| Nr | Treść Zadania | Odpowiedź |
|---|---|---|
| 1 | Ciąg $(a_n)$ dla $n \ge 1$ jest określony wzorem $a_n = 4n - n^2$. Oblicz wyrazy $a_3$ oraz $a_{n+1}$. Który wyraz tego ciągu jest równy $-45$? | $a_3 = 3$, $a_{n+1} = -n^2 + 2n + 3$, dziewiąty wyraz. |
| 2 | Zbadaj monotoniczność ciągu $a_n = 2n^2 + 3n$. | Ciąg jest rosnący. |
| 3 | Zbadaj monotoniczność ciągu $b_n = \frac{3n+2}{n+1}$. | Ciąg jest rosnący. |
| 4 | Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $a_n$ dana jest wzorem $S_n = n^3 - 3n$. Oblicz $a_1, a_2, a_3, a_5$ oraz $a_n$. | $a_1 = -2, a_2 = 4, a_3 = 16,$$ a_5 = 58, a_n = 3n^2 - 3n - 2$. |
| 5 | Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $a_n$ dana jest wzorem $S_n = n^3 - 4n^2$. Który wyraz ciągu $a_n$ jest równy $47$? | Szósty wyraz. |
| 6 | Wyznacz wartość $x$, dla której liczby $x-2, 3x+1, 7x-4$ w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. | $x = 4$ |
| 7 | Siódmy wyraz ciągu arytmetycznego $(a_n)$ jest równy $20$. Oblicz $a_5 + a_7 + a_9$ oraz $S_{13}$. | $a_5 + a_7 + a_9 = 60$, $S_{13} = 260$. |
| 8 | W ciągu arytmetycznym dane są $a_1 + a_5 = 16$ oraz $a_2 \cdot a_4 = 48$. Oblicz $a_1, r$ oraz $a_8$. | $r = 4, a_1 = 0, a_8 = 28$ lub $r = -4, a_1 = 16, a_8 = -12$. |
| 9 | Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $a_n$ wyraża się wzorem $S_n = 4n^2 - 3n$. Wyznacz wzór ogólny ciągu $a_n$, wykaż, że ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny oraz rozstrzygnij, ile wyrazów tego ciągu jest mniejszych od $80$. | $a_n = 8n - 7$, ciąg jest arytmetyczny ($r=8$), $10$ wyrazów. |
| 10 | W ciągu arytmetycznym $(a_n)$ dane są $a_1 = 5$ oraz $r = 3$. Ile początkowych wyrazów tego ciągu należy dodać, aby ich suma wyniosła $185$? | Należy dodać $10$ wyrazów. |
| Nr | Treść Zadania | Odpowiedź |
|---|---|---|
| 1 | Ciąg $(a_n)$ dla $n \ge 1$ jest określony wzorem $a_n = 6n - n^2$. Oblicz wyrazy $a_4$ oraz $a_{n+1}$. Który wyraz tego ciągu jest równy $-27$? | $a_4 = 8$, $a_{n+1} = -n^2 + 4n + 5$, dziewiąty wyraz. |
| 2 | Zbadaj monotoniczność ciągu $a_n = 4n^2 + n$. | Ciąg jest rosnący. |
| 3 | Zbadaj monotoniczność ciągu $b_n = \frac{4n+1}{n+3}$. | Ciąg jest rosnący. |
| 4 | Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $a_n$ dana jest wzorem $S_n = n^3 - 4n$. Oblicz $a_1, a_2, a_3, a_4$ oraz $a_n$. | $a_1 = -3, a_2 = 3, a_3 = 15, a_4 = 33, $$a_n = 3n^2 - 3n - 3$. |
| 5 | Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $a_n$ dana jest wzorem $S_n = n^3 - 2n^2$. Który wyraz ciągu $a_n$ jest równy $23$? | Czwarty wyraz. |
| 6 | Wyznacz wartość $x$, dla której liczby $x+1, 4x-2, 8x-7$ w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. | $x = 2$ |
| 7 | Szósty wyraz ciągu arytmetycznego $(a_n)$ jest równy $18$. Oblicz $a_4 + a_6 + a_8$ oraz $S_{11}$. | $a_4 + a_6 + a_8 = 54$, $S_{11} = 198$. |
| 8 | W ciągu arytmetycznym dane są $a_1 + a_7 = 20$ oraz $a_3 \cdot a_5 = 96$. Oblicz $a_1, r$ oraz $a_8$. | $r = 2, a_1 = 4, a_8 = 18$ lub $r = -2, a_1 = 16, a_8 = 2$. |
| 9 | Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $a_n$ wyraża się wzorem $S_n = 5n^2 - 2n$. Wyznacz wzór ogólny ciągu $a_n$, wykaż, że ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny oraz rozstrzygnij, ile wyrazów tego ciągu jest mniejszych od $70$. | $a_n = 10n - 7$, ciąg jest arytmetyczny ($r=10$), $7$ wyrazów. |
| 10 | W ciągu arytmetycznym $(a_n)$ dane są $a_1 = 4$ oraz $r = 5$. Ile początkowych wyrazów tego ciągu należy dodać, aby ich suma wyniosła $172$? | Należy dodać $8$ wyrazów. |
| Nr | Treść Zadania | Odpowiedź |
|---|---|---|
| 1 | Ciąg $(a_n)$ dla $n \ge 1$ jest określony wzorem $a_n = 3n - n^2$. Oblicz wyrazy $a_2$ oraz $a_{n+1}$. Który wyraz tego ciągu jest równy $-40$? | $a_2 = 2$, $a_{n+1} = -n^2 + n + 2$, ósmy wyraz. |
| 2 | Zbadaj monotoniczność ciągu $a_n = 5n^2 + 2n$. | Ciąg jest rosnący. |
| 3 | Zbadaj monotoniczność ciągu $b_n = \frac{2n+5}{n+1}$. | Ciąg jest malejący. |
| 4 | Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $a_n$ dana jest wzorem $S_n = n^3 - 5n$. Oblicz $a_1, a_2, a_3, a_6$ oraz $a_n$. | $a_1 = -4, a_2 = 2, a_3 = 14, a_6 = 86,$$ a_n = 3n^2 - 3n - 4$. |
| 5 | Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $a_n$ dana jest wzorem $S_n = n^3 - 3n^2$. Który wyraz ciągu $a_n$ jest równy $58$? | Szósty wyraz. |
| 6 | Wyznacz wartość $x$, dla której liczby $2x-3, 5x+2, 9x-1$ w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. | $x = 8$ |
| 7 | Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego $(a_n)$ jest równy $24$. Oblicz $a_7 + a_9 + a_{11}$ oraz $S_{17}$. | $a_7 + a_9 + a_{11} = 72$, $S_{17} = 408$. |
| 8 | W ciągu arytmetycznym dane są $a_1 + a_9 = 24$ oraz $a_4 \cdot a_6 = 135$. Oblicz $a_1, r$ oraz $a_8$. | $r = 3, a_1 = 0, a_8 = 21$ lub $r = -3, a_1 = 24, a_8 = 3$. |
| 9 | Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $a_n$ wyraża się wzorem $S_n = 2n^2 + 5n$. Wyznacz wzór ogólny ciągu $a_n$, wykaż, że ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny oraz rozstrzygnij, ile wyrazów tego ciągu jest mniejszych od $50$. | $a_n = 4n + 3$, ciąg jest arytmetyczny ($r=4$), $11$ wyrazów. |
| 10 | W ciągu arytmetycznym $(a_n)$ dane są $a_1 = 2$ oraz $r = 4$. Ile początkowych wyrazów tego ciągu należy dodać, aby ich suma wyniosła $162$? | Należy dodać $9$ wyrazów. |
| Nr | Treść Zadania | Odpowiedź |
|---|---|---|
| 1 | Ciąg $(a_n)$ dla $n \ge 1$ jest określony wzorem $a_n = 7n - n^2$. Oblicz wyrazy $a_5$ oraz $a_{n+1}$. Który wyraz tego ciągu jest równy $-30$? | $a_5 = 10$, $a_{n+1} = -n^2 + 5n + 6$, dziesiąty wyraz. |
| 2 | Zbadaj monotoniczność ciągu $a_n = 3n^2 - n$. | Ciąg jest rosnący. |
| 3 | Zbadaj monotoniczność ciągu $b_n = \frac{5n+2}{n+4}$. | Ciąg jest rosnący. |
| 4 | Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $a_n$ dana jest wzorem $S_n = n^3 + 2n$. Oblicz $a_1, a_2, a_3, a_5$ oraz $a_n$. | $a_1 = 3, a_2 = 9, a_3 = 21, a_5 = 63, $$a_n = 3n^2 - 3n + 3$. |
| 5 | Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $a_n$ dana jest wzorem $S_n = n^3 + n^2$. Który wyraz ciągu $a_n$ jest równy $44$? | Czwarty wyraz. |
| 6 | Wyznacz wartość $x$, dla której liczby $3x-1, 6x-4, 10x-9$ w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. | $x = 2$ |
| 7 | Piąty wyraz ciągu arytmetycznego $(a_n)$ jest równy $14$. Oblicz $a_3 + a_5 + a_7$ oraz $S_9$. | $a_3 + a_5 + a_7 = 42$, $S_9 = 126$. |
| 8 | W ciągu arytmetycznym dane są $a_1 + a_3 = 10$ oraz $a_1 \cdot a_3 = 16$. Oblicz $a_1, r$ oraz $a_8$. | $r = 3, a_1 = 2, a_8 = 23$ lub $r = -3, a_1 = 8, a_8 = -13$. |
| 9 | Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $a_n$ wyraża się wzorem $S_n = 3n^2 + 4n$. Wyznacz wzór ogólny ciągu $a_n$, wykaż, że ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny oraz rozstrzygnij, ile wyrazów tego ciągu jest mniejszych od $65$. | $a_n = 6n + 1$, ciąg jest arytmetyczny ($r=6$), $10$ wyrazów. |
| 10 | W ciągu arytmetycznym $(a_n)$ dane są $a_1 = 7$ oraz $r = 2$. Ile początkowych wyrazów tego ciągu należy dodać, aby ich suma wyniosła $160$? | Należy dodać $10$ wyrazów. |