $a_4$ względem $a_3 = 8$ i różnicy $r$: $$\begin{aligned} a_2 &= 8 - r \\[6pt] a_4 &= 8 + r \end{aligned}$$ Podstawiamy do drugiego równania: $$\begin{aligned} (8 - r)(8 + r) &= 48 \\[6pt] 64 - r^2 &= 48 \\[6pt] r^2 &= 16 \implies r = 4 \quad \text{lub} \quad r = -4 \end{aligned}$$ 3. Rozpatrzenie obu przypadków: • Przypadek 1: $r = 4$ $$\begin{aligned} a_1 &= a_3 - 2r = 8 - 2 \cdot 4 = 0 \\[6pt] a_8 &= a_1 + 7r = 0 + 7 \cdot 4 = 28 \end{aligned}$$ • Przypadek 2: $r = -4$ $$\begin{aligned} a_1 &= a_3 - 2r = 8 - 2 \cdot (-4) = 16 \\[6pt] a_8 &= a_1 + 7r = 16 + 7 \cdot (-4) = 16 - 28 = -12 \end{aligned}$$ | $r = 4, a_1 = 0, a_8 = 28$ lub $r = -4, a_1 = 16, a_8 = -12$ |
| 9 | Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $a_n$ wyraża się wzorem $S_n = 4n^2 - 3n$. Wyznacz wzór ogólny ciągu $a_n$, wykaż, że ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny oraz rozstrzygnij, ile wyrazów tego ciągu jest mniejszych od $80$. | Wskazówki: • Wyznacz wzór ogólny $a_n$ ze wzoru $a_n = S_n - S_{n-1}$ dla $n \ge 2$, po czym sprawdź zgodność dla $n = 1$. • Wykaż arytmetyczność ciągu, obliczając różnicę $a_{n+1} - a_n$ i pokazując, że jest ona stała. • Rozwiąż nierówność $a_n < 80$ dla liczb naturalnych dodatnich $n$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Wyprowadzenie wzoru ogólnego ciągu: Dla $n \ge 2$ stosujemy tożsamość $a_n = S_n - S_{n-1}$: $$\begin{aligned} a_n &= (4n^2 - 3n) - \left[4(n-1)^2 - 3(n-1)\right] \\[6pt] &= 4n^2 - 3n - \left(4n^2 - 8n + 4 - 3n + 3\right) \\[6pt] &= 4n^2 - 3n - (4n^2 - 11n + 7) \\[6pt] &= 8n - 7 \end{aligned}$$ Dla $n = 1$ mamy $8(1) - 7 = 1$ oraz $S_1 = 4(1)^2 - 3(1) = 1$, więc wzór $a_n = 8n - 7$ obowiązuje dla każdego $n \ge 1$. 2. Dowód arytmetyczności ciągu: Badamy różnicę dwóch kolejnych wyrazów: $$\begin{aligned} a_{n+1} - a_n &= [8(n+1) - 7] - (8n - 7) \\[6pt] &= 8n + 8 - 7 - 8n + 7 \\[6pt] &= 8 \end{aligned}$$ Różnica jest stała ($r = 8$) i niezależna od $n$, co dowodzi, że ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny. 3. Wyznaczenie liczby wyrazów mniejszych od 80: Rozwiązujemy nierówność w zbiorze liczb naturalnych dodatnich: $$\begin{aligned} 8n - 7 &< 80 \\[6pt] 8n &< 87 \\[6pt] n &< \frac{87}{8} = 10{,}875 \end{aligned}$$ Ponieważ $n \in \mathbb{N}_+$, warunek ten spełniają liczby $n \in \{1, 2, 3, \dots, 10\}$. Ciąg posiada $10$ takich wyrazów. | $a_n = 8n - 7$, ciąg jest arytmetyczny ($r=8$), $10$ wyrazów |
| 10 | W ciągu arytmetycznym $(a_n)$ dane są $a_1 = 5$ oraz $r = 3$. Ile początkowych wyrazów tego ciągu należy dodać, aby ich suma wyniosła $185$? | Wskazówki:
• Zastosuj wzór na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n$.
• Wstaw dane $a_1 = 5$, $r = 3$ oraz $S_n = 185$ i doprowadź równanie do postaci ogólnej trójmianu kwadratowego.
• Rozwiąż równanie kwadratowe i wybierz pierwiastek naturalny dodatni ($n \in \mathbb{N}_+$).
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Ułożenie równania sumy:
Podstawiamy parametry ciągu do wzoru na sumę:
$$\begin{aligned}
185 &= \frac{2 \cdot 5 + (n-1) \cdot 3}{2} \cdot n \\[6pt]
370 &= (10 + 3n - 3) \cdot n \\[6pt]
370 &= (3n + 7) \cdot n \\[6pt]
3n^2 + 7n - 370 &= 0
\end{aligned}$$
2. Rozwiązanie równania kwadratowego:
Obliczamy wyróżnik $\Delta$ i pierwiastki trójmianu:
$$\begin{aligned}
\Delta &= 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-370) \\[6pt]
&= 49 + 4440 = 4489 \\[6pt]
\sqrt{\Delta} &= 67 \\[6pt]
n_1 &= \frac{-7 - 67}{6} = \frac{-74}{6} = -\frac{37}{3} \notin \mathbb{N}_+ \\[6pt]
n_2 &= \frac{-7 + 67}{6} = \frac{60}{6} = 10 \in \mathbb{N}_+
\end{aligned}$$
|
Należy dodać $10$ wyrazów ($n = 10$) |
| Nr | Treść Zadania | Rozwiązanie | Odpowiedź |
|---|---|---|---|
| 1 | Ciąg $(a_n)$ dla $n \ge 1$ jest określony wzorem $a_n = 6n - n^2$. Oblicz wyrazy $a_4$ oraz $a_{n+1}$. Który wyraz tego ciągu jest równy $-27$? | Podstawiamy $n = 4$ do wzoru ciągu: $$ a_4 = 6 \cdot 4 - 4^2 $$ $$ a_4 = 24 - 16 = 8 $$ Podstawiamy $n + 1$ w miejsce $n$: $$ a_{n+1} = 6(n+1) - (n+1)^2 $$ $$ a_{n+1} = 6n + 6 - (n^2 + 2n + 1) $$ $$ a_{n+1} = -n^2 + 4n + 5 $$ Aby sprawdzić, który wyraz jest równy $-27$, rozwiązujemy równanie: $$ 6n - n^2 = -27 $$ $$ -n^2 + 6n + 27 = 0 $$ Obliczamy deltę: $$ \Delta = 6^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 27 = 36 + 108 = 144 $$ $$ \sqrt{\Delta} = 12 $$ Obliczamy pierwiastki: $$ n_1 = \frac{-6 - 12}{-2} = \frac{-18}{-2} = 9 $$ $$ n_2 = \frac{-6 + 12}{-2} = \frac{6}{-2} = -3 $$ Odrzucamy $n_2$, ponieważ $n \ge 1$. Szukanym wyrazem jest wyraz dziewiąty. | $a_4 = 8$, $a_{n+1} = -n^2 + 4n + 5$, dziewiąty wyraz. |
| 2 | Zbadaj monotoniczność ciągu $a_n = 4n^2 + n$. | Wyznaczamy wyraz $a_{n+1}$: $$ a_{n+1} = 4(n+1)^2 + (n+1) $$ $$ a_{n+1} = 4(n^2 + 2n + 1) + n + 1 $$ $$ a_{n+1} = 4n^2 + 8n + 4 + n + 1 = 4n^2 + 9n + 5 $$ Badamy znak różnicy $a_{n+1} - a_n$: $$ a_{n+1} - a_n = (4n^2 + 9n + 5) - (4n^2 + n) $$ $$ a_{n+1} - a_n = 8n + 5 $$ Dla każdego $n \ge 1$ wyrażenie $8n + 5$ jest dodatnie. Różnica jest większa od zera, więc ciąg jest rosnący. | Ciąg jest rosnący. |
| 3 | Zbadaj monotoniczność ciągu $b_n = \frac{4n+1}{n+3}$. | Wyznaczamy wyraz $b_{n+1}$: $$ b_{n+1} = \frac{4(n+1)+1}{(n+1)+3} = \frac{4n+5}{n+4} $$ Badamy znak różnicy $b_{n+1} - b_n$: $$ b_{n+1} - b_n = \frac{4n+5}{n+4} - \frac{4n+1}{n+3} $$ Sprowadzamy do wspólnego mianownika: $$ b_{n+1} - b_n = \frac{(4n+5)(n+3) - (4n+1)(n+4)}{(n+4)(n+3)} $$ $$ b_{n+1} - b_n = \frac{4n^2+12n+5n+15 - (4n^2+16n+n+4)}{(n+4)(n+3)} $$ $$ b_{n+1} - b_n = \frac{4n^2+17n+15 - 4n^2-17n-4}{(n+4)(n+3)} $$ $$ b_{n+1} - b_n = \frac{11}{(n+4)(n+3)} $$ Dla każdego $n \ge 1$ licznik jest dodatni i mianownik jest dodatni. Różnica jest większa od zera, więc ciąg jest rosnący. | Ciąg jest rosnący. |
| 4 | Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $a_n$ dana jest wzorem $S_n = n^3 - 4n$. Oblicz $a_1, a_2, a_3, a_4$ oraz $a_n$. | Wyraz $a_1$ to suma pierwszego wyrazu: $$ a_1 = S_1 = 1^3 - 4 \cdot 1 = -3 $$ Kolejne wyrazy obliczamy ze wzoru $a_n = S_n - S_{n-1}$: $$ a_2 = S_2 - S_1 = (2^3 - 4 \cdot 2) - (-3) = (8 - 8) + 3 = 3 $$ $$ a_3 = S_3 - S_2 = (3^3 - 4 \cdot 3) - 0 = (27 - 12) - 0 = 15 $$ Aby obliczyć $a_4$, wyznaczamy $S_4$ i $S_3$: $$ S_4 = 4^3 - 4 \cdot 4 = 64 - 16 = 48 $$ $$ S_3 = 15 $$ $$ a_4 = S_4 - S_3 = 48 - 15 = 33 $$ Wyznaczamy wzór ogólny $a_n$ dla $n \ge 2$: $$ a_n = S_n - S_{n-1} = (n^3 - 4n) - ((n-1)^3 - 4(n-1)) $$ $$ a_n = n^3 - 4n - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1 - 4n + 4) $$ $$ a_n = n^3 - 4n - (n^3 - 3n^2 - n + 3) = 3n^2 - 3n - 3 $$ Wzór sprawdza się również dla $n=1$. | $a_1 = -3, a_2 = 3, a_3 = 15, a_4 = 33, $$a_n = 3n^2 - 3n - 3$. |
| 5 | Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $a_n$ dana jest wzorem $S_n = n^3 - 2n^2$. Który wyraz ciągu $a_n$ jest równy $23$? | Wyznaczamy wzór ogólny ciągu $a_n$ ze wzoru $a_n = S_n - S_{n-1}$: $$ a_n = (n^3 - 2n^2) - ((n-1)^3 - 2(n-1)^2) $$ $$ a_n = n^3 - 2n^2 - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1 - 2(n^2 - 2n + 1)) $$ $$ a_n = n^3 - 2n^2 - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1 - 2n^2 + 4n - 2) $$ $$ a_n = n^3 - 2n^2 - (n^3 - 5n^2 + 7n - 3) $$ $$ a_n = 3n^2 - 7n + 3 $$ Przyrównujemy wzór do $23$: $$ 3n^2 - 7n + 3 = 23 $$ $$ 3n^2 - 7n - 20 = 0 $$ Obliczamy deltę: $$ \Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 49 + 240 = 289 $$ $$ \sqrt{\Delta} = 17 $$ Obliczamy pierwiastki: $$ n_1 = \frac{7 - 17}{6} < 0 $$ $$ n_2 = \frac{7 + 17}{6} = \frac{24}{6} = 4 $$ Odrzucamy ujemny wynik. | Czwarty wyraz. |
| 6 | Wyznacz wartość $x$, dla której liczby $x+1, 4x-2, 8x-7$ w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. | Z własności ciągu arytmetycznego, środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych: $$ 4x - 2 = \frac{(x + 1) + (8x - 7)}{2} $$ Mnożymy obie strony przez $2$: $$ 2(4x - 2) = x + 1 + 8x - 7 $$ $$ 8x - 4 = 9x - 6 $$ Przenosimy niewiadome na jedną stronę: $$ -4 + 6 = 9x - 8x $$ $$ x = 2 $$ | $x = 2$ |
| 7 | Szósty wyraz ciągu arytmetycznego $(a_n)$ jest równy $18$. Oblicz $a_4 + a_6 + a_8$ oraz $S_{11}$. | Z własności ciągu arytmetycznego zachodzi równość: $$ a_4 + a_8 = 2a_6 $$ Podstawiamy to do pierwszej sumy: $$ a_4 + a_6 + a_8 = 2a_6 + a_6 = 3a_6 $$ $$ 3a_6 = 3 \cdot 18 = 54 $$ Korzystamy ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego: $$ S_{11} = \frac{a_1 + a_{11}}{2} \cdot 11 $$ Zauważamy, że $a_1 + a_{11} = 2a_6$: $$ S_{11} = \frac{2a_6}{2} \cdot 11 $$ $$ S_{11} = a_6 \cdot 11 $$ $$ S_{11} = 18 \cdot 11 = 198 $$ | $a_4 + a_6 + a_8 = 54$, $S_{11} = 198$. |
| 8 | W ciągu arytmetycznym dane są $a_1 + a_7 = 20$ oraz $a_3 \cdot a_5 = 96$. Oblicz $a_1, r$ oraz $a_8$. | Zapisujemy układ równań korzystając ze wzoru $a_n = a_1 + (n-1)r$: $$ \begin{cases} a_1 + a_1 + 6r = 20 \\ (a_1 + 2r)(a_1 + 4r) = 96 \end{cases} $$ Z pierwszego równania wyznaczamy związek między $a_1$ i $r$: $$ 2a_1 + 6r = 20 $$ $$ a_1 + 3r = 10 $$ Zauważamy, że $a_1 + 3r = a_4$, więc $a_4 = 10$. Zapisujemy $a_3$ i $a_5$ za pomocą $a_4$ i $r$: $$ a_3 = 10 - r $$ $$ a_5 = 10 + r $$ Podstawiamy do drugiego równania: $$ (10 - r)(10 + r) = 96 $$ $$ 100 - r^2 = 96 $$ $$ r^2 = 4 $$ Rozdzielamy na dwa przypadki: Przypadek 1: $r = 2$. Wtedy $a_1 = 10 - 3 \cdot 2 = 4$. Obliczamy $a_8 = a_1 + 7r = 4 + 14 = 18$. Przypadek 2: $r = -2$. Wtedy $a_1 = 10 - 3 \cdot (-2) = 16$. Obliczamy $a_8 = a_1 + 7r = 16 - 14 = 2$. | $r = 2, a_1 = 4, a_8 = 18$ lub $r = -2, a_1 = 16, a_8 = 2$. |
| 9 | Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $a_n$ wyraża się wzorem $S_n = 5n^2 - 2n$. Wyznacz wzór ogólny ciągu $a_n$, wykaż, że ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny oraz rozstrzygnij, ile wyrazów tego ciągu jest mniejszych od $70$. | Wyznaczamy wzór ogólny ze wzoru $a_n = S_n - S_{n-1}$: $$ a_n = (5n^2 - 2n) - (5(n-1)^2 - 2(n-1)) $$ $$ a_n = 5n^2 - 2n - (5(n^2 - 2n + 1) - 2n + 2) $$ $$ a_n = 5n^2 - 2n - (5n^2 - 10n + 5 - 2n + 2) $$ $$ a_n = 5n^2 - 2n - (5n^2 - 12n + 7) $$ $$ a_n = 10n - 7 $$ Badamy różnicę $a_{n+1} - a_n$: $$ a_{n+1} - a_n = (10(n+1) - 7) - (10n - 7) $$ $$ a_{n+1} - a_n = 10n + 10 - 7 - 10n + 7 = 10 $$ Różnica jest stała (nie zależy od $n$), więc ciąg jest arytmetyczny. Rozwiązujemy nierówność $a_n < 70$: $$ 10n - 7 < 70 $$ $$ 10n < 77 $$ $$ n < 7.7 $$ Ponieważ $n$ musi być liczbą naturalną dodatnią, największą taką liczbą jest $7$. | $a_n = 10n - 7$, ciąg jest arytmetyczny ($r=10$), $7$ wyrazów. |
| 10 | W ciągu arytmetycznym $(a_n)$ dane są $a_1 = 4$ oraz $r = 5$. Ile początkowych wyrazów tego ciągu należy dodać, aby ich suma wyniosła $172$? | Korzystamy ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego: $$ S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n $$ Podstawiamy dane: $$ 172 = \frac{2 \cdot 4 + (n-1) \cdot 5}{2} \cdot n $$ Mnożymy przez $2$: $$ 344 = (8 + 5n - 5) \cdot n $$ $$ 344 = (5n + 3) \cdot n $$ $$ 5n^2 + 3n - 344 = 0 $$ Obliczamy deltę: $$ \Delta = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-344) = 9 + 6880 = 6889 $$ $$ \sqrt{\Delta} = 83 $$ Obliczamy pierwiastki: $$ n_1 = \frac{-3 - 83}{10} < 0 $$ $$ n_2 = \frac{-3 + 83}{10} = \frac{80}{10} = 8 $$ Odrzucamy ujemny wynik. | Należy dodać $8$ wyrazów. |
| Nr | Treść Zadania | Rozwiązanie | Odpowiedź |
|---|---|---|---|
| 1 | Ciąg $(a_n)$ dla $n \ge 1$ jest określony wzorem $a_n = 3n - n^2$. Oblicz wyrazy $a_2$ oraz $a_{n+1}$. Który wyraz tego ciągu jest równy $-40$? | Podstawiamy $n = 2$ do wzoru ciągu: $$ a_2 = 3 \cdot 2 - 2^2 $$ $$ a_2 = 6 - 4 = 2 $$ Podstawiamy $n + 1$ w miejsce $n$: $$ a_{n+1} = 3(n+1) - (n+1)^2 $$ $$ a_{n+1} = 3n + 3 - (n^2 + 2n + 1) $$ $$ a_{n+1} = -n^2 + n + 2 $$ Aby sprawdzić, który wyraz jest równy $-40$, rozwiązujemy równanie: $$ 3n - n^2 = -40 $$ $$ -n^2 + 3n + 40 = 0 $$ Obliczamy deltę: $$ \Delta = 3^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 40 = 9 + 160 = 169 $$ $$ \sqrt{\Delta} = 13 $$ Obliczamy pierwiastki: $$ n_1 = \frac{-3 - 13}{-2} = \frac{-16}{-2} = 8 $$ $$ n_2 = \frac{-3 + 13}{-2} = \frac{10}{-2} = -5 $$ Odrzucamy $n_2$, ponieważ $n \ge 1$. Szukanym wyrazem jest wyraz ósmy. | $a_2 = 2$, $a_{n+1} = -n^2 + n + 2$, ósmy wyraz. |
| 2 | Zbadaj monotoniczność ciągu $a_n = 5n^2 + 2n$. | Wyznaczamy wyraz $a_{n+1}$: $$ a_{n+1} = 5(n+1)^2 + 2(n+1) $$ $$ a_{n+1} = 5(n^2 + 2n + 1) + 2n + 2 $$ $$ a_{n+1} = 5n^2 + 10n + 5 + 2n + 2 = 5n^2 + 12n + 7 $$ Badamy znak różnicy $a_{n+1} - a_n$: $$ a_{n+1} - a_n = (5n^2 + 12n + 7) - (5n^2 + 2n) $$ $$ a_{n+1} - a_n = 10n + 7 $$ Dla każdego $n \ge 1$ wyrażenie $10n + 7$ jest dodatnie. Różnica jest większa od zera, więc ciąg jest rosnący. | Ciąg jest rosnący. |
| 3 | Zbadaj monotoniczność ciągu $b_n = \frac{2n+5}{n+1}$. | Wyznaczamy wyraz $b_{n+1}$: $$ b_{n+1} = \frac{2(n+1)+5}{(n+1)+1} = \frac{2n+7}{n+2} $$ Badamy znak różnicy $b_{n+1} - b_n$: $$ b_{n+1} - b_n = \frac{2n+7}{n+2} - \frac{2n+5}{n+1} $$ Sprowadzamy do wspólnego mianownika: $$ b_{n+1} - b_n = \frac{(2n+7)(n+1) - (2n+5)(n+2)}{(n+2)(n+1)} $$ $$ b_{n+1} - b_n = \frac{2n^2+2n+7n+7 - (2n^2+4n+5n+10)}{(n+2)(n+1)} $$ $$ b_{n+1} - b_n = \frac{2n^2+9n+7 - 2n^2-9n-10}{(n+2)(n+1)} $$ $$ b_{n+1} - b_n = \frac{-3}{(n+2)(n+1)} $$ Dla każdego $n \ge 1$ licznik jest ujemny, a mianownik jest dodatni. Różnica jest mniejsza od zera, więc ciąg jest malejący. | Ciąg jest malejący. |
| 4 | Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $a_n$ dana jest wzorem $S_n = n^3 - 5n$. Oblicz $a_1, a_2, a_3, a_6$ oraz $a_n$. | Wyraz $a_1$ to suma pierwszego wyrazu: $$ a_1 = S_1 = 1^3 - 5 \cdot 1 = -4 $$ Kolejne wyrazy obliczamy ze wzoru $a_n = S_n - S_{n-1}$: $$ a_2 = S_2 - S_1 = (2^3 - 5 \cdot 2) - (-4) = (8 - 10) + 4 = 2 $$ $$ a_3 = S_3 - S_2 = (3^3 - 5 \cdot 3) - (-2) = (27 - 15) + 2 = 14 $$ Aby obliczyć $a_6$, wyznaczamy $S_6$ i $S_5$: $$ S_6 = 6^3 - 5 \cdot 6 = 216 - 30 = 186 $$ $$ S_5 = 5^3 - 5 \cdot 5 = 125 - 25 = 100 $$ $$ a_6 = S_6 - S_5 = 186 - 100 = 86 $$ Wyznaczamy wzór ogólny $a_n$ dla $n \ge 2$: $$ a_n = S_n - S_{n-1} = (n^3 - 5n) - ((n-1)^3 - 5(n-1)) $$ $$ a_n = n^3 - 5n - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1 - 5n + 5) $$ $$ a_n = n^3 - 5n - (n^3 - 3n^2 - 2n + 4) = 3n^2 - 3n - 4 $$ Wzór sprawdza się również dla $n=1$. | $a_1 = -4, a_2 = 2, a_3 = 14, a_6 = 86, $$a_n = 3n^2 - 3n - 4$. |
| 5 | Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $a_n$ dana jest wzorem $S_n = n^3 - 3n^2$. Który wyraz ciągu $a_n$ jest równy $58$? | Wyznaczamy wzór ogólny ciągu $a_n$ ze wzoru $a_n = S_n - S_{n-1}$: $$ a_n = (n^3 - 3n^2) - ((n-1)^3 - 3(n-1)^2) $$ $$ a_n = n^3 - 3n^2 - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1 - 3(n^2 - 2n + 1)) $$ $$ a_n = n^3 - 3n^2 - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1 - 3n^2 + 6n - 3) $$ $$ a_n = n^3 - 3n^2 - (n^3 - 6n^2 + 9n - 4) $$ $$ a_n = 3n^2 - 9n + 4 $$ Przyrównujemy wzór do $58$: $$ 3n^2 - 9n + 4 = 58 $$ $$ 3n^2 - 9n - 54 = 0 $$ Dzielimy przez $3$: $$ n^2 - 3n - 18 = 0 $$ Obliczamy deltę: $$ \Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 $$ $$ \sqrt{\Delta} = 9 $$ Obliczamy pierwiastki: $$ n_1 = \frac{3 - 9}{2} < 0 $$ $$ n_2 = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6 $$ Odrzucamy ujemny wynik. | Szósty wyraz. |
| 6 | Wyznacz wartość $x$, dla której liczby $2x-3, 5x+2, 9x-1$ w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. | Z własności ciągu arytmetycznego, środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych: $$ 5x + 2 = \frac{(2x - 3) + (9x - 1)}{2} $$ Mnożymy obie strony przez $2$: $$ 2(5x + 2) = 2x - 3 + 9x - 1 $$ $$ 10x + 4 = 11x - 4 $$ Przenosimy niewiadome na jedną stronę: $$ 4 + 4 = 11x - 10x $$ $$ x = 8 $$ | $x = 8$ |
| 7 | Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego $(a_n)$ jest równy $24$. Oblicz $a_7 + a_9 + a_{11}$ oraz $S_{17}$. | Z własności ciągu arytmetycznego zachodzi równość: $$ a_7 + a_{11} = 2a_9 $$ Podstawiamy to do pierwszej sumy: $$ a_7 + a_9 + a_{11} = 2a_9 + a_9 = 3a_9 $$ $$ 3a_9 = 3 \cdot 24 = 72 $$ Korzystamy ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego: $$ S_{17} = \frac{a_1 + a_{17}}{2} \cdot 17 $$ Zauważamy, że $a_1 + a_{17} = 2a_9$: $$ S_{17} = \frac{2a_9}{2} \cdot 17 $$ $$ S_{17} = a_9 \cdot 17 $$ $$ S_{17} = 24 \cdot 17 = 408 $$ | $a_7 + a_9 + a_{11} = 72$, $S_{17} = 408$. |
| 8 | W ciągu arytmetycznym dane są $a_1 + a_9 = 24$ oraz $a_4 \cdot a_6 = 135$. Oblicz $a_1, r$ oraz $a_8$. | Zapisujemy układ równań korzystając ze wzoru $a_n = a_1 + (n-1)r$: $$ \begin{cases} a_1 + a_1 + 8r = 24 \\ (a_1 + 3r)(a_1 + 5r) = 135 \end{cases} $$ Z pierwszego równania wyznaczamy związek między $a_1$ i $r$: $$ 2a_1 + 8r = 24 $$ $$ a_1 + 4r = 12 $$ Zauważamy, że $a_1 + 4r = a_5$, więc $a_5 = 12$. Zapisujemy $a_4$ i $a_6$ za pomocą $a_5$ i $r$: $$ a_4 = 12 - r $$ $$ a_6 = 12 + r $$ Podstawiamy do drugiego równania: $$ (12 - r)(12 + r) = 135 $$ $$ 144 - r^2 = 135 $$ $$ r^2 = 9 $$ Rozdzielamy na dwa przypadki: Przypadek 1: $r = 3$. Wtedy $a_1 = 12 - 4 \cdot 3 = 0$. Obliczamy $a_8 = a_1 + 7r = 0 + 21 = 21$. Przypadek 2: $r = -3$. Wtedy $a_1 = 12 - 4 \cdot (-3) = 24$. Obliczamy $a_8 = a_1 + 7r = 24 - 21 = 3$. | $r = 3, a_1 = 0, a_8 = 21$ lub $r = -3, a_1 = 24, a_8 = 3$. |
| 9 | Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $a_n$ wyraża się wzorem $S_n = 2n^2 + 5n$. Wyznacz wzór ogólny ciągu $a_n$, wykaż, że ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny oraz rozstrzygnij, ile wyrazów tego ciągu jest mniejszych od $50$. | Wyznaczamy wzór ogólny ze wzoru $a_n = S_n - S_{n-1}$: $$ a_n = (2n^2 + 5n) - (2(n-1)^2 + 5(n-1)) $$ $$ a_n = 2n^2 + 5n - (2(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5) $$ $$ a_n = 2n^2 + 5n - (2n^2 - 4n + 2 + 5n - 5) $$ $$ a_n = 2n^2 + 5n - (2n^2 + n - 3) $$ $$ a_n = 4n + 3 $$ Badamy różnicę $a_{n+1} - a_n$: $$ a_{n+1} - a_n = (4(n+1) + 3) - (4n + 3) $$ $$ a_{n+1} - a_n = 4n + 4 + 3 - 4n - 3 = 4 $$ Różnica jest stała (nie zależy od $n$), więc ciąg jest arytmetyczny. Rozwiązujemy nierówność $a_n < 50$: $$ 4n + 3 < 50 $$ $$ 4n < 47 $$ $$ n < 11.75 $$ Ponieważ $n$ musi być liczbą naturalną dodatnią, największą taką liczbą jest $11$. | $a_n = 4n + 3$, ciąg jest arytmetyczny ($r=4$), $11$ wyrazów. |
| 10 | W ciągu arytmetycznym $(a_n)$ dane są $a_1 = 2$ oraz $r = 4$. Ile początkowych wyrazów tego ciągu należy dodać, aby ich suma wyniosła $162$? | Korzystamy ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego: $$ S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n $$ Podstawiamy dane: $$ 162 = \frac{2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 4}{2} \cdot n $$ $$ 162 = \frac{4 + 4n - 4}{2} \cdot n $$ $$ 162 = \frac{4n}{2} \cdot n $$ $$ 162 = 2n^2 $$ Dzielimy przez $2$: $$ n^2 = 81 $$ Obliczamy pierwiastki: $$ n = 9 \text{ lub } n = -9 $$ Odrzucamy ujemny wynik, ponieważ $n$ musi być liczbą naturalną dodatnią. | Należy dodać $9$ wyrazów. |
| Nr | Treść Zadania | Rozwiązanie | Odpowiedź |
|---|---|---|---|
| 1 | Ciąg $(a_n)$ dla $n \ge 1$ jest określony wzorem $a_n = 7n - n^2$. Oblicz wyrazy $a_5$ oraz $a_{n+1}$. Który wyraz tego ciągu jest równy $-30$? | Podstawiamy $n = 5$ do wzoru ciągu: $$ a_5 = 7 \cdot 5 - 5^2 $$ $$ a_5 = 35 - 25 = 10 $$ Podstawiamy $n + 1$ w miejsce $n$: $$ a_{n+1} = 7(n+1) - (n+1)^2 $$ $$ a_{n+1} = 7n + 7 - (n^2 + 2n + 1) $$ $$ a_{n+1} = -n^2 + 5n + 6 $$ Aby sprawdzić, który wyraz jest równy $-30$, rozwiązujemy równanie: $$ 7n - n^2 = -30 $$ $$ -n^2 + 7n + 30 = 0 $$ Obliczamy deltę: $$ \Delta = 7^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 30 = 49 + 120 = 169 $$ $$ \sqrt{\Delta} = 13 $$ Obliczamy pierwiastki: $$ n_1 = \frac{-7 - 13}{-2} = \frac{-20}{-2} = 10 $$ $$ n_2 = \frac{-7 + 13}{-2} = \frac{6}{-2} = -3 $$ Odrzucamy $n_2$, ponieważ $n \ge 1$. Szukanym wyrazem jest wyraz dziesiąty. | $a_5 = 10$, $a_{n+1} = -n^2 + 5n + 6$, dziesiąty wyraz. |
| 2 | Zbadaj monotoniczność ciągu $a_n = 3n^2 - n$. | Wyznaczamy wyraz $a_{n+1}$: $$ a_{n+1} = 3(n+1)^2 - (n+1) $$ $$ a_{n+1} = 3(n^2 + 2n + 1) - n - 1 $$ $$ a_{n+1} = 3n^2 + 6n + 3 - n - 1 = 3n^2 + 5n + 2 $$ Badamy znak różnicy $a_{n+1} - a_n$: $$ a_{n+1} - a_n = (3n^2 + 5n + 2) - (3n^2 - n) $$ $$ a_{n+1} - a_n = 6n + 2 $$ Dla każdego $n \ge 1$ wyrażenie $6n + 2$ jest dodatnie. Różnica jest większa od zera, więc ciąg jest rosnący. | Ciąg jest rosnący. |
| 3 | Zbadaj monotoniczność ciągu $b_n = \frac{5n+2}{n+4}$. | Wyznaczamy wyraz $b_{n+1}$: $$ b_{n+1} = \frac{5(n+1)+2}{(n+1)+4} = \frac{5n+7}{n+5} $$ Badamy znak różnicy $b_{n+1} - b_n$: $$ b_{n+1} - b_n = \frac{5n+7}{n+5} - \frac{5n+2}{n+4} $$ Sprowadzamy do wspólnego mianownika: $$ b_{n+1} - b_n = \frac{(5n+7)(n+4) - (5n+2)(n+5)}{(n+5)(n+4)} $$ $$ b_{n+1} - b_n = \frac{5n^2+20n+7n+28 - (5n^2+25n+2n+10)}{(n+5)(n+4)} $$ $$ b_{n+1} - b_n = \frac{5n^2+27n+28 - 5n^2-27n-10}{(n+5)(n+4)} $$ $$ b_{n+1} - b_n = \frac{18}{(n+5)(n+4)} $$ Dla każdego $n \ge 1$ licznik jest dodatni i mianownik jest dodatni. Różnica jest większa od zera, więc ciąg jest rosnący. | Ciąg jest rosnący. |
| 4 | Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $a_n$ dana jest wzorem $S_n = n^3 + 2n$. Oblicz $a_1, a_2, a_3, a_5$ oraz $a_n$. | Wyraz $a_1$ to suma pierwszego wyrazu: $$ a_1 = S_1 = 1^3 + 2 \cdot 1 = 3 $$ Kolejne wyrazy obliczamy ze wzoru $a_n = S_n - S_{n-1}$: $$ a_2 = S_2 - S_1 = (2^3 + 2 \cdot 2) - 3 = (8 + 4) - 3 = 9 $$ $$ a_3 = S_3 - S_2 = (3^3 + 2 \cdot 3) - 12 = (27 + 6) - 12 = 21 $$ Aby obliczyć $a_5$, wyznaczamy $S_5$ i $S_4$: $$ S_5 = 5^3 + 2 \cdot 5 = 125 + 10 = 135 $$ $$ S_4 = 4^3 + 2 \cdot 4 = 64 + 8 = 72 $$ $$ a_5 = S_5 - S_4 = 135 - 72 = 63 $$ Wyznaczamy wzór ogólny $a_n$ dla $n \ge 2$: $$ a_n = S_n - S_{n-1} = (n^3 + 2n) - ((n-1)^3 + 2(n-1)) $$ $$ a_n = n^3 + 2n - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1 + 2n - 2) $$ $$ a_n = n^3 + 2n - (n^3 - 3n^2 + 5n - 3) = 3n^2 - 3n + 3 $$ Wzór sprawdza się również dla $n=1$. | $a_1 = 3, a_2 = 9, a_3 = 21, a_5 = 63, $$a_n = 3n^2 - 3n + 3$. |
| 5 | Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $a_n$ dana jest wzorem $S_n = n^3 + n^2$. Który wyraz ciągu $a_n$ jest równy $44$? | Wyznaczamy wzór ogólny ciągu $a_n$ ze wzoru $a_n = S_n - S_{n-1}$: $$ a_n = (n^3 + n^2) - ((n-1)^3 + (n-1)^2) $$ $$ a_n = n^3 + n^2 - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1 + n^2 - 2n + 1) $$ $$ a_n = n^3 + n^2 - (n^3 - 2n^2 + n) $$ $$ a_n = 3n^2 - n $$ Przyrównujemy wzór do $44$: $$ 3n^2 - n = 44 $$ $$ 3n^2 - n - 44 = 0 $$ Obliczamy deltę: $$ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-44) = 1 + 528 = 529 $$ $$ \sqrt{\Delta} = 23 $$ Obliczamy pierwiastki: $$ n_1 = \frac{1 - 23}{6} < 0 $$ $$ n_2 = \frac{1 + 23}{6} = \frac{24}{6} = 4 $$ Odrzucamy ujemny wynik. | Czwarty wyraz. |
| 6 | Wyznacz wartość $x$, dla której liczby $3x-1, 6x-4, 10x-9$ w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. | Z własności ciągu arytmetycznego, środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych: $$ 6x - 4 = \frac{(3x - 1) + (10x - 9)}{2} $$ Mnożymy obie strony przez $2$: $$ 2(6x - 4) = 3x - 1 + 10x - 9 $$ $$ 12x - 8 = 13x - 10 $$ Przenosimy niewiadome na jedną stronę: $$ 10 - 8 = 13x - 12x $$ $$ x = 2 $$ | $x = 2$ |
| 7 | Piąty wyraz ciągu arytmetycznego $(a_n)$ jest równy $14$. Oblicz $a_3 + a_5 + a_7$ oraz $S_9$. | Z własności ciągu arytmetycznego zachodzi równość: $$ a_3 + a_7 = 2a_5 $$ Podstawiamy to do pierwszej sumy: $$ a_3 + a_5 + a_7 = 2a_5 + a_5 = 3a_5 $$ $$ 3a_5 = 3 \cdot 14 = 42 $$ Korzystamy ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego: $$ S_9 = \frac{a_1 + a_9}{2} \cdot 9 $$ Zauważamy, że $a_1 + a_9 = 2a_5$: $$ S_9 = \frac{2a_5}{2} \cdot 9 $$ $$ S_9 = a_5 \cdot 9 $$ $$ S_9 = 14 \cdot 9 = 126 $$ | $a_3 + a_5 + a_7 = 42$, $S_9 = 126$. |
| 8 | W ciągu arytmetycznym dane są $a_1 + a_3 = 10$ oraz $a_1 \cdot a_3 = 16$. Oblicz $a_1, r$ oraz $a_8$. | Zapisujemy układ równań korzystając ze wzoru $a_n = a_1 + (n-1)r$: $$ \begin{cases} a_1 + a_1 + 2r = 10 \\ a_1(a_1 + 2r) = 16 \end{cases} $$ Z pierwszego równania wyznaczamy związek między $a_1$ i $r$: $$ 2a_1 + 2r = 10 $$ $$ a_1 + r = 5 $$ Zauważamy, że $a_1 + r = a_2$, więc $a_2 = 5$. Zapisujemy $a_1$ i $a_3$ za pomocą $a_2$ i $r$: $$ a_1 = 5 - r $$ $$ a_3 = 5 + r $$ Podstawiamy do drugiego równania: $$ (5 - r)(5 + r) = 16 $$ $$ 25 - r^2 = 16 $$ $$ r^2 = 9 $$ Rozdzielamy na dwa przypadki: Przypadek 1: $r = 3$. Wtedy $a_1 = 5 - 3 = 2$. Obliczamy $a_8 = a_1 + 7r = 2 + 21 = 23$. Przypadek 2: $r = -3$. Wtedy $a_1 = 5 - (-3) = 8$. Obliczamy $a_8 = a_1 + 7r = 8 - 21 = -13$. | $r = 3, a_1 = 2, a_8 = 23$ lub $r = -3, a_1 = 8, a_8 = -13$. |
| 9 | Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $a_n$ wyraża się wzorem $S_n = 3n^2 + 4n$. Wyznacz wzór ogólny ciągu $a_n$, wykaż, że ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny oraz rozstrzygnij, ile wyrazów tego ciągu jest mniejszych od $65$. | Wyznaczamy wzór ogólny ze wzoru $a_n = S_n - S_{n-1}$: $$ a_n = (3n^2 + 4n) - (3(n-1)^2 + 4(n-1)) $$ $$ a_n = 3n^2 + 4n - (3(n^2 - 2n + 1) + 4n - 4) $$ $$ a_n = 3n^2 + 4n - (3n^2 - 6n + 3 + 4n - 4) $$ $$ a_n = 3n^2 + 4n - (3n^2 - 2n - 1) $$ $$ a_n = 6n + 1 $$ Badamy różnicę $a_{n+1} - a_n$: $$ a_{n+1} - a_n = (6(n+1) + 1) - (6n + 1) $$ $$ a_{n+1} - a_n = 6n + 6 + 1 - 6n - 1 = 6 $$ Różnica jest stała (nie zależy od $n$), więc ciąg jest arytmetyczny. Rozwiązujemy nierówność $a_n < 65$: $$ 6n + 1 < 65 $$ $$ 6n < 64 $$ $$ n < 10.66... $$ Ponieważ $n$ musi być liczbą naturalną dodatnią, największą taką liczbą jest $10$. | $a_n = 6n + 1$, ciąg jest arytmetyczny ($r=6$), $10$ wyrazów. |
| 10 | W ciągu arytmetycznym $(a_n)$ dane są $a_1 = 7$ oraz $r = 2$. Ile początkowych wyrazów tego ciągu należy dodać, aby ich suma wyniosła $160$? | Korzystamy ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego: $$ S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n $$ Podstawiamy dane: $$ 160 = \frac{2 \cdot 7 + (n-1) \cdot 2}{2} \cdot n $$ $$ 160 = \frac{14 + 2n - 2}{2} \cdot n $$ $$ 160 = \frac{2n + 12}{2} \cdot n $$ $$ 160 = (n + 6) \cdot n $$ $$ n^2 + 6n - 160 = 0 $$ Obliczamy deltę: $$ \Delta = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-160) = 36 + 640 = 676 $$ $$ \sqrt{\Delta} = 26 $$ Obliczamy pierwiastki: $$ n_1 = \frac{-6 - 26}{2} < 0 $$ $$ n_2 = \frac{-6 + 26}{2} = \frac{20}{2} = 10 $$ Odrzucamy ujemny wynik. | Należy dodać $10$ wyrazów. |