| Nr | Treść Zadania | Rozwiązanie | Odpowiedź |
|---|---|---|---|
| 1 | Wiedząc, że $\sin \alpha = -\frac{3}{5}$ oraz $\alpha \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$, oblicz wartości $\cos \alpha$ oraz $\operatorname{ctg} \alpha$. | Wskazówki:
• Zastosuj jedynkę trygonometryczną: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
• Zidentyfikuj ćwiartkę kąta $\alpha$: przedział $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ to IV ćwiartka, w której cosinus jest dodatni ($\cos \alpha > 0$).
• Oblicz cotangens ze wzoru ilorazowego: $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Zastosowanie jedynki trygonometrycznej:
Podstawiamy daną wartość $\sin \alpha = -\frac{3}{5}$ do tożsamości podstawowej:
$$\begin{aligned}
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha &= 1 \\[6pt]
\left(-\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha &= 1 \\[6pt]
\frac{9}{25} + \cos^2 \alpha &= 1 \\[6pt]
\cos^2 \alpha &= 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}
\end{aligned}$$
2. Ustalenie znaku i obliczenie $\cos \alpha$:
Kąt $\alpha$ leży w IV ćwiartce układu współrzędnych ($\alpha \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$), gdzie odcięta punktu na okręgu jednostkowym jest dodatnia:
$$\begin{aligned}
\cos \alpha &= \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}
\end{aligned}$$
|
$\cos \alpha = \frac{4}{5}$, $\operatorname{ctg} \alpha = -\frac{4}{3}$ |
| 2 | Wiedząc, że $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{8}{15}$ oraz $\alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$, oblicz wartości $\sin \alpha$ oraz $\cos \alpha$. | Wskazówki:
• Wykorzystaj tożsamość łączącą tangens z cosinusem: $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ lub zależność $\sin \alpha = \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha$.
• Zidentyfikuj ćwiartkę kąta: $\alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$ to II ćwiartka, w której $\cos \alpha < 0$, a $\sin \alpha > 0$.
• Oblicz $\cos \alpha$, a następnie wyznacz wartość $\sin \alpha$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Wyznaczenie $\cos^2 \alpha$ ze związku z tangensem:
Stosujemy tożsamość $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$:
$$\begin{aligned}
1 + \left(-\frac{8}{15}\right)^2 &= \frac{1}{\cos^2 \alpha} \\[6pt]
1 + \frac{64}{225} &= \frac{1}{\cos^2 \alpha} \\[6pt]
\frac{289}{225} &= \frac{1}{\cos^2 \alpha} \\[6pt]
\cos^2 \alpha &= \frac{225}{289}
\end{aligned}$$
2. Ustalenie znaku cosinusa w II ćwiartce:
W II ćwiartce funkcja cosinus przyjmuje wartości ujemne:
$$\begin{aligned}
\cos \alpha &= -\sqrt{\frac{225}{289}} = -\frac{15}{17}
\end{aligned}$$
|
$\sin \alpha = \frac{8}{17}$, $\cos \alpha = -\frac{15}{17}$ |
| 3 | Mając dane $\sin x + \cos x = \frac{4}{3}$, oblicz $\sin^3 x + \cos^3 x$. | Wskazówki: • Podnieś obie strony równania $\sin x + \cos x = \frac{4}{3}$ do kwadratu i wyznacz iloczyn $\sin x \cos x$ z jedynki trygonometrycznej. • Zastosuj wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$. • Zastąp sumę kwadratów $\sin^2 x + \cos^2 x$ liczbą $1$ i wstaw wyznaczone wartości liczbowe. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Wyznaczenie iloczynu $\sin x \cos x$: Podnosimy daną sumę obustronnie do kwadratu: $$\begin{aligned} (\sin x + \cos x)^2 &= \left(\frac{4}{3}\right)^2 \\[6pt] \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x &= \frac{16}{9} \\[6pt] 1 + 2\sin x \cos x &= \frac{16}{9} \\[6pt] 2\sin x \cos x &= \frac{16}{9} - 1 = \frac{7}{9} \\[6pt] \sin x \cos x &= \frac{7}{18} \end{aligned}$$ 2. Rozwinięcie sumy sześcianów ze wzoru algebraicznego: Stosujemy tożsamość $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$: $$\begin{aligned} \sin^3 x + \cos^3 x &= (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) \\[6pt] &= (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) \end{aligned}$$ 3. Podstawienie wartości i obliczenie wyniku: Wstawiamy dane liczbowe: $$\begin{aligned} \sin^3 x + \cos^3 x &= \frac{4}{3} \cdot \left(1 - \frac{7}{18}\right) \\[6pt] &= \frac{4}{3} \cdot \frac{11}{18} \\[6pt] &= \frac{44}{54} = \frac{22}{27} \end{aligned}$$ | $\sin^3 x + \cos^3 x = \frac{22}{27}$ |
| 4 | Uprość wyrażenie: $\frac{1+\operatorname{tg} \alpha}{1+\operatorname{ctg} \alpha} \cdot \frac{1-\operatorname{ctg} \alpha}{1-\operatorname{tg} \alpha}$. | Wskazówki: • Wyraź funkcję cotangens za pomocą tangensa: $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}$. • Sprowadź ułamki piętrowe w nawiasach do wspólnego mianownika. • Przekształć dzielenie na mnożenie przez odwrotność i skróć wspólne czynniki, pamiętając o relacji $1 - \operatorname{tg} \alpha = -(\operatorname{tg} \alpha - 1)$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Zamiana cotangensa na tangens: Zapisujemy $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}$ w obu czynnikach: $$\begin{aligned} \frac{1+\operatorname{tg} \alpha}{1+\operatorname{ctg} \alpha} \cdot \frac{1-\operatorname{ctg} \alpha}{1-\operatorname{tg} \alpha} &= \frac{1+\operatorname{tg} \alpha}{1+\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}} \cdot \frac{1-\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}}{1-\operatorname{tg} \alpha} \end{aligned}$$ 2. Sprowadzenie do wspólnego mianownika w ułamkach: Wykonujemy dodawanie i odejmowanie: $$\begin{aligned} 1 + \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} &= \frac{\operatorname{tg} \alpha + 1}{\operatorname{tg} \alpha} \\[6pt] 1 - \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} &= \frac{\operatorname{tg} \alpha - 1}{\operatorname{tg} \alpha} \end{aligned}$$ Podstawiamy uproszczone składniki do wyrażenia: $$\begin{aligned} &= \frac{1+\operatorname{tg} \alpha}{\frac{\operatorname{tg} \alpha + 1}{\operatorname{tg} \alpha}} \cdot \frac{\frac{\operatorname{tg} \alpha - 1}{\operatorname{tg} \alpha}}{1-\operatorname{tg} \alpha} \end{aligned}$$ 3. Mnożenie przez odwrotność i redukcja: Upraszczamy ułamki i wyłączamy znak minus: $$\begin{aligned} &= \left((1+\operatorname{tg} \alpha) \cdot \frac{\operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} \alpha + 1}\right) \cdot \left(\frac{\operatorname{tg} \alpha - 1}{\operatorname{tg} \alpha} \cdot \frac{1}{1-\operatorname{tg} \alpha}\right) \\[6pt] &= \operatorname{tg} \alpha \cdot \frac{\operatorname{tg} \alpha - 1}{\operatorname{tg} \alpha (1-\operatorname{tg} \alpha)} \\[6pt] &= \frac{\operatorname{tg} \alpha - 1}{1-\operatorname{tg} \alpha} = \frac{\operatorname{tg} \alpha - 1}{-(\operatorname{tg} \alpha - 1)} = -1 \end{aligned}$$ | $-1$ |
| 5 | Udowodnij tożsamość: $\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} + \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}$. | Wskazówki: • Rozpocznij dowód od lewej strony tożsamości ($L$) i rozpisz $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$. • Sprowadź ułamki do wspólnego mianownika równego $\sin \alpha(1+\cos \alpha)$. • Zastosuj jedynkę trygonometryczną $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ w liczniku i skróć wspólny czynnik $(1+\cos \alpha)$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Zapisanie lewej strony tożsamości: Zastępujemy funkcję cotangens ilorazem cosinusa i sinusa: $$\begin{aligned} L &= \frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} + \operatorname{ctg} \alpha \\[6pt] &= \frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \end{aligned}$$ 2. Sprowadzenie do wspólnego mianownika: Wspólnym mianownikiem jest $\sin \alpha (1+\cos \alpha)$: $$\begin{aligned} L &= \frac{\sin \alpha \cdot \sin \alpha + \cos \alpha (1+\cos \alpha)}{\sin \alpha (1+\cos \alpha)} \\[6pt] &= \frac{\sin^2 \alpha + \cos \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha (1+\cos \alpha)} \end{aligned}$$ 3. Zastosowanie jedynki trygonometrycznej i redukcja: Grupujemy $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $$\begin{aligned} L &= \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha (1+\cos \alpha)} \\[6pt] &= \frac{1}{\sin \alpha} = P \end{aligned}$$ Otrzymaliśmy $L = P$, co kończy dowód tożsamości. | $\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} + \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}$ (tożsamość udowodniona) |
| 6 | Udowodnij tożsamość: $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 2$. | Wskazówki: • Zastosuj wzory skróconego mnożenia na kwadrat sumy oraz kwadrat różnicy. • Wyrazy zawierające iloczyn podwojony $2\sin \alpha \cos \alpha$ zredukują się do zera. • Zastosuj dwukrotnie tożsamość jedynki trygonometrycznej: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Rozwinięcie potęg kwadratowych: Rozpisujemy lewą stronę tożsamości ze wzorów algebraicznych: $$\begin{aligned} L &= (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 \\[6pt] &= (\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) \end{aligned}$$ 2. Redukcja wyrazów przeciwnych: Wyrazy $2\sin \alpha \cos \alpha$ oraz $-2\sin \alpha \cos \alpha$ wzajemnie się znoszą: $$\begin{aligned} L &= \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \end{aligned}$$ 3. Podstawienie jedynki trygonometrycznej: Zastępujemy każdą parę sumą równą $1$: $$\begin{aligned} L &= 1 + 1 = 2 = P \end{aligned}$$ Lewa strona jest równa prawej, co kończy dowód. | $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 2$ (tożsamość udowodniona) |
| 7 | Udowodnij tożsamość: $\frac{\sin^3 \alpha - \cos^3 \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} = 1 + \sin \alpha \cos \alpha$. | Wskazówki: • Rozłóż różnicę sześcianów w liczniku ze wzoru: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$. • Skróć ułamek przez wspólny dwumian $(\sin \alpha - \cos \alpha)$. • Zastosuj jedynkę trygonometryczną: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Rozkład licznika na czynniki: Stosujemy wzór na różnicę sześcianów dla $a = \sin \alpha$ oraz $b = \cos \alpha$: $$\begin{aligned} L &= \frac{\sin^3 \alpha - \cos^3 \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} \\[6pt] &= \frac{(\sin \alpha - \cos \alpha)(\sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)}{\sin \alpha - \cos \alpha} \end{aligned}$$ 2. Skrócenie wspólnego czynnika: Zakładając $\sin \alpha - \cos \alpha \neq 0$, upraszczamy ułamek: $$\begin{aligned} L &= \sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha \end{aligned}$$ 3. Zastosowanie tożsamości podstawowej: Łączymy wyrazy kwadratowe: $$\begin{aligned} L &= (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + \sin \alpha \cos \alpha \\[6pt] &= 1 + \sin \alpha \cos \alpha = P \end{aligned}$$ Otrzymana postać jest identyczna z prawą stroną tożsamości. | $\frac{\sin^3 \alpha - \cos^3 \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} = 1 + \sin \alpha \cos \alpha$ (tożsamość udowodniona) |
| 8 | Udowodnij tożsamość: $\frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha} = \frac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha}$. | Wskazówki: • Rozpocznij od lewej strony tożsamości ($L$) i pomnóż licznik oraz mianownik przez sprzężenie mianownika, czyli $(1+\cos \alpha)$. • Zastosuj wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów w mianowniku: $(1-\cos \alpha)(1+\cos \alpha) = 1 - \cos^2 \alpha$. • Zamień $1 - \cos^2 \alpha$ na $\sin^2 \alpha$ i skróć czynnik $\sin \alpha$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Mnożenie przez sprzężenie mianownika: Mnożymy ułamek lewej strony przez $(1+\cos \alpha)$: $$\begin{aligned} L &= \frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha} \\[6pt] &= \frac{\sin \alpha (1+\cos \alpha)}{(1-\cos \alpha)(1+\cos \alpha)} \end{aligned}$$ 2. Przekształcenie mianownika: Stosujemy wzór na różnicę kwadratów w mianowniku: $$\begin{aligned} L &= \frac{\sin \alpha (1+\cos \alpha)}{1 - \cos^2 \alpha} \end{aligned}$$ 3. Zastosowanie jedynki trygonometrycznej i redukcja: Podstawiamy $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$ i upraszczamy: $$\begin{aligned} L &= \frac{\sin \alpha (1+\cos \alpha)}{\sin^2 \alpha} \\[6pt] &= \frac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha} = P \end{aligned}$$ Lewa strona jest równa prawej ($L = P$), co kończy dowód. | $\frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha} = \frac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha}$ (tożsamość udowodniona) |
| 9 | Oblicz wartość $\sin 75^\circ$. | Wskazówki:
• Rozbij kąt $75^\circ$ na sumę kątów tabelarycznych: $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$.
• Zastosuj wzór na sinus sumy kątów: $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$.
• Wstaw wartości tabelaryczne dla kątów $45^\circ$ i $30^\circ$, a następnie zapisz wynik w postaci pojedynczego ułamka.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Zastosowanie wzoru na sinus sumy kątów:
Zapisujemy tożsamość dla sumy $45^\circ + 30^\circ$:
$$\begin{aligned}
\sin 75^\circ &= \sin(45^\circ + 30^\circ) \\[6pt]
&= \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ
\end{aligned}$$
2. Podstawienie wartości tabelarycznych:
Wstawiamy $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ oraz $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$:
$$\begin{aligned}
\sin 75^\circ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \\[6pt]
&= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}
\end{aligned}$$
|
$\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ |
| 10 | Oblicz wartość $\operatorname{tg} 15^\circ$. | Wskazówki: • Przedstaw kąt $15^\circ$ jako różnicę kątów tabelarycznych: $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$. • Zastosuj wzór na tangens różnicy kątów: $\operatorname{tg}(x-y) = \frac{\operatorname{tg} x - \operatorname{tg} y}{1 + \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y}$. • Podstaw wartości tabelaryczne $\operatorname{tg} 45^\circ = 1$ oraz $\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$, a następnie usuń niewymierność z mianownika. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Zastosowanie wzoru na tangens różnicy kątów: Rozwijamy wyrażenie dla $x = 45^\circ$ i $y = 30^\circ$: $$\begin{aligned} \operatorname{tg} 15^\circ &= \operatorname{tg}(45^\circ - 30^\circ) \\[6pt] &= \frac{\operatorname{tg} 45^\circ - \operatorname{tg} 30^\circ}{1 + \operatorname{tg} 45^\circ \operatorname{tg} 30^\circ} \end{aligned}$$ 2. Podstawienie wartości tabelarycznych: Wstawiamy $\operatorname{tg} 45^\circ = 1$ oraz $\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$: $$\begin{aligned} \operatorname{tg} 15^\circ &= \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} \\[6pt] &= \frac{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}{\frac{3+\sqrt{3}}{3}} = \frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} \end{aligned}$$ 3. Usunięcie niewymierności z mianownika: Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika $(3-\sqrt{3})$: $$\begin{aligned} \operatorname{tg} 15^\circ &= \frac{(3-\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})} \\[6pt] &= \frac{3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{3^2 - (\sqrt{3})^2} \\[6pt] &= \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} \\[6pt] &= \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3} \end{aligned}$$ | $\operatorname{tg} 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$ |
| Nr | Treść Zadania | Rozwiązanie | Odpowiedź |
|---|---|---|---|
| 1 | Wiedząc, że $\cos \alpha = \frac{12}{13}$ oraz $\alpha \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$, oblicz wartości $\sin \alpha$ oraz $\operatorname{tg} \alpha$. | Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Podstawiamy wartość $\cos \alpha$: $$ \sin^2 \alpha + \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1 $$ $$ \sin^2 \alpha + \frac{144}{169} = 1 $$ $$ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{144}{169} $$ $$ \sin^2 \alpha = \frac{25}{169} $$ Zatem $\sin \alpha = \sqrt{\frac{25}{169}}$ lub $\sin \alpha = -\sqrt{\frac{25}{169}}$. $$ \sin \alpha = \frac{5}{13} \quad \text{lub} \quad \sin \alpha = -\frac{5}{13} $$ Ponieważ $\alpha \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ (czwarta ćwiartka), $\sin \alpha$ jest ujemny. Więc: $$ \sin \alpha = -\frac{5}{13} $$ Teraz obliczamy $\operatorname{tg} \alpha$: $$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $$ Podstawiamy obliczone wartości: $$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{-\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} $$ $$ \operatorname{tg} \alpha = -\frac{5}{12} $$ | $\sin \alpha = -\frac{5}{13}$, $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{5}{12}$ |
| 2 | Wiedząc, że $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{7}{24}$ oraz $\alpha \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$, oblicz wartości $\sin \alpha$ oraz $\cos \alpha$. | Korzystamy ze wzoru $1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$. Podstawiamy wartość $\operatorname{ctg} \alpha$: $$ 1 + \left(\frac{7}{24}\right)^2 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $$ $$ 1 + \frac{49}{576} = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $$ $$ \frac{576+49}{576} = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $$ $$ \frac{625}{576} = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $$ Odwracamy ułamki, aby znaleźć $\sin^2 \alpha$: $$ \sin^2 \alpha = \frac{576}{625} $$ Zatem $\sin \alpha = \sqrt{\frac{576}{625}}$ lub $\sin \alpha = -\sqrt{\frac{576}{625}}$. $$ \sin \alpha = \frac{24}{25} \quad \text{lub} \quad \sin \alpha = -\frac{24}{25} $$ Ponieważ $\alpha \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$ (trzecia ćwiartka), $\sin \alpha$ jest ujemny. Więc: $$ \sin \alpha = -\frac{24}{25} $$ Teraz obliczamy $\cos \alpha$ korzystając ze wzoru $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, czyli $\cos \alpha = \operatorname{ctg} \alpha \cdot \sin \alpha$: $$ \cos \alpha = \frac{7}{24} \cdot \left(-\frac{24}{25}\right) $$ $$ \cos \alpha = -\frac{7}{25} $$ | $\sin \alpha = -\frac{24}{25}$, $\cos \alpha = -\frac{7}{25}$ |
| 3 | Mając dane $\sin x - \cos x = \frac{2}{3}$, oblicz $\sin^3 x - \cos^3 x$. | Podnosimy dane równanie do kwadratu: $$ (\sin x - \cos x)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 $$ $$ \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x = \frac{4}{9} $$ Korzystamy z jedynki trygonometrycznej $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$: $$ 1 - 2\sin x \cos x = \frac{4}{9} $$ $$ -2\sin x \cos x = \frac{4}{9} - 1 $$ $$ -2\sin x \cos x = -\frac{5}{9} $$ $$ \sin x \cos x = \frac{5}{18} $$ Teraz korzystamy ze wzoru na różnicę sześcianów: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. $$ \sin^3 x - \cos^3 x = (\sin x - \cos x)(\sin^2 x + \sin x \cos x + \cos^2 x) $$ Ponownie używamy jedynki trygonometrycznej: $$ \sin^3 x - \cos^3 x = (\sin x - \cos x)(1 + \sin x \cos x) $$ Podstawiamy dane i obliczone wartości: $$ \sin^3 x - \cos^3 x = \frac{2}{3} \left(1 + \frac{5}{18}\right) $$ $$ \sin^3 x - \cos^3 x = \frac{2}{3} \left(\frac{18}{18} + \frac{5}{18}\right) $$ $$ \sin^3 x - \cos^3 x = \frac{2}{3} \cdot \frac{23}{18} $$ $$ \sin^3 x - \cos^3 x = \frac{46}{54} $$ Upraszczamy ułamek: $$ \sin^3 x - \cos^3 x = \frac{23}{27} $$ | $\sin^3 x - \cos^3 x = \frac{23}{27}$ |
| 4 | Uprość wyrażenie: $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 2 \operatorname{tg} \alpha \cos^2 \alpha$. | Rozwijamy pierwszy składnik za pomocą wzoru skróconego mnożenia $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$: $$ (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha $$ Korzystamy z jedynki trygonometrycznej $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $$ \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha $$ Zastępujemy $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ w drugim składniku: $$ 2 \operatorname{tg} \alpha \cos^2 \alpha = 2 \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cos^2 \alpha $$ Skracamy $\cos \alpha$: $$ 2 \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cos^2 \alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha $$ Podstawiamy te uproszczenia z powrotem do oryginalnego wyrażenia: $$ (1 + 2\sin \alpha \cos \alpha) - (2\sin \alpha \cos \alpha) $$ $$ 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha $$ $$ 1 $$ | $1$ |
| 5 | Udowodnij tożsamość: $\frac{\cos \alpha}{1+\sin \alpha} + \operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}$. | Zaczynamy od lewej strony tożsamości (L): $$ L = \frac{\cos \alpha}{1+\sin \alpha} + \operatorname{tg} \alpha $$ Zastępujemy $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$: $$ L = \frac{\cos \alpha}{1+\sin \alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $$ Sprowadzamy do wspólnego mianownika, którym jest $\cos \alpha (1+\sin \alpha)$: $$ L = \frac{\cos \alpha \cdot \cos \alpha}{\cos \alpha (1+\sin \alpha)} + \frac{\sin \alpha (1+\sin \alpha)}{\cos \alpha (1+\sin \alpha)} $$ $$ L = \frac{\cos^2 \alpha + \sin \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos \alpha (1+\sin \alpha)} $$ Korzystamy z jedynki trygonometrycznej $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $$ L = \frac{1 + \sin \alpha}{\cos \alpha (1+\sin \alpha)} $$ Skracamy $(1+\sin \alpha)$ w liczniku i mianowniku (zakładamy, że $1+\sin \alpha \neq 0$): $$ L = \frac{1}{\cos \alpha} $$ Otrzymaliśmy prawą stronę tożsamości (P). $$ L = P $$ | Tożsamość została udowodniona. |
| 6 | Udowodnij tożsamość: $(\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha)^2 = \frac{1}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}$. | Zaczynamy od lewej strony tożsamości (L): $$ L = (\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha)^2 $$ Zastępujemy $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ i $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$: $$ L = \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)^2 $$ Sprowadzamy wyrażenie w nawiasie do wspólnego mianownika: $$ L = \left(\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}\right)^2 $$ Korzystamy z jedynki trygonometrycznej $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $$ L = \left(\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}\right)^2 $$ Podnosimy do kwadratu: $$ L = \frac{1^2}{(\sin \alpha \cos \alpha)^2} $$ $$ L = \frac{1}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} $$ Otrzymaliśmy prawą stronę tożsamości (P). $$ L = P $$ | Tożsamość została udowodniona. |
| 7 | Udowodnij tożsamość: $\frac{\cos^3 \alpha + \sin^3 \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha} = 1 - \sin \alpha \cos \alpha$. | Zaczynamy od lewej strony tożsamości (L): $$ L = \frac{\cos^3 \alpha + \sin^3 \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha} $$ Korzystamy ze wzoru na sumę sześcianów: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. $$ L = \frac{(\cos \alpha + \sin \alpha)(\cos^2 \alpha - \cos \alpha \sin \alpha + \sin^2 \alpha)}{\cos \alpha + \sin \alpha} $$ Zakładamy, że $\cos \alpha + \sin \alpha \neq 0$ i skracamy ten czynnik w liczniku i mianowniku: $$ L = \cos^2 \alpha - \cos \alpha \sin \alpha + \sin^2 \alpha $$ Korzystamy z jedynki trygonometrycznej $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $$ L = 1 - \sin \alpha \cos \alpha $$ Otrzymaliśmy prawą stronę tożsamości (P). $$ L = P $$ | Tożsamość została udowodniona. |
| 8 | Udowodnij tożsamość: $\frac{\cos \alpha}{1-\sin \alpha} = \frac{1+\sin \alpha}{\cos \alpha}$. | Zaczynamy od lewej strony tożsamości (L): $$ L = \frac{\cos \alpha}{1-\sin \alpha} $$ Pomnożymy licznik i mianownik przez $(1+\sin \alpha)$ (sprzężenie mianownika), zakładając $1-\sin \alpha \neq 0$ i $1+\sin \alpha \neq 0$: $$ L = \frac{\cos \alpha (1+\sin \alpha)}{(1-\sin \alpha)(1+\sin \alpha)} $$ Stosujemy wzór skróconego mnożenia $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ w mianowniku: $$ L = \frac{\cos \alpha (1+\sin \alpha)}{1^2 - \sin^2 \alpha} $$ $$ L = \frac{\cos \alpha (1+\sin \alpha)}{1 - \sin^2 \alpha} $$ Korzystamy z jedynki trygonometrycznej $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$: $$ L = \frac{\cos \alpha (1+\sin \alpha)}{\cos^2 \alpha} $$ Skracamy $\cos \alpha$ w liczniku i mianowniku (zakładamy $\cos \alpha \neq 0$): $$ L = \frac{1+\sin \alpha}{\cos \alpha} $$ Otrzymaliśmy prawą stronę tożsamości (P). $$ L = P $$ | Tożsamość została udowodniona. |
| 9 | Oblicz wartość $\cos 15^\circ$. | Wykorzystujemy wzór na cosinus różnicy kątów: $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$. Możemy zapisać $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$. $$ \cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ $$ Podstawiamy znane wartości: $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ $$ \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} $$ $$ \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} $$ $$ \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $$ | $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ |
| 10 | Oblicz wartość $\operatorname{tg} 75^\circ$. | Wykorzystujemy wzór na tangens sumy kątów: $\operatorname{tg}(x+y) = \frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} y}{1 - \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y}$. Możemy zapisać $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$. $$ \operatorname{tg} 75^\circ = \operatorname{tg}(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\operatorname{tg} 45^\circ + \operatorname{tg} 30^\circ}{1 - \operatorname{tg} 45^\circ \operatorname{tg} 30^\circ} $$ Podstawiamy znane wartości: $\operatorname{tg} 45^\circ = 1$ $\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$ $$ \operatorname{tg} 75^\circ = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} $$ $$ \operatorname{tg} 75^\circ = \frac{\frac{3+\sqrt{3}}{3}}{\frac{3-\sqrt{3}}{3}} $$ $$ \operatorname{tg} 75^\circ = \frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} $$ Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika: $$ \operatorname{tg} 75^\circ = \frac{(3+\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})} $$ $$ \operatorname{tg} 75^\circ = \frac{3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{3^2 - (\sqrt{3})^2} $$ $$ \operatorname{tg} 75^\circ = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} $$ $$ \operatorname{tg} 75^\circ = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} $$ $$ \operatorname{tg} 75^\circ = 2 + \sqrt{3} $$ | $\operatorname{tg} 75^\circ = 2 + \sqrt{3}$ |
| Nr | Treść Zadania | Rozwiązanie | Odpowiedź |
|---|---|---|---|
| 1 | Wiedząc, że $\sin \alpha = \frac{8}{17}$ oraz $\alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$, oblicz wartości $\cos \alpha$ oraz $\operatorname{tg} \alpha$. | Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Podstawiamy wartość $\sin \alpha$: $$ \left(\frac{8}{17}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 $$ $$ \frac{64}{289} + \cos^2 \alpha = 1 $$ $$ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{64}{289} $$ $$ \cos^2 \alpha = \frac{225}{289} $$ Zatem $\cos \alpha = \sqrt{\frac{225}{289}}$ lub $\cos \alpha = -\sqrt{\frac{225}{289}}$. $$ \cos \alpha = \frac{15}{17} \quad \text{lub} \quad \cos \alpha = -\frac{15}{17} $$ Ponieważ $\alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$ (druga ćwiartka), $\cos \alpha$ jest ujemny. Więc: $$ \cos \alpha = -\frac{15}{17} $$ Teraz obliczamy $\operatorname{tg} \alpha$: $$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $$ Podstawiamy obliczone wartości: $$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\frac{8}{17}}{-\frac{15}{17}} $$ $$ \operatorname{tg} \alpha = -\frac{8}{15} $$ | $\cos \alpha = -\frac{15}{17}$, $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{8}{15}$ |
| 2 | Wiedząc, że $\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{3}$ oraz $\alpha \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$, oblicz wartości $\sin \alpha$ oraz $\cos \alpha$. | Korzystamy ze wzoru $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$. Podstawiamy wartość $\operatorname{tg} \alpha$: $$ 1 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $$ $$ 1 + \frac{1}{9} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $$ $$ \frac{10}{9} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $$ Odwracamy ułamki, aby znaleźć $\cos^2 \alpha$: $$ \cos^2 \alpha = \frac{9}{10} $$ Zatem $\cos \alpha = \sqrt{\frac{9}{10}}$ lub $\cos \alpha = -\sqrt{\frac{9}{10}}$. $$ \cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} \quad \text{lub} \quad \cos \alpha = -\frac{3\sqrt{10}}{10} $$ Ponieważ $\alpha \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$ (trzecia ćwiartka), $\cos \alpha$ jest ujemny. Więc: $$ \cos \alpha = -\frac{3\sqrt{10}}{10} $$ Teraz obliczamy $\sin \alpha$ korzystając ze wzoru $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, czyli $\sin \alpha = \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha$: $$ \sin \alpha = \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{3\sqrt{10}}{10}\right) $$ $$ \sin \alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10} $$ | $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10}$, $\cos \alpha = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$ |
| 3 | Mając dane $\sin x + \cos x = -\frac{1}{4}$, oblicz $\sin^3 x + \cos^3 x$. | Podnosimy dane równanie do kwadratu: $$ (\sin x + \cos x)^2 = \left(-\frac{1}{4}\right)^2 $$ $$ \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = \frac{1}{16} $$ Korzystamy z jedynki trygonometrycznej $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$: $$ 1 + 2\sin x \cos x = \frac{1}{16} $$ $$ 2\sin x \cos x = \frac{1}{16} - 1 $$ $$ 2\sin x \cos x = -\frac{15}{16} $$ $$ \sin x \cos x = -\frac{15}{32} $$ Teraz korzystamy ze wzoru na sumę sześcianów: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. $$ \sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) $$ Ponownie używamy jedynki trygonometrycznej: $$ \sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) $$ Podstawiamy dane i obliczone wartości: $$ \sin^3 x + \cos^3 x = -\frac{1}{4} \left(1 - \left(-\frac{15}{32}\right)\right) $$ $$ \sin^3 x + \cos^3 x = -\frac{1}{4} \left(1 + \frac{15}{32}\right) $$ $$ \sin^3 x + \cos^3 x = -\frac{1}{4} \left(\frac{32}{32} + \frac{15}{32}\right) $$ $$ \sin^3 x + \cos^3 x = -\frac{1}{4} \cdot \frac{47}{32} $$ $$ \sin^3 x + \cos^3 x = -\frac{47}{128} $$ | $\sin^3 x + \cos^3 x = -\frac{47}{128}$ |
| 4 | Uprość wyrażenie: $\frac{\sin^2 \alpha}{1-\cos \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{1+\sin \alpha}$. | Zaczynamy od pierwszego ułamka. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$: $$ \frac{\sin^2 \alpha}{1-\cos \alpha} = \frac{1 - \cos^2 \alpha}{1-\cos \alpha} $$ Stosujemy wzór skróconego mnożenia $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ w liczniku: $$ \frac{(1-\cos \alpha)(1+\cos \alpha)}{1-\cos \alpha} $$ Skracamy $(1-\cos \alpha)$ (zakładamy, że $1-\cos \alpha \neq 0$): $$ 1+\cos \alpha $$ Teraz zajmujemy się drugim ułamkiem. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$: $$ \frac{\cos^2 \alpha}{1+\sin \alpha} = \frac{1 - \sin^2 \alpha}{1+\sin \alpha} $$ Stosujemy wzór skróconego mnożenia $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ w liczniku: $$ \frac{(1-\sin \alpha)(1+\sin \alpha)}{1+\sin \alpha} $$ Skracamy $(1+\sin \alpha)$ (zakładamy, że $1+\sin \alpha \neq 0$): $$ 1-\sin \alpha $$ Podstawiamy te uproszczenia z powrotem do oryginalnego wyrażenia: $$ (1+\cos \alpha) - (1-\sin \alpha) $$ $$ 1+\cos \alpha - 1 + \sin \alpha $$ $$ \cos \alpha + \sin \alpha $$ | $\sin \alpha + \cos \alpha$ |
| 5 | Udowodnij tożsamość: $\frac{1-\operatorname{tg}^2 \alpha}{1+\operatorname{tg}^2 \alpha} = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$. | Zaczynamy od lewej strony tożsamości (L): $$ L = \frac{1-\operatorname{tg}^2 \alpha}{1+\operatorname{tg}^2 \alpha} $$ Korzystamy ze wzoru $1+\operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ i podstawiamy $\operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$: $$ L = \frac{1-\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\frac{1}{\cos^2 \alpha}} $$ Sprowadzamy licznik do wspólnego mianownika: $$ L = \frac{\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\frac{1}{\cos^2 \alpha}} $$ Wykonujemy dzielenie ułamków (mnożymy przez odwrotność): $$ L = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{1} $$ Skracamy $\cos^2 \alpha$ (zakładamy, że $\cos \alpha \neq 0$): $$ L = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $$ Otrzymaliśmy prawą stronę tożsamości (P). $$ L = P $$ | Tożsamość została udowodniona. |
| 6 | Udowodnij tożsamość: $(\sin \alpha + \cos \alpha)(\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha) = \frac{1}{\cos \alpha} + \frac{1}{\sin \alpha}$. | Zaczynamy od lewej strony tożsamości (L): $$ L = (\sin \alpha + \cos \alpha)(\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha) $$ Zastępujemy $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ i $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$: $$ L = (\sin \alpha + \cos \alpha)\left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right) $$ Sprowadzamy wyrażenie w drugim nawiasie do wspólnego mianownika: $$ L = (\sin \alpha + \cos \alpha)\left(\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}\right) $$ Korzystamy z jedynki trygonometrycznej $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $$ L = (\sin \alpha + \cos \alpha)\left(\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}\right) $$ Wykonujemy mnożenie: $$ L = \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $$ Rozdzielamy ułamek na dwa: $$ L = \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $$ Skracamy odpowiednie czynniki (zakładamy $\sin \alpha \neq 0$ i $\cos \alpha \neq 0$): $$ L = \frac{1}{\cos \alpha} + \frac{1}{\sin \alpha} $$ Otrzymaliśmy prawą stronę tożsamości (P). $$ L = P $$ | Tożsamość została udowodniona. |
| 7 | Udowodnij tożsamość: $\frac{1}{1+\operatorname{tg}^2 \alpha} + \frac{1}{1+\operatorname{ctg}^2 \alpha} = 1$. | Zaczynamy od lewej strony tożsamości (L): $$ L = \frac{1}{1+\operatorname{tg}^2 \alpha} + \frac{1}{1+\operatorname{ctg}^2 \alpha} $$ Korzystamy ze wzorów: $1+\operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ i $1+\operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$. Podstawiamy te wzory do wyrażenia L: $$ L = \frac{1}{\frac{1}{\cos^2 \alpha}} + \frac{1}{\frac{1}{\sin^2 \alpha}} $$ Wykonujemy dzielenie (mnożymy przez odwrotność): $$ L = 1 \cdot \cos^2 \alpha + 1 \cdot \sin^2 \alpha $$ $$ L = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha $$ Korzystamy z jedynki trygonometrycznej $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $$ L = 1 $$ Otrzymaliśmy prawą stronę tożsamości (P). $$ L = P $$ | Tożsamość została udowodniona. |
| 8 | Udowodnij tożsamość: $\frac{\operatorname{ctg} \alpha}{1+\operatorname{ctg}^2 \alpha} = \sin \alpha \cos \alpha$. | Zaczynamy od lewej strony tożsamości (L): $$ L = \frac{\operatorname{ctg} \alpha}{1+\operatorname{ctg}^2 \alpha} $$ Korzystamy ze wzoru $1+\operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$ i podstawiamy $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$: $$ L = \frac{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}{\frac{1}{\sin^2 \alpha}} $$ Wykonujemy dzielenie ułamków (mnożymy przez odwrotność): $$ L = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{1} $$ Skracamy $\sin \alpha$ (zakładamy, że $\sin \alpha \neq 0$): $$ L = \cos \alpha \cdot \sin \alpha $$ $$ L = \sin \alpha \cos \alpha $$ Otrzymaliśmy prawą stronę tożsamości (P). $$ L = P $$ | Tożsamość została udowodniona. |
| 9 | Oblicz wartość $\sin 105^\circ$. | Wykorzystujemy wzór na sinus sumy kątów: $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$. Możemy zapisać $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$. $$ \sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ $$ Podstawiamy znane wartości: $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $$ \sin 105^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ \sin 105^\circ = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} $$ $$ \sin 105^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $$ | $\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ |
| 10 | Oblicz wartość $\cos 75^\circ$. | Wykorzystujemy wzór na cosinus różnicy kątów: $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$. Możemy zapisać $75^\circ = 120^\circ - 45^\circ$ lub $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$. Użyjmy $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$ i wzoru na cosinus sumy: $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$. $$ \cos 75^\circ = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ $$ Podstawiamy znane wartości: $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ $$ \cos 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} $$ $$ \cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} $$ $$ \cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $$ | $\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ |
| Nr | Treść Zadania | Rozwiązanie | Odpowiedź |
|---|---|---|---|
| 1 | Wiedząc, że $\cos \alpha = -\frac{8}{17}$ oraz $\alpha \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$, oblicz wartości $\sin \alpha$ oraz $\operatorname{tg} \alpha$. | Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Podstawiamy wartość $\cos \alpha$: $$ \sin^2 \alpha + \left(-\frac{8}{17}\right)^2 = 1 $$ $$ \sin^2 \alpha + \frac{64}{289} = 1 $$ $$ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{64}{289} $$ $$ \sin^2 \alpha = \frac{225}{289} $$ Zatem $\sin \alpha = \sqrt{\frac{225}{289}}$ lub $\sin \alpha = -\sqrt{\frac{225}{289}}$. $$ \sin \alpha = \frac{15}{17} \quad \text{lub} \quad \sin \alpha = -\frac{15}{17} $$ Ponieważ $\alpha \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$ (trzecia ćwiartka), $\sin \alpha$ jest ujemny. Więc: $$ \sin \alpha = -\frac{15}{17} $$ Teraz obliczamy $\operatorname{tg} \alpha$: $$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $$ Podstawiamy obliczone wartości: $$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{-\frac{15}{17}}{-\frac{8}{17}} $$ $$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{15}{8} $$ | $\sin \alpha = -\frac{15}{17}$, $\operatorname{tg} \alpha = \frac{15}{8}$ |
| 2 | Wiedząc, że $\operatorname{ctg} \alpha = -\frac{3}{4}$ oraz $\alpha \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$, oblicz wartości $\sin \alpha$ oraz $\cos \alpha$. | Korzystamy ze wzoru $1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$. Podstawiamy wartość $\operatorname{ctg} \alpha$: $$ 1 + \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $$ $$ 1 + \frac{9}{16} = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $$ $$ \frac{16+9}{16} = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $$ $$ \frac{25}{16} = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $$ Odwracamy ułamki, aby znaleźć $\sin^2 \alpha$: $$ \sin^2 \alpha = \frac{16}{25} $$ Zatem $\sin \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}}$ lub $\sin \alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}}$. $$ \sin \alpha = \frac{4}{5} \quad \text{lub} \quad \sin \alpha = -\frac{4}{5} $$ Ponieważ $\alpha \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ (czwarta ćwiartka), $\sin \alpha$ jest ujemny. Więc: $$ \sin \alpha = -\frac{4}{5} $$ Teraz obliczamy $\cos \alpha$ korzystając ze wzoru $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, czyli $\cos \alpha = \operatorname{ctg} \alpha \cdot \sin \alpha$: $$ \cos \alpha = -\frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) $$ $$ \cos \alpha = \frac{3}{5} $$ | $\sin \alpha = -\frac{4}{5}$, $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ |
| 3 | Mając dane $\sin x - \cos x = -\frac{1}{2}$, oblicz $\sin^3 x - \cos^3 x$. | Podnosimy dane równanie do kwadratu: $$ (\sin x - \cos x)^2 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 $$ $$ \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x = \frac{1}{4} $$ Korzystamy z jedynki trygonometrycznej $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$: $$ 1 - 2\sin x \cos x = \frac{1}{4} $$ $$ -2\sin x \cos x = \frac{1}{4} - 1 $$ $$ -2\sin x \cos x = -\frac{3}{4} $$ $$ \sin x \cos x = \frac{3}{8} $$ Teraz korzystamy ze wzoru na różnicę sześcianów: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. $$ \sin^3 x - \cos^3 x = (\sin x - \cos x)(\sin^2 x + \sin x \cos x + \cos^2 x) $$ Ponownie używamy jedynki trygonometrycznej: $$ \sin^3 x - \cos^3 x = (\sin x - \cos x)(1 + \sin x \cos x) $$ Podstawiamy dane i obliczone wartości: $$ \sin^3 x - \cos^3 x = -\frac{1}{2} \left(1 + \frac{3}{8}\right) $$ $$ \sin^3 x - \cos^3 x = -\frac{1}{2} \left(\frac{8}{8} + \frac{3}{8}\right) $$ $$ \sin^3 x - \cos^3 x = -\frac{1}{2} \cdot \frac{11}{8} $$ $$ \sin^3 x - \cos^3 x = -\frac{11}{16} $$ | $\sin^3 x - \cos^3 x = -\frac{11}{16}$ |
| 4 | Uprość wyrażenie: $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - (\sin \alpha - \cos \alpha)^2$. | Rozwijamy oba nawiasy za pomocą wzorów skróconego mnożenia: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ $$ (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha $$ $$ (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha $$ Podstawiamy te rozwinięcia do oryginalnego wyrażenia: $$ (\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) - (\sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) $$ Usuwamy nawiasy, pamiętając o zmianie znaków w drugim nawiasie: $$ \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha - \cos^2 \alpha $$ Redukujemy wyrazy podobne ($\sin^2 \alpha$ z $-\sin^2 \alpha$, $\cos^2 \alpha$ z $-\cos^2 \alpha$): $$ 2\sin \alpha \cos \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha $$ $$ 4\sin \alpha \cos \alpha $$ | $4\sin \alpha \cos \alpha$ |
| 5 | Udowodnij tożsamość: $\frac{\sin^2 \theta}{1+\cos \theta} = 1-\cos \theta$. | Zaczynamy od lewej strony tożsamości: $$ L = \frac{\sin^2 \theta}{1+\cos \theta} $$ Korzystamy z jedynki trygonometrycznej $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, co oznacza, że $\sin^2 \theta = 1-\cos^2 \theta$. Zastępujemy licznik w wyrażeniu: $$ L = \frac{1-\cos^2 \theta}{1+\cos \theta} $$ Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$. Stosujemy go do licznika: $$ L = \frac{(1-\cos \theta)(1+\cos \theta)}{1+\cos \theta} $$ Skracamy wyrażenie $1+\cos \theta$ z licznika i mianownika (zakładając, że $1+\cos \theta \neq 0$, czyli $\cos \theta \neq -1$, co oznacza $\theta \neq \pi + 2k\pi$ dla $k \in \mathbb{Z}$). $$ L = 1-\cos \theta $$ Prawa strona tożsamości (P) to $1-\cos \theta$. Lewa strona jest równa prawej stronie, co dowodzi tożsamości. $$ L = P $$ | Tożsamość została udowodniona. |
| 6 | Udowodnij tożsamość: $\frac{\sin \alpha}{1-\operatorname{ctg} \alpha} + \frac{\cos \alpha}{1-\operatorname{tg} \alpha} = \sin \alpha + \cos \alpha$. | Zaczynamy od lewej strony tożsamości (L): $$ L = \frac{\sin \alpha}{1-\operatorname{ctg} \alpha} + \frac{\cos \alpha}{1-\operatorname{tg} \alpha} $$ Zastępujemy $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ i $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$: $$ L = \frac{\sin \alpha}{1-\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} + \frac{\cos \alpha}{1-\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} $$ Sprowadzamy mianowniki do wspólnego mianownika: $$ L = \frac{\sin \alpha}{\frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha}} + \frac{\cos \alpha}{\frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha}} $$ Wykonujemy dzielenie ułamków (mnożymy przez odwrotność): $$ L = \sin \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} + \cos \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} $$ $$ L = \frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{-(\sin \alpha - \cos \alpha)} $$ $$ L = \frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} $$ Odejmujemy ułamki o wspólnym mianowniku: $$ L = \frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} $$ Stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów w liczniku: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$. $$ L = \frac{(\sin \alpha - \cos \alpha)(\sin \alpha + \cos \alpha)}{\sin \alpha - \cos \alpha} $$ Skracamy $(\sin \alpha - \cos \alpha)$ (zakładamy, że $\sin \alpha - \cos \alpha \neq 0$): $$ L = \sin \alpha + \cos \alpha $$ Otrzymaliśmy prawą stronę tożsamości (P). $$ L = P $$ | Tożsamość została udowodniona. |
| 7 | Udowodnij tożsamość: $\frac{1-\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha + \cos \alpha}$. | Zaczynamy od lewej strony tożsamości (L): $$ L = \frac{1-\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha} $$ Korzystamy ze wzoru na sumę sześcianów w mianowniku: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. $$ L = \frac{1-\sin \alpha \cos \alpha}{(\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)} $$ Korzystamy z jedynki trygonometrycznej $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ w mianowniku: $$ L = \frac{1-\sin \alpha \cos \alpha}{(\sin \alpha + \cos \alpha)(1 - \sin \alpha \cos \alpha)} $$ Skracamy czynnik $(1-\sin \alpha \cos \alpha)$ w liczniku i mianowniku (zakładamy, że $1-\sin \alpha \cos \alpha \neq 0$): $$ L = \frac{1}{\sin \alpha + \cos \alpha} $$ Otrzymaliśmy prawą stronę tożsamości (P). $$ L = P $$ | Tożsamość została udowodniona. |
| 8 | Udowodnij tożsamość: $\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{ctg} \alpha} = \sin \alpha \cos \alpha$. | Zaczynamy od lewej strony tożsamości (L): $$ L = \frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{ctg} \alpha} $$ Zastępujemy $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ i $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ w mianowniku: $$ L = \frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} $$ Sprowadzamy wyrażenie w mianowniku do wspólnego mianownika $\sin \alpha \cos \alpha$: $$ L = \frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}} $$ Wykonujemy dzielenie ułamków (mnożymy przez odwrotność): $$ L = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) \cdot \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha} $$ Skracamy czynnik $(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)$ w liczniku i mianowniku (zakładamy, że $\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha \neq 0$): $$ L = \sin \alpha \cos \alpha $$ Otrzymaliśmy prawą stronę tożsamości (P). $$ L = P $$ | Tożsamość została udowodniona. |
| 9 | Oblicz wartość $\sin 165^\circ$. | Wykorzystujemy tożsamość $\sin(180^\circ - x) = \sin x$. Zatem $\sin 165^\circ = \sin(180^\circ - 15^\circ) = \sin 15^\circ$. Obliczamy $\sin 15^\circ$ wykorzystując wzór na sinus różnicy kątów: $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$. Możemy zapisać $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$. $$ \sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ $$ Podstawiamy znane wartości: $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ $$ \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} $$ $$ \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} $$ $$ \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $$ Zatem: $$ \sin 165^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $$ | $\sin 165^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ |
| 10 | Oblicz wartość $\operatorname{ctg} 105^\circ$. | Wykorzystujemy wzór na cotangens sumy kątów: $\operatorname{ctg}(x+y) = \frac{\operatorname{ctg} x \operatorname{ctg} y - 1}{\operatorname{ctg} x + \operatorname{ctg} y}$. Możemy zapisać $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$. $$ \operatorname{ctg} 105^\circ = \operatorname{ctg}(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\operatorname{ctg} 60^\circ \operatorname{ctg} 45^\circ - 1}{\operatorname{ctg} 60^\circ + \operatorname{ctg} 45^\circ} $$ Podstawiamy znane wartości: $\operatorname{ctg} 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$ $\operatorname{ctg} 45^\circ = 1$ $$ \operatorname{ctg} 105^\circ = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1 - 1}{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1} $$ $$ \operatorname{ctg} 105^\circ = \frac{\frac{\sqrt{3}-3}{3}}{\frac{\sqrt{3}+3}{3}} $$ $$ \operatorname{ctg} 105^\circ = \frac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{3}+3} $$ Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika: $$ \operatorname{ctg} 105^\circ = \frac{(\sqrt{3}-3)(\sqrt{3}-3)}{(\sqrt{3}+3)(\sqrt{3}-3)} $$ $$ \operatorname{ctg} 105^\circ = \frac{(\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} + 3^2}{(\sqrt{3})^2 - 3^2} $$ $$ \operatorname{ctg} 105^\circ = \frac{3 - 6\sqrt{3} + 9}{3 - 9} $$ $$ \operatorname{ctg} 105^\circ = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{-6} $$ $$ \operatorname{ctg} 105^\circ = -2 + \sqrt{3} $$ | $\operatorname{ctg} 105^\circ = -2 + \sqrt{3}$ |